Exercices sur le calcul de probabilités Exercice 1 : Lançons simultanément 2 dés non pipés, l un noir et l autre blanc. Observons les points indiqués d abord par le dé noir, puis par le dé blanc. a) Déterminer l espace des éventualités sous la forme d un ensemble de couples et sous la forme d un diagramme en arbre. b) Calculer la probabilité que la somme des points obtenus soit = 8 c) Calculer la probabilité que la somme des points obtenus soit > 8 d) Calculer la probabilité d obtenir deux faces identiques. Exercice 2 : Un joueur lance une pièce de monnaie parfaitement symétrique. Si le côté pile sort, le jeu s arrête et le joueur a gagné. Sinon, le joueur relance la pièce. Si le côté pile sort, le joueur a gagné, sinon il a perdu. a) Déterminer l espace des éventualités sous la forme d un ensemble de couples et sous la forme d un diagramme en arbre. b) Calculer la probabilité de gain du joueur. Exercice 3 : Un joueur lance trois fois de suite une pièce de monnaie parfaitement symétrique. a) Déterminer l espace des éventualités à l aide d un diagramme en arbre. b) Calculer la probabilité d obtenir 1 seule face. c) Calculer la probabilité d obtenir au moins 1 face. d) Calculer la probabilité d obtenir 3 piles. Exercice 4 : Dans une classe de 20 élèves, 10 élèves suivent le cours de mathématiques, 5 celui de biologie et 3 les deux. a) Déterminer l espace des éventualités à l aide d ensembles tels que A=ensemble des élèves qui suivent le cours de mathématiques et B= ensemble des élèves qui suivent le cours de biologie. b) Calculer la probabilité qu un élève suive le cours de mathématiques et de biologie. c) Calculer la probabilité qu un élève suive le cours de mathématiques ou de biologie. 6 iéme année 4 ième partie Calcul des probabilités Exercices page 1
Exercice 5 : Dans une famille de 2 enfants, a) Déterminer l espace des éventualités à l aide d un diagramme en arbre. b) Calculer la probabilité d avoir 1 seule fille c) Calculer la probabilité d avoir au moins fille d) Calculer la probabilité d avoir 2 garçons. e) Calculer la probabilité d avoir 1 fille et 1 garçon. f) Calculer la probabilité d avoir 1 fille si l un des deux enfants est un garçon. Exercice 6 : Une carte est tirée dans un jeu de 32 cartes. A est l évènement «obtenir un trèfle» et B «obtenir une image». b) Calculer les probabilités suivantes P(A), P(B), P(AUB), P(A B), P(A/B) et P(B/A). Exercice 7 : Dans un Athénée de la région bruxelloise, 10% des garçons et 2% des filles mesurent plus de 1.7 m. On sait que 70% des élèves sont des filles. Si l on prend un élève au hasard et que celui-ci mesure plus de 1.7 m, quelle est la probabilité que ce soit une fille. A est l évènement «mesurer plus de 1.7m» et B «être une fille». Exercice 8 : On lance un dé pipé. P(obtenir 6)= 1/3, mais les autres évènements sont équiprobables. a) Calculer la probabilité d obtenir un 1. b) Calculer la probabilité d obtenir un nombre pair. c) Calculer la probabilité d obtenir un nombre impair. Exercice 9 : Lançons 1 dé non pipé trois fois de suite. Observons les points indiqués à chaque lancer. b) Calculer la probabilité d obtenir 3 faces identiques. c) Calculer la probabilité d obtenir («4», «2» et «1»). L ordre n est pas important. d) Calculer la probabilité d obtenir («4», «2» et «1»). L ordre est pas important. e) Calculer la probabilité que la somme des points obtenus soit = 16. f) Calculer la probabilité que la somme des points obtenus soit > 16. 6 iéme année 4 ième partie Calcul des probabilités Exercices page 2
Exercice 10 : Pour l examen oral de mathématiques, le professeur a préparé 30 questions ( 10 d analyse, 12 de géométrie et 8 de probabilité). Les étudiants doivent tirer 3 questions (sans replacement). Calculer la probabilité que l étudiant tire : a) 3 questions d analyse. b) 1 question de chaque. c) 2 questions de géométrie et 1 d analyse. d) Pas de question de géométrie. Exercice 11 : Dans une classe, il y a 10 garçons (5 aux yeux bleus et 5 aux yeux marrons) et 13 filles (7 aux yeux bleus et 6 aux yeux marrons). A est l évènement «être un garçon» et B «avoir les yeux marrons». Si on prends un élève au hasard. b) Calculer les probabilités suivantes P(A), P(B), P(AUB), P(A B), P(A/B) et P(B/A). Exercice 12 : Trois chevaux A, B et C participent à une course. A a 2 fois plus de chance de gagner que B et B a 2 fois plus de chance de gagner que C. Calculer les probabilités respectives de gagner de ces trois chevaux. Exercice 13 : On truque une pièce de monnaie de telle sorte que «face» apparaisse deux fois plus souvent que «pile». Calculer les probabilités respectives d obtenir «pile» et «face». Exercice 14 : Deux hommes h1 et h2, et trois femmes f1, f2 et f3 participent à un tournoi d échecs. Les individus de même sexe ont des chances égales de gagner, mais un homme a deux fois plus de chance de gagner q une femme. a) Calculer la probabilité pour qu une femme gagne le tournoi. b) Si h1 et f1 sont mariés, calculer la probabilité que l un d eux gagne le tournoi. 6 iéme année 4 ième partie Calcul des probabilités Exercices page 3
Exercice 15 : Le sang humain peut posséder 2 caractéristiques indépendantes A et B. Le tableau suivant donne le pourcentage de la population appartenant à chacun des groupes. Groupe Ne possède pas les Possède les caractéristiques caractéristiques % de la population A A B 45% B B A 10% AB A et B - 2% O - A et B 43% a) un donneur d ne peut donner du sang à un receveur r que si son sang ne contient pas de caractéristique absente du sang de r. 1 ) Quelle est la probabilité pour qu un donneur d appartenant à un groupe sanguin connu puisse donner du sang à un receveur de groupe inconnu? 2 ) Quelle est la probabilité pour qu un receveur r appartenant à un groupe sanguin connu puisse recevoir du sang d un donneur de groupe inconnu? b) Le sang humain peut, en outre, posséder une caractéristique Rh supplémentaire. Suivant qu un individu a un sang qui la possède ou pas, nous dirons qu il est Rh+ ou Rh-. La caractéristique Rh est indépendante des caractéristiques A et B. 85% de la population sont Rh+. Faites un diagramme en arbre en tenant compte du groupe sanguin et de la caractéristique Rh. c) Quelle est la probabilité qu un ménage soit constitué d un homme Rh+ et d une femme Rh-? d) Quelle est la probabilité qu un ménage soit constitué d un homme Rh+ et d une femme Rh+? e) Quelle est la probabilité qu un ménage soit constitué d un homme et d une femme de même Rh? f) Quelle est la probabilité qu un ménage soit constitué d un homme et d une femme de Rh opposé? g) Dans les ménages où l homme est Rh+ et la femme Rh-, il se produit, dans 8% des naissances, des accidents qui nécessitent un traitement spécial du nouveau-né. Déterminer la probabilité pour qu un nouveau-né quelconque dont on ne connaît pas les caractéristiques de groupe et de Rh, doive subir ce traitement 6 iéme année 4 ième partie Calcul des probabilités Exercices page 4
Exercice 16 : Soient des événements A et B tels que P(A)=1/4 et P(AUB)=1/3 a) Calculer la probabilité P(B) en supposant que A et B s excluent mutuellement. b) Calculer la probabilité P(B) en supposant que A et B sont indépendants Exercice 17 : Un joueur lance trois pièces de monnaie parfaitement symétrique. Soient les événements suivants : A : «les 3 pièces donnent toutes piles ou toutes faces» B : «les 3 pièces donnent au moins 2 faces» C : «les 3 pièces donnent au plus 2 faces» Quels sont les couples d événements indépendants? Exercice 18 : Une urne contient 8 boules noires et 5 boules rouges. On tire 2 boules de l urne. Soient les événements suivants : A : «tirer une boule rouge au premier tirage» B : «tirer une boule noire au deuxième tirage» a) Si le tirage se fait avec replacement dans l urne de la première boule avant le second tirage, les événements A et B sont-ils indépendants? Justifier. b) Si le tirage se fait sans replacement dans l urne de la première boule avant le second tirage, les événements A et B sont-ils indépendants? Justifier. Exercice 19 : Un joueur lance l une après l autre deux pièces de monnaie parfaitement symétrique. Soient les événements suivants : A : «Face apparaît sur la première pièce» B : «Face apparaît sur la deuxième pièce» C : «Face apparaît sur une seule des deux pièces» Les événements A, B et C sont-ils indépendants? Justifier. Exercice 20 : Une urne contient 5 boules blanches numérotées de 1 à 5, 3 boules bleues numérotées de 6 à 8 et 2 boules vertes numérotées 9 et 10. On tire simultanément 2 boules de l urne. Soient les événements suivants : A : «les 2 boules ont des numéros impairs» B : «les 2 boules ont la même couleur» C : «les 2 boules ont des numéros impairs et ont la même couleur» Les événements A et B sont-ils indépendants? Justifier. 6 iéme année 4 ième partie Calcul des probabilités Exercices page 5