Chapitre trois : Rappel sur les vecteurs 3.1 Introduction 3.2 Produit scalaire 3.3 Produit vectoriel 3.4 Produit mixte 3.1 Introduction Un vecteur est un outil mathématique, très utilisé en physique. Il faut le manipuler avec précaution. Il existe en physique deux types de grandeurs : les grandeurs scalaires et les grandeurs vectorielles. Les grandeurs scalaires sont représentées par un nombre, positif, négatif ou nul comme la masse m, la température θ, la longueur l ou le temps t. La seule connaissance de la valeur suffit à déterminer la grandeur. Mais il existe aussi des grandeurs physiques dont la valeur ne suffit pas à caractériser la grandeur. Par exemple, la connaissance de la valeur de la vitesse ne décrit pas tous les paramètres de la vitesse, car la vitesse a une direction, un sens et a aussi un point particulier appelé point d application ou origine où elle est déterminée. Un vecteur est donc caractérisé par un ensemble de propriétés. La direction ou support : c est une droite. Le sens : une direction a deux sens. Le point d application ou origine. La norme ou le module ou la valeur. Direction Sens Point d application Cours de Physique I Chapitre III 1 M. BOUGUECHAL 2010-2011
Il ne faut pas confondre les quantités scalaires et vectorielles, cette confusion provient du fait qu'on peut toujours associer à une quantité vectorielle une quantité scalaire, c est la norme du vecteur. Il faut savoir que certaines grandeurs physiques ne sont ni des scalaires, ni des vecteurs mais des nombres complexes, comme l impédance d une bobine, d un condensateur. Il faut donc être vigilant à la présence ou à l'absence d'une flèche sur une quantité vectorielle. Sa présence signifie que l'on parle du vecteur et donc on a trois composantes, tandis que son absence signifie que l'on parle de grandeur scalaire. Exemple de grandeurs scalaires et de grandeurs vectorielles et de grandeurs complexes : Grandeurs scalaires unités Masse kg Temps s Longueur m Température K volume m 3 Intensité d un courant A Tension électrique V Grandeurs vectorielles unités Vecteur-vitesse m/s Vecteur accélération ( m/s 2 ) Vecteur-force N Vecteur quantité de mouvement Kg.m/s Vecteur champ magnétique T Vecteur champ électrique V/m Vecteur position m Grandeurs complexes Impédance d une bobine Impédance d un condensateur Tension électrique Intensité électrique unités Ω Ω V A Il faut noter que certaines grandeurs scalaires peuvent s écrire sous forme complexe. Cours de Physique I Chapitre III 2 M. BOUGUECHAL 2010-2011
Pour les vecteurs, en coordonnées cartésiennes, on écrit : Pour la quantité de mouvement : Pour la force : Quelques opérations simples sur les vecteurs Vecteur unitaire porté par : On ne peut additionner des vecteurs que s ils ont la même unité Cours de Physique I Chapitre III 3 M. BOUGUECHAL 2010-2011
3.2 Produit scalaire Il existe deux façons très différentes de multiplier les vecteurs et donc de faire leur produit. La plus simple s'appelle le produit scalaire et se symbolise par un point placé entre les deux vecteurs. Il faut écrire de préférence les vecteurs en colonnes et faire tout simplement les produits des composantes, ligne par ligne tout en additionnant les résultats obtenus. On obtient alors un nombre scalaire numériquement égal au produit des normes des deux vecteurs par le cosinus de l'angle que font ces deux vecteurs. Le travail d une force est un exemple de scalaire obtenu en multipliant scalairement le vecteur force par le vecteur déplacement. Ou encore : ) r et r étant les normes des vecteurs. Le produit scalaire sert à projeter un vecteur sur un autre. (voir figure) Cours de Physique I Chapitre III 4 M. BOUGUECHAL 2010-2011
Exercice 1 : Déterminer l angle entre deux vecteurs. On peut toujours calculer un angle entre deux vecteurs de nature différente. On peut toujours faire le produit de vecteurs (scalaire ou vectoriel) même s ils n ont pas la même unité Cours de Physique I Chapitre III 5 M. BOUGUECHAL 2010-2011
3.3 Produit vectoriel L'autre manière de multiplier deux vecteurs entre eux et donc de faire leur produit est appelé produit vectoriel, symbolisée par le signe X ou, et permet d'obtenir un troisième vecteur : perpendiculaire aux deux premiers formant un trièdre direct (orientation du troisième vecteur donnée par la règle des trois doigts de la main droite). Sa norme est donnée par r r sin ( θ ) ; θ étant l angle compris entre les deux vecteurs. Il faut faire attention de mettre sur la gauche la colonne représentant le vecteur placé à gauche du signe et sur la droite, la colonne représentant le vecteur placé à droite du signe. Pour obtenir la composante suivant l axe x du nouveau vecteur, il faut neutraliser la ligne x en la barrant, puis multiplier le nombre de gauche juste en dessous y par le nombre de droite situé en diagonale z et soustraire le produit de l'autre diagonale zy. Pour les composante y ou z il faut faire la même opération, mais en barrant les lignes y et z au lieu de la ligne x. Pour la ligne y et toutes les lignes impaires il ne faut pas oublier de mettre un signe devant l ensemble. Cette règle est parfois appelée règle du gamma γ. On obtient alors : Attention : Si vos vecteurs n ont que deux composantes, il faut obligatoirement rajouter la troisième composante en indiquant qu elle est nulle. Pour la composante suivant l axe x. Pour la composante suivant l axe y.n oubliez pas de mettre un signe- Cours de Physique I Chapitre III 6 M. BOUGUECHAL 2010-2011
Pour la composante suivant l axe z.. La norme du vecteur obtenu est égale au produit des normes r et r des deux vecteurs multiplié par le sinus de l angle entre les vecteurs. La technique des trois doigts de la main droite. Le premier vecteur est sur le pouce, le deuxième est sur l index et le troisième sur le majeur. La technique de la main droite. Le premier vecteur est sur la main, initialement ouverte, de telle sorte que la paume de la main soit orientée vers le vecteur bleu, quand ferme la main on passe du vecteur violet au vecteur bleu, le vecteur obtenu en faisant le produit vectoriel de deux précédents est donné par le pouce : vecteur rouge. Cours de Physique I Chapitre III 7 M. BOUGUECHAL 2010-2011
La technique du tire -bouchon. On fait tourner le tire-bouchon dans le sens premier vecteur vers deuxième vecteur ( violet vers bleu ), le vecteur obtenu en faisant le produit vectoriel des deux précédents est donné par le mouvement de l axe du tire-bouchon, deux possibilités suivant que le tirebouchon pénètre ou sort du bouchon. Produit vectoriel : propriétés et règles de calcul Quelques règles : : le produit vectoriel est anticommutatif. Toutes ces relations peuvent trouvées en utilisant le schéma ci-dessous. Cours de Physique I Chapitre III 8 M. BOUGUECHAL 2010-2011
Interprétation géométrique de la norme du produit vectoriel Pour calculer la norme on peut décomposer les vecteurs et appliquer les règles ci-dessus, ou utiliser la règle α h Aire du parallélogramme formé par : La norme du produit vectoriel donne l aire du parallélogramme formé par les vecteurs 3.4 Produit mixte Le produit mixte donne le volume du parallélogramme formé par les trois vecteurs. Cours de Physique I Chapitre III 9 M. BOUGUECHAL 2010-2011