N d ordre 006-ISA-009 Année 006 Thèse ETUDE DE ATTENUATION DES ONDES UTRASONORES. AIATION AU ONTROE NON DESTRUTIF DES SOUDURES EN AIER INOXYDABE AUSTENITIQUE présentée devant Institut National des Sciences Appliquées de yon pour obtenir le grade de docteur Ecole doctorale : MEGA par Marie-Aude OIX Soutenue le 0 décebre 006 devant la oission d exaen Jury ONOIR Jean-Marc Directeur de recherche NRS, AUE Rapporteur EGUERJOUMA Rachid rofesseur, AUM Directeur de thèse GUY hilippe Maître de conférence, GEMM HEMERY Alain HDR, Ingénieur de recherche, EA Rapporteur MOYSAN Joseph HDR, ND ROYER Daniel rofesseur, OA résident du jury Mebres invités : HASSIGNOE Bertrand Ingénieur de recherche, EDF R&D ORNEOU Gilles rofesseur, ND Directeur de thèse
SOMMAIRE Introduction générale... HAITRE ROBEMATIQUE DU ONTROE NON DESTRUTIF DES SOUDURES ANISOTROES HETEROGENES... 5.. ontexte de l étude... 6... Métallurgie des soudures en acier inoxydable austénitique... 6... e contrôle non destructif par ultrasons... 8... Modélisation des soudures : approxiation en sous-doaines hoogènes..... ropagation ultrasonore à travers un ilieu hoogène anisotrope... 4... Equation de hristoffel... 4... ourbes des lenteurs : généralités et exeples... 6... oefficients de transission en incidence quelconque... 8.. Atténuation et bruit de structure... 4... Généralités et définition de l atténuation... 4... Modèles théoriques de l'atténuation dans les atériaux polycristallins... 7... Méthodes de esure de l'atténuation ultrasonore... 46.4. Description des échantillons étudiés... 5.4.. Découpe... 5.4.. ropriétés élastiques... 5.5. Synthèse et objectifs... 55 HAITRE METHODE ASSIQUE DE MESURE DE ATTENUATION EN TRANSMISSION... 57.. rincipe de la esure... 58
.. Mesure de la vitesse de phase... 6... Dispersion de vitesse : éthode de dérouleent de phase... 6... alcul d'incertitude... 64... Méthodes d'intercorrélation et de Hilbert... 65..4. Résultats et coparaison... 68.. Mesure de la dispersion d'atténuation... 70... Méthode de calcul... 70... alcul d'incertitude... 7... Résultats de esure en fonction de la fréquence... 7..4. Evolution de l atténuation en fonction de l orientation des grains... 78.4. Synthèse et discussion... 8 HAITRE MESURE DE 'ATTENUATION AR DEOMOSITION DU FAISEAU EN SETRE D ONDES ANES... 85.. Dispositif expériental et principe général... 86.. Mesures point par point... 88... rincipe... 88... artographies du faisceau ultrasonore... 89.. Décoposition en spectre angulaire d'ondes planes... 9... artographie spectrale... 9... Spectre d'ondes planes... 9.4. Application des coefficients de transission... 95.4.. alcul des coefficients de transission... 95.4.. oparaison des résultats... 00.5. alcul de l'atténuation... 0.5.. Forulation... 0.5.. Résultats expérientaux... 0.6. onclusions et perspectives... 06 4
HAITRE 4 DISUSSION ET EXOITATION DES RESUTATS...09 4.. Synthèse des travaux expérientaux... 0 4... Technique classique de esure de la vitesse et de l atténuation... 0 4... Estiation de l atténuation avec décoposition des faisceaux... 0 4.. Intégration de l'atténuation dans le code de calcul ATHENA... 4... e code ATHENA [FOU 0, TSO 99]... 4... Modélisation à l'échelle du grain [SH 06]... 4... Intégration de l'atténuation par diffusion à ATHENA [DUW 06]... 4 4..4. Résultats de siulation et coparaison... 6 4..5. onclusions... 0 onclusion générale et perspectives... Références bibliographiques... 5 Annexe : Résolution de l'équation de hristoffel... Annexe : Rotation d'un tenseur orthotrope autour de l'axe... 5 Annexe : Mesures d'atténuation en ondes transversales... 7 Annexe 4 : Déterination de la taille et de l'orientation des grains... 9 Annexe 5 : Etablisseent des atrices perettant le calcul des coefficients de réflexion et transission... 4 5
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ISTE DES FIGURES Figure. : ircuit priaire des réacteurs à eau pressurisée.... 6 Figure. : Macrographie d'une soudure ultipasses en acier inoxydable austénitique... 7 Figure. : ropagation et polarisation des ondes longitudinales (a) et transversales (b)... 8 Figure.4 : Définition de la vitesse de phase et de la vitesse d'énergie... 9 Figure.5 : ropagation d'un faisceau éis par une source de diensions finies... 0 Figure.6 : Déviation théorique du faisceau en fonction de l'angle θ foré par le faisceau et l'orientation des grains dans du étal soudé austénitique [EDE 86].... Figure.7 : Variations de la largeur du faisceau dues à l'effet de déviation [EDE 86]... Figure.8 : Exeple de icrostructure des soudures étudiées : (a) Macrographie (b) et (c) Description en sous-doaines hoogènes orthotropes (d) Siulation de la propagation.... Figure.9 : Schéa des angles définissant la direction de propagation dans le atériau.... 6 Figure.0 : ourbes des lenteurs (grains: 0, plan: 0) avec les directions de polarisation.... 7 Figure. : ourbes des lenteurs (grains: 45, plan: 0) : absence de syétrie... 7 Figure. : Incidence quelconque à une interface liquide/solide : loi de Snell-Descartes.... 9 Figure. : Visualisation des six solutions athéatiques sur les courbes des lenteurs.... 0 Figure.4 : Trois cas de choix des solutions physiqueent adissibles... Figure.5 : Décroissance exponentielle des échos en négligeant la diffraction [GOE 80].... 5 Figure.6 : Diffusion par une hétérogénéité... 6 Figure.7 : Schéa du principe de la diffusion ultiple.... 7 Figure.8 : Vitesse de phase noralisée des (a) O, (b) OTH, (c) OTV, en fonction de la direction de propagation par rapport à l axe d orientation des grains [HIR 86].... 40 Figure.9 : oefficient de diffusion noralisé des (a) O, (b) OTH, (c) OTV, en fonction de la direction de propagation par rapport à l axe d orientation des grains [HIR 86]... 40 Figure.0 : oefficient d'atténuation noralisé des (a) O, (b) OT, dans un aluiniu polycristallin, en fonction de la fréquence noralisée [STA 84].... 4 Figure. : oefficient d'atténuation noralisé des (a) O, (b) OTH, (c) OTV, en fonction de la direction de propagation, pour différentes fréquences noralisées [TUR 99].... 4 Figure. : oefficient d'atténuation noralisé des O (a) en fonction de la fréquence noralisée, (b) en fonction de la direction de propagation [AHM 9].... 45 Figure. : oefficient d'atténuation noralisé des OTH (a) en fonction de la fréquence noralisée, (b) en fonction de la direction de propagation [AHM 9].... 45 Figure.4 : rincipe de la esure au contact, en ode réflexion... 48 Figure.5 : Exeples de dispositifs en iersion : (a) réflexion avec échos successifs [KUM 96, BAD 0], (b) transission avec esure de référence [JEO 95, WAN 0].... 50 Figure.6 : Schéa de la découpe des échantillons.... 5 Figure.7 : Figures de pôle : (a) principe et (b) figure de pôle {00} expérientale.... 5 Figure.8 : Repère associé à la description élastique du Tableau.4.... 54 Figure. : Schéa du dispositif expériental.... 59 Figure. : Réglages du dispositif... 59 Figure. : Recalage des signaux pour calculer la différence de phase.... 6 Figure.4 : Exeple de parties linéaire et dispersive de la phase.... 6 Figure.5 : Incertitude de la vitesse dans l'eau en fonction de la tepérature.... 64 Figure.6 : Fonction d'intercorrélation de deux signaux... 67 Figure.7 : Transforée de Hilbert du rapport de deux spectres.... 67 7
Figure.8 : ourbes de dispersion de la vitesse de phase pour chaque échantillon.... 69 Figure.9 : ourbes théorique et expérientale de la vitesse de phase en fonction de l angle faisceau/grains à,5 MHz.... 70 Figure.0 : ourbes de dispersion de l atténuation pour chaque échantillon... 7 Figure. : Filtrage d'un signal par une fenêtre rectangulaire (a) et de Hanning (b)... 7 Figure. : ourbes de dispersion de l atténuation après filtrage des signaux.... 74 Figure. : ression noralisée sur l'axe d un éetteur de diaètre 0,5" à,5 MHz... 74 Figure.4 : Raccordeent des courbes de dispersion de l atténuation de,5 à 0 MHz... 76 Figure.5 : ois d'atténuation de différents échantillons de soudure et du étal de base... 76 Figure.6 : ourbe de l atténuation en fonction de l orientation des grains à,5 MHz.... 78 Figure.7 : ourbes de vitesse et de déviation des ondes longitudinales : coparaison entre la soudure de notre étude et la soudure étudiée par Seldis.... 79 Figure.8 : Atténuation en fonction de l'orientation des grains : coparaison avec les valeurs esurées par Seldis [SE 00]... 80 Figure.9 : Atténuation à,5 MHz en fonction de l'orientation des grains : résultats du odèle d'ahed pour différentes valeurs de (d;h), avec d/h=0.05... 80 Figure. : Dispositif expériental... 86 Figure. : Visualisation du faisceau en fonction de la distance à l'éetteur.... 87 Figure. : Vues de dessus (a) et de face (b) des zones scannées par le récepteur.... 88 Figure.4 : Exeples de variations d aplitude en fonction de la distance entre l échantillon et le récepteur (échantillons : 0 et 85 )... 89 Figure.5 : Iage du faisceau incident... 90 Figure.6 : Iage du faisceau transis à travers l'échantillon de étal de base.... 90 Figure.7 : Iages du faisceau transis à travers chaque échantillon de soudure.... 9 Figure.8 : Diagrae de rayonneent d un éetteur circulaire en chap lointain : schéa de la décoposition d'un faisceau en soe d'ondes planes... 9 Figure.9 : Schéa du principe de calcul du spectre d'ondes planes... 9 Figure.0 : artographie spectrale en aplitude du faisceau incident à,5 MHz... 9 Figure. : Spectre d'ondes planes du faisceau incident à,5 MHz : cartographie (a) et coupe horizontale, à 0 (b)... 94 = Figure. : Spectre d'ondes planes du faisceau incident : tracé sous fore angulaire.... 94 Figure. : Diagrae de rayonneent expériental du faisceau.... 95 Figure.4 : Repère de travail pour le calcul des coefficients de transission... 96 Figure.5 : onversions de ode dans un plan non principal... 97 Figure.6 : Déterination des ondes réfléchies en deuxièe interface.... 98 Figure.7 : Aplitude des coefficients de transission globale pour une orientation de grains de 0 : cartographie (a) et coupe dans le plan φ =0 (b).... 00 Figure.8 : oparaison des cartographies spectrales "théoriques" et expérientales en aplitude à,5 MHz, pour chaque orientation de grain (échelle de couleur en db).... 0 Figure.9 : Atténuation esurée en fonction de l orientation des grains, à,5 MHz, avec l hydrophone en réception.... 0 Figure.0 : Atténuation globale en fonction de l orientation des grains à,5 MHz avec le capteur de 0,5" en réception.... 04 Figure. : Atténuation globale en fonction de l orientation des grains à,5 MHz en tenant copte de la désorientation des grains de 5 dans le sens de soudage (rouge).... 05 Figure. : Atténuation locale pour ( = 0 ; = 0 ) en fonction de l orientation des grains à,5 MHz coparée aux résultats de la éthode classique (petites croix bleues).... 05 8
Figure. : Transission totale des odes longitudinal et transversal, pour des grains orientés à 0 (a) et à 5 (b)... 06 Figure 4. : Exeple de siulation de la propagation d'un faisceau ultrasonore (b) à partir de la description en sous-doaines orthotropes de la soudure (a).... Figure 4. : Exeple d'une soudure décrite à l'échelle des grains [SH 06]... 4 Figure 4. : Vitesses (/s) des O (gauche) et des OT (droite) en fonction de l'orientation des grains : données expérientales (trait plein) et calage (pointillés)... 6 Figure 4.4 : Atténuations (Np/) des O (gauche) et des OT (droite) en fonction de l'orientation des grains : données expérientales (trait plein) et calage (pointillés)... 6 Figure 4.5 : Atténuations (Np/) des O (gauche) et des OT (droite) en fonction de l'orientation des grains : données expérientales (trait plein) et calage (pointillés)... 7 Figure 4.6 : Schéa de la structure de la soudure D704.... 7 Figure 4.7 : Structure de la soudure D77B [HA 00]... 8 Figure 4.8 : onfiguration de contrôle pour la soudure D704... 8 Figure 4.9 : Exeple de représentation de type B pour le contrôle en 60 de la soudure D704.... 9 Figure 4.0 : Aplitudes étudiées pour la soudure D77B.... 9 9
ISTE DES TABEAUX Tableau. : oposition du étal d'apport des soudures industrielles... 7 Tableau. : Définition des trois régions de diffusion.... 7 Tableau. : oposition du étal d'apport de la soudure-école (D704).... 5 Tableau.4 : onstantes d'élasticité de la soudure d'étude D704 (en Ga) [HA 00]... 5 Tableau. : Incertitudes sur les esures de vitesse à,5 MHz.... 65 Tableau. : oparaison des valeurs des vitesses de phase obtenues par les trois éthodes pour chaque échantillon (/s)... 68 Tableau. : Incertitudes sur les esures d'atténuation à,5 MHz.... 7 Tableau.4 : oparaison des valeurs de constantes d élasticité avec celles des échantillons de Seldis [SE 00] (Ga)....79 Tableau 4. : Résultats de siulation coparés à l'expérience pour chaque cas... 0 0
Introduction générale INTRODUTION GENERAE es tuyauteries des circuits priaires des centrales nucléaires sont souises à de fortes contraintes dues au fonctionneent à haute tepérature et à haute pression. est pourquoi elles sont réalisées en acier inoxydable austénitique, qui présente de nobreux avantages en teres de résistance à la corrosion et d utilisation aux tepératures élevées. ar ailleurs, ces tuyauteries sont asseblées par soudage, et le contrôle de l intégrité des soudures est donc indispensable. Ainsi, le contrôle non destructif est utilisé pour détecter d éventuels défauts et les caractériser de anière à évaluer leur nocivité. es techniques ultrasonores s avèrent efficaces, en copléent de la radiographie, pour la localisation en profondeur et le diensionneent des défauts. Mais les soudures austénitiques, élaborées par dépôt de passes successives du étal d apport, possèdent une structure forteent anisotrope et hétérogène. a forte anisotropie est causée par la croissance cristalline, selon le gradient therique local, qui se développe lors de la solidification du étal déposé. hétérogénéité vient du fait que les grains présentent des directions de croissance différentes selon les passes et leur enchaîneent. es deux caractéristiques perturbent la propagation des ondes ultrasonores : le faisceau peut subir des déforations (déviation, division ) et une diinution d aplitude due à la diffusion aux joints des grains. a contrôlabilité du coposant peut alors, dans certains cas, présenter des difficultés iportantes. Il est donc essentiel de bien coprendre coent se propagent les ondes ultrasonores dans ce type de soudure, afin de pouvoir éettre un jugeent fiable quant à l état de santé du coposant contrôlé. our cela, un code de calcul, appelé ATHENA, a été développé par EDF R&D et l INRIA. Il odélise la propagation des ultrasons dans les structures anisotropes hétérogènes à partir de la description élastique de chaque sous-doaine hoogène de la structure. ar ailleurs, depuis une dizaine d années, différentes études ont été enées pour ieux appréhender les phénoènes de propagation et aéliorer leur odélisation. Une preière thèse a peris de valider l hypothèse d une décoposition des soudures ultipasses
Introduction générale en zones anisotropes hoogènes [HA 00], et un second travail a abouti à l élaboration d un odèle, appelé MINA, qui prédit de anière non destructive les orientations des grains dans une soudure donnée [AF 05a]. es études ont notaent peris une eilleure copréhension des phénoènes de déviation du faisceau. ar contre les phénoènes liés à la diffusion aux joints des grains, se anifestant par une atténuation et un bruit de structure, n ont été que partielleent étudiés et n ont pas été intégrés dans le code de siulation. En effet, ces phénoènes de diffusion sont difficiles à prévoir car ils dépendent de l orientation, de la géoétrie et des propriétés élastiques des grains. Nous nous intéressons plus particulièreent ici à l atténuation par diffusion. a bibliographie enée a ontré la coplexité de ce phénoène, tant pour le odéliser que pour le esurer, en particulier dans les structures anisotropes hétérogènes telles que les soudures ulti-passes en acier inoxydable austénitique. e travail exposé dans ce anuscrit a pour but d apporter des réponses à ce problèe, d étudier et de quantifier l atténuation ultrasonore par diffusion en fonction de l orientation des grains, afin de fournir des valeurs fiables au odèle de propagation. Nous coençons dans le preier chapitre par détailler le contexte de l étude, en insistant sur l aspect étallurgique, et les conséquences pour le contrôle ultrasonore. uis la théorie générale de la propagation ultrasonore à travers un atériau de structure hétérogène et anisotrope est développée et appliquée aux soudures. Nous expliquons ensuite le phénoène d atténuation, intieent lié au bruit de structure, et présentons quelques odèles théoriques et éthodes de esure expérientales perettant d accéder à l atténuation par diffusion dans les ilieux anisotropes hoogènes. ela nous conduit d une part à identifier le odèle théorique correspondant le ieux à notre étude, afin d effectuer une coparaison avec les esures, et d autre part à choisir une preière éthode de esure que nous développons dans le chapitre suivant. e second chapitre expose donc la preière technique expérientale de esure de l atténuation des ondes longitudinales. est la technique la plus couraent utilisée pour la caractérisation des atériaux. Elle s effectue en iersion, en transission et en incidence norale, et est basée sur la coparaison entre le faisceau propagé dans l eau et le faisceau ayant traversé l échantillon inséré entre l éetteur et le récepteur. Nous présentons la éthode de calcul de la vitesse de phase et de l atténuation à partir de ces deux esures. uis
Introduction générale les résultats sont analysés, en les coparant aux résultats expérientaux et théoriques de la littérature. Nous ontrons que la éthode de esure a ses liites, dont la principale est la non prise en copte des effets de l ouverture angulaire du faisceau, particulièreent sensible pour un atériau anisotrope. est pourquoi une seconde approche, plus précise, est alors étudiée. ette seconde voie de travail, exposée dans le troisièe chapitre, repose sur la esure point par point des faisceaux et la odélisation de la transission du faisceau incident à travers les échantillons. es réalités physiques du faisceau (en particulier son ouverture) et du atériau (son anisotropie) peuvent alors être prises en copte, par le biais de la décoposition des faisceaux en spectres angulaires d ondes planes, et l application des coefficients de transission en incidence quelconque à chaque coposante en onde plane du faisceau incident. Nous ontrons que cette éthode donne de eilleurs résultats. e dernier chapitre vise à exploiter ces résultats en les intégrant au code de calcul ATHENA. Nous coençons ce chapitre en effectuant une synthèse des différents résultats de esure. uis le principe de fonctionneent du code ATHENA est exposé, pour expliquer la anière dont l atténuation a pu être intégrée. es confrontations des siulations aux expériences ettent en évidence l iportance de la prise en copte de l atténuation. ar ailleurs, la bonne cohérence entre siulations et essais ultrasonores valide les valeurs d atténuation esurées expérientaleent. a conclusion rappelle la difficulté d estier avec précision l atténuation par diffusion, ais ontre que la éthode basée sur la esure point par point donne de très bons résultats. Elle est plus précise que la éthode classique utilisée a priori. Elle peret en effet de prendre en copte la réalité du faisceau ultrasonore et l anisotropie du atériau. Nous proposons finaleent des perspectives à ce travail, notaent la esure précise de l atténuation des ondes transversales.
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. ROBEMATIQUE DU ONTROE NON DESTRUTIF DES SOUDURES ANISOTROES HETEROGENES.. ontexte de l étude... 6... Métallurgie des soudures en acier inoxydable austénitique... 6... e contrôle non destructif par ultrasons... 8... Généralités...8... e contrôle des soudures austénitiques...0... Modélisation des soudures : approxiation en sous-doaines hoogènes...... Description de la soudure...... Siulation de la propagation ultrasonore..... ropagation ultrasonore à travers un ilieu hoogène anisotrope... 4... Equation de hristoffel... 4... ourbes des lenteurs : généralités et exeples... 6... oefficients de transission en incidence quelconque... 8... Equation et résolution...8... Déterination des trois solutions physiqueent adissibles...9... alcul des coefficients de réflexion et de transission..... Atténuation et bruit de structure... 4... Généralités et définition de l atténuation... 4... Modèles théoriques de l'atténuation dans les atériaux polycristallins... 7... Description de quelques odèles... 7... Synthèse... 45... Méthodes de esure de l'atténuation ultrasonore... 46... Méthodes au contact...47... Méthodes sans contact...49... Méthodes en iersion...49...4. hoix de la éthode de esure : iersion et transission...5.4. Description des échantillons étudiés... 5.4.. Découpe... 5.4.. ropriétés élastiques... 5.5. Synthèse et objectifs... 55 5
hapitre. robléatique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes e chapitre expose la probléatique liée au contrôle non destructif par ultrasons des atériaux anisotropes hétérogènes tels que les soudures ultipasses en acier inoxydable austénitique. e contexte de l'étude est d'abord présenté via les aspects étallurgique et ultrasonore. uis la théorie liée au problèe de la propagation des ondes et à leur transission à travers un ilieu anisotrope est étudiée. Une étude bibliographique sur les travaux théoriques et expérientaux concernant l'atténuation est ensuite réalisée. Une fois la preière technique expérientale choisie pour les esures, les échantillons étudiés seront alors décrits... ontexte de l étude... Métallurgie des soudures en acier inoxydable austénitique es aciers inoxydables austénitiques sont fréqueent utilisés pour leurs propriétés de grande résistance à la corrosion et de bonne perforance écanique aux tepératures élevées. En effet, ils conservent leur structure austénitique aussi bien à tepérature abiante qu'aux hautes tepératures. 'acier AISI 6 (Dénoination AFNOR : ZND7-) est en particulier utilisé en raison de sa coposition présentant un faible pourcentage de ferrite δ qui peret de dissoudre en grande partie les ipuretés et donc de iniiser la foration de icroségrégations, qui peuvent être des points de départ de fissures sous l'effet des contraintes theriques [BAI 77]. Du fait de ces propriétés, l acier 6 est utilisé coe étal d apport pour de nobreuses soudures du circuit priaire des centrales nucléaires à réacteurs à eau pressurisée (Figure.). es soudures étant de taille iportante, elles sont élaborées par superposition de passes (ou cordons) successives (Figure.). Figure. : ircuit priaire des réacteurs à eau pressurisée. 6
hapitre. robléatique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes 4 5 8 9 0 5 6 7 4 c 0 9 8 7 6 5 4 ordre d'enchaîneent des passes Figure. : Macrographie d'une soudure ultipasses en acier inoxydable austénitique. a coposition du étal d apport des soudures industrielles en acier 6 est détaillée dans le Tableau.. ar ailleurs, l étude porte sur des soudures réalisées par procédé anuel à l'électrode enrobée. Elles présentent une icrostructure texturée induite par la croissance des grains lors du procédé de soudage et de la solidification. En effet, les grains sont allongés (en fore de "cigare") selon un axe cristallographique <00>. Eléent r Ni Mo Mn Si S Teneur (%) 9.5..6 0.5 0.0 0.06 0.0 Tableau. : oposition du étal d'apport des soudures industrielles. lusieurs facteurs entrent en jeu lors de la croissance des grains : la direction du gradient therique et les phénoènes de croissance par épitaxie et de croissance sélective. a direction locale de croissance des grains aura tendance à suivre la direction du gradient therique local. e dernier est notaent influencé par la position de soudage (soudure à plat, verticale, plafond ) et par l'ordre d'enchaîneent des passes. e phénoène d'épitaxie signifie que les cristaux d'une passe qui vient d'être déposée vont adopter l'orientation des cristaux sur lesquels ils reposent. D'autre part, la croissance sélective iplique que les grains colonnaires dont l'axe cristallographique <00> coïncide le ieux avec la direction du gradient therique auront tendance à croître préférentielleent par rapport aux autres grains. En effet, la croissance des grains le long du gradient therique est plus rapide dans la direction de l'axe cristallographique <00>, et les grains dont l'orientation est défavorable finissent par disparaître [TOM 80]. es grains peuvent alors atteindre plusieurs illiètres de longueur. 7
hapitre. robléatique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes En conclusion, les soudures présentent à la fois un caractère anisotrope (croissance des grains selon une direction cristallographique privilégiée) et hétérogène (l orientation des grains varie d une zone à l autre de la soudure).... e contrôle non destructif par ultrasons... Généralités es éthodes de contrôle non destructif sont nobreuses. e contrôle par ultrasons est fréqueent utilisé car il présente de nobreux avantages : facilité de ise en œuvre, possibilité de travailler sur une seule face de la pièce à contrôler (pas besoin d'un accès à la deuxièe face), et capacité à traverser d'iportantes épaisseurs de atière en fonction de la fréquence de travail. De plus, l'existence de relations entre la propagation des ultrasons et les caractéristiques du atériau peret sa caractérisation. 'utilisation des ultrasons offre donc la possibilité, sans aucune détérioration, d'une part de caractériser des atériaux afin d'en connaître les propriétés élastiques, et d'autre part de contrôler des pièces pour vérifier leur intégrité et repérer d'éventuels défauts d'élaboration (inclusions, soufflures, défauts de collage ) ou d'endoageent dû aux sollicitations (fissures ). es ondes ultrasonores les plus couraent utilisées pour la caractérisation et le contrôle sont les ondes de volue longitudinales (ou de copression) et transversales (ou de cisailleent). Une onde longitudinale (resp. transversale) a la direction de vibration des particules (appelée polarisation) parallèle (resp. perpendiculaire) à sa direction de propagation (Figure.). a) Direction de propagation Vibration des particules b) Figure. : ropagation et polarisation des ondes longitudinales (a) et transversales (b). a propagation des ondes dépend directeent des propriétés élastiques du ilieu traversé. oe nous le verrons dans le paragraphe., la résolution de l équation de hristoffel donne les vitesses et les directions de polarisation des ondes pouvant se propager dans une direction donnée. Elles sont définies par leur direction de propagation n, leur nobre d'onde = ω V (ω : pulsation, V : vitesse de propagation), et leur vecteur de polarisation. 8
hapitre. robléatique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes Dans le cas général d'un ilieu anisotrope, on trouve trois ondes de vitesses différentes et de directions de polarisation perpendiculaires entre elles. 'une de ces ondes a sa direction de polarisation proche de sa direction de propagation : c'est l'onde quasi-longitudinale, notée. es deux autres sont des ondes dites quasi-transversales. 'une sera dite horizontale, et l'autre, verticale, par rapport au plan de propagation considéré, notées TH et TV respectiveent. a connaissance de ces éléents peret de prévoir la façon de se propager des ondes ultrasonores et donc de détecter d'éventuels défauts dans les pièces contrôlées. D'autre part, dans les atériaux anisotropes, il faut distinguer la vitesse de phase et la vitesse d'énergie (ou vitesse de groupe). En effet, ces deux vecteurs ne coïncident pas forcéent du fait de la déviation de l'énergie causée par l'anisotropie du atériau traversé (Figure.4). a vitesse de phase désigne la vitesse du front d'onde. e vecteur vitesse de phase est donc perpendiculaire au front d'onde. En revanche, la vitesse d'énergie représente la vitesse de propagation de l'énergie, dans la direction du flux d'énergie. es deux vitesses sont liés par la relation suivante : V = V cos, où est l'angle que forent les deux vecteurs. a phase énergie théorie fait en général intervenir la vitesse de phase dans les équations. Nous rentrerons plus en détail dans la théorie de la propagation dans les ilieux anisotropes dans le paragraphe.. vitesse d'énergie // flux d'énergie éetteur atériau anisotrope vitesse de phase front d'onde Figure.4 : Définition de la vitesse de phase et de la vitesse d'énergie. e phénoène de diffraction d'un faisceau d ultrasons est égaleent iportant à prendre en copte. En effet, les diensions finies de la source utilisée pour générer les ultrasons iplique un phénoène de diffraction (ou divergence) du chap ultrasonore éis. Dans le cas d'une source circulaire de diaètre D, l'ouverture du faisceau peut être calculée par le biais de la forule : sin δ =. λ D, où λ est la longueur d'onde. e faisceau sera donc plus ou oins ouvert selon la taille de la source, la fréquence de travail et le ilieu de propagation (Figure.5). On distingue alors deux zones de propagation : le chap proche, où le faisceau est droit et où l'aplitude oscille, et le chap lointain, où le faisceau est ouvert ais où l'aplitude décroît de façon onotone. a liite entre ces deux zones, appelée liite 9
hapitre. robléatique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes de chap proche, se situe à la distance D 4λ de la source. 'est une caractéristique très iportante en contrôle non destructif. source circulaire générant le faisceau ouverture du faisceau δ D Figure.5 : ropagation d'un faisceau éis par une source de diensions finies.... e contrôle des soudures austénitiques a propagation ultrasonore dans les ilieux anisotropes hétérogènes tels que les soudures étudiées est coplexe. 'orientation des grains peut varier de façon très iportante d'un point à l'autre de la soudure. Un faisceau traversant ce type de soudure pourra alors subir des déviations, des divisions, ainsi qu une forte atténuation par la icrostructure. es phénoènes dépendent directeent de la direction de propagation des ondes par rapport à l'orientation des grains. En effet, dans les atériaux anisotropes coe les soudures, la vitesse d'énergie subit une déviation par rapport à la vitesse de phase. ette déviation dépend de l'angle entre la direction de propagation et l'axe d'orientation des grains. a Figure.6 ontre l'angle de déviation de la vitesse d'énergie par rapport à la vitesse de phase, pour chaque ode de propagation :, TH et TV. es trois courbes sont tracées en fonction de l'angle entre la vitesse de phase et l'axe d'élongation des grains, pour du étal soudé austénitique [EDE 86]. a déviation des ondes ultrasonores en fonction de l'orientation des grains iplique une déforation du faisceau qui traverse une soudure austénitique. En effet, coe nous l avons vu précédeent, un faisceau d'ultrasons n'est pas parfaiteent cylindrique, ais il présente une certaine ouverture en fonction du diaètre du transducteur et de la distance au transducteur. Dans le cas des ondes longitudinales, pour des grains orientés à 0 par rapport à l'incidence des ondes, le faisceau aura tendance à forteent diverger (Figure.7, schéa de gauche), alors que pour des grains à 45, sa divergence sera la plus faible (Figure.7, schéa de droite). 0
hapitre. robléatique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes vitesse d'énergie vitesse de phase Figure.6 : Déviation théorique du faisceau en fonction de l'angle θ foré par le faisceau et l'orientation des grains dans du étal soudé austénitique [EDE 86]. 5 5 5 5 5 5 ϕ Angle du faisceau par rapport aux grains (ϕ ) 0 4 48 Angle de déviation 0 0 Divergence du faisceau Elevée Moyenne Faible Vitesse de propagation Faible Moyenne Elevée Figure.7 : Variations de la largeur du faisceau dues à l'effet de déviation [EDE 86]. Il est donc essentiel de bien connaître la structure de la soudure contrôlée afin de prévoir la propagation des ondes ultrasonores, et ainsi pouvoir localiser un éventuel défaut et estier sa taille.... Modélisation des soudures : approxiation en sous-doaines hoogènes es outils de siulation sont des outils essentiels perettant d aider à la copréhension de la propagation des ondes dans ce type de structure. Ils perettent par ailleurs de réaliser des études paraétriques et d'analyser l'influence de la configuration de contrôle (atériau
hapitre. robléatique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes insonifié, type et position d un défaut, type d'onde ) sur la propagation des ondes. a siulation est divisée en deux grandes étapes : la description de la soudure qui sera introduite dans le odèle, puis la siulation de la propagation ultrasonore dans cette soudure.... Description de la soudure Une précédente étude [HA 99, HA 00] a proposé un odèle de description de la icrostructure des soudures. a soudure est divisée en sous-doaines hoogènes orthotropes. e nobre de sous-doaines est fonction du degré d'hétérogénéité de la soudure. Dans chacun de ces doaines, une orientation particulière des grains (notée ω dans le tableau de la Figure.8.b) est déterinée par le biais de éthodes nuériques d'analyse d'iage à partir de la acrographie de la soudure étudiée (Figure.8.a). es valeurs des constantes d élasticité, liées au repère défini par la structure locale (angle ω), sont supposées invariantes d un sous-doaine à l autre. es sous-doaines sont donc sipleent désorientés les uns par rapport aux autres. a) b) c) d) Figure.8 : Exeple de icrostructure des soudures étudiées : (a) Macrographie (b) et (c) Description en sous-doaines hoogènes orthotropes (d) Siulation de la propagation. Une autre étude [MOY 0, AF 05b] a été réalisée, visant à siuler la icrostructure à partir des données caractéristiques du soudage ultipasses. e odèle développé, appelé MINA
hapitre. robléatique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes (Modelling anisotropy fro Noteboo of Arc welding), prend en copte deux types de paraètres : des paraètres propres au procédé de soudage : refusion entre passes, inclinaison des passes et paraètre traduisant les phénoènes de croissance sélective et de croissance par épitaxie ; des paraètres propres à la soudure spécifiqueent étudiée et susceptibles d être entionnés dans le cahier de soudage : géoétrie du chanfrein, diaètre des électrodes utilisées par le soudeur ainsi que le nobre et l'ordre d'enchaîneent des passes. Au final, la description obtenue est un aillage régulier de sous-doaines hoogènes orthotropes (Figure.8.c). e odèle peret d estier l orientation des grains et ainsi de s affranchir d une analyse étallographique.... Siulation de la propagation ultrasonore a description de la soudure est introduite dans le code ATHENA développé par EDF et l'inria. 'est un odèle D qui résout les équations de l'élastodynaique expriées en tere de contraintes et de vitesses particulaires par une éthode d'éléents finis. es éléents sont des carrés de côté égal à /5 de la longueur d'onde. ATHENA siule la propagation des ondes ultrasonores dans un plan de syétrie de atériaux hétérogènes anisotropes coplexes, en particulier dans les soudures étudiées [HA 0]. e code est basé sur l'hypothèse que le ilieu peut être décrit par un nobre fini de doaines hoogènes anisotropes. Il prend égaleent en copte les interactions entre le faisceau et des défauts pouvant avoir des géoétries coplexes. e odèle sera expliqué plus en détail dans le quatrièe chapitre. a siulation fournit une très bonne prédiction des déviations et des divisions du faisceau (Figure.8.d), ainsi que des teps de vol [HA 00]. En revanche, les aplitudes obtenues ne sont pas représentatives des aplitudes réelles pouvant être recueillies in situ [AF 05a, HA 04]. En effet, le odèle actuel siule les effets de divergence du faisceau et de diffusion aux frontières des différents doaines en raison des sauts de propriétés élastiques. ar contre, il ne prend pas en copte la diffusion aux joints des grains à l'intérieur de chaque doaine du atériau traversé.
hapitre. robléatique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes.. ropagation ultrasonore à travers un ilieu hoogène anisotrope a propagation des ondes élastiques dans les ilieux hoogènes élastiques est régie par l équation de hristoffel. Sa résolution donne accès, pour une direction de propagation donnée, à la vitesse et à la polarisation des trois odes susceptibles de se propager [AU 7, DIE 74].... Equation de hristoffel On considère un atériau hoogène élastique souis à une perturbation ultrasonore. Sous l'hypothèse d'un coporteent élastique linéaire, la relation entre le tenseur des contraintes T et le tenseur des déforations ε est donnée par la loi de Hooe : où T = ε (.) ij ijl sont les coposantes du tenseur d'ordre 4 des constantes d'élasticité du atériau. ijl es tenseurs des contraintes et des déforations étant syétriques, le tenseur d'élasticité est donc syétrique égaleent. l e tenseur des déforations s'exprie en fonction du vecteur de déplaceent u par : l = u xl ul x ε (.) D'autre part, ρ étant la asse voluique du ilieu souis à la perturbation, le principe fondaental de la dynaique conduit à : u T = i ij ρ (.) t x j a cobinaison de ces trois équations donne les équations de propagation pour les coposantes du déplaceent u : u ρ t i = ijl u j l x x (.4) a solution recherchée est classiqueent une onde plane progressive onochroatique de pulsation ω, et dont le chap de déplaceent, en un point défini par le vecteur position r à l'instant t, est de la fore : 4
hapitre. robléatique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes u ( r,t ) = A exp( j( ωt r )) (.5) où A est l'aplitude initiale de l'onde, (unitaire) sa polarisation et son vecteur d'onde : = ω n où n est le vecteur unitaire noral au plan d'onde et V est la vitesse de phase. V NB: a présence d'atténuation s'exprie dans la partie iaginaire du vecteur d'onde, en posant = j' = ω V j n, où est le coefficient d'atténuation (avec >0). a substitution de l'expression dans l'équation (.4) peret d aboutir au systèe d'équations de hristoffel : Γ u ρv u il l i = 0 (.6) où l'on a posé Γ = n n, appelé tenseur de hristoffel. 'est un tenseur d'ordre, il ijl j syétrique en raison des propriétés de syétrie du tenseur élastique. our un atériau de syétrie quelconque (i.e. avec constantes d'élasticité indépendantes), les expressions explicites des Γ s'écrivent : il Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ = n = n 66 = n 55 = n 6 = n 5 = n 56 = Γ, Γ 66 44 6 46 4 n = n n n Γ 55 45 5, 4 n n Γ n n n 44 n n n 6 = ( ) n n ( ) n n ( ) 66 4 56 46 5 ( ) n n ( ) n n ( ) 4 56 55 6 45 ( ) n n ( ) n n ( ) Γ 46 6 45 n n n n n n 5 5 46 5 n n n n n n 6 56 n n 4 4 45 n n n n 44 n n n n n n (.7) es solutions recherchées par la résolution du systèe d'équations sont les vitesses V et les polarisations associées à chacun des trois odes de propagation : longitudinal, transversal horizontal et transversal vertical. Elles s'obtiennent en cherchant les valeurs propres et les vecteurs propres du tenseur de hristoffel, qui sont respectiveent ρ V et u. es vecteurs de polarisation se calculent en noralisant les vecteurs de déplaceent u. 5
hapitre. robléatique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes... ourbes des lenteurs : généralités et exeples a résolution de l'équation, par la recherche des valeurs propres et vecteurs propres, peret de calculer, pour une direction donnée de propagation, les vitesses et les polarisations de chaque ode susceptible de se propager dans le atériau. Nous avons appliqué cette équation dans le cas de sous-doaines de soudure supposés hoogènes orthotropes. e calcul a été effectué pour chaque direction de propagation, définie par l'angle θ, dans différents plans de propagation contenant le vecteur x du repère ( x, x, x ), et repérés par l'angle φ (Figure.9). ela nous peret de tracer les courbes des lenteurs ( = n V ) de chacun de nos échantillons, et donc de ieux coprendre coent se propage une onde plane quelconque dans le atériau. x φ θ direction de propagation x plan de propagation x Figure.9 : Schéa des angles définissant la direction de propagation dans le atériau. Dans le cas de odes de propagation purs, chaque couple {vitesse ; polarisation} est classiqueent associé à un ode de la façon suivante : ode longitudinal : le vecteur de polarisation est colinéaire à la direction de propagation, ode transversal horizontal : le vecteur de polarisation est noral au plan de propagation, ode transversal vertical : il correspond au dernier vecteur de polarisation, noral aux deux autres, et qui est donc dans le plan de propagation. Un exeple de courbes de lenteurs avec la visualisation des directions de polarisation est donné sur la Figure.0. Elles ont été tracées dans un plan principal du atériau orthotrope. es odes propagés sont donc des odes purs. oe on peut le voir sur la figure, les ondes longitudinales sont les plus rapides (i.e. lenteurs les plus faibles). D'autre part, la direction de 6
hapitre. robléatique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes polarisation des ondes transversales horizontales est perpendiculaire au plan de la feuille. On peut égaleent rearquer que les trois courbes sont syétriques par rapport à x et à x. x x Figure.0 : ourbes des lenteurs (grains: 0, plan: 0) avec les directions de polarisation. En dehors des plans principaux, les odes générés ne sont pas purs. es trois odes de propagation sont dits quasi-longitudinal, quasi-transversal vertical et quasi-transversal horizontal. Il devient alors difficile de classer les odes transversaux en deux catégories, l'une verticale et l'autre horizontale. est pourquoi nous choisissons de caractériser les odes transversaux plutôt sur un critère de vitesse, en les attribuant à un ode transversal rapide et un ode transversal lent [AN 98]. D'autre part, on peut égaleent rearquer qu'en dehors des plans principaux, la syétrie des courbes des lenteurs par rapport à x disparaît (Figure.). x Figure. : ourbes des lenteurs (grains: 45, plan: 0) : absence de syétrie. 7
hapitre. robléatique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes... oefficients de transission en incidence quelconque Nous avons vu qu'un faisceau ultrasonore présente une certaine ouverture. Or coe nous l'expliquerons plus loin, nous avons choisi d'effectuer les esures expérientales en iersion et en transission sur des échantillons sous fore de laes à faces parallèles. e faisceau traversera alors une interface eau/solide et une interface solide/eau. a description coplète du faisceau et de sa propagation dans le solide nécessite la connaissance des coefficients de réflexion et de transission théoriques pour une incidence quelconque.... Equation et résolution 'équation de hristoffel est utilisée lorsque la direction de propagation dans le atériau est donnée. Dans le cas d'une onde plane arrivant à la surface d'un atériau, l'incidence dans l'eau est connue, et on cherche les directions de propagation dans le atériau de chaque ode transis, ainsi que leur vitesse et leur polarisation. our cela, on travaille sur une autre fore de l'équation de hristoffel [HOS 9] : Λ il u l ρω ui = 0 (.8) où ω est la pulsation, et où l'on a posé Λ il = ijl j. e tenseur Λ présente les êes propriétés que le tenseur de hristoffel Γ, et ses expressions explicites sont les êes que celles de Γ, en replaçant les n par. i i 'idée est de calculer la direction de propagation, la vitesse de propagation et la polarisation de chaque ode. es inconnues sont donc les coposantes des vecteurs d'onde pour avoir i les directions et les vitesses de propagation, et les coposantes des vecteurs de déplaceent u pour avoir les polarisations. Or les lois de Snell-Descartes établissent que les vecteurs i d'onde des ondes incidentes, réfléchies et réfractées dans le atériau sont contenus dans le êe plan, et que tous ces vecteurs adettent la êe projection sur l'interface (Figure.). es deux coposantes et du vecteur d'onde de chaque ode généré sont donc égales aux coposantes et de l'onde incidente. es solutions recherchées sont alors la coposante norale à l'interface du vecteur d'onde de chaque ode, ainsi que leur vecteur de déplaceent. 8
hapitre. robléatique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes interface T T D onde réfléchie réfl ondes transises onde incidente T T x inc liquide solide anisotrope Figure. : Incidence quelconque à une interface liquide/solide : loi de Snell-Descartes. On recherche dans un preier teps les inconnues. our cela, il faut résoudre l'équation suivante : où I est la atrice identité. det ( Λ ρω I ) = 0 (.9) 'annulation de ce déterinant donne un polynôe d'ordre 6 en (détails de calcul en Annexe). On obtient donc 6 solutions athéatiques pour, dont sont physiqueent adissibles. Nous verrons dans le paragraphe suivant coent sélectionner les solutions physiqueent adissibles. e vecteur de polarisation associé à chaque solution est ensuite déteriné en noralisant le vecteur v colinéaire au déplaceent, de coposantes v, v et v telles que : v v v = = = [( Π Π Π Π ) ( Π Π Π ) ] ( Π v Π v ) Π v (.0) où l'on a préalableent posé Π = Λ ρω I.... Déterination des trois solutions physiqueent adissibles es six solutions athéatiques obtenues par la résolution de l'équation vérifient toutes la loi de Snell-Descartes. 'est-à-dire qu'elles correspondent à des vecteurs d'onde dont la coposante parallèle à l'interface est égale à celle du vecteur d'onde de l onde incidente. es six vecteurs d'onde solutions ont donc leur extréité sur la droite D de la Figure.. 9
hapitre. robléatique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes onde réfléchie D onde incidente x eau solide Solutions athéatiques interface Figure. : Visualisation des six solutions athéatiques sur les courbes des lenteurs. as d'un solide orthotrope : Dans le cas orthotrope, du fait de la syétrie des courbes des lenteurs par rapport au plan de l'interface, les solutions sont opposées deux à deux. On retrouve cela analytiqueent : l'annulation du déterinant donne un polynôe du troisièe ordre en ( ). On devra donc choisir une solution dans chaque couple de solutions opposées. D'autre part, les solutions sont soit réelles soit iaginaires pures. es solutions réelles correspondent au régie souscritique d'un ode, pour lequel une onde de volue est propagée vers l'intérieur du atériau. es solutions iaginaires pures correspondent au régie hypercritique, pour lequel il existe des ondes dites hétérogènes qui se propagent parallèleent à la surface et dont l'aplitude décroît exponentielleent avec la profondeur [HOS 9]. ela se traduit graphiqueent par l absence d intersection entre la courbe des lenteurs d un ode et la droite D. es deux régies sont classiqueent définis à l'aide de l'angle critique de chaque ode, donné par : V = sin V liquide θ c (.) solide / od e On distingue donc les deux cas suivants : e couple de solutions est réel : a solution physiqueent adissible est sélectionnée à l'aide du vecteur de flux d'énergie E de chacune de ces solutions [ROK 86a, ROK 86b, RIB 9, AN 9]. e vecteur est en tout 0
hapitre. robléatique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes point noral à la surface des lenteurs, et sa coposante suivant x (direction de l'épaisseur du solide) doit être positive pour que l'onde propage de l'énergie dans le atériau (Figure.4.a). our une onde hétérogène, cette coposante sera nulle, ce qui signifie que l'onde ne propage pas d'énergie vers l'intérieur du atériau. a coposante suivant x de l énergie, que l on note E, peut s'écrire : ( ) = A ijl j l j l E ω (.) 4 où A est l'aplitude de l'onde, i la i èe coposante du vecteur de polarisation, la i èe i coposante du vecteur lenteur ( = ω ), et Z désigne le conjugué de la grandeur coplexe Z. Ainsi, une onde dont le vecteur d'onde est dirigé vers le liquide pourra quand êe être retenue coe solution si sa coposante E est positive, puisque cela signifie que le flux d'énergie est dirigé vers l'intérieur du solide (Figure.4.c). A l inverse, une onde dont le vecteur d onde est dirigé vers l intérieur du atériau ne sera pas systéatiqueent une solution adissible. e couple de solutions est iaginaire pur (Figure.4.b) : a solution physiqueent adissible pari les deux est la solution négative. Ainsi, l'onde correspondante, dite hétérogène, s'atténue exponentielleent dans la direction x de la profondeur du atériau [NAY 95]. Dans la plupart des cas, lorsque l'angle d'incidence augente, on passe du régie souscritique au régie hypercritique. Autreent dit, au-delà de l'angle critique, l'onde de volue n'existe plus et cède sa place à une onde hétérogène. Or dans certains cas, on note la "réapparition" d une onde de volue lorsque l'angle d'incidence augente êe après l'angle critique. e phénoène est illustré sur la Figure.4.c : l'angle critique de l'onde longitudinale est dépassé, donc il ne devrait rester que deux ondes de volue, ais on en observe une troisièe.
hapitre. robléatique du contrôle non destructif des soudures anisotropes hétérogènes En effet, pour une certaine plage angulaire d incidence, la courbe des lenteurs des ondes transversales lentes présente deux points d intersections avec la droite D. anceleur [AN 9] définit alors la notion d angle critique coe l angle pour lequel la direction de propagation de l énergie devient parallèle à l interface. D couple de solutions iaginaires pures D a) onde incidente dans l'eau b) c) D Vecteur de flux d'énergie Solutions physiqueent adissibles Solutions physiqueent non adissibles Figure.4 : Trois cas de choix des solutions physiqueent adissibles. as général : Dans le cas général, étant donné l absence de syétrie des courbes de lenteurs par rapport au plan de l interface eau/solide, les solutions athéatiques sont totaleent distinctes. D autre part, les solutions peuvent être coplexes avec partie réelle non nulle. En effet, le point d'une courbe des lenteurs pour lequel le flux d'énergie devient parallèle à l'interface ne se situe pas forcéent sur l'interface, ce qui signifie que la partie réelle de la coposante du vecteur d'onde suivant x n'est pas nulle. e critère de sélection des solutions reste coe précédeent la direction du vecteur de flux d énergie, ainsi que le signe de la partie iaginaire de pour les solutions coplexes. On retiendra que le choix des trois solutions physiqueent adissibles se base sur le flux d'énergie de chacune des six solutions. e flux d énergie doit être dirigé vers l'intérieur du atériau et le signe négatif de la partie iaginaire de. Ainsi, les ondes correspondant aux