Autour des nombres et des polynômes de Bernoulli

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1 Autour des nobres et des polynôes de Bernoulli Gaëtan Bisson d après un cours de Don Zagier Résué En athéatiques, les nobres de Bernoulli ont d abord été étudiés en cherchant à calculer les soes du type P kn où et n sont deux entiers positifs. Ils sont utilisés fréqueent en théorie des nobres ais apparaissent aussi dans bien d autres doaines des athéatiques. Don Zagier les a introduits dans le cours cours intitulé cours aux carrés qu il a donné à l École Norale Supérieure au preier seestre de l année scolaire pour ensuite parler des soes de Dedekind et de leurs lois de réciprocité. Table des atières Motivation 2 Définitions et propriétés éléentaires 3. Définitions Propriétés éléentaires Autres définitions La relation de distribution 7 2. Pour les polynôes de Bernoulli Pour les polynôes réduits de Bernoulli Applications diverses 9 3. Des soes de puissance d entiers Des nobres preiers Questions ouvertes De la fonction ζ de Rieann Forule d Euler MacLaurin Références 3 Index 4

2 Autour des nobres et des polynôes de Bernoulli 2/4 Motivation Sur l espace R [[x]] des séries forelles à coefficients dans R, on a l opérateur qui à une série forelle P (x) associe la série forelle : P (x) = P (x + ) P (x) On appelle l opérateur de pseudo-dérivation en raison des nobreuses analogies qui le relient à l opérateur de dérivation (que nous noterons ou x si l on veut préciser la variable). Il est intéressant d étudier l opérateur ϕ obtenu en coposant à droite par l inverse (à droite) de. On obtient alors l opérateur qui à une série forelle P (x) associe la série forelle : Z «Z x+ ϕp (x) = P (x) = P Proposition.. L opérateur ϕ, restreint à R [x], est un isoorphise préservant le degré. Soit P (x) un polynôe de R[x] et donnons-nous Q (x) sa priitive sans tere constant; alors ϕp (x) = Q (x + ) Q(x). En écrivant P (x) = P n α kx k on a Q (x) = P n ϕp (x) = n x α k k+ xk+ et : α k (x + ) k+ x k+ k + À la vue de cette expression, il est clair que ϕ est un endoorphise de R [x]. Et il est aussi clair que le degré de ϕp (x) est celui de P (x); cela iplique que ϕ est un isoorphise. L iage directe de la base canonique (x n ) n N par ϕ se calcule sans peine : c est la base. (x+) n+ x n+ n+ n N Ce n est pas aussi évident de trouver son iage réciproque ; notons donc B n (x) l unique polynôe (de degré n) tel que ϕb n (x) = x n ie. (B n (x)) n N est la base réciproque de (x n ) n N par ϕ. Pour étudier ces polynôes, on peut introduire leur série génératrice S = P B n(x) n= t n. n! On a alors : x n ϕs = n! tn = e tx n= t e t etx. Or, il est clair qu un antécédant de e tx par ϕ est Ainsi, on peut définir des quantités B n (x) coe étant les coefficients du développeent en série de la fonction t t e t etx. On pourra ensuite vérifier que ces quantités ont bien les propriétés attendues; en particulier, qu il s agit bien de l iage réciproque de la base canonique de R[x] par ϕ.

3 Autour des nobres et des polynôes de Bernoulli 3/4 Définitions et propriétés éléentaires. Définitions Définissons donc, coe suggéré plus haut, les polynôes de Bernoulli à partir de leur série génératrice : Définition... La suite des polynôes de Bernoulli, notée (B n (x)) n N, est l unique suite telle qu on ait le développeent en série : n= B n (x) t n = tetx n! e t Voici les preières valeurs des polynôes de Bernoulli que Lehonard Euler a obtenu en 738 [Eul38] : n B n (x) x 2 2 x 2 x x x2 + 2 x 4 x 4 2x 3 + x x x x3 6 x 6 x 6 3x x4 2 x Définissons aintenant les nobres de Bernoulli qui ne sont que les teres constants des polynôes de Bernoulli : Définition..2. On note B n = B n () le n-ièe nobre de Bernoulli. La suite des nobres de Bernoulli est donc l unique suite telle qu on ait le développeent en série : n= B n n! tn = t e t On peut calculer facileent les preières valeurs des nobres de Bernoulli : n B n L observation de ces valeurs otive cette proposition : Proposition..3. Pour n 2 et n ipair, B n = Cela ne fait que refléter le fait que la fonction t t + t est paire. On a en effet : e t 2 t e t + 2 t = 2 tet + e t Et le résultat découle du fait que t et + est ipaire : e t e t + e t = + t e t = e + e t e t

4 Autour des nobres et des polynôes de Bernoulli 4/4 Cette proposition rend les polynôes de Bernoulli explicites lorsqu on connaît les nobres de Bernoulli : Proposition..4. On a la relation suivante : B n (x) = n CnB k k x n k Il suffit de développer par rapport à x la série qui définit les polynôes de Bernoulli :!! te tx e t = t (tx) j B k (tx) j = e t j! k! tk j! j= Et, par définition, B n (x) est le coefficient de t n dans cette série double : B n (x) = k+j=n B k k!j! xj = j= n CnB k k x n k En particulier, le n-ièe polynôe de Bernoulli est un polynôe de degré n. B n (x) n = 4 n = n = 3 x n = 5 n = 2.2 Propriétés éléentaires Les preiers polynôes de Bernoulli Tout d abord, voici une propriété de pseudo-dérivation des polynôes de Bernoulli : Proposition.2.. On a, pour n : On écrit sipleent : n= B n (x) = B n (x + ) B n (x) = nx n B n (x + ) B n (x) t n = tet(x+) n! e t tetx e t = text = n= La proposition découle de l identification des coefficients des séries. x n (n )! tn L application directe de cette forule est le théorèe 3.. ; ais il y a aussi ce résultat :

5 Autour des nobres et des polynôes de Bernoulli 5/4 Corollaire.2.2. On a la forule de récurrence suivante : B n = n n + C k n+b k Pour cela, il suffit de spécialiser notre proposition en x = ; alors, on obtient B n+ () = B n+ () pour n. En utilisant alors la proposition..4, on a : n+ Cn+B k k = B n+, ou encore, n Cn+B k k = Et, en sortant le tere en B n de la soe, on a le corollaire. Notons que cette proposition nous peret d affirer, par récurrence, le fait que les nobres de Bernoulli sont rationnels et donc, par la proposition..4, que les polynôes de Bernoulli sont dans Q [x]. Proposition.2.3. On a la forule suivante : B n ( x) = ( ) n B n (x) Il suffit de faire la petite transforation suivante : B n ( x) t n = tet( x) n! e t = te tx e = B n (x) ( t) n t n! n= n= La proposition n est alors que l identification des coefficients des séries. En cobinant cette proposition avec la proposition.2., et en la spécialisant en x =, on retrouve la nullité des B n pour n 2 ipair. Déontrons encore deux égalités que nous utiliserons ensuite. Ce preier résultat a été obtenu en 882 par Paul Éile Appell [App82] : Proposition.2.4. On a, pour n : B n (x) = nb n (x) Pour cela, il suffit de dériver par rapport à x la série qui définit les polynôes de Bernoulli : xb n (x) t n te tx = x n! e t = t2 e tx e t = B n (x) (n )! tn n= n= La proposition n est alors que l identification des coefficients des séries. Proposition.2.5. On a, pour n : Z B n (t)dt = À l instar de la proposition précédente, on intègre pour x [; ] la série qui définit les polynôes de Bernoulli : n= R R Bn (x)dx t n = tetx dx n! e t = et e t = La proposition n est alors que l identification des coefficients des séries.

6 Autour des nobres et des polynôes de Bernoulli 6/4.3 Autres définitions Certaines des propriétés que nous avons établies perettent de donner d autres définitions pour les nobres et les polynôes de Bernoulli. Bien évideent, ces définitions sont toutes équivalentes. On peut définir la suite des nobres de Bernoulli par récurrence en utilisant le corollaire.2.2 (toutefois, il est clair que cette fore ne se prête que peu aux calculs) : Définition.3.. La suite des nobres de Bernoulli, notée (B n) n N, est la suite dont le preier tere est B = et qui vérifie la relation de récurrence : B n = n n + C k n+b k La proposition.2.4 caractérise par récurrence les polynôes de Bernoulli à une constante près. De plus, cette constante peut être déterinée par la proposition.2.5 : Définition.3.2. La suite des polynôes de Bernoulli, notée (B n (x)) n N, est la suite dont le preier tere est B (x) = et qui vérifie la relation de récurrence : B n (x) = nb n (x) et Z B n (t)dt = Rearquons qu on aurait pu replacer la condition R Bn (t) dt = par la condition B n () = B n () pour n. La définition qui suit est ce qui a otivé la définition initiale. Elle ontre les qualités que, dans la section, nous souhaitions voir attribuées aux polynôes de Bernoulli. C est la définition qui est de loin la plus naturelle. Définition.3.3. Le n-ièe polynôe de Bernoulli, noté B n (x), est l unique polynôe qui vérifie : Z y+ y B n (x)dx = y n Le fait que les polynôes de Bernoulli satisfassent cette relation est une conséquence directe de la proposition.2.. L unicité de ces polynôes a été déontrée dans la preuve de la proposition.. Bien entendu, on pourrait, à partir de ces définitions, redéontrer les résultats que nous avons obtenus précédeent.

7 Autour des nobres et des polynôes de Bernoulli 7/4 2 La relation de distribution 2. Pour les polynôes de Bernoulli Définition 2... On dit qu une fonction f de R dans R vérifie la relation de distribution pour l ordre n lorsque : «t + r f = f (t) n r= Ce résultat a été obtenu par Joseph Ludwig Raabe en 85 [Raa5] : Théorèe Le n-ièe polynôe de Bernoulli, B n, vérifie la relation de distribution pour l ordre n. Procédons par équivalences : n, r= n, r= «t + r B n = Bn (t) n «(x) n t + r B n = x n B n (t) En soant suivant les n, on a une égalité de séries équivalente à ce qui précède. On identifie la série qui définit B n (t) : r= r= t+r x xe e x = xext e x e xr e x = e x Et cette dernière égalité n est rien d autre que la soe d une série géoétrique. Cela prouve le théorèe. On peut aussi proposer une seconde déonstration tout aussi siple en partant de la définition.3.3 : Pour cela, il suffit de découper l intégrale de définition puis de faire un changeent de variable affine : n y n = n Z y = y n = Z y+ y y + n B n (x)dx = n B n t + k «dt Z y + k+ y + k Alors, l unicité des polynôes de Bernoulli peret de conclure. B n (x)dx

8 Autour des nobres et des polynôes de Bernoulli 8/4 2.2 Pour les polynôes réduits de Bernoulli Pour de nobreuses applications [a], il est intéressant de considérer, non pas les polynôes de Bernoulli, ais des fonctions périodiques définies à partir de ces polynôes. Coe nous avons vu qu en conséquence de la proposition.2., pour tout n 2, B n () = B n (), il est naturel de poser la définition : Définition Les polynôes réduits de Bernoulli, notés B n, sont définis pour n par : B n (x) = B n (x od ) Pour n =, cette définition n est pas satisfaisante en = x od ; la bonne définition est alors : j (x od ) x / Z B (x) = 2 x Z Dans ce qui précède, on a bien sûr noté x od = x x. On note très souvent B (x) = ((x)). Ainsi, la proposition.2. spécialisée en x = donne la continuité des B n pour n. Avant de ontrer la relation de distribution, ontrons ce résultat qui, en plus de nous failiariser avec les polynôes réduits de Bernoulli, nous sera très utile ensuite : Proposition On a, pour n et x / Z : B n (x) = nb n (x) La proposition.2.4 nous donne le résultat sur ];[ et, par périodicité, il s étend sur R \ Z. Rearquons que ce résultat est vrai sur tout R lorsque n 3. Théorèe Le n-ièe polynôe réduit de Bernoulli, B n, vérifie la relation de distribution pour l ordre n. Montrons cela coe une conséquence du résultat pour les polynôes de Bernoulli. Il s agit de ontrer : r= «t + r B n = x { t+r r {...}} B n (x) = Bn (t) n Coe n la fonction B n est -périodique, o on peut faire la soation dans le second ebre pour x t t +r r {... } ; alors, la valeur de B n en ces x est exacteent B n (x) et le résultat découle alors du précédent. [a] Notaent, des applications en analyse, que ce soit de l analyse de Fourier (cf. calcul des valeurs de la fonction ζ de Rieann en les entiers pairs à la partie 3.4) ou pour la forule d Euler-MacLaurin (cf. partie 3.5).

9 Autour des nobres et des polynôes de Bernoulli 9/4 3 Applications diverses Pour illustrer l iportance des nobres de Bernoulli, nous proposons quelques exeples qui ontrent leur présence dans des doaines très divers des athéatiques. 3. Des soes de puissance d entiers Coençons par la preière application historique : Théorèe 3.. (forule de Faulbaher). Si l on note Sn des preiers entiers (ie. Sn = P kn ), on a : la soe des puissance n-ièes S n = n + n Cn+B k k n+ k La proposition.2. nous donne une soe téléscopique : Sn = k n = B n+ (k + ) B n+ (k) n + = Bn+ () Bn+ () n + On applique alors la proposition..4 :! Sn = n+ Cn+B k k n+ k B n+ () n + Or on sait que B n+ = B n+ () ; cela donne la forule recherchée. 3.2 Des nobres preiers Ce résultat a été indépendaent obtenu en 84 par Karl Georg Christian von Staudt [vs4] et Thoas Clausen [Cla4] : Théorèe 3.2. (von Staudt Clausen). Notons P N l enseble des nobres preiers. On a n + A Z p p P,p n Pour la déonstration, nous aurons besoin de ceci : Définition Un nobre rationnel preier avec p. r s Q est dit p-entier si son dénoinateur est Nous pouvons supposer que n est pair ; p dénotera un nobre preier. Montrons par récurrence que pb n est p-entier. Ceci est clair pour n =. Si n 2, d après le théorèe 3.., on a : S p n = n Cn+ k n n + B kp n+ k = pb n + C k n p n k n k + pb k Z Il suffit donc de prouver que Cn k pn k pb n k+ k est p-entier pour k < n. Or, c est bien le cas de pb k par hypothèse de récurrence, ainsi que celui de pn k étant donné que n k+ n k+ pn k. Par ultiplicativité, on a bien le fait que pb n est p-entier. Montrons que si p n alors pb n = od p et que B n est p-entier sinon. Le théorèe 3.. donne, coe on sait que les pb k sont p-entiers, pb n = Sn p od p. Or, si g est un éléent priitif du groupe F p, on a : p Sn p = k n = k= p 2 g nk od p

10 Autour des nobres et des polynôes de Bernoulli /4 Ainsi, (g n )Sn p = g n(p ) = od p. Si p n, alors pb n = Sn p = P p k= = od p par le petit théorèe de Ferat, sinon, g n od p et ainsi pb n = Sn p od p =. Ce qui précède ontre que la quantité w = B n + P p n est q-entière quel que soit q p preier. En effet, si p P \ {q}, est q-entier. Soit q n et on a directeent le résultat ; soit p q n et alors on a pb n = od p ou encore B n = od, dans ce cas, le tere en p p s annule avec B n, et w est q-entier w est donc un nobre entier. Ce théorèe nous donne directeent : Corollaire Pour n pair, le dénoinateur de B n est le produit des nobres preiers p tels que p n. Il suffit d écrire : B n = w p C p = w Q Q p C\{q} Q p p C p p C p + P q C Où l on a noté C = {p P p n}. Coe le dénoinateur est non-nul odulo tout p C, cette écriture est la fraction réduite de B n. CQFD En particulier, pour n 3, le dénoinateur de B n est sans facteur carré et il est divisible par 6. Citons un résultat qui aéliore légèreent le théorèe précédent : Théorèe Le dénoinateur de Bn n tels que p n. Autreent dit, le dénoinateur de Bn n est Q p P,p n p+vp(n). 3.3 Questions ouvertes n est divisible que par les nobres preiers p Définition Un nobre preier, p, est dit irrégulier s il existe n {2... p 3} tel que p divise le nuérateur de B n et régulier sinon. En 95, Johan Jensen a déontré qu il y avait une infinité de nobres preiers irréguliers. On ne sait pas actuelleent s il existe une infinité de nobres preiers réguliers ; toutefois, il a été conjecturé : Conjecture La densité asyptotique dans P des nobres preiers réguliers est de e. Idée de la conjecture. Le théorèe nous donne coe ζ un équivalent de B 2n lorsque n tend vers l infini : B 2n ( ) n+ 2(2n)! (2π) 2n ` En particulier, B2n 2n tend vers l infini avec n. On peut donc penser que Bn n od p n {2...p 3} est asyptotiqueent équiréparti dans Z/pZ. La probabilité qu aucun éléent de cette faille ne soit est donc de qui, lorsque p tend vers l infini, tend vers e. p 3 2 ; ce p

11 Autour des nobres et des polynôes de Bernoulli /4 On relie autreent les nobres preiers aux nobres de Bernoulli : Conjecture (Agoh). p est preier si et seuleent si pb p = od p. Rearquons que le sens direct se déduit du théorèe 3.2. en le spécialisant en n = p. Seul le sens indirect pose problèe. Bernd Kellner, en 22 [Kel2], a ontré son équivalence avec : Conjecture (Giuja). p est preier si et seuleent si P p kp = od p. 3.4 De la fonction ζ de Rieann Définition On définit la fonction ζ de Rieann sur le dei-plan foré des nobres coplexes z ayant une partie réelle stricteent supérieure à par : ζ (z) = Les valeurs de la fonction ζ de Rieann en les entiers positifs pairs sont intieent liés aux nobres de Bernoulli ; coe l a ontré Leonhard Euler en 739 [Eul68] : Théorèe Pour p N, on a : ζ (2p) = k= k= k z k = ( ) p+ 2p (2π)2p 2 (2p)! B2p Posons, pour tout n, b B n (x) = B n ` x 2π de telle sorte que cette fonction est 2π-périodique. Montrons par récurrence sur n que son k-ièe coefficient de Fourier est : Tout d abord, on a facileent : c k = Z 2π bb (t)e ikt dt = 2π c n k = n! (2iπk) n Z Si n, on peut écrire : c n+ k = Z 2π bb n+ (t) e ikt dt = 2π x «e 2iπkx dx = 2 2iπk Z Et en faisant une intégration par partie, on trouve que : c n+ k = B n+ (x) e 2iπkx 2iπk Par récurrence, on a donc le résultat. Z B n+ (x)e 2iπkx dx (n + ) B n (x) e 2iπkx 2iπk dx = n + 2iπk cn k Si p, la fonction bb 2p est continue et de classe C par orceaux. Le théorèe de convergence norale affire alors que la série de Fourier converge noraleent sur R vers sa fonction ; en particulier, il y a convergence siple en x = : bb 2p () = c bb2p + k= `c2p k Ce qui se réécrit, connaissant les valeurs de c 2p k, en : D où le résultat. B 2p = b B 2p () = 2 ( ) p+ (2p)! + c2p k k= (2πk) 2p

12 Autour des nobres et des polynôes de Bernoulli 2/4 3.5 Forule d Euler MacLaurin Ce résultat a été indépendaent obtenu vers 735 par Leonhard Euler et Colin MacLaurin [Mac42] : Théorèe 3.5. (forule d Euler Maclaurin). Soit (a, b) Z 2 et soit f une fonction de classe C k+ sur l intervalle [a;b]. On a : a<b b f (n) Z b a f (t)dt = k r= ( ) r+ B r+ (r + )! où R = ( )k (k + )! f (r) (b) f (r) (a) + R Z b a B k+ (t)f (k+) (t)dt Montrons le cas k =. Soit n Z. On peut écrire : Z n f (t)dt = t n + «n Z n f (t) t n + «f (t) dt n 2 n n 2 = Z n 2 (f (n) + f (n )) B (t) f (t) dt Et on obtient la forule d Euler Maclaurin pour k = en soant cette expression pour n {a +, a + 2,..., b}. Faisons une récurrence pour ontrer le résultat pour tout k N. Supposons-le donc vrai pour k. Alors, faisons une intégration par partie sur R en utilisant la proposition : Z b a n B k (t)f (k) (t) dt = B b k+ (t) k + f(k) (t) + k + a Z b a B k+ (t) f (k+) (t)dt Et il suffit d utiliser le fait que B k+ (t) = B k+ quel que soit t Z pour replacer ceci dans la forule de récurrence et en déduire le résultat. Et on a la ajoration suivante : R 2 (2π) k Z n f (k+) (x) dx Pour obtenir ce résultat, il suffit de ajorer B n. Cela peut se faire en utilisant ses coefficients de Fourier.

13 Autour des nobres et des polynôes de Bernoulli 3/4 Références [App82] Paul É. Appell : Sur une classe de polynôes. Annales Scientifiques de l École Norale Supérieure (2), 9:9 44, 882. [Cla4] Thoas Clausen : Lehrsatz aus einer Abhandlung über die Bernoullischen Zahlen. Astronoische Nachrichten, 7:35 352, 84. [Eul38] Leonhard Euler : Methodus generalis suandi progressiones. Coentarii acadeiae scientiaru Petropolitanae, 6:68 97, 738. [Eul68] Leonhard Euler : Rearques sur un beau rapport entre les series des puissances tant directes que réciproques. Méoires de l acadeie des sciences de Berlin, 7:83 6, 768. [Kel2] Bernd C. Kellner : Über irreguläre Paare höherer Ordnungen. Matheatischen Institut der Georg August Universität zu Göttingen, 22. Diploarbeit (http: // bk/irrpairord.pdf). [Mac42] Colin MacLaurin : Treatise of Fluxions, page 672. Edinburgh, 742. [Raa5] Joseph L. Raabe : Zurückführung einiger Suen und bestiten Integrale auf die Jakob Bernoullische Function. Journal für die reine und angewandte Matheatik, 42: , 85. [vs4] Karl G. C. von Staudt : Beweis eines Lehrsatzes die Bernoullischen Zahlen betreffend. Journal für die reine und angewandte Matheatik, 2: , 84.

14 Index Agoh (Takashi) conjecture de, Appell (Paul Éile), 5 Bernoulli (Jakob) nobres de, 3, 6 polynôes de, 3, 6 polynôes réduits de, 8 Clausen (Thoas), 9 distribution relation de, 7 entier, voir p-entier Euler (Leonhard), 3,, 2 Euler MacLaurin forule de, 2 Faulbaher (Johann) forule de, 9 Guija (Giuseppe) conjecture de, irrégulier, voir nobre preier Jensen (Johan), Kellner (Bernd), MacLaurin (Colin), 2 nobre preier irrégulier, régulier, p-entier, 9 pseudo-dérivation (opérateur de), 2 Raabe (Joseph Ludwig), 7 régulier, voir nobre preier Rieann (Bernhard) fonction ζ de, von Staudt (Karl Georg Christian), 9 von Staudt Clausen théorèe de, 9 ζ fonction, voir Rieann (Bernhard) 4