Electromagnétisme et optique

Electromagnétisme et optique notes de cours. Version 0.2 Jean-Michel Courty 15 mars 2005

Première partie. Électromagnétisme des milieux 1

1. Les équations de Maxwell dans le vide Ce chapitre vise à donner une vision générale des équations de Maxwell afin d arriver le plus rapidement possible au coeur du cours : la propagation des ondes électromagnétiques et l optique. 1.1. Enoncé des équations Le socle de l électromagnétisme repose sur cinq équations : les quatre équations de Maxwell et l expression de la force de Lorentz. Ces équations sont (sous leur forme locale) L équation de Maxwell Gauss div E = ρ ε 0 (1.1) L équation de Maxwell flux magnétique div B = 0 (1.2) L équation de Maxwell Faraday rot E = B t (1.3) L équation de Maxwell Ampère La force de Lorentz rot B E = µ 0 j + µ 0 ε 0 t ( ) F L = q E + v B (1.4) (1.5) Ces équations portent le nom d équations de Maxwell dans le vide. Cette dénomination est trompeuse car ces équations sont valables tout le temps. Elles s appliquent en présence de charges et de courant c est à dire dans un vide qui contient de la matière. On les nomme ainsi par opposition aux équations de Maxwell dans les milieux que l on étudiera au second semestre. 3

4 1. Les équations de Maxwell 1.2. Charges, courants et champs Charge électrique Au niveau microscopique, les charges sont ponctuelles. Leur valeur est toujours un multiple entier de la charge élémentaire e 1.6 10 19 C. Tout système physique est une collection de charges individuelles ponctuelles (même en mécanique quantique). Toutefois pour un système macroscopique, le nombre est tellement grand que l on utilisera une description continue en terme de densité volumique de charge ρ. Il est important de pouvoir passer de la description en terme de charges discrètes à une représentation continue. Pour faire le lien entre les expressions concernant des distributions continues de charge et les distribution discrètes, on étudie ce qui se passe dans un volume V. Q = ρ ( r) d 3 r = q i (1.6) i V V On en déduit l expression de la densité moyenne en considérant un volume V assez petit pour que les charges y soient réparties de manière homogène Courant électrique ρ = 1 q i (1.7) V i V Le courant I qui traverse une surface S est le flux du vecteur densité de courant j : I = j ds. (1.8) S Une densité volumique de charge ρ animée d une vitesse v produit une densité de courant j égale à : j = ρ v. (1.9) La densité de courant d une distribution de charges ponctuelles q i animées chacune d une vitesse v i est j = 1 q i v i. (1.10) V Conservation de la charge électrique i V La charge électrique est une quantité qui se conserve. La variation temporelle de la charge située dans un volume V délimité par une surface fermée S est le courant électrique qui traverse cette surface : ( ) d ρd 3 r = j ds. dt (1.11) V Σ J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

1.3. Contenu physique des équations de Maxwell 5 La relation locale exprimant la conservation de la charge est : Champ électrique Champ magnétique Perméabilité magnétique du vide ρ t + div j = 0. (1.12) µ 0 = 4π 10 7 NA 2 (1.13) Il s agit d une valeur exacte qui résulte de la définition de l Ampère Permittivité electrique du vide ε 0 = 8.854187817... 10 12 F m 1 (1.14) Il s agit aussi d une valeur exacte depuis que le mètre est défini à partir de la vitesse de la lumière. 1.3. Contenu physique des équations de Maxwell Chacune de ces équations prises individuellement décrit un effet physique. La forme intégrale des équations de Maxwell permet de reconnaitre facilement cet effet. Equation de Maxwell Gauss div E = ρ ε 0 (1.15) Sous forme intégrale on reconnait le théorème de Gauss : E ds = Q, (1.16) ε 0 Σ Q = ρ dτ. (1.17) Cette équation, est la même qu en électrostatique. Elle exprime la manière dont les charges électriques sont à l origine du champ électrique. Maxwell flux magnétique V div B = 0 Par analogie avec l équation précédente on déduit que cette équation exprime qu il n existe pas de charge magnétique : B ds = 0. (1.18) Σ Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

6 1. Les équations de Maxwell Maxwell Ampère rot B E = µ 0 j + µ 0 ε 0 t Sous forme intégrale il s agit du théorème d Ampère. C (1.19) B d E l = µ 0 I + µ 0 ε 0 t d S (1.20) Σ I = j ds (1.21) Σ Lorsque le champ électrique est stationnaire, il n y a que le terme µ 0 I et on reconnait le théorème d Ampère de la magnétostatique. Dans le cas général, le second terme est appelé courant de déplacement. Cette équation exprime la manière dont un courant électrique est à l origine d un champ magnétique. On remarquera qu un champ électrique dépendant du temps crée lui aussi un champ magnétique. Maxwell Faraday rot E = B t Cette équation décrit le phénomène d induction : un champ magnétique variable est à l origine d un champ électrique. Ce champ est dénommé champ électromoteur : E d l = dφ C dt, Φ = B ds. 1.4. Propriétés et conséquences des équations de Maxwell Le théorème de superposition Les équations de Maxwell sont des équations linéraires en E, B, ρ et j. Cohérence des équations Si jusqu à présent, les équations de Maxwell ont été séparément, chacune a permis de rendre compte d un effet physique : la création d un champ électrique par les charges électriques, l absence de charge magnétique, la création d un champ magnétique par un courant électrique et le phénomène d induction. Le génie de Maxwell a été de comprendre qu il s agit d un tout et que ces équations doivent être considérées comme un ensemble. Σ J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

1.4. Propriétés et conséquences des équations de Maxwell 7 Prises ensembles plutôt qu individuellement, ces équations contiennent beaucoup plus que ces phénomènes. L exemple le plus simple s obtient en combinant Maxwell Ampère et Maxwell Gauss : on écrit Maxwell Ampère rot B E = µ 0 j + µ 0 ε 0 (1.22) t on prend la divergence ( ) div rot B dive = µ 0 div j + µ 0 ε 0 t (1.23) le premier terme est nul car la divergence d un rotationnel est nulle. Le troisième terme peut se réécrire gràce à Maxwell Gauss. Au final : div j + ρ t = 0 (1.24) On obtient l équation qui rend compte de la conservation de la charge. Ainsi, cette propriété n est pas à ajouter, elle est déjà contenue dans les équations de Maxwell. Existence d ondes électromagnétiques En électrostatique, le champ électrique est dû à la présence de charges électriques : sans charge électrique, pas de champ électrique. En magnétostatique le champ magnétique est dû à la présence de courants électriques : sans courant électrique, pas de champ magnétique. Lorsque l on étudie des situations dynamiques où les différentes grandeurs dépendent du temps, on peut écrire Maxwell Faraday rot E = B t (1.25) Si le champ magnétique dépend du temps on peut avoir un champ électrique avec une densité de charge électrique ρ nulle. Il suffit qu il y ait un courant électrique : j dépend de t B dépend de t E dépend de t. On peut encore avoir plus et imaginer l existence d un champ électrique et d un champ magnétique en l absence de charge et de courant. Maxwell Faraday dit que B qui dépend du temps crée E (qui dépend donc aussi du temps) Et Maxwell Ampère dit que E qui dépend du temps crée B. Le champ électromagnétique acquièrt une existence autonome par rapport aux charges. Il est bien sûr nécessaire d avoir initialement des charges et des courants pour créer une onde électromagnétique, mais dès que celle ci est émise, son existence ne dépend plus de ces charges et courants. Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

8 1. Les équations de Maxwell J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

2. Propagation des ondes électromagnétiques dans le vide Dans tout ce chapitre, on se place en l absence de charges et de courants. 2.1. Equation de propagation du champ électrique Les équations de Maxwell couplent l évolution du champ électrique et du champ magnétique. En les combinant on peut obtenir une équation d évolution pour le champ électrique seul. Prenons la dérivée temporelle de Maxwell-Ampère : µ 0 ε 0 2 E t 2 = rot B t. (2.1) Exprimons la dérivée temporelle de B à l aide de Maxwell-Faraday µ 0 ε 0 2 E t 2 ( ) ( = rot rot E = grad (div E ) E ). (2.2) Enfin Maxwell Gauss nous dit qu en l absence de charge la divergence du champ électrique est nulle. L équation d évolution du champ électrique est une équation de d Alembert qui décrit la propagation d ondes : 2.2. La propagation d ondes scalaires 2.2.1. Propagation à une dimension E 2 E µ 0 ε 0 = 0. (2.3) t2 L équation de propagtion à une dimension d un champ scalaire ϕ est Les solutions de cette équation sont 2 ϕ z 2 1 2 ϕ c 2 = 0. (2.4) t2 ϕ (z, t) = f (z ct) + g (z + ct). (2.5) 9

10 2. Propagation des ondes électromagnétiques Une méthode de résolution qui permet de s assurer que l on a bien toutes les solutions consiste à effectuer le changement de variables suivant La fonction ψ vérifie alors l équation 2.2.2. Description des solutions ψ (u, v) = ϕ (z, t), (2.6) u = z ct, (2.7) v = z + ct. (2.8) 2 ψ u v = 0 (2.9) La solution f correspond à une onde qui se propage sans se déformer vers les z croissants. La solution g est une onde qui se propage vers les z décroissants. 2.2.3. Propagation à trois dimensions A trois dimensions les solutions sont beaucoup plus compliquées qu à une dimension. En particulier, il n est pas possible de simplifier le problème à l aide d un changement de variables. On peut toutefois trouver des solutions particulières qui vérifient certaines propriétés de symétrie. Ondes planes progressives z Le champ ne dépend que d une coordonnée. Il peut s agir d un axe, par exemple l axe Φ (x, y, z, t) = ϕ (z, t), (2.10) ou bien d un axe quelconque de vecteur unitaire u Φ (x, y, z, t) = ϕ ( u r, t). (2.11) Le champ Φ est constant sur des plans orthogonaux à la direction de propagation u. Le champ ϕ (z, t) vérifie l équation de propagation à une dimension dont nous connaissons toutes les solutions. Si l on choisit de ne conserver que les solutions qui vont dans la direction et le sens du vecteur unitaire u, les solutions en onde plane s écrivent Φ (x, y, z, t) = f ( u r ct). (2.12) Ondes sphériques Le champ ne dépend que de la distance r du point considéré avec l origine Φ ( r, t) = ψ (r, t). (2.13) J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

2.3. Ondes électromagnétiques planes progressives 11 Pour une fonction qui ne dépend que de r le laplacien a une forme relativement simple : Φ ( r, t) = 1 r La fonction ψ verifie l équation d évolution suivante 2 (rψ (r, t)). (2.14) r2 2 r 2 (rψ) 1 2 c 2 (rψ) = 0. (2.15) t2 Par conséquent la fonction rψ vérifie l équation de d Alembert à une dimension dont nous connaissons les solutions. Nous en déduisons la solution en ondes sphériques : ψ (r, t) = f (r ct) r + g (r ct). (2.16) r Le premier terme (fonction f ) corrspond à une onde qui s éloigne de l origine. Cette onde est appelée onde sortante. Le second correspond à une onde qui converge vers l origine, il s agit d une onde entrante. Solutions stationnaires Le théorème de superposition permet de construire une nouvelle solution comme combinaison linéaire de deux solutions. L espace des solutions est ainsi un espace vectoriel. Pour le connaitre, il suffit en fait de connaitre une base. Diverses méthodes permettent de trouver de telles bases. Celles ci reposent sur l utilisation de la transformée de Fourier ou plus généralement de l analyse harmonique. Il s agit de trouver les solutions stationnaires. 2.3. Ondes électromagnétiques planes progressives Retour sur la propagation du champ électrique Les ondes électromagnétiques se propagent dans le vide avec la célérité c : c = 1 µ0 ε 0. (2.17) = 299 792 458 m s 1 (2.18) Il s agit d une valeur exacte depuis la définition du mètre adoptée en 1983. La valeur de la perméabilité magnétique du vide µ 0 est aussi une valeur exacte car elle repose sur la définition de l Ampère. Par conséquent, la valeur de la permittivité électrique du vide ε 0 est elle aussi exacte. Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

12 2. Propagation des ondes électromagnétiques Les solutions en onde plane Chacune des composantes du champ électrique et du champ magnétique vérifie l équation de d Alembert. Intéressons nous aux solutions particulières pour lesquelles toutes ces composantes sont des ondes planes progressives se dirigeant selon la direction et le sens d un vecteur unitaire u : E ( r, t) = e ( u r ct), (2.19) B ( r, t) = b ( u r ct). (2.20) Ce champ électromagnétique est solution de l équation de d Alembert. C est une condition nécessaire pour être solution de l équation de Maxwell, mais cette condition n est pas suffisante. Il nous faut maintenant revenir aux équations de Maxwell pour finir le travail. Pour des ondes planes progressives, la dérivée temporelle, la divergence et le rotationnel prennent des formes particulièrent simples : t E ( r, t) = c e ( u r ct), (2.21) div E ( r, t) = u e ( u r ct), (2.22) rot E ( r, t) = u e ( u r ct), (2.23) t B ( r, t) = c b ( u r ct), (2.24) div B ( r, t) = u b ( u r ct), (2.25) rot E ( r, t) = u b ( u r ct) (2.26) Dans les intégrations, nous considérerons que les constantes d intégration qui interviennent sont nulles (elles correspondent à un champ statique uniforme dans tout l espace) div E = 0 u e = 0 u E = 0 div B = 0 u b = 0 u B = 0 rot E = B t u e = c b u E = c B rot B = 1 E c 2 t u b = 1 c e u B = 1 c E (2.27) Nous pouvons donc récapituler les propriétés du champ électrique et du champ magnétique pour une onde plane progressive. ` Attention, les remarques qui suivent ne sont valables que pour des ondes planes progressives. Le champ électrique et la champ magnétique sont orthogonaux à la direction de propagation. On dit que ce sont des champs transverses Le champ électrique ( et le champ magnétique sont orthogonaux entre eux. Le trièdre u, E, B ) formé de la direction de propagation, du champ électrique et du champ magnétioque est un trièdre direct. Le module du champ électrique est c fois plus grand que celui du champ magnétique J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

2.4. Onde électromagnétique plane progressive monochromatique polarisée linéairement 13 2.4. Onde électromagnétique plane progressive monochromatique polarisée linéairement 2.4.1. Structure du champ électrique Pour discuter précisément de la structure du champ électrique et du champ magnétique on considère une onde qui se propage dans la direction Oz vers les z croissants et dont le champ électrique est aligné selon Ox. ( ω E = E 0 cos 0) c (z ct) + ϕ u x = E 0 cos (kz ωt + ϕ 0 ) u x (2.28) Il s agit d un onde monochromatique dont la pulsation est ω. L évolution du champ électrique est périodique de période T. T = 2π ω (2.29) La dépendance spatiale est harmonique, elle est caractérisée par le nombre d onde k. k = ω (2.30) c A un instant donné, la distribution du champ électrique est spatialement périodique. La période spatiale est la longueur d onde λ. λ = 2π k (2.31) L onde plane se propage à la célérité c sans se déformer. Le champ électrique redevient égal à sa valeur initiale - aprés s etre propagé sur une distance égale à la longueur d onde λ - au bout d une période temporelle T. C est à dire après s etre paropagé de ct. On en déduit la relation entre longueur d onde et période spatiale λ = ct (2.32) En un point donnée le champ électrique oscille selon un segment de droite parallèle à u x. On dira que l onde est polarisée linéairement selon l axe Ox. Plus généralement, on appelle polarisation l évolution de la direction du champ électrique en fonction du temps en un point donné de l espace. Pour une onde électromagnétique plane monochromatique polarisée linéairement, le champ électrique s écrit : ( ) E = E 0 cos k z ωt + ϕ0 u (2.33) Le vecteur k est le vecteur d onde, il définit la direction de propagation de l onde. Le vecteur u est un vecteur unitaire orthogonal à la direction de propagation, il définit la direction du champ électrique c est à dire la polarisation de l onde. Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

14 2. Propagation des ondes électromagnétiques 2.4.2. Champ magnétique Le champ magnétique se déduit de l équation de Maxwell Faraday x y z rot E = B t E 0 cos (kx ωt + ϕ 0 ) 0 0 = 0 ke 0 sin (kx ωt + ϕ 0 ) 0 (2.34) (2.35) B = k ω E 0 cos (kx ωt + ϕ 0 ) u y (2.36) J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

3. Ondes monochromatiques 3.1. Ondes monochromatiques et notation complexe 3.1.1. Pourquoi s intéresser aux ondes monochromatiques? Ce sont les multiples conséquences du fait que les équations de Maxwell sont des équations linéaires. Les modes propres du champ électromagnétique ont un évolution sinusoïdale. La réponse du champ électromagnétique à une excitation sinusoidale est elle même sinusoidale. L utilisation combinée de la transformation de Fourier et du théorème de superposition permet de décomposer toute onde électromagnétique en composantes de Fourier qui correspondent à des ondes monochromatiques. 3.1.2. La notation complexe Toute grandeur sinusoidale A (t) peut s écrire sous la forme A (t) = A 0 cos (ϕ 0 ωt) (3.1) A 0 est l amplitude de la grandeur A et ϕ 0 sa phase. On associe à la grandeur physique A (t) une grandeur complexe A (t) définie par A (t) = A 0 e i(ϕ 0 ωt). (3.2) La grandeur physique A (t) est la partie réelle de la grandeur complexe A (t) On défini l amplitude complexe A 0 comme : A (t) = R (A (t)). (3.3) A 0 = A 0 e iϕ 0 (3.4) de sorte que A (t) = A 0 e iωt. (3.5) Remarque 1 On dispose de deux choix pour définir la notation complexe car un cosinus est la somme de deux exponentielles conjuguées. On rencontre en pratique les deux choix possibles. 15

16 3. Ondes monochromatiques La convention dépend des traditions du domaine étudié. En électricité il est de coutume d écrire A (t) = A 0 e iωt. (3.6) En électromagnétisme on préfère souvent C est ce choix qui sera fait dans toute la suite du cours. A (t) = A 0 e iωt. (3.7) Remarque 2 Il est important de toujours se rappeler que la notation complexe est une convention. Pour éviter toute confusion, chaque fois que l on utilise la notation complexe on écrira le passage complexe réel et réel complexe. A (t) = A 0 cos (ϕ 0 ωt) (3.8) A (t) = A 0 e i(ϕ 0 ωt) (3.9) La notion d amplitude complexe est extrémement utile, que ce soit d un point de vue pratique pour calculer ou d un point de vue plus conceptuel pour comprendre les phénomènes. Toutefois, il est essentiel de ne pas oublier que les quantités physiques sont des grandeurs réelles. Remarque 3 Il n est pas toujours possible d utiliser des lettres calligraphiques, par exemple quand on a des quantités décrites par des minuscules. On utilise alors souvent la notation suivante : a (t) = a 0 e i(ϕ 0 ωt) (3.10) a 0 = a 0 e iϕ 0 (3.11) ( ) a (t) = R a (t) (3.12) Remarque 4 Pour une onde monochromatique, il est possible d écrire l amplitude complexe en fonction de l amplitude réelle de la manière suivante : ( A (t) = A (t) + ia t + T ). (3.13) 4 Par consequent, si la fonction A (t) est solution d une équation d évolution linéaire indépendante du temps, l amplitude complexe A (t) le sera aussi. J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

3.2. Onde électromagnétique monochromatique 17 3.2. Onde électromagnétique monochromatique Onde scalaire, onde vectorielle L amplitude d une onde monochromatique scalaire s écrit ce qui correspond à la grandeur réelle A ( r, t) = R ( A ( r) e iωt) (3.14) A ( r, t) = A 0 ( r) cos (ϕ 0 ( r) ωt) A 0 ( r) est l amplitude de l onde au point r et ϕ 0 ( r) la phase de l onde au point r. Les surfaces ϕ 0 ( r) = cste sont appelées surfaces d onde. Lorsque ce sont des plans, on parle d onde plane, lorsque ce sont des sphères, d onde sphérique. Pour un champ vectoriel comme le champ électrique, chacune des composantes peut s écrire sous cette forme. Cela donne l écriture compacte E ( r, t) = R ( E ( r) e iωt ). (3.15) Attention à ne pas se laisser emporter par la simplicité de cette écriture. Le champ réel s écrit E x ( r, t) = E 0x ( r) cos (ϕ x ( r) ωt) (3.16) E y ( r, t) = E 0y ( r) cos (ϕ y ( r) ωt) (3.17) E z ( r, t) = E 0z ( r) cos (ϕ z ( r) ωt) (3.18) Les phases ϕ x ( r), ϕ y ( r) et ϕ z ( r) sont a priori différentes. C est seulement lorsque ces phases sont égales que l on peut écrire le champ électrique sous la forme suivante : E ( r, t) = E 0 ( r, t) cos (ϕ 0 ( r) ωt). (3.19) Dans cette situation, la polarisation du champ électromagnétique est linéaire en chaque point de l espace. Equation d onde Pour une onde monochromatique A ( r, t), la dérivée temporelle est : Par conséquent l équation de propagation devient 2 t 2 A ( r, t) = ω2 A ( r, t) (3.20) A ( r) + ω2 A ( r) = 0 (3.21) c2 Cette équation porte le nom d équation de Dirichlet. On la retrouve en physique sous de très nombreuses formes lorsque l on s intéresse aux solutions stationnaires : équation de la chaleur (transfert thermique, diffusion), équation de Schrödinger. Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

18 3. Ondes monochromatiques Ondes planes progressives monochromatiques On peut enfin s intéresser aux ondes planes progressives monochromatiques de la forme A ( r, t) = A 0 e i( k r ωt+ϕ 0) (3.22) = A 0 exp i (k x x + k y y + k z z ωt + ϕ 0 ). (3.23) Les dérivées partielles selon les composantes cartésiennes sont : x A ( r, t) = ik xa ( r, t), (3.24) y A ( r, t) = ik ya ( r, t), (3.25) z A ( r, t) = ik za ( r, t). (3.26) Par conséquent, l opérateur différentiel en coordonnées cartésiennes est particulièrement simple i k. (3.27) Attention, cette relation n est vraie que pour des ondes planes progressives monochromatiques. Les différents opérateurs s écrivent alors : A ( r, t) = iω A ( r, t) (3.28) t grad A ( r, t) = i k A ( r, t), (3.29) div E ( r, t) = i k E ( r, t), (3.30) rot E ( r, t) = i k E ( r, t). (3.31) Lorsqu on les appliquent à des ondes planes progessives monochromatiques, les équations de Maxwell deviennent i k E = ρ ε 0, (3.32) i k B = 0, (3.33) i k E = iω B, (3.34) i k B = µ 0 j i ω c 2 E. (3.35) En combinant ces équations prises en l absence de charge et de courant, on retrouve la relation entre ω et k i ( k i k E ) = i ( k iωb ), (3.36) soit ω 2 c 2 E = i ( k i k E ) ( i k i k) E = 2 k E (3.37) J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

3.3. Décomposition d une onde en ondes monochromatiques 19 Soit ω = k c. (3.38) On retrouve par ailleurs les relations que nous avions déjà établies dans le cas des ondes planes progressives (mais pas nécessairement monochromatiques) dans le vide : i k E = 0, i k B = 0, B = 1 k c k E, E = c k k B. 3.3. Décomposition d une onde en ondes monochromatiques 3.3.1. Série de Fourier Toute fonction f (t) réelle, périodique de période T = 2π/ω peut s écrire comme somme de fonctions sinusoïdales de période T/n où n est un entier : avec f (t) = a 0 2 + [a n cos (nωt) + b n sin (nωt)] (3.39) n=1 = a 0 2 + a n cos (nωt + φ n ) (3.40) n=1 a n = 2 T b n = 2 T T/2 T/2 T/2 T/2 f (t) cos (nωt) dt, (3.41) f (t) sin (nωt) dt. (3.42) a 0 2 est la valeur moyenne de f sur une période. Les termes en ωt constituent la composante fondamentale tandis que les autres termes sont les harmoniques. L ensemble des (a n, b n ) pour tous les n est appelé spectre de f. On parle ainsi de décomposition spéctrale de f. En notation complexe on a ( ) f (t) = R A n e inωt (3.43) 3.3.2. Transformation de Fourier n=0 La théorie mathématique nécessaire pour travailler sans ambiguité avec la transformée de Fourier est la théorie des distributions. On utilisera un bon nombre de résultats sans donner trop de précision, mais en cas de doute sur le résultat d un calcul, il est trés fortement conseillé d aller voir dans les ouvrages de mathématiques. De même que pour la notation complexe, il y a plusieur conventions pour la définition de la transformée de Fourier. Nous utiliserons la suivante : la transformée de Fourier Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

20 3. Ondes monochromatiques d une fonction f (t) sera notée f [ω]. La fonction f (t) et sa transformée de Fourier sont reliées par les relations suivantes f (t) = f [ω] = + + dω 2π f [ω] e iωt, (3.44) dt f (t) e iωt. (3.45) Pour une fonction qui dépend de l espace, on défini la transformée de Fourier spatiale par g ( r) = [ ] g k = + + d 3 k [ ] (2π) 3 g k e i k r, (3.46) d 3 r g ( r) e i k r. (3.47) On remarquera que la convention de signe dans l exponentielle est opposée à celle qui a été choisie pour le temps cela provient de la décomposition d une onde en onde planes Remarque f (z ct) = = = 1 c + + + dk 2π f [k] eik(z ct), (3.48) dk 2π f [k] eikz iωt (3.49) ] e ikz iωt (3.50) dω 2π f [ ω c Voici les autres conventions qui sont aussi utilisées. Si l on souhaite mettre en évidence la réciprocité entre transformée de Fourier et transformée de Fourier inverse f (t) = f [ω] = 1 + dω f [ω] e iωt, (3.51) 2π 1 + dt f (t) e iωt. (3.52) 2π Si l on souhaite mettre en avant la fréquence plutot que la pulsation f (t) = f [ν] = + + dν f [ν] e 2πiνt, (3.53) dt f (t) e 2πiνt. (3.54) 3.4. Les différents types d ondes électromagnétiques Les frontières qui sont données ici sont des frontières floues. J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

3.4. Les différents types d ondes électromagnétiques 21 Ondes radio et microondes Ce sont les ondes électromagnétiques dont la longueur d onde est plus grande que le milimètre. Il s agit des ondes radio pour les longueurs d onde supérieures au décimètre et les microondes pour les longueurs d onde entre le millimètre et le décimètre. Gamme d ondes λ (vide) fréquence millimétriques 1 mm à 10 mm 30 GHz à 300 GHz centimétriques 1 cm à 10 cm 3 GHz à 30 GHz ou hyperfréquences décimétiques 1 dm à 10 dm 300 MHz à 3 GHz métriques 1 m à 10 m 30 MHz à 300 MHz décamétriques 10 m à 100 m 3MHz à 30 MHz ou ondes courtes hectométriques 100 m à 1000 m 300 KHz à 3 MHz ou ondes moyennes kilométriques 1 km à 10 km 30 KHz à 300 KHz ou grandes ondes myriamétriques 10 km à 30 km 10 KHz à 30 KHz Le four à microondes est un sous produit du radar. Les microondes utilisées ont une fréquence de 2,54 GHz. Elles sont résonantes avec une fréquence de transition de la molécule d eau. Ondes millimétriques 1 mm à 10 mm, 30 GHz à 300 GHz. ehf : extra hautes fréquences. Ondes centimétriques ou hyperfréquences 1 cm à 10 cm, 3 GHz à 30 GHz. shf : super hautes fréquences. Satellites de télécommunication. Ondes décimétriques 1 dm à 10 dm, 300 MHz à 3 GHz. uhf : ultra hautes fréquences Télévision, radars, téléphone gsm (Bande 900MHz et 1800 MHz). Ondes métriques 1 m à 10 m, 30 MHz à 300 MHz. thf : très hautes fréquences ou vhf : very high frequencies Télévision et radio en modulation de fréquence, communications de la police et de l armée. Ondes décamétriques ou courtes 10 m à 100 m, 3 MHz à 30 MHz. hf : hautes fréquences. cb et radio à grande portée. Ondes hectométriques ou moyennes mf : moyennes fréquences. Radio. 100 m à 1000 m, 300 KHz à 3 MHz. Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

22 3. Ondes monochromatiques Ondes kilométriques ou grandes ondes bf : basses fréquences. Radio. 1 km à 10 km, 30 KHz à 300 KHz Infrarouge L infrarouge s étend entre les microondes et le visible. L infrarouge est trés souvent associé au rayonnement thermique. C est en effet dans cette gamme que les corps à température ambiante rayonnent. On distingue trois types de rayonnement infrarouge : Gamme d ondes λ (vide) gamme de température infrarouge proche 0.7µm à 5µm 740 K à 3000 K infrarouge moyen 5µm à 30 µm 100 K - 740 K infrarouge lointain 30 µm à 200 µm 10K à 100K En astronomie, l infrarouge permet d observer des objets trop froids pour rayonner dans le visible. Infrarouge proche Rayonnement des géantes rouges et des étoiles rouges froides. Infrarouge moyen Planètes comètes et astéroides. Poussières chauffées par les étoiles. Caméras thermiques : détection de pannes, analyse des pertes thermiques. Infrarouge lointain Emission de poussières froides. Régions centrales des galaxies Visible Longueurs d onde comprises entre 380 nm et 770 nm violet 400 nm 450 nm bleu 450 nm 520 nm vert 520 nm 560 nm jaune 560 nm 600 nm orange 600 nm 630 nm rouge 630 nm 750 nm Ultraviolet Longueurs d onde inférieure à celles de la lumière visible. ultraviolet proche 300 nm à 400 nm UVA (400-315 nm) ultraviolet moyen 200 à 300 nm UVB (315-280 nm) UVC (280-185 nm) ultraviolet lointain 90 à 200 nm J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

3.4. Les différents types d ondes électromagnétiques 23 Ultraviolet proche UVA : Coup de soleil retardé, pigmentation instantanée, fluorescence. Ultraviolet moyen UVB : Coup de soleil précoce, pigmentation retardée, aide à produire la vitamine D. UVC : Pouvoir bactéricide trés élevé. Rayons X On distingue deux types de rayon X, les X mous avec une longueur d onde de 5 à 100 Å et les X durs avec une longueur d onde de 0.01 à 0.5 Å Rayons γ Les rayons gamma sont des ondes électromagnétiques de longueur d onde trés faible allant de 10 12 m à 10 14 m. Ils sont produits par des réactions nucléaires. Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

24 3. Ondes monochromatiques J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

4. Energie électromagnétique 4.1. Densité volumique d énergie électromagnétique Energie potentielle d un système de charges La première approche de l énergie en électrostatique conduit à étudier l énergie d interaction d un système de charges. Deux charges q 1 et q 2 séparées d une distance r ont une énergie d interaction U 12 égale à U 12 = q 1q 2 4πε 0 r. (4.1) Il s agit d une énergie potentielle d interaction. On est ensuite conduit à introduire le potentiel électrostatique V créé par une distribution de charges. L énergie potentielle d une charge q placée dans ce potentiel au point r est alors L énergie d intéraction d un sytème de N charges est : U = q 1 V ( r). (4.2) U = 1 2 N q i V i, (4.3) i=1 où V i est le potentiel electrostatique créé par toutes lesautres charges au point où se trouve la charge i. Densité locale d énergie électrostatique L énergie électrostatique d un condensateurde capacité C est E C = 1 2 CU 2. (4.4) La capacité d un condensateur plan dont les armatures sont séparées par du vide est C = ε 0 S e, (4.5) où S est la surface des armatures et e l épaisseur du condensateur. L énergie électrostatique s écrit donc E C = 1 ( ) U 2 ε 0 2 E 2 ε 0Se = V (4.6) e 2 25

26 4. Energie électromagnétique où V est le volume se trouvant entre les armatures du condensateur et E le champ électrique qui y règne. Puisque le champ électrique est uniforme à l intérieur du condensateur et nul ailleurs, on peut donner une nouvelle interprétation à l énergie électrostatique. Il s agit d une énergie stockée dans le champ lui même. La densité volumique d énergie électrostatique U e stockée dans le champ est ainsi : U e = E e = ε 0 E 2 (4.7) 2 U e dτ. (4.8) Energie magnétique De la même manière on peut s intéresser à l énergie magnétique d un solénoide. E m = 1 2 LI2. (4.9) L inductance L d un solenoide de longueur l, dont la surface de la section est S et qui comporte N spires est : N 2 S L = µ 0. (4.10) l L intensité du champ magnétique B qui règne à l intérieur est : N B = µ 0 I. (4.11) l Par conséquent, tout comme pour l énergie du condensateur, on peut mettre l énergie de la bobine sous forme d un produit de son volume V par une densité d énergie magnétique : B 2 E m = V (4.12) 2µ 0 La densité volumique d énergie magnétique U m stockée dans le champ est ainsi : U m = E m = B 2 (4.13) 2µ 0 U m dτ. (4.14) Les expressions que nous venons d écrire pour le champ électrique et ou le champ magnétique nous permettrons d interpréter l expression que nous allons obtenir en réalisant le bilan énergétique complet du champ électromagnétique. J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

4.2. Le vecteur de Poynting 27 4.2. Le vecteur de Poynting L énergie est une grandeur qui se conserve. En presence de charges et de courants, il peut y avoir un échange d énergie entre la matière : l énergie électromagnétique est transformée en énergie mécanique ou réciproquement. En l absence de charges et de courants, l énergie électromagnétique est une quantité qui se conserve. Pour exprimer cette conservation, il faut introduire un vecteur densité de courant d énergie. Ce vecteur est appelé vecteur de Poynting et il est noté Π. Si l on note U la densité volumique d énergie électromagnétique, la relation de conservation est : d dt ( ) U dτ La relation de conservation locale s écrit V = Σ Π d S. (4.15) U t + div Π = 0. (4.16) Le vecteur de Poynting est un vecteur qui représente la densité de courant d énergie. Autrement dit, la puissance électromagnétique P qui traverse une surface S est le flux du vecteur de Poynting à travers cette surface : P = Π ds. (4.17) Σ Lorsque l on parle d un faisceau lumineux, on appelle intensité cette puissance et on la note I. La surface Σ considérée doir intersecter totalement le faisceau lumineux. 4.3. Expression de l énergie électromagnétique Calculons la divergence du produit vectoriel du champ électrique et du champ magnétique ( ) div E B = B ( ) rot E E ( ) rot B (4.18) Soit, en utilisant Maxwell Ampère et Maxwell Faraday dans le vide : ( ( ) div E B = B B ) ( E t µ 0 j + µ 0 ε ) E 0 (4.19) t = B 2 E 2 + µ 0 ε 0 µ 0E j. (4.20) t 2 2 ou encore, en divisant par µ 0 E ε 0 t 2 2 B 2 ( ) E B + + div = E 2µ 0 µ j. (4.21) 0 Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

28 4. Energie électromagnétique En l absence de courants ( j = 0 ), nous pouvons reconnaitre l énergie électrostatique et déduire l expression du vecteur de Poynting. Dans les régimes dépendant du temps, l énergie électromagnétique a la même expression que dans les régimes statiques : c est la somme de l énergie électrique et de l énergie magnétique E U em = ε 0 2 2 B 2 +. (4.22) 2µ 0 Le vecteur de Poynting est proportionnel au produit vectoriel du champ électrique et du champ magnétique Π = E B µ 0. (4.23) Le terme E j est un terme source. E j est la puissance cédée par le champ électromagnétique aux charges par unité de volume. δp δv = 1 δv i δv [ ] q ie ( ri ) v i = E ( r i ) 1 δv q i v i = E j. (4.24) Nous remarquerons qu il n a rien fallu ajouter de supplémentaire aux équations de Maxwell : la conservation de l énergie est une conséquence des équations de Maxwell- Faraday, Maxwell-Ampère et de l expression de la force de Lorentz. 4.4. Ondes planes progressives 4.4.1. Energie et quantité de mouvement Energie Pour une onde plane progessive, le champ électrique, le champ magnétique et le vecteur d onde forment un trièdre direct et de plus : i δv B = 1 c u E. (4.25) On en déduit l expression de l énergie électromagnétique et du vecteur de Poynting E 2 E c 2 U em = ε 0 + = ε 0 2 E (4.26) 2 2µ 0 E 2 Π = µ 0 c = ε 0c E 2 u. (4.27) Par conséquent Π = cu em u. (4.28) L énergie électromagnétique se déplace à la vitesse de la lumière. J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

4.4. Ondes planes progressives 29 Quantité de mouvement Regardons le travail et la force exercée par une onde électromagnétique sur une charge. L onde exerce sur cette charge la force de Lorentz ( ) F = q E + v B (4.29) La puissance de cette force est P = v F ( ) = v q E + v B = v qe (4.30) Pour une onde plane progessive B = 1 c u E (4.31) La force est donc ( F = q E + v 1 ( u E) ) c (4.32) = qe + 1 ( v c u qe ) 1 c ( v u) E (4.33) = F e + 1 c P u 1 c ( v u) E (4.34) Le deuxieme terme est appelé pression de radiation. Les ondes electromagnétiques transportent aussi de la quantité de mouvement : un objet qui absorbe ou réfléchit une onde électromagnétique subit une force : la pression de radiation. On montre que le vecteur de Poynting est aussi la densité de quantité de mouvement. 4.4.2. Le photon La lumière est composée de photons. Pour une lumière monochromatique, l énergie d un photon de fréquence υ est E = hυ = hω, (4.35) avec h = h 2π. (4.36) où h est la constante de Planck et h la constante de Planck réduite. La quantité de mouvement d un photon est donc p = h k = hυ c u (4.37) La lumière transposte aussi du moment cinétique. Un photon polarisé circulairement possede un moment cinétique h. Le flux de photons qui traverse une surface est le rapport de la puissance qui traverse cette surface et de l énergie d un photon : δn δt = P hυ (4.38) Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

30 4. Energie électromagnétique 4.5. Détection des ondes électromagnétiques 4.5.1. Mesure du champ électromagnétique Les antennes permettent de mesurer directement l amplitude du champ electromagnétique. Le champ électrique de l onde électromagnétique met en mouvement les électrons d un conducteur, le courant électrique ainsi créé est détecté directement. 4.5.2. Mesure de l énergie Les bolomètres mesurent l énergie transportée par le champ électromagnétique. Le détecteur absorbe l énergie apportée par le champ électromagnétique. La mesure de l échauffement permet de déterminer l intensité de l onde électromagnétique. 4.5.3. Mesure du nombre de photons L arrivée d un photon sur le détecteur excite un électron unique. Dans un photomultiplicateur, l électron est arraché de la surface par effet photoélectrique, il est accéléré et arrache à son tour des électrons en arrivant sur une seconde electrode. Chaque photon donne lieu à une charge macroscopique directement détectable. Dans une photodiode ou un capteur CCD, le photon créee une paire électron - trou. Pour ces détecteurs la charge électrique créée par l arrivée de la lumière est proportionelle au nombre de photons reçus. Ce type de détecteur a un seuil : pour provoquer la transition le photon doit avoir un énergie minimale. Pour un photodétecteur telle une photodiode, chaque photon crée un électron. Pour une onde monochromatique le courant électrique i est donc i = e δn δt = e I. (4.39) hυ J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

5. Les conducteurs électriques 5.1. Introduction Un conducteur électrique est un milieu dans lequel des charges électriques sont libres de se déplacer. Ces charges sont des électrons ou des ions. Les métaux, les électrolytes et les plasmas (gaz ionisés) sont des milieux conducteurs. 5.1.1. Conducteur dans un champ électrique statique Plaçons un morceau de métal dans un champ électrique statique. A l intérieur du métal, les électrons de conduction, qui sont libres de se déplacer dans tout le volume, sont soumis à une force qui les met en mouvement. Les électrons sont stopppés à leur arrivée sur les parois du métal et s y accumulent. Leur accumulation crée un champ électrique qui s additionne au champ extérieur. Aprés cette phase transitoire, on atteint un état d équilibre. A l équilibre, les électrons qui sont à l intérieur du conducteur sont immobiles. Cela signifie que le champ électrique auquel ils sont soumis est nul. Le champ électrique est nul à l intérieur d un milieu conducteur à l équilibre. On déduit immédiatement à partir du théorème de Gauss que la densité totale de charge est nulle : la densité volumique de charge est nulle à l intérieur d un milieu conducteur. Dans un métal par exemple, la densité de charge négative due aux électrons compense donc exactement la densité de charges positives due aux noyaux. Puisqu à l extérieur du conducteur, le champ électrique n est pas nul, il y a une discontinuité du champ électrique à la surface du conducteur. Une partie des charges s est accumulée en surface. Le champ créé par cette densité surfacique de charge à l intérieur du conducteur y compense exactement le champ électrique extérieur. Lorsque l on change le champ électrique extérieur, les charges se déplacent de sorte que le champ électrique reste nul à l intérieur. Si le changement est lent, les courants électriques sont des courants surfaciques. 5.1.2. Conducteurs dans un champ électrique variable Lorsque le champ électrique change, la mise à l équilibre ne peut pas être instantanée car les charges électriques doivent se mettre en mouvement. Deux phénomènes interviennent alors : l inertie des charges est à l origine d un retard de la réponse, les collisions des porteurs sont à l origine de dissipation. Avant d étudier les conducteurs réels, on considèrera une situation modèle où ces deux phénomènes sont absents. 31

32 5. Les conducteurs électriques Dans cette situation idéalisée, on considérera qu il n y a pas de dissipation et que la réponse est instantanée. On parlera alors de conducteur parfait ou de conducteur idéal. 5.2. Du conducteur parfait aux conducteurs réels Le conducteur parfait est une idéalisation des conducteurs réels. L étude des conducteurs réels permettra de déterminer les domaines de paramètres dans lesquels on peut les considérer comme idéaux. Les milieux supraconducteurs où la dissipation est parfaitement nulle sont aussi un trés bon exemple de ce que peut être un conducteur idéal (on notera toutefois que seule la dissipation est absente de ces milieux : les électrons y conservent leur inertie). 5.2.1. Le conducteur parfait Un conducteur parfait se comporte en régime dynamique de la même manière qu un conducteur en régime statique. Pour un conducteur parfait, le champ électrique intérieur E int est nul : E int ( r, t) = 0. (5.1) On déduit de l équation de Maxwell-Gauss que la densité volumique de charge est nulle : ρ int ( r, t) = ε 0 div E int = 0. (5.2) Par conséquent, seule la densité surfacique de charge peut être différente de zéro. L équation de Maxwell-Faraday permet de conclure qu à l intérieur d un conducteur parfait le champ magnétique ne peut dépendre du temps : B t = rot E = 0. (5.3) Dans un conducteur parfait le champ magnétique est nécessairement statique. On notera que dans les supraconducteurs, le champ magnétique est nul (effet Meissner : lorsqu un conducteur passe de l atét normal à l état supraconducteur, les lignes de champ magnétiques sont expulsées de sorte que le champ magnétique devient nul à l interieur du supraconducteur). On déduit alors de l équation de Maxwell-Ampère que les courants électriques sont nécessairement stationnaires, c est à dire indépendants du temps : j = 1 µ 0 rot B ε0 E t = 1 µ 0 rot B. (5.4) Les seuls courants qui peuvent dépendre du temps sont les courants surfaciques. J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

5.3. Modèles de conducteurs réels 33 5.2.2. Réflexion sur un conducteur parfait Que se passe-t-il lorsqu une onde électromagnétique arrive sur un conducteur parfait? Cette onde met en mouvement les charges en surface du conducteur. A l intérieur du conducteur le champ électrique tout comme le champ magnétique restent nuls. Le champ électromagnétique émis par les charges en mouvement à la surface du conducteur compense exactement le champ incident à l intérieur du conducteur : la surface émet une onde de même amplitude que le champ incident et en opposition de phase. Si la surface est un plan, on déduit par symétrie que le champ émis par ces charges en mouvement vers l extérieur du conducteur est le symétrique du champ qu il émet vers l intérieur. On retrouve bien ce que l on attend d un miroir, avec en suplément le fait que le champ réfléchi subit un déphasage de π par rapport au champ incident. 5.3. Modèles de conducteurs réels L étude des milieux n est pas une théorie à principes comme peut l être l electromagnétisme dans le vide. Pour l électromagnétisme dans le vide, il suffit de prendre comme postulat les quatre équations de Maxwell, l expression de la force de Lorentz et la relation fondamentale de la dynamique. Tout le reste se construit à partir de ces équations et s en déduit par des raisonnements logiques. Pour les milieux, on ne dispose pas de système d équations que l on pourrait considérer comme des postulats. Les théories les plus précises dont on dispose sont extrèmement complexes et font appel à la théorie quantique. Notre but ici est plutot d étudier des grandes classes de comportement génériques, en particulier dans des cas limites. Pour cela les matériaux seront décrits d une part au niveau macroscopique par des équations d état (aussi nommées relations constitutives) c est à dire des coefficients tels que la conductivité electrique, la permittivité,... On dispose aussi de modèles microscopiques que l on qualifie de phénoménologiques car certains aspects ne sont pas déduits des premiers principes mais ajoutés à la main de manière à ce que le comportement obtenu mime au mieux le comportement observé dans les matériaux réels. Outre leur aspect prédictif, ces modèles ont le grand intéret de nourrir l intuition physique. Il faut toutefois rester vigilant et ne pas les prendre forcement au pied de la lettre. On notera aussi que si certaines justifications parfois données pour ces modèles semblent simplistes, il existe trés souvent des raisons très profondes à leur efficacité. 5.3.1. L électron amorti Dans le modèle proposé, on considère que les électrons sont responsables de la conduction du milieu. Un électron libre de masse m e et de charge électrique q = e obéit à l équation d évolution suivante : m e d v dt = F L Γ v. (5.5) Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

34 5. Les conducteurs électriques Le permier terme, F L est la force de Lorentz : ( ) F L = q E + v B. (5.6) Dans la suite, lorsque le champ électrique et le champ magnétique viennent tout deux d une même onde électromagnétique, on négligera en général le terme dù au champ magnétique, inférieur à celui du champ électrique d un facteur v c qui est trés petit tant que les vitesses ne sont pas relativistes. Attention, lorsque l on est en présence d une onde électromagnétique et d un champ magnétique statique, seul le champ magnétique provenant de l onde peut être négligé, car lui seul est proportionel au champ électrique. Le champ statique peut conduire à une force comparable à celle du champ électrique de l onde même si les vitesses ne sont pas relativistes. Le second terme Γ v est une force de friction visqueuse ajoutée pour des raisons phénoménologiques. Il rend compte des mécanismes dissipatifs présents dans le milieu. Le coefficient de friction ne peut en général pas être calculé à partir des premiers principes (équations de Maxwell, mécanique quantique,...), on obtient en géneral sa valeur en le reliant aux paramètres macroscopiques du milieu. Dans un plasma, la friction est due aux collisions des électrons avec les ions et avec les molécules restées neutres. Dans un métal, il s agit de l interaction entre les électrons et les vibrations mécaniques du réseau cristallin. Dans un champ électrique statique E 0, l équation d évolution de l électron a pour solution : ) v (t) = v 0 e t τ + (1 e t q τ E Γ 0. (5.7) où v 0 est la vitesse de l électron à l instant initial t = 0. Le temps caractéristique d amortissement est τ τ = m e (5.8) Γ la vitesse initiale est amortie tandis que la vitesse de l électron tend vers une vitesse limite v l : v l = q E Γ 0. (5.9) 5.3.2. Conductivité électrique Lorsque la densité volumique d électrons est N e, la densité stationnaire de courant j est j = qn e v l = N ee 2 Γ E 0. (5.10) Cette densité de courant est proportionelle au champ électrique : on retrouve ainsi un comportement ohmique j = σ 0 E0 (5.11) correspondant à une conductivité σ 0 : σ 0 = N ee 2 Γ. (5.12) J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

5.4. Propagation dans les conducteurs 35 Pour un milieu donné, on peut donc reexprimer le coefficient de friction phénoménologique Γ à l aide de constantes fondamentales ou de grandeurs macroscopiques mesurées : on en déduit aussi le temps caractérisque d amortissment : Γ = N ee 2 σ 0 (5.13) τ 1 = N ee 2 σ 0 m e (5.14) Si le champ électrique n est plus statique mais dépend du temps, tant que le temps caractérique d évolution du champ électrique est grand devant ce temps d amortissment, les électrons sont en permanence à leur vitesse limite et le conducteur est ohmique. De manière plus générale, on peut analyser la réponse du milieu à un champ électrique sinusoidal. En notation complexe, l équation du mouvement devient ( iωm e + Γ) ve iωt = q E 0 e iωt (5.15) soit une vitesse La densité de courant est alors v = q Γ iωm e E0 (5.16) j = N ee 2 E0 = N ee 2 1 1 E Γ iωm e Γ 1 iω me 0 = σ 0 E Γ 1 iωτ 0 (5.17) On en déduit qu en régime sinusoidal la conductivité devient complexe et dépend de la fréquence σ [ω] = σ 0 1 1 iωτ. (5.18) Ce modèle proposé par le physicien Drude rend très bien compte de la dépendance en fréquence de la conductivité pour de trés nombreux matériaux. On notera toutefois que si l on souhaite une description plus précise, il faut aller chercher les valeurs de la conductivité expérimentales dans des tables. 5.4. Propagation dans les conducteurs 5.4.1. Les conducteurs ohmiques Ces conducteurs sont caractérisés en volume par l équation d état ρ = 0 (5.19) j = σe (5.20) avec une conductivité σ réelle. Les équations de Maxwell s écrivent donc : Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

36 5. Les conducteurs électriques div E = 0 (5.21) div B = 0 (5.22) rot E = B t rot B = µ 0 σe E + µ 0 ε 0 t (5.23) (5.24) De même qu en l absence de charges, on obtient une équation de propagation pour le champ électrique seul en calculant le double rotationnel du champ électrique ( ) rot rot E = grad div E E = E (5.25) soit = t ( E = µ 0 ε 0 2 E t 2 µ 0 σ E + µ 0 ε 0 E t + µ 0σ E t ) (5.26) (5.27) Un terme supplémentaire proportionel à la dérivée temporelle du champ électrique s ajoute à l équation de d Alembert. Cette équation reste toutefois linéaire. Toute solution de cette équation peut donc s écrire comme une superposition de solutions monochromatiques (grâce à la transformée de Fourier). En notation complexe, l amplitude complexe E ( r, t) d une solution monochromatique de pulsation ω s écrit E ( r) vérifie l équation suivante : E ( r, t) = E ( r) e iωt. (5.28) E = µ 0 ε 0 ω 2 E iωµ0 σ E. (5.29) Si on se restreint à une onde plane se propageant selon l axe Oz et polarisée selon Ox ( E ( r) = E (z) ux ) cette équation devient 2 z 2 E (z) = µ 0ε 0 ω 2 E (z) iωµ 0 σe (z). (5.30) Les solutions de cette équation s écrivent de manière semblable à celle des ondes progressives E (z) = E 1 e ikz + E 2 e ikz (5.31) où la grandeur k vérifie l équation k 2 = µ 0 ε 0 ω 2 + iωµ 0 σ. (5.32) J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

5.4. Propagation dans les conducteurs 37 Ce nombre d onde k n est pas réel mais a une partie imaginaire non nulle. On parle donc parfois de pseudo vecteur d onde ou pseudo nombre d onde. Plutot que de décrire le cas général, nous allons discuter les deux situations limites correspondant aux situations ou l un des deux termes du second membre est négligeable devant l autre. Ces deux situations sont les suivantes : σ ε 0 ω : Il s agit du cas des mauvais conducteurs électriques aussi appelés milieux à pertes. σ ε 0 ω : il s agit des très bons conducteurs. Avant de passer à la discussion déterminons le champ magnétique. On se sert pour cela de l équation de Maxwell Faraday qui n est pas modifiée par la présence du conducteur : rot E = B t (5.33) Soit, si l on ne considère que la solution E 1 e ikz ik u z E 1 = iω B (5.34) Soit B = k ω u z E 1 (5.35) Attention k est complexe. Le champ magnétique est donc déphasé par rapport au champ électrique. 5.4.2. Propagation dans un mauvais conducteur Pour les mauvais conducteurs ( σ ε 0 ω ), le terme supplémentaire dans l équation de propagation peut être vu comme un terme correctif à la propagation dans le vide. Le vecteur d onde est très peu différent du vecteur d onde k 0 = µ 0 ε 0 ω = ω c dans le vide : k = µ 0 ε 0 ω 2 + iωµ 0 σ = ω µ 0 ε 0 1 + i σ ε 0 ω ) ( µ 0 ε 0 ω σ 1 + i 2ε 0 ω Il apparait une longueur caractéristique l p : = k 0 + i σ 2 (5.36) µ0 ε 0. (5.37) On peut donc écrire l p = 2 σ ε0 µ 0. (5.38) k = k 0 + i 1 l p. (5.39) Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

38 5. Les conducteurs électriques Les solutions à l équation de propagation sont donc dans ce cas : [ ) )] E (z, t) = E 1 exp i ((k 0 + i 1lp z ωt [ ( ) )] +E 2 exp i (k 0 + i 1lp z ωt = e z lp e i(k 0z ωt) + E 2 e z lp e i( k 0z ωt) (5.40) (5.41) (5.42) Soit en revenant à l amplitude réelle E (z, t) = E 1 e z lp cos (k 0 z ωt + ϕ 1 ) + E 2 e z lp cos ( k 0 z ωt + ϕ 2 ) (5.43) Le premier terme correspond à une onde qui se propage vers les z croissants tout en s atténuant tandisque la seconde correspond à une onde qui se propage vers les z décroissants qui s atténue elle aussi. L amplitude de l onde décroit de 1/e au bout de la distance l p. On remarquera que cette distance d absorption ne dépend pas de la fréquence. L énergie perdue par l onde électromagnétique est transformée en chaleur par effet Joule. 5.4.3. Les bons conducteurs : l effet de peau pour les bons conducteurs ( ε 0 ω σ ) c est le second terme qui est dominant : dont la solution de partie imaginaire positive est k = 1 + i ωµ0 σ ωµ0 σ = (1 + i) 2 2 k s exprime en fonction d une longueur caractéristique δ 2 δ = ωµ 0 σ k 2 = iωµ 0 σ (5.44) (5.45) (5.46) Cette longueur caractéristique est très petite devant la longueur d onde dans le vide : 2πδ λ = k 0δ = 2 µ 0 ε 0 ω ωµ 0 σ = 2ε0 ω 1 (5.47) σ puisque nous avons fait l hypothèse de bon conducteur ε 0 ω σ La solution de l équation s écrit alors : E (z, t) = E 1 e z δ e i( z δ ωt) + E 2 e z δ e i( z δ ωt) (5.48) Soit en notation réelle ( E (z, t) = E 1 e z z ) ( δ cos δ ωt + ϕ 1 + E 2 e z δ cos z ) δ ωt + ϕ 2 (5.49) La décroissance exponentielle fait penser à ce qui se passe dans le cas du mauvais conducteur mais il n en est rien comme nous allons le voir en étudiant la réflexion d une onde électromagnétique sur un conducteur. J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

5.4. Propagation dans les conducteurs 39 5.4.4. La reflexion d une onde par un conducteur réel On considère que le demi espace z < 0 est vide tandisqu un conducteur de conductivité σ occupe le demi espace z > 0. Pour déterminer ce qui se passe lorsqu une onde arrive sur le conducteur, il faut établir les relations de passage entre les deux milieux. Avant de traiter les conditions de passage entre milieux de manière générale, on considère ici le cas où l onde arrive perpendiculairement à la surface du conducteur. Il n y a alors ni charge surfacique, ni courant de surface, de sorte que le champ électrique et le champ magnétique sont tous deux continus lors de la traversée de l interface vide conducteur (ne ne justifions pas pour l instant ces deux affirmations cela sera fait lorsque nous nous intéresseront plus précisément aux relations de passage). Dans le demi espace z < 0 le champ est la superposition d une onde progressive et d une onde régressive E ( r, t) = E in e i(k 0z ω 0 t) u x + E ref e i( k 0z ω 0 t) u x (5.50) B ( r, t) = k ( ) 0 E in e i(k 0z ω 0 t) u y E ref e i( k 0z ω 0 t) u y (5.51) ω 0 En ce qui concerne le conducteur, c est à dire pour z > 0, comme nous considérons que celui ci s étend jusqu à l infini, seule la solution qui décroit exponentiellement vers la droite est acceptable E ( r, t) = E tr e i(kz ω 0t) u x (5.52) B ( r, t) = k ω 0 E in e i(kz ω 0t) u y (5.53) La continuité du champ électrique et du champ magnétique en z = 0 permet de déduire : Soit E in + E ref = E tr (5.54) k 0 (E in E ref ) ω 0 = k E tr ω 0 (5.55) E ref = k 0 k E in (5.56) k + k 0 2k 0 E tr = E in (5.57) k + k 0 Reprenons le cas du mauvais conducteur ) k = (k 0 + i 1lp. (5.58) Ce qui donne E ref 1 i E in 2k 0 l p (5.59) E tr E in (5.60) Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

40 5. Les conducteurs électriques Il n y a quasiment pas de réflexion. Le champ se propage dans le conducteur et il est progressivement absorbé. Dans le cas du bon conducteur k = 1 + i (5.61) δ Or E ref = k 0δ (1 + i) (1 + i) + k 0 δ E in = 1 E tr = ce qui donne δk 0 (1+i) 1 + δk 0 (1+i) E in (5.62) ( 1 δk ) ( 0 1 δk ) 0 (1 + i) (1 + i) +... E in (1 (1 i) δk 0 ) E in (5.63) 2k 0 E 1+i in = (1 i) k 0 δe in δ + k 0 (5.64) δk 0 = 2ε0 ω σ (5.65) ( ) 2ε0 ω E ref = 1 (1 i) E in (5.66) σ 2ε0 ω E tr = (1 i) σ E in (5.67) Remarques sur l effet de peau L épaisseur de peau est inversement proportionelle à la fréquence : plus les fréquence sont élevées et moins les ondes pénètrent dans les conducteurs. Dans les fils, à partir d une certaine fréquence, la conduction se fait en surface. 5.5. Les plasmas Un plasma est un gaz partiellement ou totalement ionisé. C est donc un milieu globalement neutre dans lequel on trouve des électrons, des ions et éventuellement des atomes ou des molécules neutres. Comme les ions sont plus de mille fois plus lourds que les électrons, l amplitue de leurs mouvement et donc le cournat électrique qui leur est associé est négligeable devant le courant électronique. Pour les plasma, l inertie des électrons est un phénomène important. On s interesse donc maintenant au cas plus général ou l inertie compte.soit j = N ee 2 Γ im e ω E (5.68) On peut distinguer deux régimes : les basses fréquences, où la dissipation est dominante et les hautes fréquences où les effets d inertie deviennent dominants. Dans le domaine J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

5.5. Les plasmas 41 basse fréquence, la prise en compte de l inertie vient en correction de la dissipation. Cela revient juste à donner une partie imaginaire à la conductivité. En haute fréquence, on rencontre par compte des phénomènes nouveaux. Nous commencerons donc à étudier la dynamique d un plasma libre. 5.5.1. Dynamique d un plasma libre L équation d évolution de la vitesse ou, ce qui est équivalent celle de la densité volumique de courant est : Γ j + m e j t = N ee 2 E. (5.69) Combinons cette équation avec la relation de conservation de la charge électrique (Nous rappelons que la conservation de la charge est incluse dans les équations de Maxwell). Cette équation s écrit : div j + ρ = 0. (5.70) t Prenons donc la divergence de l équation d évolution de la densité de courant j div j Γdiv j + m e t = N e e 2 div E (5.71) Γ ρ t m 2 ρ e t 2 = N e e 2 ρ ε 0 (5.72) soit 2 ρ t 2 + ρ t + N ee 2 ρ = 0 (5.73) m e ε 0 On trouve une équation d évolution locale pour la densité electronique 2 ρ t 2 + 1 τ 0 ρ t + ω2 pρ = 0 (5.74) C est l équation d évolution d un oscillateur harmonique. Le temps τ 0 = Γ m e est le temps caractéristique d amortissement de la vitesse.et ω p une pulsation appelée pulsation plasma : ω 2 p = N ee 2 m e ε 0. (5.75) En l absence de dissipation, un plasma est le siège d oscillations à cette pulsation. On remarquera que la densité intervient dans la pulsation plasma : pour les faibles densités, la pulsation plasma est inférieure au temps caractéristique d amortissement et il n y a pas d oscillations. Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

42 5. Les conducteurs électriques 5.5.2. Propagation d ondes dans un plasma Comme dans un plasma la densité locale de charges peut être différente de zéro, la divergence du champ électrique n est pas nécessairement nulle. On distingue deux types d ondes : les ondes transverses, pour lesquelles la divergence du champ électrique est nul, ce sont celles que nous considérerons dans la suite. Il y a aussi des ondes longitudinales, qui correspondent aux oscillations plasma dans les fréquence supérieures à la fréquence plasma et aux ondes pseudo-sonores dans le domaine des basses fréquences. Nous nous limitons maintenant aux ondes transverses, c est à dire les ondes pour lesquelles div E = 0 (5.76) sans oublier que la divergence du champ magnétique est elle toujours nulle (Maxwellflux) div B = 0 (5.77) Nous commencerons en nous limitant aux effets inertiels et nous introduirons la dissipation par la suite. Dans cette situation : m e j t j = = N e e 2 E. (5.78) Si l on considère des ondes dont l amplitude complexe est : 1 N e e 2 ω p 2 E = i iω m e ω ε 0E (5.79) E ( r, t) = E 0 e i( k r ωt) u (5.80) Maxwell-Faraday et Maxwell Ampère deviennent : i k E ( = iωb ) ( ) i k B = µ 0 j + µ 0 ε 0 ( iωe ) ωp 2 = i µ 0 ε 0 ω iωµ 0ε 0 (5.81) E (5.82) On en déduit l équation de dispersion suivante k 2 = 1 ( ω 2 c 2 ωp 2 ) (5.83) La pulsation plasma ω p sépare deux zones de fréquence où le plasma a des comportements très différents. Domaine des basses fréquences : ω < ω p Dans ce domaine k 2 est négatif. k est donc imaginaire pur : k = ±i 1 ωp c 2 ω 2 (5.84) J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

5.5. Les plasmas 43 Il n y a aucune propagation dans le plasma. Ce milieu réflechit parfaitement les ondes electromagnétiques. On citera comme exemple l ionosphère (partie de l atmosphère située à quelques centaines de kilomètres d altitude qui est partiellement ionisée). Celle ci réflechit les ondes dont la fréquence est inférieure à quelques mégahertz. densité en electrons libres de l ionosphère : 10 10 à 10 12 electrons/m 3 ce qui correspond à des pulsations plasma de 6 10 6 à 6 10 7 rad s-1 Domaine des hautes fréquences : ω > ω p Dans ce domaine k 2 est positif, le nombre d onde k est donc réel si l on néglige la dissipation). L onde se propage dans le plasma sans être atténuée avec un nombre d onde : k = 1 ω c 2 ωp. 2 (5.85) On peut chercher à déterminer la vitesse de propagation v ϕ v ϕ = ω k = c 1. (5.86) 1 ω2 p ω 2 Cette vitesse est supérieure à la vitesse de la lumière dans le vide. Comment cela est il possible sans entrer en conflit avec la relativité? Pour le savoir, il faut déterminer à quelle vitesse peut se propager l énergie ou un signal. En ce qui concerne l énergie, comme il y a de la matière la situation est plus délicate que dans le vide. Le plus simple est de regarder la propagation d un signal. Nous allons détailler deux cas : le premier concerne la superposition de deux ondes monochromatiques planes de pulsation différentes et le second un paquet d ondes. Propagation d un battement entre deux ondes On considère la superposition de deux ondes se propageant selon 0z et polarisées selon Ox. La première a une pulsation ω 1 et un nombre d onde k 1 tandisque la seconde a une pulsation ω 2 et un nombre d onde k 2. Ces deux ondes ont une même amplitude E 0 E ( r, t) = E 0 cos (k 1 x ω 1 t) u x + E 0 cos (k 2 x ω 2 t) u x (5.87) = E 0 cos k 1 (x v 1 t) u x + E 0 cos k 2 (x v 2 t) u x (5.88) les phase de chacune de ces deux ondes se propagent aux vitesses v 1 et v 2 v 1 = ω 1 k 1, v 2 = ω 2 k 2. (5.89) Si les deux ondes ont des pulsations proches : (ω 2 ω 1 = δω ω 1 ) les deux nombres d onde seront proches (k 2 k 1 = δk k 1 ). Les deux vitesses seront proches On peut réexprimer le champ électrique de cette onde pour mettre en évidence les battements : E ( r, t) = 2E 0 cos ( k1 + k 2 2 x ω ) ( 1 + ω 2 k1 k 2 t cos 2 2 x ω ) 1 ω 2 t 2 u x (5.90) Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

44 5. Les conducteurs électriques Les oscillations rapides ont une pulsation qui est la moyenne des deux pulsations et un nombre d onde qui est la moyenne des deux nombres d onde. Ces oscillations rapides se propagent à une célérité v r peux différente des célérités v 1 et v 2 v r = ω 1 + ω 2 k 1 + k 2 v 1 v 2. (5.91) L enveloppe a une pulsation égale à la moitié de la différence des deux pulsations et un nombre d onde égal à la moitié de différence des nombres d ondes. Cette enveloppe se propage donc avec la célérité v g v g = ω 2 ω 1 = δω k 2 k 1 δk (5.92) Propagation d un paquet d onde Gràce à la transformée de Fourier on peut exprimer toute onde comme superposition d ondes monochromatiques de pulsation ω et de vecteur d onde k, ces deux quantités étant reliées par la relation de dispersion propre au milieu considéré. Cette relation permet d exprimer le vecteur d onde en fonction de la pulsation ou de manière équivalente la pulsation en fonction du nombre d onde. dk E (z, t) = 2π E (k) exp [i (kz ωt)] u x (5.93) Supposons que les pulsations qui interviennent dans cette onde sont toutes proches de la pulsation ω 0 dk E ( r, t) = exp [i (k 0 z ω 0 t)] 2π E (k 0) exp [i ((k k 0 ) z (ω (k) ω (k 0 )) t)] u x (5.94) [ ( ( ) )] dk ω (k) ω = exp [i (k 0 z ω 0 t)] 2π E (k (k0 ) 0) exp i (k k 0 ) z t (5.95) u x (k k 0 ) = exp [i (k 0 z ω 0 t)] F (z v g t) u x (5.96) C est une onde quasi monochromatique de pulsation ω 0 modulée par une enveloppe F dk F (z) = 2π E (k 0) exp [i (k k 0 ) z] (5.97) cette enveloppe se propage à la célérité v g = dω dk = d dk (kv ϕ) = v ϕ + k dv ϕ dk (5.98) Si l on développe la pulsation à l ordre suivant, le terme supplémentaire conduit à un étallement du paquet d onde. Dans notre cas k = 1 ω c 2 ωp. 2 (5.99) dk = 1 1 ωdω (5.100) c ω 2 ωp 2 J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

5.5. Les plasmas 45 v g = dω dk = c 1 ω2 p 1. ω2 (5.101) La vitesse de groupe, c est à dire la vitesse de propagation de l énergie est plus faible que la vitesse de la lumière dans le vide. La causalité est sauvée! Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

46 5. Les conducteurs électriques J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

6. Electromagnétisme des milieux 6.1. Introduction Jusqu à présent, les charges électriques étaient libres de se déplacer. Il s agissait par exemple de charges isolées dans le vide, d électrons et d ions dans les plasmas ou des électrons de conduction dans les métaux. Pour étudier ce type de milieu, les outils adéquats etaient bien la densité de charge électrique et la densité de courant. Nous avons toutefois déjà dû introduire quelques nuances en distinguant les densité de charges et de courants associées aux électrons et les densités de charges et de courants associées aux ions. Même en les détaillant de la sorte, ces outils ne sont pas adaptés à l étude générale des mileux Ce n est pas la situation générale, dans les atomes, les molécules ou la matière, les charges sont liées les unes aux autres. Les constituants de la matière courante sont individuellement neutres, tout en étant composés de particules chargées. Les propriétés électriques d une molécule telle que l eau sont correctement décrites non pas par une charge électrique ou la position de chacune des charges qui la composent mais par un moment dipôlaire électrique. De même les propriétés magnétiques d un atome ou d une molécule sont décrites par un moment dipôlaire magnétique. De la même manière que nous avons été conduit à introduire ces outils au niveau microscopique, il nous faut développer le même type d outil à l échelle macroscopique. 6.2. Moment dipolaire électrique : du microscopique au macroscopique. 6.2.1. Moment dipôlaire électrique, polarisabilité Rappels Considérons un ensemble de charges. Placée dans un champ électrique E 0 cette distribution de charges subit une force F : F = i q i E0 ( r i ). (6.1) Dans le même temps, cette distribution de charge crée au point R le champ électrique suivant : ( ) E R = q i R ri 4πε i 0 R 3 (6.2) r i 47

48 6. Electromagnétisme des milieux On peut s intéresser à ce que deviennent ces deux quantités lorsque ces charges sont situées dans un petit volume centré autour du point r 0. r i = r 0 + δ r i (6.3) (petit signifie ici petit devant la distance d observation pour le premier cas et petit devant la distance typique de variation du champ électrique dans le second). Il est alors possible de réaliser un développement limité de ces deux expressions. F = q ie0 ( r 0 ) + ( q i δ r i ) grad E0 +... (6.4) r0 i i = Q E ( 0 ( r 0 ) + p ) grad E0 +... (6.5) r0 où l on retrouve la charge totale Q et le moment dipôlaire électrique p Q = i p = i q i (6.6) q i δ r i. (6.7) On remarquera que quand la charge totale est nulle, le moment dipolaire électrique ne dépend pas de l origine choisie. On remarquera aussi que les deux termes ne sont que les premiers termes d un développement limité que l on peut poursuivre aux ordres suivants. Le développement effectué est nommé développement multipolaire, et au dela du dipôle, on trouve le quadrupole, l octupole etc... Ces mêmes coefficients ( charge, moment dipolaire,...) interviennent dans l expression du champ à grande distance d une distribution de charges : ( ) E R = Q n 4πε 0 R 2 + 1 3 ( p n) n p 4πε r 0 0 R 3 +.. (6.8) r i R n = r 0 R (6.9) r 0 Si les charges sont en mouvement, on peut effectuer les mêmes discussion à partir du champ magnétique et attribuer à la distribution des moments multipôlaires magnétiques et en particulier le moment dipôlaire magnétique m m = 1 q i ( r i v i ) (6.10) 2 i Pour la suite, nous ne serons concernés que par la charge Q et les deux moments dipôlaires p et m. Deux points sont essentiels : J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

6.2. Moment dipolaire électrique : du microscopique au macroscopique. 49 Une distribution de charges peut être représentée comme la superposition d une charge ponctuelle, d un dipôle électrique et d un dipôle magnétique (et éventuellement de moments d ordre supérieur) Chacune de ces quantités peut être représentée à l aide d un très petit nombre de charges ou de courants. La charge électrique Q est représenté par une charge ponctuelle Q située au point r 0 Le moment dipôlaire électrique p est représenté par un charge positive q située au point r 0 + 1 2 a et une charge négative opposée q située au point r 0 1 2 a avec p = q a (ou éventuellement la charge positive en r 0 + a et la charge négative en r 0 ) Le moment dipôlaire magnétique m par une boucle de courant. Toutes ces considérations restent valables lorsque l on s intéresse à des grandeurs qui dépendent du temps. Notion de polarisabilité Certaines molécules présentent spontanément un moment dipolaire électrique différent de zéro. Ce sont les molécules polaires telles la molécule d eau. Les atomes ainsi que d autres molécules présentent pas spontanément de moment dipolaire électrique. Toutefois, lorsque ces particules sont placées dans un champ électrique extérieur, celui ci exerce une force sur les charges positives et une force de sens opposé sur les charges négatives, de sorte que les barycentres des charges positives et des charges négatives ne sont plus superposés. L atome acquiert ainsi un moment dipolaire électrique en général d autant plus important que le champ électrique est intense. ( ) p = p E (6.11) En toute généralité, cette dépendance n est pas linéaire ; toutefois, pour les champs faibles, on peut effectuer un développement en puissance de E et au premier ordre le terme linéaire s écrit p = α 0 ε 0 E. (6.12) α est appelé polarisabilité électrique de la molécule ou de l atome. On remarquera qu en toute généralité, le moment dipôlaire n a aucune raison d être aligné sur le champ électrique et que l on écrira une relation matricielle p x p y p z p = ε 0 αe (6.13) = ε 0. (6.14) α xx α xy α xz α yx α yy α yz α zx α zy α zz La polarisabilité α a la dimension d un volume. Tout ce raisonnement reste identique lorsque l on se trouve dans un régime dépendant du temps. En régime sinusoïdal forcé on retrouve les menes relations entre les amplitudes compexes : p e iωt = α [ω] ε 0 E e iωt. (6.15) E x E y E z Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

50 6. Electromagnétisme des milieux Dans ce type de relation, analogue à celle que l on avait obtenu pour la conductivité électrique, la quantité α [ω] n est pas nécessairement réelle. La polarisabilité statique α 0 ainsi que la polarisabilité dynamique α [ω] sont des quantités physiques que l on peut mesurer. Comme dans les conducteurs électriques, cette grandeur suffit à caractériser les interactions électromagnétiques de l atome ou de la molécule. Dans une situation physique donnée, il suffit d aller regarder la valeur mesurée dans les tables. Mais comme pour les conducteurs, un modèle microscopique est toujours instructif. Nous attendons de lui : Une image physique des phénomènes permettant de développer son intuition des phénomènes. La compréhension des comportements observés, par exemple la dépendance en fréquence de la susceptibilité La possibilité de donner des expressions analytiques qui soient plus que de simples ajustements ad-hoc des valeurs mesurées expérimentalement. Le modèle que nous allons utiliser le plus souvent est appelé modèle de Lorentz ou encore modèle de l électron élastiquement lié. 6.2.2. Modèles d atomes Notre obectif ici n est pas de faire de la physique atomique et une théorie de la structure atomique. Il s agit de trouver un modèle phénoménologique qui rende compte le plus précisément possible et surtout le plus efficacement possible des toutes les propriétés physiques que nous serons amenées à rencontrer. Un fois ce modèle décrit, nous ferons le lien avec ce que l on comprend aujourd hui des atomes et des molécules. L électron élastiquement lié. Dans le domaine statique, on cherche à rendre compte de la proportionalité du dipôle en fonction du champ électrique. Sachant que la force exercée par un champ sur une charge est proportionelle au champ, on peut obtenir un déplacement proportionel au champ si l on ajoute une force de rappel élastique. On considère donc comme modèle une charge q et une charge q. On supposera la masse de la charge q beaucoup plus importante que celle de la charge q de sorte que son mouvement est négligeable. La charge q est située au point r tandisque la charge q négative reste à l origine. La force exercée par la charge négative sur la charge positive est F r = k r (6.16) pour l instant k est un coefficient de raideur introduit à la main. On ajoutera de plus une force de frottement F f visqueux F f = Γ d r dt 2 (6.17) cette force est introduite elle aussi de manière phénoménologique. Elle vient rendre compte des pertes d énergie de l atome. Il s agit en premier lieu de la dissipation par J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

6.2. Moment dipolaire électrique : du microscopique au macroscopique. 51 rayonnement. Il s agit aussi d autres mécanismes telles les collisions dans un gaz ou les interactions avec les vibrations du réseau cristallin dans un solide. Dans un champ électrique, la relation fondamentale de la dynamique s écrit On en déduit dans le régime statique soit un moment dipôlaire électrique p m d2 r dt 2 = q E k r Γ d r dt 2 (6.18) r = q k E (6.19) p = q2 E k = ε 0 α 0E (6.20) on en déduit l expression du coeficient de raideur en fonction de la polarisabilité statique α 0 et de la charge de la particule k = q2. (6.21) ε 0 α 0 Que prévoit en plus ce modèle? On se retrouve avec un oscillateur harmonique et donc d une résonance à une pulsation propre. soit une équation d évolution pour le dipôle d 2 r dt 2 = k m r + q m E (6.22) d 2 p dt 2 + k q2 p = E m m (6.23) l évolution libre se fait avec une pulsation propre ω 0 k ω 0 = m. (6.24) On sait que les vrais atomes présentent des resonances ce résulatat n est donc finalement pas totalement surprenant. On obtient ici une relation entre la raideur et la masse de la particule : Là encore si l on suppose que la charge négative est un électron, on obtient une expression de la constante de raideur en fonction de la pulsation de resonance k = mω 2 0. (6.25) On peutaussi calculer la dépendence en fréquence de la polarisabilité α [ω] = α 0 1 1 ω2 ω 2 0 = α 0 ω 2 0 ω 2 0 ω2 (6.26) Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

52 6. Electromagnétisme des milieux Cela donne dans la limite haute fréquence α [ω] α 0ω 2 0 ω 2 = q2 1 m ω 2 (6.27) C est à dire la même valeur que pour une charge libre. Ce modèle donne donc deux relations entre les paramètres du modèle microscopiques (charge de la particule q, masse de la particule m et raideur de la liaison k) et les grandeurs physiques de notre atome (la polarisabilité α 0 et la pulsation de résonance ω 0 ) k m = ω2 0, (6.28) k 1 q 2 =. (6.29) ε 0 α 0 Tout cela est fort sympathique mais quel est le lien avec la réalité et quel sens peut on donner à cette liaison élastique entre deux charges électriques? Le modèle de Thomson de l atome d hydrogène Pour se donner une image plus concrète, commençons à revenir sur un modèle d atome proposé par le physicien J.J. Thomson. Ce modèle a été proposé alors que l on venait de découvrir l électron, c est à dire l existence d une charge ponctuelle. A l époque, on ne connaissait pas encore le noyau atomique. Dans ce modèle, considère que la charge positive est répartie uniformément dans une sphère de rayon R 0 et que les électrons sont des particules ponctuelles tels des grains de raisin dans du pudding. L application du théorème de Gauss sur une sphère de rayon r permet de déterminer le champ électrique à l intérieur de la distribution de charge positive : 4πr 2 E (r) = 1 ( ) r 3 e (6.30) ε 0 soit E (r) = e 4πε 0 il exerce donc sur l électron une force de rappel e2 R 0 r R 3 0 (6.31) F = 4πε 0 R0 3 r. (6.32) Il est donc tout à fait possible de concevoir une force de rappel élastique entre une distribution de charge positive et une distribution de charge négative, il suffit pour cela que les distributions ne soient pas ponctuelles. Dans ce modèle, la taille de l atome est reliée à la polarisabilité statique et à la pulsation de resonance par les relations : α 0 = 4πR 3 0 (6.33) ω 2 0 = e 2 4πε 0 m e R 3 0 (6.34) J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

6.2. Moment dipolaire électrique : du microscopique au macroscopique. 53 Petite remarque sur la taille R 0 de la distribution de charges positives. L électron peut parcourir des cercles à l intérieur de la sphère positivement chargée, ces orbites ont toujours la même pulsation ω 0 c est en particulier le cas lorsque l electron parcours des cercles de rayon R 0. On remarque que dans ce cas, le champ auquel il est soumis est le même que celui qu il verrait si toute la charge etait au centre. Autrement dit si l on prend pour pulsation une pulsation effectivement mesurée pour un atome, la taille que l on trouve pour l atome avec ce modèle est tout à fait comparable à la taille réelle de l atome. Il en est de même si l on considère la polarisabilité. Autrement dit, même si le modèle de Thomson est faux, il est étonnament efficace. En ce qui nous concerne, avant de le jeter nous retiendrons une leçons de ce modèle : il est possible de concevoir une distribution de charge où les forces électrostatiques produisent une force de rappel élastique. L atome d hydrogène quantique La mécanique quantique permet de comprendre la structure et le comportement de l atome d hydrogène. Celui ci est constitué d un électron et d un proton tous deux ponctuels. Dans un état stationnaire, ce système est décrit par une fonction d onde. L électron est délocalisé dans un nuage autour du noyau. On peut alors calculer la polarisabilité de cet atome lorsqu il se trouve dans son état fondamental où a 0 est le rayon de Bohr α 0 = 4π 9 2 a3 0 (6.35) a 0 = 4πε 0 h 2 m e e 2 (6.36) lorsque l atome se trouve dans son niveau fondamental, il présente des résonances pour les pulsations ω n suivantes : niveaux d énergie E n = 1 e 2 (6.37) n 2 4πε 0 a 0 les pulsations de résonance sont ω n = 1 h (1 1 ) e 2 (6.38) n2 4πε 0 a 0 ωn 2 = (1 1 ) 2 e 2 (6.39) n2 m e e 2 1 4πε 0 m e 4πε 0 h 2 = (1 1 ) 2 e 2 1 n2 4πε 0 m e a 3 0 Soit en résumé une polarisabilité statique et des resonances a 2 0 (6.40) α 0 = 9 2 4πa3 0 (6.41) ω 2 n = (1 1 n2 ) 2 e 2 4πε 0 m e 1 a 3 0 (6.42) Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

54 6. Electromagnétisme des milieux On peut aussi calculer la dépendence en fréquence de la polarisabilité on trouve 1 α [ω] = α 0 1 ω2 ω0 2 α [ω] = n=1 = α 0 ω 2 0 ω 2 0 ω2 (6.43) f n e 2 ε 0 m e 1 ω 2 n ω 2 (6.44) tout se passe comme si l atome était représenté par une supperposition linéaire d oscillateurs. Les coefficients de pondération f n sont appelés forces d oscillateur. La limite haute fréquence donne α [ω] = e2 1 ε 0 m e ω 2 f n (6.45) on en déduit que la somme des forces d oscillateurs est égale à 1 ou plus généralement au nombre d électrons. 6.3. Milieux dielectriques 6.3.1. La densité de polarisation Nous allons procéder avec les dipôles électriques comme nous l avons fait avec les charges électriques lorsque certaines hypothèses sont vérifiées :.lorsque les charges sont nombreuses, réparties de manière homogène et que l on s intéresse à des phénomènes dont l échelle de longueur est bien plus grande que la distance entre les charges. On décrit alors le milieu avec des grandeurs continues : densité volumique de charges et densité de courant. ρ = 1 q i (6.46) V i V j = 1 q i v i. (6.47) V Considérons une collection d atomes neutres ou de molécules β composé de charges q β,i. situées aux points r β,i. Chaque atome ou molécule est neutre possède un dipôle électrique : i V n=1 Q β = i p β = i q β,i = 0 (6.48) q β,i r β,i (6.49) On peut alors définir une densité volumique de moment dipôlaire électrique P aussi appelé vecteur polarisation P = 1 p β = 1 q β,i r β,i. (6.50) V V β V β,i V J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

6.3. Milieux dielectriques 55 Lorsque les charges composant ces dipôles sont en mouvement elles crée une densité volumique de courant j P = 1 d r β,i q β,i = P (6.51) V dt t β,i V Ce courant est appelé courant de polarisation. Si ce courant n est pas uniforme, les charges peuvent s accumuler et créer une densité volumique de charge ρ P. Ecrivons la relation de conservation de la charge ρ P t + div j P = 0. (6.52) soit ρ P + div P = 0. (6.53) t t ou encore ( ρ P + div P t ) = 0. (6.54) On en déduit la relation entre la densité volumique de dipôles et la densité volumique de charges associée ρ P = div P (6.55) 6.3.2. Milieux dielectriques linéaires Lorsque l on place un atome ou une molécule dans un champ électrique, il se polarise sous son effet. Dans le régime linéaire, le dipôle crée est proportionnel au champ appliqué. Ce type de relation microscopique se retrouve au niveau macroscopique. De manière générale P = P ( ) E (6.56) et dans le régime linéaire (on considère tout de suite le régime monochromatique et l amplitude complexe) P = ε 0 χ [ω] E (6.57) le coefficient de proportionalité χ [ω] est appelé susceptibilité électrique du milieu. Lorsque le milieu est composé d atomes ou de molécules de polarisabilité α [ω] on peut relier la polarisabilité microscopique à la susceptibilité macroscopique si le milieu est dilué. (L hypothèse de milieu dilué vise à assurer que le champ vu par l atome est bien le champ extérieur appliqué. Si le milieu est dense, le champ vu par chaque atome est la somme du champ extérieur et du champ créé par les autres dipôles voisins appelé champ local, la relation microscopique macroscopique est alors moins directe). Si le milieu est dilué : P = 1 p β = 1 ε 0 α [ω] E V V = ε 0 Nα [ω] E (6.58) β V β V où N est la densité volumique d atomes. La suceptibilité est donc χ [ω] = Nα [ω] (6.59) Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

56 6. Electromagnétisme des milieux 6.3.3. Milieux magnétiques On peut traiter de la même manière les milieux magnétiques et introduire un vecteur magnétisation M qui correspond à une densité volumique de moments magnétiques. 6.4. Equations de Maxwell dans les milieux 6.4.1. Le vecteur déplacement électrique j M = rot M (6.60) Considérons un milieu réel. Certaines charges sont libres de se déplacer tandisque d autres sont liées entre elles pour former atomes et molécules. On peut donc distinguer deux contributions dans la densité volumique de charges. Une contribution dûe aux charges libres (ρ l et j l ) que l on traite comme usuellement et une contribution des charges liées(ρ P et j P ) que l on va décrire en terme de distribution volumique de dipôles ρ = ρ l + ρ P = ρ l div P (6.61) j = j l + j P = j l + P t (6.62) Reportons ces deux expressions dans les deux équations de Maxwell où interviennent la densité de charge et la densité de courant. Il s agit de l équation de Maxwell Gauss div E = 1 (ρ l div ε ) P 0 (6.63) et de l équation de Mawell Ampère ( rot B = µ 0 j l + P t ) + µ 0 ε 0 E t (6.64) Que l on peut finalement réecrire div ) (ε 0E + P = ρ l (6.65) et rot B ) = µ 0 j l + µ 0 (ε 0E + P. (6.66) t On introduit donc le vecteur D appelé déplacement électrique D = ε 0 E + P (6.67) on peut procéder de la même manière avec le champ électrique et introduire un vecteur induction magnétique H H = 1 µ 0 B M. (6.68) J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

6.4. Equations de Maxwell dans les milieux 57 6.4.2. Les équations de Maxwell On peut donc réecrire les équations de Maxwell en faisant intervenir les vecteurs D et H. L équation de Maxwell Gauss div D = ρ l (6.69) L équation de Maxwell flux magnétique div B = 0 (6.70) L équation de Maxwell Faraday rot E = B t (6.71) L équation de Maxwell Ampère avec rot H = j l + D t (6.72) D = ε 0 E + P (6.73) B = µ 0 H + M. (6.74) 6.4.3. Milieux linéaires isotropes homogènes Dans les milieux isotropes diélectriques homogènes, le déplacement électrique est proportionel au champ électrique tandisque le champ magnétique et l induction magnétique sont aussi proportionels l un à l autre. D = ε E = ε 0 ε r E (6.75) B = µ H = µ 0 µ r H (6.76) ces relations de proportionalités osnt aussi vraies pour la polarisation et la magnétisation P = ε 0 χ E (6.77) soit ε r = 1 + χ = 1 + Nα (6.78) Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

58 6. Electromagnétisme des milieux 6.5. Propagation dans les milieux linéaires isotropes homogènes Dans un milieu diélectrique sans cahrges libres (ni courants libres) les équations de Maxwell sont les suivantes : div D = 0 (6.79) div B = 0 (6.80) rot E = B t rot H = D t (6.81) (6.82) Pour les milieux diélectriques linéaires homogènes, les champs D et H sont proportionnels aux champs électriques et magnétiques avec un coefficient de proportionalité intépendant de la position. D = ε E (6.83) H = 1 µ B. (6.84) Dans ces milieux, les équations de Maxwell ont exactement la même forme que dans le vide, à la seule différence que les permittivités et perméabilités n ont pas les valeurs qu elles ont dans le vide. Considérons d emblée des solutions de type ondes planes progressives en notation complexe : E ( r, t) = R ( E0 e i( k r ωt) ) (6.85) B ( r, t) = R ( B0 e i( k r ωt) ) (6.86) i k E 0 = 0 (6.87) i k B 0 = 0 (6.88) i k E 0 = ( iωb ) 0 (6.89) i k B 0 = εµ ( iωe ) 0. (6.90) Les conclusions sont similaires à celles que l on obtient dans le vide : k E0 = 0 (6.91) k B0 = 0 (6.92) B 0 = k ω E 0 (6.93) J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

6.6. Réflexion et transmission 59 Les ondes électromagnétiques sont transverses, c est à dire que le champ électrique et le champ magnétique sont orthogonaux au vecteur d onde et orthogonaux entre eux. La relation de dispersion est k 2 = εµω 2 (6.94) Si la permittivité et la perméabilité sont des grandeurs réelles, on a une situation identique à celle que l on a dans le vide : des ondes planes progressives qui se propagent à une célérité v = 1 εµ On définit l indice optique comme le rapport de la vitesse de la lumière et de la vitesse de propagation n = c v = εµ ε 0 µ 0 = ε r µ r (6.95) Dans le cas général, la permittivité peut être complexe, le nombre d onde est donc complexe : k = k r + ik i (6.96) On choisira pour le nombre d onde k la racine de partie réelle positive. Si l on prend pour exemple un vecteur d onde dirigé selon 0z ( ) E = R E0 exp i ((k r + ik i ) z ωt) (6.97) = E 0 e krz cos (k i z ωt + ϕ) (6.98) il s agit d une onde plane qui se propage à la célérité v = ω k i est positif) ou en s amplifiant (si k r est négatif). tout en s atténuant (si k r 6.6. Réflexion et transmission 6.6.1. Présentation On aborde ici un aspect des milieux inhomogènes : que se passe-t-il lorsqu une onde arrive à l interface entre deux milieux? On considérera ici une interface plane entre un premier milieu 1 situé dans le demi espace z > 0 et un second milieu 2 situé dans le demi-espace z < 0. 6.6.2. Relations de continuité Pour analyser ce problème, il nous faut analyser ce que donnent les équations de Maxwell à l interface des deux milieux. On obtient alors ce que l on nomme relations de continuité. On notera de l indice 1 les champs en z = 0 + c est à dire dans le milieu 1 juste au dessus de l interface et de l indice 2 les champs en z = 0. Ces relations sont : D N2 D N1 = σ n 12 (6.99) B N2 B N1 = 0 (6.100) E T 2 E T 1 = 0 (6.101) H T 2 H T 1 = j S n 12 (6.102) Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

60 6. Electromagnétisme des milieux les indices N et T corrspondent aux composantes du champ normales à la surface et tangentielles. σ et j S sont des densités surfaciques de charge et de courant n 12 est la normale à la surface dirigée du milieu 1 vers le milieu 2. On suppose maintenant d une part que chacun de ces milieux est homogène et isotrope et d autre part qu il n y a aucune charge libre de surface ni courant libre de surface. Ces équations deviennent alors ε 2EN2 ε 1EN1 = 0 (6.103) B N2 B N1 = 0 (6.104) E T 2 E T 1 = 0 (6.105) 1 BT 2 1 BT 1 µ 2 µ 1 = 0. (6.106) On considérera dans la suite que les perméabilités magnétiques sont identiques et donc que µ 1 = µ 2 6.6.3. Ondes réfléchies et transmises On a au total trois ondes planes progessives : l onde incidente (indice i ), l onde réfléchie (indice r ) et l onde transmise (indice t ) Ces trois ondes correspondent à un champ électrique E α = E α0 e i( k α r ωt) (6.107) où α correspond à chacun des indices i, r et t. Pour chacune de ces ondes, le champ magnétique est B α = B α0 e i( k α r ωt) (6.108) = k ω E α0 e i( k α r ωt) n k = c k E α0 e i( k α r ωt). (6.109) Dans le milieu 1 (z > 0 ) le champ est la superposition de l ondes incidente et de l onde refléchie. Dans le milieu 2 seule l onde transmise est présente. Les nombres d ondes (c est à dire les modules des vecteurs d ondes) sont reliés à la pulsation par k α = n α ω c = n αk 0 (6.110) où k 0 est le nombre d onde d une onde de même pulsation dans le vide. Prenons l une des relations de continuité, par exemple : E T 2 = E T 1. Si l on exprime explicitement les champs en un point r 0 de l interface, cette relation devient : E i0t e i( k i r 0 ωt) + Er0T e i( k r r 0 ωt) = Et0T e i( k i r 0 ωt) (6.111) Ou encore, si l on explicite la position du point r 0, soit r 0 = x u x + y u y E i0t e i(k ixx+k iy y ωt) + E t0t e i(krxx+kryy ωt) = E t0t e i(ktxx+ktyy ωt) (6.112) J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

6.6. Réflexion et transmission 61 pour que cette relation puisse-t-être vérifiée quelque soit les points x et y, les vecteurs d ondes ce ces trois ondes selon x et y doivent être égaux : k ix = k rx = k tx (6.113) k iy = k ry = k ty. (6.114) Choisissons maintenant les axes de sorte que le plan d incidence, c est à dire le plan qui contient les trois vecteurs d onde, est le pla x0z. Dans ce cas k αy = 0 Si l on note θ i, θ r et θ t les angles d incidence, de reflexion et de transmision la composante du vecteur d onde parallèle à l interface est k αx = k α sin θ α (6.115) Ecrivons l égalité des composantes selon x des trois vecteurs d onde : k ix = k rx = k tx (6.116) k i sin θ i = k r sin θ r = k t sin θ t (6.117) ce qui donne, si l on relie les nombres d onde au nombre d onde dans le vide n 1 k 0 sin θ i = n 1 k 0 sin θ r = n 2 k 0 sin θ t (6.118) on retrouve ainsi les lois de Descartes pour la reflexion et la refraction θ i = θ r (6.119) n 1 sin θ r = n 2 sin θ t. (6.120) Que vaut la composante du vecgteur d onde transmis selon 0z : k 2 t = k 2 tx + k 2 tz (6.121) soit ktz 2 = kt 2 ktx 2 = k0 2 ( n 2 2 n 2 1 sin 2 ) θ i (6.122) Si n 2 > n 1 sin θ i, k 2 tz est positif et donc k z est réel Si n 2 < n 1 sin θ i, k 2 tz est négatif et donc k z est imaginaire pur : il n y a pas d onde plane transmise. On a dans le milieu 2 une onde évanescente. On déduit de conditions energétiques que la réfexionn est totale. Ce phénomène apparait lorsque n 2 < n 1 pour un angle supérieur à l angle critique θ c qui vérifie sin θ c = n 2 n 1 (6.123) Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

62 6. Electromagnétisme des milieux 6.6.4. Formules de Fresnel Cherchons maintenant à déterminer les coefficients de reflexion et de transmission. Ecrivons les relations de passage pour le champ tangeant : E T 2 = E T 1 (6.124) B T 2 = 1 µ 1 BT 1 (6.125) Comme les phases des ondes sont égales en tout point de l interface, il suffit d écrire les égalités pour les amplitudes : E i0t e i( k i r 0 ωt) + Er0T e i( k r r 0 ωt) = Et0T e i( k i r 0 ωt) (6.126) E ix + E rx = E tx (6.127) E iy + E ry = E ty (6.128) B ix + B rx = B tx (6.129) B iy + B ry = B ty (6.130) Onde incidente polarisée perpendiculairement au plan d incidence Le champ électrique est selon 0 y. Le champ magnétique est dans le plan x0z et les amplitudes sont Les relations de continuité sont donc Soit B ix = B i cos θ i (6.131) B rx = B r cos θ r (6.132) B tx = B t cos θ t (6.133) E i + E r = E t (6.134) B i cos θ i + B r cos θ r = B t cos θ t (6.135) E i + E r = E t (6.136) n 1 cos θ i (E i E r ) = n 2 E t cos θ t (6.137) On défini alors les coefficients de reflexion et de transmission par r = E r E i (6.138) t = E t E i. (6.139) J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

6.6. Réflexion et transmission 63 Ces coefficients vérifient les équations suivantes : On en déduit 1 + r = t (6.140) n 1 cos θ i (1 r ) = n 2 t cos θ t (6.141) r = n 1 cos θ i n 2 cos θ t (6.142) n 1 cos θ i + n 2 cos θ t 2n 1 cos θ i t = (6.143) n 1 cos θ i + n 2 cos θ t Onde incidente polarisée parallèlement au plan d incidence Les rôles des champs électrique et magnétique sont inversé. Attention les trièdres doivent rester direct et on cherche à ce que les notations restent cohérentes avec le cas précédent pour un angle d incidence nul. Le champ magnétique est selon 0 y. Le champ magnétique est dans le plan x0z et les amplitudes sont Les relations de continuité sont donc Soit E ix = E i cos θ i (6.144) E rx = E r cos θ r (6.145) E tx = E t cos θ t (6.146) E i cos θ i + E r cos θ r = E t cos θ t (6.147) B i + B r = B t (6.148) cos θ i (E i + E r ) = E t cos θ t (6.149) n 1 (E i E r ) = n 2 E t (6.150) On défini alors les coefficients de reflexion et de transmission par Ces coefficients vérifient les équations suivantes : On en déduit r = E r E i (6.151) t = E t E i. (6.152) cos θ i ( 1 + r ) = cos θt t (6.153) n 1 ( 1 r ) = n2 t (6.154) r = n 1 cos θ t n 2 cos θ i (6.155) n 1 cos θ t + n 2 cos θ i 2n 1 cos θ i t = (6.156) n 1 cos θ i + n 2 cos θ t Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

64 6. Electromagnétisme des milieux 6.6.5. Discussion physique Incidence normale Dans le cas de l incidence normale il n y a pas de distinction selon la polarisation r = r = r = n 1 n 2 n 1 + n 2 (6.157) t = t = t = 2n 1 n 1 + n 2 (6.158) La polarisation reste la même à la réflexion et à la transmission. Lorsque l indice du milieu sur lequel on se reflechit est plus grand que l indice du milieu dans lequel se propage l onde incidente, le coefficient de reflexion est négatif, c est à dire qu il y a un déphasage de π. Ce déphasage est nul si le milieu sur lequel on se reflechit est d indice inférieur. Pour une interface air verre le coefficient de reflexion est r = 1 1, 5 = 0, 2 (6.159) 1 + 1, 5 c est un coeffcient de reflexion en amplitude. SI l on s interesse à la puissance, c est à dire au vecteur de Poynting il faut prendre le carré soit R = r 2 = 0, 04 (6.160) 4% de la puissance lumineuse est réfléchie. Si l on s intéresse à une vitre, c est à dire deux interfaces, la puissance réfléchie est 8% de la puissance incidente. Incidence oblique pour n 2 > n 1 Dans ce cas le vecteur d onde selon z est toujours réel. Les coefficients de reflexion des composantes de la polarisation du champ parallèle et perpendiculaires au plan d incidence sont différents, il y a donc un changement de polarisation à la reflexion. Le coefficnet de reflexion tend vers 1 lorsque l on se rapproche d une incidence rasante. Le coefficient de reflexion de la polarisation parallèle au plan d incidence r s annule pour une certaine valeur de l angle d incidence appelé angle de Brewster.θ Bi on multiplie par sin θ t n 2 cos θ i = n 1 cos θ t (6.161) n 2 sin θ t cos θ i = n 1 sin θ t cos θ t (6.162) sin θ i cos θ i = sin θ t cos θ t (6.163) sin 2θ i = sin 2θ t (6.164) Soit 2θ i = 2θ t (6.165) J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

6.6. Réflexion et transmission 65 ou soit π 2θ i = 2θ t (6.166) θ i + θ t = π 2 (6.167) Langle de Brewster est l angle pour lequel l onde reflechie et l onde tranmise sont perpendiculaires. ( π ) n 2 cos θ i = n 1 cos 2 θ i (6.168) ou encore Incidence oblique pour n 1 > n 2 et θ i < θ l tan θ B = n 2 n 1. (6.169) Dans ce cas le vecteur d onde selon z est toujours réel. Les propriétés sont similaires au cas précédent : Les coefficients de reflexion des composantes de la polarisation du champ parallèle et perpendiculaires au plan d incidence sont différents, il y a donc un changement de polarisation à la reflexion. Le coefficient de reflexion tend vers 1 lorsque l on se rapproche de l angle critique. On a aussi un angle de Brewster Incidence oblique pour n 1 > n 2 et θ i > θ l : réflexion totale tan θ B = n 1 n 2. (6.170) Dans ce cas le vecteur d onde selon z est imaginaire. On peut utiliser les mêmes formules que précédemment en utilsant les égalités suivantes or cela donne k tz = k t cos θ t (6.171) ktz 2 = k0 2 ( n 2 2 n 2 1 sin 2 ) θ i cos 2 θ t = ( n 2 2 n 2 1 sin 2 θ i ) (6.172) (6.173) on a donc les mêmes formules avec cos θ t imaginaire. Le module du coefficient de reflexion est 1. La refexion déphase l onde. Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

66 6. Electromagnétisme des milieux J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

7. Les milieux magnétiques 7.1. Introduction 7.1.1. Rappel sur le magnétisme Les pierres magnétiques sont connues depuis l antiquité. Elles ont été utilisées très tôt par les marins comme boussole. Avant 1600, Gilbert effectue des recherches sur le magnétisme terrestre et émet l hypothèse que la terre est un aimant géant. 1819 : Oersted observe que des fils conducteurs parcourus par un courant électrique créent un champ magnétique. 1820 : Biot et Savart puis Ampère établissent des relations expérimentales sur le champ magnétique et sa production par des courants électriques. 7.1.2. Distribution de courant localisée De manière générale, le champ magnétique créé par une distribution de courant est donnée par la loi de Biot et Savart : B ( r) = µ 0 4π j ( r ) r r r r 3 d3 r. (7.1) Lorsque la distribution de courant est localisée, le champ qu elle produit à grande distance, de même que les actions mécaniques qu elle subit peuvent être décrits par une quantité vectorielle : le moment magnétique m : m = 1 r j ( r ) d 3 r. (7.2) 2 Champ magnétique créé Le potentiel vecteur créé par une distribution de courant dont le moment magnétique est m est : A ( r) = µ 0 m r 4π r 3. (7.3) On en déduit le champ magnétique : où n est le vecteur unitaire dans la direction r. B ( r) = rot A = µ 0 3 n ( n m) m 4π r 3 (7.4) 67

68 7. Les milieux magnétiques Actions mécaniques Dans un champ inhomogène, une distribution de courant correspondant à un moment magnétique m subit une force F = ( grad m B ). (7.5) Attention cette expression est valable à moment magnétique m constant. Ce même moment magnétique subit un couple N N = m B. (7.6) Moment magnétique d une boucle de courant Si un courant électrique I circule sur une boucle filiforme le moment magnétique est m = I r d 2 l = I S (7.7) où S est le vecteur surface du circuit. Lien avec le moment cinétique Le moment magnétique d une distribution de charges ponctuelles q i, situées aux points r i et animées d une vitesse v i est Le moment cinétique de la charge i est le moment magnétique est donc m = 1 q i r i v i. (7.8) 2 i li = m i r i v i (7.9) m = i q i 2m i li. (7.10) Pour un électron dans un atome, le moment magnétique orbital est m = e l. (7.11) 2m e De manière générale le moment magnétique d un atome est proportionnel à son moment cinétique ( m = g e ) σ = γ σ (7.12) 2m e le coefficient de proportionalité g est nommé facteur de Landé (c est un nombre sans dimension). Le coefficient γ est appelé rapport gyromagnétique. J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

7.2. Aimantation macroscopique 69 7.1.3. Origine microscopique de l aimantation Moment magnétique orbital Le mouvement des électrons dans l atome crée des boucles de courant. Le moment magnétique associé à ces mouvements orbitaux entre pour une part dans le moment magnétique d un atome mais il ne suffit pas à rendre compte de toute l aimantation. Moment magnétique intrinsèque de l électron et des nucléons Chaque particule élémentaire possède un moment magnétique associé à son moment cinétique intrinsèque (le spin). Le moment magnétique de l électron est quasiment égal au magnéton de Bohr µ B µ B = e h 2m e (7.13) Le moment magnétique des nucléons est mille fois plus faible que celui des électrons. Dans un atome ou une molécule, les propriétés magnétiques sont donc essentiellement dues aux électrons. 7.2. Aimantation macroscopique 7.2.1. Aimantation d un milieu Le moment magnétique total par unité de volume et M = d M dτ (7.14) Un moment magnétique s exprime en Ampère metre carré, l aimantation est donc en Ampère par mètre. 7.2.2. Courants d aimantation De la même manière que des charges liées non homogènes sont à l origine de distrinution de charges liées, une distribution de magnétisation non homogène est équivalente à une distribution de courants liés. En volume j M = rot M (7.15) En surface L excitation magnétique H i M = M n (7.16) B H = M µ (7.17) 0 rot H = j libre (7.18) Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

70 7. Les milieux magnétiques Ainsi c est H qui directement relié aux courants électriques créés par exemple par les électroaimants. 7.2.3. Etude expérimentale des propriétés magnétiques En plaçant un matériau ferromagnétique dans un solénoide torique, il est possible de mesurer simultanément H et B. On a donc un accés direct à l aimantation M. Un enroulement de N spires de surface S également réparties sur un tore de circonférence l est parcouru d un courant électrique d intensité I.Le théorème d Ampère appliqué sur un cercle situé à l intérieur du solenoide.permet de relier H au courant électrique qui circule dans la bobine H d l = Hl = I libre = NI (7.19) H = NI l (7.20) C est donc directement H que l on mesure lorsque l on mesure l intensité d un courant électrique. Mesurons la différence de potentiel qui apparait aux bormes du circuit lorsque l on change I. Si la résistance du solenoide est négligeable, on mesure la force électromotrice V 1 V 2 = e 12 = ( dφ ) dt = NS db dt (7.21) en intégrant sur le temps, on en déduit B. Connaissant H et B on en déduit facilement M. 7.3. Diamagnétisme et paramagnétisme Ces milieux ne sont pas aimantés en l absence de champ. En présence d un champ ils acquièrent une faible aimantation. M = χ m B µ 0 (7.22) χ m est appelé suceptibilité magnétique. Pour un très grand nombre de substances, χ m est négatif et extrèmement faible en valeur absolue (10 5 pour les solides et les liquides, 10 9 pour les gaz) Ces substance sont appelées diamagnétiques. Pour certaines substances (O 2, Na, Al, FeCl 3 ) χ m est positif. Ces corps sont nommés paramagnétiques. Leur susceptibilité reste faible devant 1. Pour tous ces corps B H = µ B M (7.23) 0 µ 0 J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

7.3. Diamagnétisme et paramagnétisme 71 La définition de la susceptibilité peut donc aussi s écrire M = χ m H (7.24) pour des raisons historiques, c est cette relation qui est la définition de χ m. On definit alors la perméabilité relative 7.3.1. Diamagnétisme Approche qualitative µ r = 1 + χ m (7.25) Considérons un électron en mouvement sur une orbite circulaire autour d un atome. On applique progressivement un champ magnétique dans la direction perpendiculaire au plan de l orbite. Pendant la phase d établissement de B apparait un champ électromoteur E E = A (7.26) t Pour un champ magnétique uniforme aligné selon Oz, le potentiel vecteur A est donnés par A = 1 2 B r = 1 2 Br u θ (7.27) où u θ est le vecteur unitaire des coordonnées cylindriques. Durant l établissement du courant, l électron subit, en plus de la force due au champ magnétique, une force tangentielle f = e E = er 2 db dt u θ (7.28) Tant que le champ magnétique reste faible, la force normale à la trajectoire (q v B ) est négligeable et celle ci reste inchangée. En projetant la relation fondamentale de la dynamique sur u θ on trouve soit m e r dω dt = er 2 db dt On en déduit une variation de moment magnétique (7.29) ω 1 = ω 0 + eb 2m e (7.30) δm = e m e r 2 eb = e2 r 2 B (7.31) 2m e 2m e 4m e le moment magnétique créé par le champ magnétique a une direction qui lui est opposée. Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

72 7. Les milieux magnétiques Diamagnétisme Une théorie quantique donne comme susceptibilité magnétique M = χ m B µ 0 (7.32) Ze 2 χ m = nµ 0 r 2 (7.33) 6m pour un milieu composé de n atomes (à Z electrons) par unité de volume. Pour un gaz, cette susceptibilité est de l ordre de 10 9. Pour les liquides et les solides, c est plutôt 10 6 (la densité des liquides et des solides est mille fois plus grande que celle des gaz). 7.3.2. Paramagnétisme Approche qualitative Si l on applique un champ magnétique à un corps contenant des moments magnétiques, ceux ci subissent un couple qui a tendance à les aligner dans sa direction. Dans le même temps, l agitation thermique deordonne les dipôles. Un compromis s établit avec une aimantation qui croit avec le champ magnétique et qui décroit avec la température. 7.4. Ferromagnétisme 7.4.1. Quelques effets physiques Si l on introduit un barreau d acier n ayant jamais subi d aimantation à l intérieur d un solénoide, on constate que le barreau reste la source d un champ magnétique important lorsque l on a coupé le courant Un morceau de fer n ayant jamais été aimanté subit d un aimant des forces très importantes en étant attiré vers les régions de champ intense. La force est beaucoup plus intense que celle qui est subie par des milieux paramagnétiques. Au dessus d une certaine température, ces propriétés disparaissent et ces corps ne comportent comme des milieux paramagnétiques. 7.4.2. Origine physique du ferromagnétisme Dans un solide, les interactions magéntiques entre les dipôles magnétiques d atomes voisins sont extrèmement faibles et ne peuvent pas jouer de rôle. Toutefois, par l intermédiaire des processus d échange, l interaction électrostatique entre des électrons d atomes voisins (dans un cristal ou une molécule) conduit à l alignement des mements cinétiques de ces électrons. Cette interaction a tendance à aligner dans une même direction les moments magnétiques d atomes voisins. De proche en proche, cette interaction aligne les moments magnétiques sur des domaines de taille finie, ce qui conduit à une aimantation au niveau macroscopique. J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

7.4. Ferromagnétisme 73 Fig. 7.1.: Courbe de première aimantation (tiretés). Cycle d hystéresis d un ferromagnétique 7.4.3. Propriétés physiques des ferromagnétiques Courbe de première aimantation Pour des valeurs de H atteignant 10 5 A m 1 l aimantation tend vers une limite appelée aimantation à saturation. Pour un corps donné, cette valeur M S est fonction de la température. M s varie peu au voisinage de la température ordinaire et chute lorsque l on approche de la températurede Curie. On continue à définir une susceptibilité χ m (H) = M H (7.34) Cycle d hystérésis Faisons croître H de manière à saturer le milieu. Si l on diminue l intensité, l aimantation ne revient pas à zéro. Le matériau garde une aimantation appelée aimantation rémanente. Si l on continue à diminuer H en lui donnant des valeurs négatives, on arrive à une valeur de H pour laquelle M s annule il s agit de l excitation coercitive du matériau. Si l on continue, on va le saturer à nouveau dans l autre sens. Pertes par hysteresis Déterminons la puissance electrique fournie au dispositif expoése précédemment (le solenoide torique) P = I (V 1 V 2 ) = Hl N NS db dt = lsh db dt (7.35) On retrouve la valeur H db dt pour la puissance cédée par les courants libres au milieu par unité de volume. L énergie fournie au matériau pour parcourir le cercle d hysteresis par unité de volume est u = HdB = Hd (µ 0 (H + M)) = µ 0 HdH + µ 0 HdM (7.36) le premier terme correspond à la variation de l energie magnétique et est nul sur un cycle. Le second terme correspond à l aire de la courbe d hystérésis. Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

74 7. Les milieux magnétiques J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

Deuxième partie. Propagation des ondes et optique 75

8. Résoudre les équations de Maxwell Nous quittons le cas simple des ondes planes monochromatiques se propageant selon un axe de coordonnée. Ce chapitre introductif à la seconde partie a pour objectif de préparer la suite du cours : Présenter les méthodes de résolution des équations de Maxwell dans le vide. Rappeler les diverses solutions élémentaires aux équations de Maxwell dans le vide. Introduire aux méthodes de résolution des équations en présence de sources. 8.1. Les équations de Maxwell : champs, potentiels, énergie 8.1.1. Les équations de Maxwell dans le vide Expression des équations Les équations de base de l électromagnétisme dans le vide sont les quatre équations de Maxwell à laquelle s ajoute la force de Lorentz qui s exerce sur une charge électrique en mouvement : div E = ρ ε 0 (8.1) div B = 0 (8.2) rot E = B t rot B E = µ 0 j + µ 0 ε 0 ( t ) F L = q E + v B (8.3) (8.4) (8.5) La relation qui exprime la conservation locale de la charge électrique se déduite ce ces équations : ρ t + div j = 0. (8.6) En l absence de charge électrique et de courant électrique, ces équations prennent la forme suivante : A savoir Retrouver cette équation de conservation à partir des équations de Maxwell 77

78 8. Résoudre les équations de Maxwell Ondes électromagnétiques dans le vide div E = 0 (8.7) div B = 0 (8.8) rot E = B t rot B E = µ 0 ε 0 t (8.9) (8.10) Les équations de Maxwell-Ampère et Maxwell-Faraday sont des équations aux dérivées partielles du premier ordre qui couplent le champ électrique E et le champ magnétique B. L élimination de l un des champ conduit à obtenir pour le second une équation du second ordre : A savoir Démontrer ces équations de propagation à partir des équations de Maxwell E 2 E µ 0 ε 0 = 0, t2 (8.11) B 2 B µ 0 ε 0 = 0. t2 (8.12) Ces équations sont des équations de D Alembert : le champ électromagnétique se propage dans le vide à la célérité c. c = 1 ε0 µ 0 (8.13) Énergie électromagnétique Le champ électromagnétique transporte de l énergie. La densité locale d énergie électromagnétique U est : E U = ε 0 2 Le courant d énergie est donné par le vecteur de Poynting Π : 2 B 2 +. (8.14) 2µ 0 A savoir Retrouver cette équation à partir des équations de Maxwell Exercice Que devient cette équation en présence de charges et de courants? La relation de conservation locale s écrit : Π = E B µ 0. (8.15) U t + div Π = 0. (8.16) J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

8.1. Les équations de Maxwell : champs, potentiels, énergie 79 La puissance P qui traverse une surface S est le flux du vecteur de Poynting à travers cette surface : P = Π ds. (8.17) 8.1.2. Les potentiels Existence des potentiels Σ Dans de nombreuses situations, les problèmes d électromagnétisme sont grandement simplifiés par l utilisation de champs supplémentaires : les potentiels scalaire V ( r, t) et vecteur A ( r, t). L existence de des deux champs auxiliaires est une conséquence des équations de Maxwell flux et Maxwell-Faraday. Ces deux équations ne font pas intervenir la matière (contrairement aux deux autres). Elles peuvent être comprises comme deux contraintes imposées à la structure des champs électrique et magnétique. L équation de Maxwell-flux impose au champ magnétique d avoir une divergence nulle : div B = 0. (8.18) C est une condition nécessaire et suffisante pour qu il existe un champ vectoriel A solution à l équation : B = rot A. (8.19) Le champ A est appelé potentiel vecteur. Cette expression du champ magnétique B en fonction du potentiel vecteur A peut être reportée dans l équation de Maxwell-Faraday : Ceci conduit à l équation suivante, rot rot E = B t. (8.20) ( E + A ) = 0. (8.21) t Cette nouvelle équation est elle même une condition nécessaire et suffisant à l existence d un champ scalaire V solution de : Ce champ V est appelé potentiel scalaire. Les potentiels en électrostatique et magnétostatique E + A t = grad V. (8.22) Lorsque les distributions de charge ρ et de courant j ne dépendent pas du temps, le champ électrique et le champ magnétique ne sont pas couplés. Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

80 8. Résoudre les équations de Maxwell Le potentiel scalaire prend un sens particulier. Puisque le champ magnétique est indépendant du temps, le rotationnel du champ électrique est nul : rot E = 0. (8.23) Autrement dit le champ E est conservatif. Il est le gradient du potentiel scalaire V E = grad V. (8.24) V prend alors un sens énergétique. L énergie potentielle électrostatique E p d une charge électrique placée dans le champ électrique est alors : E p = q V. (8.25) Si l on reporte l équation qui définit le potentiel scalaire V dans l équation de Maxwell- Gauss on obtient une relation directe entre ce potentiel et la distribution de charge : Exercice : Retrouver cette équation V = ρ ε 0 (8.26) Il s agit de l équation de Poisson dont une solution s écrit sous forme intégrale : V ( r, t) = 1 4πε 0 Le potentiel vecteur vérifie lui aussi une équation de Poisson : V ρ ( r 1 ) r 1 r d3 r 1. (8.27) Exercice : Retrouver cette équation A = µ 0 j, (8.28) dont une solution est : Les transformations de jauge A ( r, t) = µ 0 4π V j ( r 1 ) r 1 r d3 r 1. (8.29) Les potentiels scalaire V et vecteur A sont définis comme étant solutions des deux équations suivantes : B = rot A, (8.30) E = grad V A t. (8.31) Les équations de Maxwell-flux et Maxwell-Faraday assurent que ces équations ont une solution. Celle-ci n est pas unique. Toute une famille de couple ( A,V ) vérifient ces équations et conduisent aux mêmes champs électrique et magnétique. J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

8.1. Les équations de Maxwell : champs, potentiels, énergie 81 ( ) Le passage d un couple A0, V 0 solution de ces équations à un autre couple solution A, V est appelé transformation de jauge. Il s écrit de manière simple en faisant ( ) intervenir un champ scalaire ϕ appelé jauge. A = A 0 + grad ϕ, (8.32) V = V 0 ϕ t, (8.33) Exercice : Montrer que ces deux couples conduisent aux mêmes champs électrique et magnétique. pour l étude de certains problèmes, il peut être utile de choisir parmi tous les potentiels possibles ceux qui sont le plus adapté, que ce soit pour des raisons techniques ou des raisons plus physiques comme la covariance en relativité. Ce choix se fait en imposant une condition supplémentaire au potentiels appelée condition de jauge. Cette condition porte en général sur la divergence du potentiel vecteur. Deux jauges sont plus particulièrement utilisées : La jauge de Lorentz : div A + 1 c 2 V t = 0 (8.34) La jauge de Coulomb : div A = 0 (8.35) Un peu plus loin avec les potentiels En mécanique classique, lorsque l on écrit les équations du mouvement des particules, la dynamique des particules chargées est déterminée par les champs électrique E et magnétique E. Il faut toutefois noter que dans des formulations plus avancées de la mécanique telle que la formulation Lagrangienne, ce sont les potentiels qui interviennent citons comme exemple le Lagrangien L d une particule chargée dans un champ électromagnétique : L = 1 ( 2 mv2 q V v A ) (8.36) En mécanique quantique (dont la formulation est issue du formalisme lagrangien ou hamiltonien de la mécanique classique), les potentiels ont un rôle central. La dynamique d une particule, décrite ici par l équation de Schrödinger, fait intervenir les potentiels et non les champs : i h ψ ψ = 1 ( i h 2m qa) 2 ψ + qv ψ (8.37) Cette intervention directe des potentiel est observable expérimentalement lorsque l on fait interférer des particules. Il s agi de l effet Aharonov-Bohm. 8.1.3. Propagation des potentiels dans le vide Déterminons les équation d évolution des potentiels en reportant l expression du champ électrique et du champ magnétique en fonction de ces grandeurs dans les équations de Maxwell-Gauss et Maxwell-Ampère. Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

82 8. Résoudre les équations de Maxwell Commençons par Maxwell-Gauss : ( div grad V A t ) = ρ ε 0 (8.38) soit V + t div A = ρ ε 0. (8.39) Exercice : Quelles sont les équations vérifiées par les potentiels en jauge de Coulomb? Poursuivons avec Maxwell Ampère ou encore soit grad ( ) rot rot A = µ 0 j + 1 c 2 t ( grad V A ) t (8.40) ( ( div A ) A = µ 0 j + 1 c 2 grad V ) A, (8.41) t t A 1 c 2 2 A t 2 grad ( ) 1 c 2 t V + div A = µ 0 j. (8.42) Les équations que nous obtenons ne sont pas particulièrement simples. Nous avons toutefois le loisir d imposer un choix de jauge qui simplifiera ces équations. Nous choisirons dans ce cours de travailler en jauge de Lorentz et d imposer : div A + 1 c 2 V t = 0 (8.43) Avec ce choix de jauge, les potentiels vérifient les équations suivantes : V 1 c 2 2 V t 2 = ρ ε 0, (8.44) A 1 c 2 2 A t 2 = µ 0 j. (8.45) En l absence de charge et de courant, il s agit d équations de D Alembert. Tout comme les champ électrique et magnétique, les potentiels sont des champs libres qui se propagent à la célérité de la lumière. Rappelons que les deux potentiels ne sont pas indépendants car ils sont reliés par la jauge de Lorentz. Les potentiels retardés Une solution de ces équations en présence de sources est ( ) 1 ρ r, t r r c V ( r, t) = 4πε 0 r d 3 r, (8.46) r V ( ) A ( r, t) = µ j r, t r r 0 c 4π r d 3 r. (8.47) r V J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

8.2. Les ondes électromagnétiques dans le vide 83 Dans le régime statique, ces expressions redonnent les expressions habituelles. Dans le régime dynamique, elles signifient que les champs se propagent des sources jusqu au point d observation et qu un changement de densité ou de courant à un instant se fait sentir plus tard en un point éloigné. Le délai est le temps que met la lumière pour se propager de la source au détecteur. On reconnait aussi dans le second membre une somme d ondes sphériques. 8.2. Les ondes électromagnétiques dans le vide L objectif de cette section est de rappeler un certain nombre de points de repère. Il ne s agit ni d être exhaustif, ni de démontrer des résultats déjà connus pour la plupart 8.2.1. propagation d un champ scalaire Avant de nous intéresser au champ électromagnétique qui est composé de deux champs vectoriels E et B. Rappelons les solutions de l équation de propagation pour un champ scalaire. Nous considérerons dans cette section un champ scalaire ϕ qui se propage la célérité c : ϕ 1 c 2 2 ϕ t 2 = 0 (8.48) L objectif de cette section n est pas d être exhaustif mais de rappeler un certain nombre de solutions Propagation à 1 dimension : Ondes planes progressives Lorsque le champ ne dépend que d une variable spatiale, la coordonnée z par exemple, l équation de propagation prend une forme particulièrement simple : Les solutions de cette équation sont 2 ϕ z 2 1 2 ϕ c 2 t 2 = 0 (8.49) ϕ (z, t) = f (z ct) + g (z + ct). (8.50) La solution f correspond à une onde qui se propage sans se déformer vers les z croissants. La solution g est une onde qui se propage vers les z décroissants. Propagation à trois dimensions : Ondes planes progressives A trois dimensions les solutions sont beaucoup plus compliquées qu à une dimension. En particulier, il n est pas possible de simplifier le problème à l aide d un changement de variables. On peut toutefois trouver des solutions particulières qui vérifient certaines propriétés de symétrie. Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

84 8. Résoudre les équations de Maxwell z Le champ ne dépend que d une coordonnée. Il peut s agir d un axe, par exemple l axe ou bien d un axe quelconque de vecteur unitaire u Φ (x, y, z, t) = ϕ (z, t), (8.51) Φ (x, y, z, t) = ϕ ( u r, t). (8.52) Le champ Φ est constant sur des plans orthogonaux à la direction de propagation u. Le champ ϕ (z, t) vérifie l équation de propagation à une dimension dont nous connaissons toutes les solutions. Si l on choisit de ne conserver que les solutions qui vont dans la direction et le sens du vecteur unitaire u, les solutions en onde plane s écrivent Propagation à trois dimensions : Ondes sphériques Φ (x, y, z, t) = f ( u r ct). (8.53) Le champ ne dépend que de la distance r du point considéré avec l origine Φ ( r, t) = ψ (r, t). (8.54) Pour une fonction qui ne dépend que de r le laplacien a une forme relativement simple : Φ ( r, t) = 1 r La fonction ψ verifie l équation d évolution suivante 2 (rψ (r, t)). (8.55) r2 2 r 2 (rψ) 1 2 c 2 (rψ) = 0. (8.56) t2 Par conséquent la fonction rψ vérifie l équation de d Alembert à une dimension dont nous connaissons les solutions. Nous en déduisons la solution en ondes sphériques : ψ (r, t) = f (r ct) r + g (r ct). (8.57) r Le premier terme (fonction f ) corrspond à une onde qui s éloigne de l origine. Cette onde est appelée onde sortante. Le second correspond à une onde qui converge vers l origine, il s agit d une onde entrante. Solutions stationnaires Le théorème de superposition permet de construire une nouvelle solution comme combinaison linéaire de deux solutions. L espace des solutions est ainsi un espace vectoriel. Pour le connaitre, il suffit en fait de connaitre une base. Diverses méthodes permettent de trouver de telles bases. Celles ci reposent sur l utilisation de la transformée de Fourier ou plus généralement de l analyse harmonique. Il s agit de trouver les solutions stationnaires. J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

8.2. Les ondes électromagnétiques dans le vide 85 8.2.2. Ondes électromagnétiques monochromatiques Ce sont les multiples conséquences du fait que les équations de Maxwell sont des équations linéaires. Les modes propres du champ électromagnétique ont un évolution sinusoïdale. La réponse du champ électromagnétique à une excitation sinusoidale est elle même sinusoidale. L utilisation combinée de la transformation de Fourier et du théorème de superposition permet de décomposer toute onde électromagnétique en composantes de Fourier qui correspondent à des ondes monochromatiques. Onde scalaire, onde vectorielle L amplitude d une onde monochromatique scalaire s écrit ce qui correspond à la grandeur réelle A ( r, t) = R ( A ( r) e iωt) (8.58) A ( r, t) = A 0 ( r) cos (ϕ 0 ( r) ωt) A 0 ( r) est l amplitude de l onde au point r et ϕ 0 ( r) la phase de l onde au point r. Les surfaces ϕ 0 ( r) = cste sont appelées surfaces d onde. Lorsque ce sont des plans, on parle d onde plane, lorsque ce sont des sphères, d onde sphérique. Pour un champ vectoriel comme le champ électrique, chacune des composantes peut s écrire sous cette forme. Cela donne l écriture compacte E ( r, t) = R ( E ( r) e iωt ). (8.59) Attention à ne pas se laisser emporter par la simplicité de cette écriture. Le champ réel s écrit E x ( r, t) = E 0x ( r) cos (ϕ x ( r) ωt) (8.60) E y ( r, t) = E 0y ( r) cos (ϕ y ( r) ωt) (8.61) E z ( r, t) = E 0z ( r) cos (ϕ z ( r) ωt) (8.62) Les phases ϕ x ( r), ϕ y ( r) et ϕ z ( r) sont a priori différentes. C est seulement lorsque ces phases sont égales que l on peut écrire le champ électrique sous la forme suivante : E ( r, t) = E 0 ( r, t) cos (ϕ 0 ( r) ωt). (8.63) Dans cette situation, la polarisation du champ électromagnétique est linéaire en chaque point de l espace. Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

86 8. Résoudre les équations de Maxwell Equation d onde Pour une onde monochromatique A ( r, t), la dérivée temporelle est : Par conséquent l équation de propagation devient 2 t 2 A ( r, t) = ω2 A ( r, t) (8.64) A ( r) + ω2 A ( r) = 0 (8.65) c2 Cette équation porte le nom d équation de Dirichlet. On la retrouve en physique sous de très nombreuses formes lorsque l on s intéresse aux solutions stationnaires : équation de la chaleur (transfert thermique, diffusion), équation de Schrödinger. Ondes planes progressives monochromatiques On peut enfin s intéresser aux ondes planes progressives monochromatiques de la forme A ( r, t) = A 0 e i( k r ωt+ϕ 0) (8.66) = A 0 exp i (k x x + k y y + k z z ωt + ϕ 0 ). (8.67) L opérateur différentiel en coordonnées cartésiennes est particulièrement simple i k. (8.68) Attention, cette relation n est vraie que pour des ondes planes progressives monochromatiques. Les différents opérateurs s écrivent alors : A ( r, t) = iω A ( r, t) (8.69) t grad A ( r, t) = i k A ( r, t), (8.70) div E ( r, t) = i k E ( r, t), (8.71) rot E ( r, t) = i k E ( r, t). (8.72) Lorsqu on les appliquent à des ondes planes progessives monochromatiques, les équations de Maxwell deviennent i k E = ρ ε 0, (8.73) i k B = 0, (8.74) i k E = iω B, (8.75) i k B = µ 0 j i ω c 2 E. (8.76) J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

9. Émettre des ondes électromagnétiques Le dipôle oscillant est la source d ondes électromagnétiques la plus simple. Son étude détaillée nous permettra d aborder les caractéristiques essentielles des antennes. Lors d une première lecture de ce cours, il sera possible de se limiter à la première section consacrée au dipole oscillant. La seconde section reprend les différents concepts introduits pour les replacer dans un cadre plus général. 9.1. Le dipôle oscillant 9.1.1. rappels sur le dipôle électrostatique Le moment dipôlaire électrique p d un système de charges électriques dont la charge totale est nulle est : pour une distribution discrète : pour une distribution continue Q = p = Q = q i = 0 (9.1) p = q i r i (9.2) ρ ( r 1 ) d 3 r 1 = 0 (9.3) V ρ ( r 1 ) r 1 d 3 r 1 (9.4) V On peut modéliser tout dipôle par deux charges : une charge négative -q placée à l origine et un charge q positive au point a avec p = q a. Le potentiel électrostatique créé par un dipôle p placé à l origine est : V ( r) = 1 4πε 0 p u r r 2. (9.5) Le champ électrique créé par un dipôle électrostatique est :. E ( r) = 3 u r ( p u r ) p 4πε 0 r 3 (9.6) 2p cos θ = 4πε 0 r 3 u r + p sin θ 4πε 0 r 3 u r (9.7) 87

88 9. Émettre des ondes électromagnétiques 9.1.2. Champ créé par un dipôle oscillant le dipôle oscillant Considérons un dipôle dont l amplitude évolue de manière sinusoïdale : p = p 0 cos ωt (9.8) p = p 0 e iωt (9.9) Le mouvement de charge associé à cette évolution temporelle est à l origine de courants électriques qui vérifient l équation suivante : j ( r ) d 3 r = q i v i = d p (9.10) dt V le champ rayonné par la méthode des potentiels retardés V Il n est pas possible de déterminer le champ électromagnétique rayonné par un dipôle oscillant en adaptant la méthode utilisée dans le cas d un dipôle électrostatique. Pour diverses raisons (simplicité des calculs et problèmes techniques de choix de jauge) le chemin utilisé pour calculer le champ rayonné par un dipôle oscillant est le suivant : 1. Déterminer le potentiel vecteur retardé A 2. Déduire le champ magnétique B de l expression du potentiel vecteur A 3. Calculer le champ électrique E à partir du champ magnétique B en utilisant l équation de Maxwell-Faraday. Ainsi, alors que le potentiel V jouait un rôle central pour le champ du dipôle statique, il est ici inutile. Il sera donc vain d essayer de déterminer le champ créé par un dipôle oscillant à partir de ce que l on sait d un dipôle statique. Question : expliciter ce que "assez petit" signifie sur les grandeurs physiques de ce problème. le potentiel vecteur retardé L expression générale du potentiel vecteur retardé A ( r, t) au point r est : ( ) A ( r, t) = µ j r 0 1, t r 1 r c d 3 r 1 (9.11) 4π r 1 r V Pour une distribution de charge localisée autour de l origine et dont la taille est assez petite, cette expression devient : A ( r, t) = µ 0 4πr V ( j r 1, t r ) d 3 r 1 (9.12) c Le potentiel vecteur A est donc directement proportionnel à la dérivée temporelle du moment dipôlaire p pris à l instant retardé t r/c : A ( r, t) = µ 0 1 d p ( t r ) c, (9.13) 4π r dt A ( r, t) = iω µ 0 4π p e iω(t r c) 0 = iω µ 0 r 4π p e i(kr ωt) 0. (9.14) r J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.3

9.1. Le dipôle oscillant 89 Le champ magnétique Commençons par faire le calcul exact de manière brutale : B ( r, t) = i µ ( ) 0ω e ikr 4π e iωt rot (9.15) r = i µ ( 0ω e ikr ) 4π e iωt grad p 0 (9.16) r = i µ ( 0ω 4π e iωt e ikr grad 1 r + 1 ) grade ikr p 0 (9.17) r ( e ikr u ) r p 0 (9.18) = i µ 0ω 4π e iωt = µ 0ωk 4π e i(kr ωt) r r 2 + 1 r ikeikr u r ( 1 1 ) u r p 0 (9.19) ikr A grande distance (c est à dire r λ), le terme dominant décroît comme 1 r B = µ 0ck 2 e i(kr ωt) u r p 0. (9.20) 4π r Nous pouvons dès à présent remarquer les points suivants : Ce terme dominant provient de la dérivée de la phase du potentiel vecteur. Le champ magnétique à grande distance est perpendiculaire à la droite joignant le dipôle et le point d observation (de vecteur directeur u r. Lorsque l on se déplace sur cette droite ( r croissant, angles sphériques (θ, φ) constants) l amplitude du champ évolue comme une onde sphérique : décroissance en 1 r et facteur de phase (kr ωt) correspondant à une propagation à la célérité c vers les r croissants. Le champ électrique Il se déduit de l expression du champ magnétique gràce à l équation de Maxwell-Faraday : E ( r, t) = 1 rot (B ( r, t)) (9.21) iω { = ei(kr ωt) k 2 ( u ( r p 0 ) u r 1 + [3 u r ( u r p 0 ) p 0 ] 4πε 0 r r 3 ik )} r 2.(9.22) Pour s entrainer à manipuler les opérateurs vectoriels les plus courageux pourront essayer de faire le calcul. A grande distance, le terme dominant décroit comme pour le champ magnétique en 1 r il provient de la dérivée spatiale du terme de phase de B. E = k2 e i(kr ωt) ( u r p 0 ) u r. (9.23) 4πε 0 r A courte distance (c est à dire r λ) terme dominant est celui d un dipôle électrostatique E = [3 u r ( u r p 0 ) p 0 ] 4πε 0 e i(kr ωt). (9.24) Notes de cours version 0.3 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

90 9. Émettre des ondes électromagnétiques En résumé : Pour un dipôle aligné selon l axe Oz les composantes non nulles du champ électrique et du champ magnétique sont : B ϕ = µ [ 0 iω 4π r [ 2 1 2 E r = E θ = 4πε 0 1 4πε 0 ] ω2 rc r 3 2iω r 2 c [ 1 r 3 iω r 2 c ω2 rc 2 sin θe i(kr ωt), (9.25) ] cos θe i(kr ωt), (9.26) ] sin θe i(kr ωt). (9.27) A courte distance, c est à dire à des distances courtes devant la longueur d onde de la lumière, (r λ ) le terme dominant est en r 3. cela correspond au champ électrique créé par un dipôle electrostatique : E r = 1 2 cos θ 4πε 0 r 3 p (t), (9.28) E θ = 1 sin θ p (t). 4πε 0 r3 (9.29) A grande distance, c est à dire pour r λ, le terme dominant est en r 1, pour le champ électrique selon u θ et pour le champ magnétique selon u ϕ : B ϕ = µ 0c k 2 4π r p 0 sin θe i(kr ωt), (9.30) E θ = 1 k 2 4πε 0 r p 0 sin θe i(kr ωt). (9.31) Remarque pratique : A partir de quelle distance peut-on considérer que l on se trouve à grande distance du dipôle et utiliser la formule simple? Notons qu à une distance d une longueur d onde, le nombre sans dimension kr vaut dèjà 2π, le terme suivant du développement (en 1/r 2 ) est donc 6 fois plus faible que le terme principal, et le terme correspondant au champ statique 36 fois plus faible. Notons en outre que le terme en 1/r est en quadrature avec le terme principal, son effet est donc un plus un déphasage du champ qu un changement de son amplitude. On peut donc quasiment considérer qu à une longueur d onde du dipôle on est déjà en région de champ lointain. Pour se rendre vraiment compte, on peut évaluer le rapport des amplitudes et la différence de phase entre l expression exacte du champ électrique et l expression approchée. Dans le plan équatorial, à une distance d un quart de longueur d onde ( r = λ/4 ) on trouve : E exact E lointain = 1, 13 φ exact φ lointain π 4 J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.3

9.1. Le dipôle oscillant 91 l erreur sur l amplitude est de 10% et sur la phase de 45. A une longueur d onde du dipôle ( r = λ ), la différence devient très faible : E exact E lointain = 1, 01 φ exact φ lointain π 20 l erreur sur la phase n est que de 9 et sur l amplitude de 1%. Sauf cas particulier ou l on s interesse explicitement aux effets de champ proche, on pourra donc utiliser l expression champ lointain même lors que l on ne se trouve pas très loin du dipôle. Interprétation physique du champ à grande distance Tous les facteurs intervenant dans l expression du champ électrique rayonné par un dipôle oscillant ont une interprétation physique qu il est essentiel d avoir compris. Considérons le cas d un dipôle d ampliude p 0 aligné selon l axe Oz. E r = 0, B r = 0 A grande distance, l onde a la structure d une onde plane progressive qui se propage selon u r. Le champ électrique tout comme le champ magnétique sont orthogonaux à la direction de propagation, donc à u r. E ϕ = 0, B θ = 0 : Le problème est symétrique par rapport à tout plan contenant la droite Oz. Par conséquent, en un point de l espace, le champ électrique est contenu dans le plan contenant Oz et ce point et donc sa composante E ϕ selon le vecteur u ϕ perpendiculaire à ce plan est nulle. Pour les mêmes raisons, le champ magnétique qui est un vecteur axial est perpendiculaire au plan considéré et donc le champ magnétique est aligné selon u ϕ Décroissance de l amplitude : E r 1 : Lorsque le dipôle est seul dans l espace, l énergie qu il rayonne est conservée, par conséquent le flux du vecteur de Poynting à travers toute sphère qui contient l origine est le même. Comme la surface de cette sphère est 4πr 2, le vecteur de Poynting est proportionnel à r 2. Ce vecteur est proportionnel au carré du champ électrique, celui ci décroit donc en r 1 lorsque l on s éloigne de l origine. Amplitude proportionelle à celle du dipôle E p 0 exp( iωt) : Les équations de Maxwell sont linéaires, par conséquent, le champ rayonné est proportionnel à l amplitude du dipôle. Phase égale à (kr ωt) Le champ se propage à partir de l origine à la vitesse de la lumière, le champ rayonné est donc proportionnel à exp [ iω (t r/c)] = exp [i (kr ωt)] Dépendance angulaire E sin θ Notons f (θ) la dépendance angulaire de l amplitude rayonnée en prenant pour référence l amplitude émise dans la direction équatoriale : f ( ) π 2. Pour les raisons de symétries évoquées plus haut, le champ électrique est nul lorsque l on se place sur l axe Oz donc f (0) = 0. Si l on se place en un point Notes de cours version 0.3 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

92 9. Émettre des ondes électromagnétiques donné, on peut décomposer le dipôle (qui est un vecteur) comme somme de deux dipôles p 0 u z = p 0 cos θ u r p 0 sin θ u θ le premier p 0 cos θ u r est parallèle au rayon vecteur, il ne rayonne donc pas, tandisque le second p 0 sin θ est perpendiculaire à la direction d observation et rayonne donc dans cette direction avec une ampllitude relative f ( π 2 ). Facteur k 2 4πε 0 nous sommes arrivés à l expression suivante : E p 0 sin θ e iω(t r c) u θ (9.32) r La dimension de cette expression est celle d une charge électrique. Pour avoir la 1 bonne dimension il faut multiplier par un terme proportionnel au produit de 4πε 0 et du carré de l inverse d une longueur. Comme nous avons déjà déterminé la dépendance en r par les considérations d énergie et de propagation il faut trouver une autre longueur dans ce probleme. La seule qui soit disponible est la longueur d onde et donc, la quantité proportionelle à l inverse d un longueur que nous pouvons utiliser est le nombre d onde k, le facteur qui manque est donc k2 4πε 0 multiplié par un éventuel facteur numérique. La comparaison avec l expression exacte montre que le facteur numérique est seulement -1 Ainsi nous venons de retrouver l expression du champ électrique rayonné : E = 1 4πε 0 k 2 r p 0 sin θe i(kr ωt) u θ Par consequent, s il peut sembler difficile d apprendre la formule du champ électrique rayonné par un dipôle, les arguments que nous venons de développer rendent impossible de ne pas s en souvenir. 9.1.3. Puissance rayonnée En revenant à la notation réelle, le vecteur de Poynting instantané est Π = E B µ 0 = Soit si l on moyenne sur une periode Π = ω 4 cos 2 (kr ωt) 16π 2 ε 0 c 3 p2 0 r 2 u r. (9.33) ω 4 32π 2 ε 0 c 3 p2 0 sin 2 θ u r r 2 (9.34) Plutot que regarder le flux du vecteur de Poynting à travers une surface, on peut regarder le flux par unité d angle solide : dp dω = ω 4 32π 2 ε 0 c 3 p2 0 sin 2 θ (9.35) J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.3

9.1. Le dipôle oscillant 93 L émission n est pas isotrope : la puissance rayonnée est nulle sur l axe du dipôle et maximale perpendiculairement. On décrit cette repartition par un diagramme de rayonnement (en puissance) : r (θ, φ) = sin 2 θ (9.36) Fig. 9.1.: Diagramme de rayonnement d un dipôle oscillant. A gauche : en amplitude ( r (θ, φ) = sin θ ), a droite, en puissance ( r (θ, φ) = sin 2 θ ) Pour déterminer la puissance totale P rayonnée par le dipôle il faut intégrer le vecteur de Poynting sur toute la sphère : Calcul de l intégrale P = = π 2π ω 4 dθ sin θdϕ 0 0 32π 2 ε 0 c 3 p2 0 sin 2 θ (9.37) ω 4 π 32π 2 ε 0 c 3 p2 0 2π dθ sin 3 θ (9.38) 0 π 0 dθ sin 3 θ = = π 0 1 1 dθ sin θ ( 1 cos 2 θ ) = du ( 1 u 2) ( = 2 1 1 3 1 1 d (cos θ) ( 1 cos 2 θ ) (9.39) ) = 4 3 (9.40) P = = π 2π ω 4 dθ sin θdϕ 0 0 32π 2 ε 0 c 3 p2 0 sin 2 θ (9.41) ω 4 32π 2 ε 0 c 3 p2 0 2π 4 3 (9.42) P = La puissance totale instantanée émise est P = ω4 12πε 0 c 3 p2 0 (9.43) ω4 6πε 0 c 3 p2 0 cos 2 ωt (9.44) Notes de cours version 0.3 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

94 9. Émettre des ondes électromagnétiques que l on peut encore écrire P = 2 1 d 2 p 3 4πε 0 c 3 dt 2 2 = 2 q 2 d v 3 4πε 0 c 3 dt 2 (9.45) J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.3

10. Additionner des ondes électromagnétiques 10.1. Position du problème Lorsque l on superpose des ondes électromagnétiques, ce sont les amplitudes des champs qui s ajoutent. Il s agit donc d une addition de vecteurs. Pour étudier les différents effets physiques résultant de cette addition, on est amené à se poser plusieurs questions : Quelle est la dépendance temporelle de la superposition? En particulier, que se passe t il lorsque l on superpose deux ondes monochromatiques de fréquences diférentes? Quelle est la polarisation du champ résultant? Quelle est la dépendance spatiale? Pour chacune de ces questions, nous nous intéresserons au champ électrique et à l énergie. Nous considérerons l addition de deux ondes planes progressives monochromatique E 1 et E 2 polarisées linéairement, ( ) E 1 ( r, t) = E 1 cos k1 r ω 1 t + ϕ 1 u 1 (10.1) ( ) E 2 ( r, t) = E 2 cos k2 r ω 2 t + ϕ 2 u 2 (10.2) 10.2. Battements entre deux ondes Nous considérons l effet d une différence de fréquence entre les deux ondes. Nous supposons la direction de propagation, et l amplitude et polarisation identiques : la propagation se fait selon u z, la polarisation est linéaire et alignée selon u x et les amplitudes sont E 1 = E 2 = E 0 ( z ) ] ( z ) ]) E ( r, t) = E 0 (cos [ω 1 c t + ϕ 1 + cos [ω 2 c t + ϕ 2 u x (10.3) La trigonometrie nous permet d obtenir l expression de ce champ sous la forme d un produit : E ( r, t) = 2E 0 (cos [ ω1 + ω 2 2c (z ct) + ϕ ] [ 1 + ϕ 2 ω1 ω 2 cos (z ct) + ϕ ]) 1 ϕ 2 u x 2 2c 2 (10.4) 95

96 10. Addition d ondes electromagnetiques Cette onde est une fonction de (z ct) c est donc une onde plane progressive. Son champ magnétique est alors : B = 1 c u z E. (10.5) Le vecteur de Poynting est donc : Π = ε 0 c E 2 u z (10.6) Si ω 1 = ω 2 = ω 0 les deux ondes interfèrent. Dans le cas où les deux ondes ont la même pulsation, le champ électrique est : ( ) ( [ ϕ1 ϕ 2 ω0 E ( r, t) = 2E 0 cos cos 2 c (z ct) + ϕ ]) 1 + ϕ 2 u x (10.7) 2 Le résultat est une onde de même pulsation que les deux ondes que l on a ajoutées. L amplitude de cette onde est 2E 0 cos ( ϕ 1 ϕ 2 ) 2, cette amplitude dépend de la différence de phase ϕ 1 ϕ 2 entre les deux ondes. Déterminons le vecteur de Poynting associé à cette onde. Puisqu il sagit d une onde plane progressive, le vecteur de Poynting est directement relié au champ électrique par : ( ) [ Π = 4ε 0 ce0 2 cos 2 ϕ1 ϕ 2 cos 2 ω0 2 c (z ct) + ϕ ] 1 + ϕ 2. (10.8) 2 Le vecteur de Poynting moyen (sur une période) est donc Π = 4 cos 2 ( ϕ1 ϕ 2 2 ) ε0 ce0 2. (10.9) 2 AInsi, alors que les champs électriques des deux ondes s additionnent, cela n est pas le cas pour l énergie transportée : il s agit du phénomène d interférences. Nous distinguons 3 cas : Les deux ondes sont en phase : ϕ 1 = ϕ 2 + 2nπ Π = 4 ε 0cE0 2. (10.10) 2 La puissance transportée est quatre fois la puissance d une des ondes, c est à dire le double de la somme des puissances des deux ondes. On parle d interférences constructives. Les deux ondes sont en opposition de phase ϕ 1 = ϕ 2 + 2nπ : Π = 0. (10.11) Les deux ondes se compensent, il s agit d interférences destructives. J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.3

10.2. Battements entre deux ondes 97 Les deux ondes sont en quadrature ϕ 1 = ϕ 2 + π 2 + nπ : Π = 2 ε 0cE0 2. (10.12) 2 La puissance est bien égale à la somme des puissances des deux ondes. Cela est général, quand deux ondes de même pulsation sont en quadrature de phase, leurs puissances s ajoutent (en valeur moyenne), même si leurs amplitudes diffèrent. Si ω 1 ω 2 on a un phénomène de battement. Le champ électrique apparait comme une onde de pulsation ω 1+ω 2 2 qui est modulée à la pulsation ω 1 ω 2 2. Pour alleger les formules, nous suppeserons que l origine des temps est choisie à un instant où les deux ondes sont en phase soit (et nous supposerons de surcroit que cette phase est nulle) E ( r, t) = 2E 0 cos [ ω1 + ω 2 2c ] [ ] ω1 ω 2 (z ct) cos (z ct) u x (10.13) 2c On peut interpréter ces battements en considérant que la phase d une onde dérive par rapport à celle de l autre onde en écrivant : ( z )] ( z ) ]) E ( r, t) = E 0 (cos [ω 1 c t + cos [ω 1 c t + φ 2 (z, t) u x (10.14) ( z ) φ 2 (z, t) = (ω 2 ω 1 ) c t. (10.15) Cette écriture n a réellement de sens que lorsque la diférence( de fréquence ) est trés petite. Dans cette situation, le temps que la phase met pour évoluer 2π ω 2 ω 1 est beaucoup plus grand que la période 2π ω 1 de l onde. On oscille alors périodiquement entre une situation ou les deux ondes sont en phase et où elles interfèrent constructivement à une situation ou elles sont en opposition de phase et où elles interfèrent destructivement. Pour déterminer le vecteur de Poynting, il est préférable de ne pas factoriser : Π = ε 0 c E 2 = ε0 ce0 2 = ε 0 ce 2 0 ( [ ω1 ] [ cos c (z ct) ω2 + cos ( cos 2 [ ω 1 c (z ct) ] + cos 2 [ ω 2 c (z ct) ] + cos Le vecteur de Poynting moyen est ]) 2 c (z ct) (10.16) [ ] ω1 + ω 2 (z ct) + ω ) 1 ω 2 (z ct) 2c 2c (10.17) Π = 2ε 0 ce 2 0. (10.18) Lorsque l on superpose deux ondes de pulsations différentes, leurs puissances moyennes s ajoutent. Notes de cours version 0.3 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

98 10. Addition d ondes electromagnetiques On peut être plus précis et discuter de ce qui se passe en fonction de la durée pendant laquelle on cherche à mesurer la puissance de l onde. En effet, si les deux ondes ont presque la même pulsation ω 0, l un des termes obtenus dans le vecteur de Poynting 2π ω 2 ω 1 oscille avec un période. Par conséquent, si l on réalise une mesure sur un temps beaucoup plus court que cette période (mais toujours beaucoup plus long que la période de l onde), le terme d interférence ne se moyenne pas à zéro. 10.3. Polarisation On suppose maintenant les pulsations des deux ondes identiques, de même que leur direction et sens de propagation. 10.3.1. Supperposition de deux polarisations linéaires Les ondes sont polarisées linéairement et les polarisations sont orthogonales. E 1 ( r, t) = E 1 cos (kz ωt + ϕ 1 ) u x (10.19) E 2 ( r, t) = E 2 cos (kz ωt + ϕ 2 ) u y. (10.20) Comme dans le premier cas, la somme de ces deux ondes ne dépend que de (z ct). Il s agit par conséquent d une onde plane progressive et il suffit d étudier l évolution du champ élecrique en un point. De manière générale, la polarisation obtenue est une polarisation elliptique contenue dans le rectangle défini par E 1 < x < E 1 et E 2 < y < E 2. La nature exacte de la polarisation dépend de la phase relative entre les deux ondes Ondes en phase : ϕ 2 ϕ 1 = 0 : Les deux ondes sont en phase, le champ électrique s écrit : E 1 ( r, t) = cos (kz ωt + ϕ 1 ) [E 1 u x + E 2 u y ] (10.21) Les coordonnées du champ électrique vérifie l équation E x E y = 0 (10.22) E 1 E 2 Le champ électrique décrit un segment de droite : la polarisation est linéaire, elle est selon la première diagonale du rectangle. Ondes en opposition de phase ϕ 2 ϕ 1 = π : phase, le champ électrique s écrit : Les deux ondes sont en opposition de E 1 ( r, t) = cos (kz ωt + ϕ 1 ) [E 1 u x E 2 u y ] (10.23) Les coordonnées du champ électrique vérifie l équation E x + E y = 0 (10.24) E 1 E 2 Le champ électrique décrit un segment de droite : la polarisation est linéaire elle est selon la seconde diagonale du rectangle. J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.3

10.3. Polarisation 99 Ondes en quadrature ϕ 2 ϕ 1 = π/2 Les deux ondes sont en quadrature, le champ électrique s écrit : ( E 1 ( r, t) = E 1 cos (kz ωt + ϕ 1 ) u x + E 2 cos kz ωt + ϕ 1 + π ) u y 2 (10.25) = E 1 cos (kz ωt + ϕ 1 ) u x E 2 sin (kz ωt + ϕ 1 ) u y (10.26) Le champ électrique décrit une ellipse dont les axes principaux sont les axes Ox et Oy. L équation vérifiée par les coordonnées du champ électrique est ( ) 2 ( ) 2 Ex Ey + = 1 (10.27) E 1 La composante du champ selon Oy est en retard par rapport à cellequi est selon Ox, autrement dit l ellipse est parcourue selon le sens trigonométrique. La polarisation est elliptique gauche. Si les amplitudes E 1 et E 2 sont égales, la polarisation est circulaire. E 2 E 1 ( r, t) = E 0 (cos (kz ωt + ϕ 1 ) u x sin (kz ωt + ϕ 1 ) u y ) (10.28) Le module du champ élelectrique reste constant au cours du temps. Le champ electrique parcours un cercle : E 2 x + E 2 y = E 2 0 (10.29) Ondes en quadrature ϕ 2 ϕ 1 = π/2 Les deux ondes sont en quadrature, le champ électrique s écrit : ( E 1 ( r, t) = E 1 cos (kz ωt + ϕ 1 ) u x + E 2 cos kz ωt + ϕ 1 + π ) u y 2 (10.30) = E 1 cos (kz ωt + ϕ 1 ) u x + E 2 sin (kz ωt + ϕ 1 ) u y (10.31) Le champ électrique décrit une ellipse dont les axes principaux sont les axes Ox et Oy. L équation vérifiée par les coordonnées du champ électrique est ( ) 2 ( ) 2 Ex Ey + = 1 (10.32) E 1 C est la même équation que dans le cas qui précède, mais l ellipse est parcourue dans l autre sens. La composante du champ selon Oy est en avance par rapport à cellequi est selon Ox, autrement dit l ellipse est parcourue selon le sens horaire. La polarisation est elliptique droite. Si les amplitudes E 1 et E 2 sont égales, la polarisation est circulaire. E 2 Energie Nous avons une onde plane progressive, le vecteur de Poynting est donc Π = ε 0 c E 1 + E 2 2 ( = ε 0 c E1 2 ) + E1 2 + 2E1 E 2 (10.33) (10.34) Notes de cours version 0.3 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

100 10. Addition d ondes electromagnetiques Puisque les deux polarisations sont orthogonales, le terme croisé est nul. Il n y a pas d interférence et l intensité du faisceau est la somme des intensités des deux faisceaux incidents. Ce résultat ne dépent pas de la phase relative des deux faisceaux. 10.3.2. Polarisation circulaire Somme de deux ondes circulaires Nous considérons maintenant deux polarisations circulaires de même amplitude, mais de sens inverse. Pour simplifier les calculs, nous nous plaçons à l origine et nous prenons la phase de la première onde égale à zero soit : E 1 (t) = E 0 [cos (ωt) u x + sin (ωt) u y ] (10.35) E 2 (t) = E 0 [cos (ωt + ϕ) u x sin (ωt + ϕ) u y ]. (10.36) La somme de ces deux polarisations est : E (t) = E 0 ([cos (ωt) + cos (ωt + ϕ)] u x + [sin (ωt) sin (ωt + ϕ)] u y ) (10.37) ( = 2E 0 [cos ωt + ϕ ) cos ϕ ( 2 2 u x cos ωt + ϕ ) sin ϕ ] 2 2 u y (10.38) ( = 2E 0 cos ωt + ϕ ) [ cos ϕ 2 2 u x sin ϕ ] 2 u y (10.39) La somme de deux polarisations circulaires de sens opposé et de même pulsation est une polarisation linéaire dont l orientation dépend du déphasage entre les deux ondes. Notation complexe La circulaire gauche est Par conséquent : E g (t) = E 0 [cos (kz ωt) u x sin (kz ωt) u y ] (10.40) ] = E 0 R [e i(kz ωt) u x + ie i(kz ωt) u y. (10.41) E g (t) = E 0 e i(kz ωt) ( u x + i u y ) (10.42) La circulaire droite est E d (t) = E 0 ( u x i u y ) (10.43) 10.3.3. Polariseurs Polariseur parfait Un polariseur parfait projette le champ électrique de l onde sur une direction particulière n appelée axe du polariseur. L onde en sortie est ( ) E (t) = E0 (t) n n (10.44) J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.3

10.4. Interférences 101 Dans le cas ou la polarisation incidente est linéaire et fait un angle θ avec l axe du polariseur, l amplitude du champ électrique est multipliée par le facteur cos θ et donc l intensité est multiplié par le caré de ce cosinus. C est la loi de Malus. I 1 = I cos 2 θ (10.45) La partie non transmise de la lumière est absorbée par le polariseur. Si l axe du polariseur est orthogonal avec la polarisation incidente, aucune lumière n est transmise. Séparateur de polarisation Un séparateur de polarisation est un dispositif optique qui sépare la lumière incidente en deux composantes de polarisation orthogonales. Si l on envoie une polarisation linéaire sur un tel dispositif, on peut appliquer la loi de Malus à chacune des sorties, les intensités de ces deux sorties sont alors : I 1 = I 0 cos 2 θ (10.46) I 2 = I 0 sin 2 θ (10.47) la somme des deux intensités est bien l intensité initiale, autrement dit le séparateur de polarisation répartit la lumière entre les deux sorties. Polariseurs imparfaits La reflexion de la lumière sur un dioptre ou la diffusion par des molécules polarise en partie la lumière. 10.3.4. Lumière naturelle Une lumière parfaitement monochromatique est polarisée. Par contre, dès que l on ajoute des ondes de fréquence différentes, la situation est analogue à celle des battements : l état de polarisation évolue au cours du temps et si on regarde sur une durée longue devant ce temps d évolution, on voit une lumière qui peut être non polarisée. La lumière des sources à incandescence ou à décharge, de même que la lumière solaire ne sont pas polarisées. La lumière diffusée par le ciel est polarisée. La lumière d un laser est en général polarisée linéairement. 10.4. Interférences 10.4.1. Superposition de deux ondes Nous sommes maintenant parés pour étudier la supperposition de deux ondes planes ( ) E 1 ( r, t) = E 1 cos k1 r ω 1 t + ϕ 1 u 1 (10.48) ( ) E 2 ( r, t) = E 2 cos k2 r ω 2 t + ϕ 2 u 2 (10.49) Notes de cours version 0.3 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

102 10. Addition d ondes electromagnetiques Nous savons que : si les deux ondes ont des fréquences différentes, il n y a pas d interférences (on a éventuellement des battements). si les deux ondes ont des polarisations orthogonales, leurs intensités s ajoutent et il n y a pas d interférences. Nous supposerons donc dans la suite que les deux ondes ont même fréquence et même polarisation. Par contre, nous ne supposerons pas qu elles sont planes et nous écrirons E 1 ( r, t) = E 1 cos (ϕ 1 ( r) ωt) u (10.50) E 2 ( r, t) = E 2 cos (ϕ 2 ( r) ωt) u (10.51) ϕ 1 ( r) et ϕ 2 ( r) sont les phases de chacune des ondes. Pour une onde plane Pour une onde sphérique où r i est la distance du point consiréré à la source de l onde i. 10.4.2. Amplitude du champ électrique ϕ i ( r) = k i r (10.52) ϕ i ( r) = kr i (10.53) Pour ce calcul il est beaucoup plus simple de travailler en notation complexe. E ( r, t) = E 1 ( r) e i(ϕ1( r) ωt) u + E 2 ( r) e i(ϕ2( r) ωt) u (10.54) ( ) = E 1 ( r) e iϕ1( r) + E 2 ( r) e iϕ 2( r) e iωt. u (10.55) Plutot que de s embarasser en permanence avec les facteurs numériques du vecteur de Poynting moyen, on utilise l intensité du faisceau lumineux défini comme la moyenne temporelle du carré du champ électrique : I = 1 E 1 ( r) e iϕ1( r) u + E 2 ( r) e iϕ 2( r) 2 (10.56) 2 = 1 ( E 1 ( r) 2 + E 2 ( r) 2 + 2R (E )) 1 ( r) E 2 ( r) e i(ϕ 2 1( r) ϕ 2 ( r)) (10.57) 2 = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 cos (ϕ 1 ( r) ϕ 2 ( r)) (10.58) En chaque point de l espace on retrouve un résultat analogue à ce que l on avait trouvé pour deux ondes planes de même direction et de même pulsation. L intensité n est pas la somme des intensités des deux ondes : il y a des interférences. Le fait que ces interférences soit constructives ou destructives dépend de la différence de phase des deux ondes. Cette différence de phase dépend de la position du point étudié. Dans le cas ou les amplitudes des deux ondes sont les mêmes, l intensité est I = 2I 0 (1 + cos (ϕ 1 ( r) ϕ 2 ( r))) (10.59) = 4I 0 cos 2 (ϕ 1 ( r) ϕ 2 ( r)) (10.60) J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.3

10.4. Interférences 103 Si les amplitudes sont différentes le résultat s écrit I = (I 1 + I 2 ) (1 + C cos (ϕ 1 ( r) ϕ 2 ( r))) (10.61) C = 2 I 1 I 2 I 1 + I 2 (10.62) Il n y a pas d interférences destructrices totales. Le coefficient C est appelé contraste ou visibilité des interférences. 10.4.3. Propriétés générales des interférences entre deux ondes Reprenons l expression générale que nous avons obtenue : I = (I 1 + I 2 ) (1 + C cos (ϕ 1 ( r) ϕ 2 ( r))) (10.63) C = 2 I 1 I 2 I 1 + I 2 (10.64) Le phénomène d interférence est associé à la différence ϕ 1 ( r) ϕ 2 ( r) entre les phases des deux ondes. Quelle que soit l amplitude des deux ondes, c est cette différence de phase qui détermine la position des maxima et des minima d intensité. Toute étude de l interférence entre deux ondes commence donc impérativement par la détermination de la différence de phase. Il est alors souvent très utile de déterminer la position des maxima et minima d intensité. L amplitude des ondes détermine le contraste des interférences. Il détermine l enveloppe des oscillation spatiale de l intensité lumineuse due à la différence de phase. 10.4.4. Addition d ondes planes Nous analysons les interférences de deux ondes planes de même amplitude dont les direction de propagation font un angle 2θ. Surfaces d intensité maximale Nous considérons une situation ou les deux vecteurs d ondes sont dans le plan yoz k 1 = k (sin θ u y + cos θ u z ) (10.65) k 2 = k ( sin θ u y + cos θ u z ) (10.66) On en déduit les phases des deux ondes ϕ 1 (x, y, z) = k sin θ y + k cos θ z + φ 1 (10.67) ϕ 2 (x, y, z) = k sin θ y + k cos θ z + φ 2 (10.68) où φ 1 et φ 2 sont les phases des deux ondes à l origine. L intensité est ( I (x, y, z) = 4I 1 cos 2 ky sin θ + ϕ ) 1 ϕ 2 2 Notes de cours version 0.3 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

104 10. Addition d ondes electromagnetiques Les surfaces d intensité maximale (appelées franges brillantes) sont les surfaces pour lesquelles l argument du cosinus est égal à mπ où m est entier c est à dire y = λ ( m + ϕ ) 2 ϕ 1 2 sin θ 2π Ce sont des plans parallèles à xoz, c est à dire au plan bissecteur des vecteurs k 1 et k 2. Ces plans sont équidistants : la distance i entre ces plans correspond à un accroissement de m égal à 1, soit i = λ 2 sin θ Lorsqu on introduit un écran parallèle à xoy par exemple, on observe donc une alternance de franges linéaires brillantes et de franges linéaires sombres. La distance i entre franges brillantes (ou sombres) est appelée interfrange. i peut être beaucoup plus grand que λ, et donc facilement observable à l oeil, si θ est petit. Par exemple : y 1mm si θ 10 3 rd et λ = 1µm. De telles interférences sont utilisées pour impressionner des surfaces sensibles afin de fabriquer des réseaux. Ce type d interférence est aussi utilisé dans les techniques de vélocimétries. Une particule en mouvement dans une zone ou interfèrent deux ondes planes passe successivement dans des maxima et minima d intensité lumineuse. Une mesure de la fréquence du clignottement de la lumière qu elle diffuse permet de déterminer sa vitesse. 10.4.5. Addition d ondes sphériques Cette situation correspond à deux antennes mises côte à côte sur l axe Oz et distantes de a. Ces dipôles sont pacés de part et d autre de l origine aux points a 1 = a 2 u z et a 2 = a 2 u z. On ne prejugera pas de l orientation de ces antennes, la seule hypothèse et que leurs directions sont parallèles. On indiquera par α l angle entre la direction d observation et l axe de l antenne (qui ne sera pas confondu avec l angle θ que fait le rayon vecteur r avec l axe Oz). Les champs électriques de ces deux antennes sont : avec E 1 = ω2 4πε 0 c 2 p e i(kr1 ωt) 1 sin α 1 u α1 (10.69) r 1 E 2 = ω2 4πε 0 c 2 p e i(kr2 ωt) 2 sin α 2 u α2 (10.70) r 2 r i = r a i (10.71) Lorsque l on se trouve loin des sources, on peut trouver une approximation de r i : ( r 1 = x 2 + y 2 + z + a ) 2 = x 2 2 + y 2 + z 2 + az + a2 (10.72) 4 = r 1 + az r 2 + a2 4r 2 r + az +.. (10.73) 2r J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.3

10.4. Interférences 105 Quels facteurs diffèrent entre les deux ondes? L amplitude qui décroit en 1 r. Par conséquent la différence des amplitudes décroit en 1. L amplitude intervient uniquement dans le contraste des interférences, elle r 2 ne joue aucun rôle dans leur existance. Dans notre cas, le contraste est quasiment 1 des que l on est loin des sources. La polarisation. L angle entre les deux polarisations est le même que celui qui existe entre les deux rayons vecteurs, cet angle tend vers zéro des que l on s éloigne. On notera que le facteur sin α associé au diagramme de rayonnement est le même pour les deux ondes des que l on est assez loin. La différence de phase qui intervient dans les interférences ϕ 1 ( r) ϕ 2 ( r) = (kr 1 + φ 1 ) (kr 2 + φ 2 ) (10.74) ay r + (φ 1 φ 2 ) = a cos θ ( r, u z ) (10.75) cette différence de phase ne tend pas vers zero ou vers une constante quand on s éloigne de l origine. L intensité est donc Lieux des interférences constructrices I ( r) = I 0 ( r) cos 2 ( k (r1 r 2 ) 2 + φ ) 1 φ 2 2 (10.76) I 0 ( r) = 1 r 2 ω 4 32π 2 ε 2 0 c4 p 1 2 sin 2 α ( r, p 0 ) (10.77) Les surfaces d intensité maximales sont les lieux où les ondes provenant des deux sources arrivent en phase. Fig. 10.1.: Deux sources de rayonnement sont placées côte à côte. Elles émettent en phase un rayonnement monochromatique. Les deux familles de cercles concentriques représentées sur le schéma correspondent chacun à l ensemble des points distant de chacune des sources d un nombre entier de longueurs d ondes. Ces points oscillent donc tous en phase. A l intersection de ces familles de cercles, les interférences sont donc constructives. Tous ces points se trouvent sur une famille d hyperboles dont les foyers sont les deux sources. Dans l espace, les interférences sont constructives quand les deux ondes arrivent en phase, c est à dire lorsque la différence des distances r 1 et r 2 qui séparent le point Notes de cours version 0.3 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

106 10. Addition d ondes electromagnetiques d observation de chacune des deux sources est un multiple de la longueur d onde r 1 r 2 = pλ où p est un entier relatif. Ces surfaces sont des hyperboloïdes de révolution. Fig. 10.2.: Les points de l espace où les interférences sont constructives sont des hyperboloides de révolution dont les foyer sont les deux points sources Pour un point situé sur la droite reliant les deux sources (abscisse z, et se trouvant entre les sources la différence des distance qui le sépare de chacune des sources est : r 1 r 2 = z + a z a = 2z 2 2 les nappes d intensité maximale coupent donc le segment reliant les deux sources aux points d ordonnée z = mλ 2 + λ(φ 1 φ 2 ). 4π Surfaces d intensité maximale Lorsque l on n est pas très éloigné des sources, la différence d intensité entre les champs provenant des deux sources peut être notable. Le contraste des interférences n est donc pas l unité. Toutefois, les points où les interférences sont constructives correspondent aux "crêtes" d intensité : voir la figure suivante Diagramme de rayonnement par conséquent A grande distance on peut faire un développement r 1 r + az +.. (10.78) 2r r 1 r 2 = az r = a cos θ (10.79) J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.3

10.4. Interférences 107 Soit une intensité Fig. 10.3.: Les zones de même teinte correspondent aux points pour lesquels le module du champ électrique est compris entre deux valeurs. La zone est d autant plus sombre que le champ électrique est intense. Nous pouvons constater que les "crêtes" de la surface ou l altitude correspond à l amplitude du champ (et dont nous voyons ici les courbes de niveau) sont les hyperboles correspondant aux interférences constructives. ( ka ( π ) I (r, θ) = I 0 ( r) cos 2 2 sin 2 θ + φ ) 1 φ 2. (10.80) 2 A grande distance, comme attendu pour raisons énergétiques, l intensité décroit en 1 r. A chaque hyperboloide correspond un lobe d émission. Fig. 10.4.: Diagramme de rayonnement en trois dimension de deux dipôles verticaux placés côte à côte. Les maxima des lobes correspondent aux angles θ m qui vérifient πa ( π ) ( ) λ sin 2 θ φ1 φ 2 + = mπ 2 ou encore ( π ) sin 2 θ = m λ a φ 1 φ 2 λ 2π a Pour les lobes dont les directions sont proches du plan équatorial (θ proche de π 2 ) l écart endre deux lobes est θ = λ a Notes de cours version 0.3 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

108 10. Addition d ondes electromagnetiques A grande distance, on peut chercher à déterminer les zones pour lesquelles le champ électrique (ou le vecteur de Poynting) est supérieur à une valeur donnée. Ces zones sont homothétique du diagramme de rayonnement. Fig. 10.5.: En grisé : représentation à grande échelle des zones pour lesquelles le champ électrique est supérieur à une valeur donnée. En trait plein : diagramme de rayonnement du système dilaté. Ce diagramme de rayonnement correspond à l ensemble des points qui reçoivent une même puissance de l antenne composite. Image sur un écran Après avoir observé la position des interférences dans l espace, nous pouvons essayer de les oserver sur un écran. Plan perpendiculaire à l axe Ox. L écran est le plan perpendiculaire à l axe Ox situé à une distance D de l origine. Nous considérons les points proches de l axe 0x (y,z << r ). r D, distance au plan d observation. que fait la droite qui joint l origine au point d observation avec le plan équatorial ( plan xoy ) est ( π 2 θ) = z D. Les franges brillantes sont alors données par z = λd ( m + ϕ ) 2 ϕ 1 a 2π Elles sont, comme dans le cas des ondes planes, situées dans des plans parallèles au plan médiateur de O 1 O 2. L interfrange i est la séparation entre deux plans d intensité maximale m et m + 1, soit i = λd a. Plan perpendicualire à l axe Oz 1 r 1 z x2 +y 2. D où 2z 3 x,y << z = D. Dans ce cas, r = z 1 + x2 +y 2, donc z 2 r 1 r 2 a (1 x2 + y 2 ) 2z 2 J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.3