Galiléo Voici quelques informations sur une situation concrète où le caractère relatif du temps est à prendre en compte. Plutôt que sur le système américain GPS, pourquoi ne pas travailler autour du système européen Galiléo, qui de plus est d actualité? Galiléo : le système européen de positionnement par satellite http://esamultimedia.esa.int/multimedia/galileo_tour/galileo.html Sur la page principale, sélectionner Comment? et Espace pour voir cette animation : Ce projet civil va venir concurrencer le système militaire américain GPS (Global Positioning System) Le dispositif est basée sur une constellation de 27 satellites (plus 3 en réserve) évoluant sur 3 orbites circulaires situées à 23222km. Le 21 octobre 2011 les 2 premiers satellites ont été envoyés depuis Kourou, 14 suivrons d ici 2014. Principe du positionnement à l aide de balises fixes : «Bientôt tous les téléphones portables et la plupart des appareils photo numériques seront équipés de puce GPS». Ce développement est lié à la simplicité du fonctionnement : Pas besoin d émettre de signaux, consommateurs d énergie, ni de disposer d une horloge atomique de grande précision.
Une autre animation sur le site indique le principe du positionnement. Sur la page principale, sélectionner Comment? pour la voir. (Remarque à propos de l animation : en 0,087s les signaux envoyés du satellite ont parcouru 26100km et non 24000km!) Le principe peut être vu par l intermédiaire d un exercice, il permet un retour sur le thème «ondes». Prenons le problème à une dimension. Pour se situer sur un axe, deux balises A et B émettrices suffisent. Elles doivent émettre chacune l heure d émission, comme une horloge parlante. Supposons que les signaux se propagent à 10km/min et que A et B soient distants de 300km, distance que doit connaître M. Si la balise A émet à 10h00 et si la balise B émet à 10h05 comme indiqué sur le schéma : M va d abord recevoir le signal de A (10h00). Supposons qu il reçoive le signal de B (10h05) 15min après réception du signal en provenance de A :
Pour se situer M n a pas besoin d une horloge à l heure : le décalage de réception de 15min suffit. Il sait que le signal a mis 15-5=10min de plus pour venir de B que de A, donc que BM-AM=100km. Puisque AB=300km, il en déduit que AM=100km et BM=200km. Le signal de A à donc été reçu à 10h10 et celui de B à 10h25. Il peut ainsi synchroniser son horloge sur celles de A et B. Un système de positionnement est donc capable de donner l heure de façon très précise (Un GPS de voiture change d heure au même instant que l on entend le 3 ème top à l autoradio, il ne prend pas d avance ou de retard comme une montre classique!) Pour se situer dans l espace à 3 dimensions, il suffit de rajouter 2 balises. A noter que les horloges des balises doivent être parfaitement synchrones, c est-à-dire être à la même heure, c est là qu intervient la relativité. On pourra se référer à l article de Jean-Michel Courty et Edouard Kierlik «Connaître sa position, un problème de relativité» du dossier spécial paru dans Pour la Science N 326. Nécessité d un temps très précis : Le système Galiléo permettra de se positionner au mètre près, voire à 10cm près. Cela nécessite une connaissance du temps à 3 milliardièmes de seconde près pour une localisation à 1 m près : Les horloges atomiques sont capables de donner une telle précision : celles embarquées dans Galiléo ne dérivent pas de plus de 10ns par jour. Pour compenser les dérives, elles sont régulièrement remises à l heure depuis des stations au sol. Pas de positionnement correct sans relativité : Comme on l a vu, les horloges embarquées dans chacun des satellites doivent être synchronisées entre elles et avec les stations au sol, ce qui est en fait impossible car les satellites sont en mouvement autour de la Terre et le temps que les horloges nous envoient est différent de celui qui s écoule sur Terre. Cet effet relativiste est-il important? Contribution de l effet de vitesse, manifestation de la dilatation du temps (relativité restreinte) : L observateur terrestre voit le satellite se déplacer à la vitesse v. Pour lui l horloge atomique en orbite bat moins vite, sa période T augmente par rapport à la période propre T 0 de la même horloge au sol : On peut évaluer la dérive sur un jour :
Le satellite évolue à 23222km de la surface de la Terre, le cours sur le mouvement des satellites permet d établir sa vitesse dans le référentiel géocentrique : D où : Attention, la plupart des calculatrices n affichent que 10 chiffres et donneront t=t 0. v étant très inférieure à c, il faut alors utiliser l approximation : Ce qui donne : Avec t 0 =1jour=86400s L horloge embarquée semble prendre un retard de t=6,5µs par jour par rapport à la même horloge sur Terre. Ce qui induit une erreur de positionnement de : Imagine-t-on se repérer à 2 km près? Remarque : La calculatrice de Windows donne plus de 30 chiffres significatifs et permet d obtenir le résultat sans approximation! En plus de cet effet, il faut ajouter un effet gravitationnel que l on ne peut pas passer sous silence vue son importance. Contribution de l effet gravitationnel : La relativité restreinte est issue de l identité des lois de la physique dans tous référentiels galiléens. L équivalence entre les effets de la gravitation et ceux d un mouvement accéléré, ce qu on appelle le principe d équivalence, a été le point de départ pour l établissement de la relativité générale. L horloge atomique se trouvant dans un satellite ne subit pas la même gravité que sur Terre, ce qui va induire une différence entre sa période T h et la période T 0 de la même horloge située sur Terre. Une façon simple basée sur le principe d équivalence, sans utiliser le formalisme de la relativité générale (mais aussi sans utiliser sa rigueur!), d établir la relation entre T h et T 0 est la suivante : Les phénomènes qui se passent dans un ascenseur en chute libre dans un champ de gravitation sont équivalents à ceux qui se passent dans un autre immobile sans gravité.
Le premier est tel que : Pour un observateur lié à l horloge H, sa période propre est T. La période de l horloge H h situé à la distance r=r+h du centre de la Terre est T h telle que : De même pour l horloge H 0 située à la surface de la Terre D où la relation entre T h et T 0 : Ici encore, on peut faire l application avec la calculatrice de Windows, sinon avec l approximation : On en déduit : ( ) ( ) T h <T 0, plus le champ de gravitation est important, plus l horloge bat lentement : le temps s écoule plus lentement au niveau de la mer qu en altitude. ( ) L application numérique pour trouver le décalage en une journée donne : ( ( Sur une journée la dérive due à la différence de gravité est t=-47,2µs ))
Remarque sur cette démonstration : Elle fait appel au principe d'équivalence : C'est là un moyen de trouver le bon résultat indépendamment de l'interprétation à lui donner ; interprétation correcte qui, elle, n'est donnée que par la relativité générale. Il n est pas question de donner cette démonstration aux élèves, mais elle permet à l enseignant de pouvoir leur faire sentir d où vient la relation. Par contre, il peut être intéressant de leur faire faire l application numérique finale. Il faut au moins leur donner la valeur. Si on combine les deux effets, on obtient une dérive de -47,2+6,5=-40,7µs, soit une erreur de positionnement de : Les horloges atomiques embarquées sont conçues pour retarder de 40,7µs par jour lorsqu elles sont au niveau de la mer pour compenser les effets relativistes une fois en orbite. Conclusion : Pour un positionnement à l aide d un Galiléo ou d un GPS à quelques mètres près, on voit bien qu il est indispensable de tenir compte de la relativité! D autres effets interviennent, - la modification de la vitesse de propagation des ondes lors de la traversée de l ionosphère. - l influence du mouvement de la Terre sur les mouvements relatifs - l ellipticité des trajectoires La position du satellite étant connue du Galiléo (ou du GPS), celui-ci peut prendre ces effets en compte. Une petite anecdote : En 1978 lors de la mise en place du système GPS, certains responsables du programme doutaient de la nécessité de tenir compte des effets de la relativité générale. Il avait été prévu la possibilité de débrancher le système de compensation de l horloge à bord des premiers satellites, possibilité qui a été supprimée dans les horloges suivantes aux vues des premiers signaux envoyés confirmant ainsi la relativité générale! D autres sources : http://www.science.gouv.fr/fr/actualites/bdd/res/2849/l-horloge-atomique-la-plus-precise-du-monde-enorbite/ http://www.science.gouv.fr/fr/dossiers/bdd/res/2749/de-la-relativite-au-gps/