Pièces Dés Pile Face Jeu de cartes Piques Coeurs Carreaux Trèfles
PROBABILITES : intuitives? Expérience lancer une pièce Evénement obtenir Face Probabilité 1/2 lancer un dé obtenir le 1 1/6 c est pair 3/6 = 1/2 lancer deux pièces deux Face 1/4 lancer deux dés on a un double 6/36 = 1/6 tirer 5 cartes d un jeu de 32 avoir un brelan 12096/201376 = 54/899 0,06
Ensembles Dénombrements PROBABILITES
1. Dénombrements 1.1 Rappels sur les ensembles A B diagramme de Venn a c b e d f a b d b f a c élément sous-ensemble = partie A = {a ; b ; c ; d ; e ; f} b A h A {a ; b ; c} A B = {{a ; b} ; {a ; c} ; {b ; d ; f}} {a ; b} B {a ; b ; c} B a B
1. Dénombrements 1.1 Rappels sur les ensembles E b a c E = {a ; b ; c} ensemble des parties d un ensemble a a b c b c a b a b c c P (E) P (E) = {{} ; {a} ; {b} ; {c} ; {a;b} ; {a;c} ; {b;c} ; {a;b;c}} {} = {a ; b} P (E) a P (E)
1. Dénombrements 1.1 Rappels sur les ensembles A 2 4 6 8 10 12 1 5 3 7 11 9 E : entiers de 1 à 12 A : nombres pairs de E B : multiples de 3 dans E E B Opérations sur les ensembles Complémentaire de A dans E : A = impairs = { 1; 3; 5; 7; 9; 11} Intersection de A et B : A B = { pair ET m3} = { 6; 12} Intersection de A et B: A B = { pair ET pasm3} = { 2; 4; 8; 10} Réunion de A et B : A B = pair OU m3 = 2; 3; 4; 6; 8; 9; 10; 12 Réunion de A et B : { } { } { } { ; ; ; ; ; ; ; } A B = impair OU m3 = 1 3 5 6 7 9 11 12
1. Dénombrements 1.1 Rappels sur les ensembles Propriétés des opérations
1. Dénombrements 1.1 Rappels sur les ensembles Propriétés des opérations A 2 4 6 8 10 12 1 5 3 7 11 9 E B
1. Dénombrements 1.1 Rappels sur les ensembles Cardinal d un ensemble A 2 4 6 8 10 12 1 5 3 7 11 9 E B Tableau de contingence
1. Dénombrements 1.1 Rappels sur les ensembles Cardinal d un ensemble Exercice 1 B B A A = Card(B) = Card( B). = Card(A) = Card( A) = Card(E)
TC Mathématiques S2 2. Dénombrements Objectif : dénombrer les issues possibles d une expérience Objet Ensemble initial expérience Univers = {issues} # =? ex : pile ou face {F,P} ex : lancer un dé {1,2,3,4,5,6} deux lancers trois lancers Univers = {PP, PF, FP, FF} :# = 4 Univers = {111, 112, 113, }:# =?
TC Mathématiques S2 ex : pile ou face Raisonnement : cas différents? {P,F} : n = 2 ex : jeu de 52 cartes 2. Dénombrements { } : n = 52 3 lancers p = 3 prendre 3 cartes p = 3 n = # d éléments disponibles p= # d éléments à choisir Exemple d issue : Exemple d issue : Nombre total d issues possibles P P F Répétition? O/N Ordre? O/N
TC Mathématiques S2 2.1 p-listes 2. Dénombrements Ensemble initial : {1,2,3,4,5} : n = 5 nombres de 2 chiffres p = 2 issues : Nombre d issues possibles : 25 n= # d éléments disponibles = 5 p= # d éléments choisis = 2 Répétition? Oui Ordre? Oui Les issues sont nommées «p-listes» (ici : 2-listes)
TC Mathématiques S2 2.1 p-listes 1 er chiffre 2. Dénombrements Construisons un ARBRE DE CHOIX : 1 2 3 4 5 2 d chiffre 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 Cet arbre à deux niveaux montre 25 terminaisons : 5 fois 5 branches = 5 2 Pourquoi 5? n = 5 Pourquoi 2 niveaux? p = 2 Nombre de p-listes: 5 2 = n p = 25
TC Mathématiques S2 2.1 p-listes 2. Dénombrements Répétition Ordre O O p-listes: np N N Définition : Une p-liste est une liste Ordonnée de p éléments pris dans un ensemble, avec répétition possible. Résultat : le nombre de possibles p-listesformées parmi néléments est n p. Exercice 7 : * De combien de façons peut-on placer 2 objets dans 3 tiroirs? * Combiende nombresde 4 chiffrescontiennentuniquement1, 2 ou3? * Combien de mots de 5 lettres obtenons-nous avec {a ; b ; e ; m ; i ; r ; o}?
TC Mathématiques S2 2. Dénombrements 2.2 Arrangements Ensemble initial : {1,2,3,4,5} : n = 5 nombres de 2 chiffres différents p = 2 issues : Nombre d issues possibles : 20 n= # d éléments disponibles = 5 p= # d éléments à choisir = 2 Répétition? Non Ordre? Oui Les issues sont nommées «arrangements»
TC Mathématiques S2 2. Dénombrements 2.2 Arrangements Construisons un ARBRE DE CHOIX : 1 er chiffre 1 2 3 4 5 2 d chiffre 2 3 4 5 1 3 4 5 1 2 4 5 1 2 3 5 1 2 3 4 Cet arbre à deux niveaux montre 20 terminaisons : 5 fois 4 branches = 5 4 Pourquoi 5? n = 5 Pourquoi 4? p = 2 2 niveaux pas de répétition 1 possibilité en moins à chaque nouveau niveau nombre d arrangements : 5 4 = 20
TC Mathématiques S2 2. Dénombrements 2.2 Arrangements O Ordre N Répétition O p-listes: np N Arrang. A n p Définition : Un arrangement est une liste ordonnée de p éléments différents pris dans un ensemble. Résultat : Le nombre de possibles arrangements de p éléments pris dans un ensemble de néléments est p n! (n-p)! A = n
TC Mathématiques S2 Casio 2. Dénombrements 2.2 Arrangements Exercice 8 : * Combien de couples délégué/assistant à partir de 25 étudiants? * Empilements de 3 blocs, choisis parmi 10 blocs de couleurs différentes? * Combiende mots de 5 lettresdifférentesexistent avec {a, b, e, m, i, r, o}? entrer n touche : OPTN menu écran : PROB menu écran : npr entrer p touche : EXE TI entrer n touche: MATH menu écran : PRB menu écran : npr ou Arrangements entrer p touche: ENTER
TC Mathématiques S2 2. Dénombrements 2.3 Combinaisons Ensemble initial : {1,2,3,4,5} : n = 5 prendre 2 chiffres différents p = 2 issues : Nombre d issues possibles : 10 n= # d éléments disponibles = 5 p= # d éléments à choisir = 2 Répétition? Non Ordre? Non Les issues sont nommées «combinaisons»
TC Mathématiques S2 2. Dénombrements 2.3 Combinaisons Comparons combinaisons et arrangements : Combinaisons :{1,2};{1,3};{1,4};{1,5} ;{2,3};{2,4};{2,5}; {3,4};{3,5};{4,5} # = 10 (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,3) (2,4) (2,5) (3,4) (3,5) (4,5) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (3,2) (4,2) (5,2) (4,3) (5,3) (5,4) permutations de la combinaison {1,2} # = 2 ensemble des arrangements # = 20 Nombre de combinaisons : = 10
TC Mathématiques S2 2. Dénombrements 2.3 Combinaisons O Ordre N Répétition O p-listes: np N Arrang. A n p Combin. C p n Définition : Une combinaison est un ensemble (pas d ordre) formé de p éléments différents pris dans un ensemble. Résultat : le nombre de possible combinaisons de p éléments pris p n! dans un ensemble de néléments est C n= p!(n-p)!
TC Mathématiques S2 2. Dénombrements 2.3 Combinaisons Exercice 9 : * Combien de couples possibles de délégués, parmi 25 étudiants? * Combiende mains de 8 cartesà partird un jeude 32? * Combiende tiragesde 6 entiersdifférents, à choisirentre 1 et 49? Casio entrer n touche : OPTN menu écran : PROB menu écran : ncr entrer p touche : EXE TI entrer n touche : MATH menu écran : PRB menu écran : ncr ou Combinaisons entrer p touche : ENTER
2. Probabilités 2.1 Expérience aléatoire et événements Expérience aléatoire Univers Lancer un dé, noter son résultat Ω= {1;2;3;4;5;6} Issues Organiser une course, noter le podium A B C D E F G H B C F Ω= { (C,F,B) ; (B,E,A) ; (E,G,H) ; (D;B;C) ; } Issues
2. Probabilités 2.1 Expérience aléatoire et événements A : obtenir un nombre pair Ω= {1;2;3;4;5;6} A = {2;4;6} B : obtenir au moins 3 Ω = {1;2;3;4;5;6} B = {3;4;5;6} Evénements A B : A ET B : pair ET au moins 3 Ω = {1;2;3;4;5;6} A B = {4;6} A B : A OU B : pair OU au moins 3 Ω = {1;2;3;4;5;6} A B = {2;3;4;5;6} C : obtenir au plus 2 Ω= {1;2;3;4;5;6} C = {1;2} Ω est certain est impossible Contrairede A : A : tout sauf A obtenir un nombre impair A = {1;3;5} B et C sont contraires: B = C et C = B B et C sont donc incompatibles [obtenir 4] et [obtenir moins de 3] sont incompatibles
2. Probabilités 2.2 Probabilité sur un ensemble fini EX 17, 18, 19 Événement A Contient certaines possibilités parmi d autres A est une partie de Ω Entre 0% et 100% des possibilités 0 p(a) 1 Égalités ou relations valables DANS TOUS LES CAS : Si EQUIPROBABILITE des issues : ( ) ; ( ) ; ( ) p = 0 0 p A 1 p Ω = 1 ( ) + ( ) = ( ) + ( ) = ( ) p A p A 1 p A B p A B p A ( ) = ( ) + ( ) ( ) p A B p A p B p A B ( ) p A = Card Card ( A) ( Ω)
2. Probabilités 2.2 Probabilité sur un ensemble fini Probabilités conditionnelles On montre que : Cas particulier : A ( ) p B = ( ) p( A) p A B EX 20, 21, 22 Deux événements A et B pas forcément incompatibles Chacun a sa probabilité d apparaître, sans autre information : p(a), p(b) Cas général : si on sait que A s est produit, alors cette information peut faire évoluer la probabilité que B se soit produit. p(b) devientp A (B). Si l information «A s est produit» n a pas modifié p(b), donc si p A (B) = p(b), alors A et B sont dits INDEPENDANTS. Équivalence : p(a B) = p(a) p(b)
0 2. Probabilités 2.3 Loi de probabilité discrète 8 5 A D 2 C Ω B EX 28 Ω est partitionné. A chaque événement, on associe une valeur. Liste des valeurs : X = «variable» Chaque valeur a donc sa probabilité d apparaître. X = «variable aléatoire» «Loi de probabilité» de X : x i 8 5 2 0 p i p(a) p(b) p(c) p(d)