-1- PLANCHE-MATH MATH9- Equations du premier degré Dans la plupart des problèmes de mathématiques, même les plus simples, il s agit de chercher un nombre inconnu vérifiant une certaine égalité nommée équation. Nous nous intéressons dans cette planche, aux équations les plus simples dites équations du premier degré. I. Définition et vocabulaire On appelle équation du premier degré tout égalité de la forme (ou se ramenant à cette forme) : a x + b = 0 dans laquelle a et b sont des nombres connus appelés les coefficients de l équation, et x un nombre inconnu appelé l inconnue de l équation. Résoudre l équation (c est l objectif majeur de ce chapitre) revient à trouver la valeur de x appelée la solution de l équation pour laquelle l égalité est vraie. EXEMPLES D EQUATIONS DU PREMIER DEGRE L égalité 2x+3 = 0 est une équation du premier du premier degré dont l inconnue est x. L égalité 3t 6 = 0 est une équation du premier du premier degré dont l inconnue est t. Dans une équation le symbole égal (=) permet de distinguer deux membres : On appelle premier membre de l équation toute ce qui est à gauche du symbole égal (=). On appelle second membre de l équation toute ce qui est à droite du symbole égal (=). II. Transformation des équations Dans une équation on peut transférer un terme d un membre à l autre selon la règle précise et très stricte suivante qui permettra de résoudre les équations.
-2-1. REGLE : Lorsqu un terme passe d un membre de l équation à l autre, il change de signe. 2. EXEMPLES : L équation 2x+3 = 0 est équivalente à 2x = 3. (On a transféré 3 dans le second membre ; notez bien le changement de signe). L équation 3t 6 = 0 est équivalente à 3t = 6. (On a transféré 6 dans le second membre où il devient 6). III. Méthode générale de résolution d une équation du premier degré Pour résoudre une équation du premier degré il faut suivre les différentes étapes suivantes : ETAPE 1 : On su On supprime les parenthèses (s il y en a) en développant selon les règles de développement présentées dans la planche 8. 8 ETAPE 2 : On regroupe (par transfert) dans le membre de gauche les termes contenant l inconnue x (ou t, ) et dans le membre de droite les termes ne contenant pas l inconnue. NOTE : Pensez à bien changer le signe de chaque terme tran Pensez à bien changer le signe de chaque terme transféré. ETAPE 3 : On calcule (par réduction) dans chaque membre de l équation qui prend alors la forme suivante : a x = ETAPE 4 : On détermine enfin la solution b On détermine enfin la solution de l équation en appliquant le théorème classique suivant : THEOREME : Soit l équation Soit l équation ax = b. b Si le nombre a est non nul (a 0), alors la solution de cette équation est b x =. a REMARQUE : Lorsque tous les nombres sont solutions si b = 0. Lorsque a = 0,, cette équation n a aucune solution si b 0 ; et
-3- APPLICATION ET EXECUTION DES N 1 : Résoudre chacune des équations suivantes : 1 x 2 = 0 ; 2 2 x = 12 ; 3 0,4x = 2 ; 4 5 x 15 = 0 ; 5 8 x 7 = 9 ; 6 4 x 3 = 7x + 12 ; 7 2 ( x + 1) 5 = x + 3. 1 x 2 = 0 donc x = 2 (on a juste transféré 2 dans le second membre). La solution de l équation est donc 2. 12 2 2 x = 12 ; en appliquant le théorème on obtient directement = = 6 2 La solution de l équation est donc 6. 3 0,4 = 2 2 x ; le théorème nous donne facilement = = 5 0,4 La solution on de l équation est donc 5. 4 5 x 15 = 0 ; en regroupant les termes en x à gauche et les nombres à droite, on obtient : 15 5 x = 15. Le théorème donne enfin = = 3 5 La solution de l équation est donc 3. 5 8 x 7 = 9 ; en regroupant les termes en x à gauche et les nombres à droite, on obtient 8 = 9 + 7 16 x c est-à-dire 8x = 16. D où = = 2 8 La solution de l équation est donc 2. 6 4 3 = 7x + 12 x ; en regroupant les termes en x à gauche et les nombres à droite, l équation devient 4x 7x = 12 + 3, c est-à-dire 3x = 15. D où 15 = = 5 3 La solution de l équation est donc 5. 7 2 ( x + 1) 5 = x + 3 ; on commence par supprimer les parenthèses en développant. On a alors successivement 2 ( x ) + 2 (1) 5 = x + 3 ou encore 2 x + 2 5 = x + 3. On groupe alors les termes en x à gauche et les nombres à droite et on obtient 2 + x = 3 2 + 5 La solution de l équation est donc 2. REMARQUE : 6 x ; c est-à-dire 3 x = 6. On a enfin = = 2 3 Dans le théorème de résolution ( (ax =b donc «s arrache» à x qui divise b et non l inverse. b x = a ),, c est le nombre a qui
-4- II. Les problèmes du premier degré Les problèmes du premier degré sont des problèmes dont la résolution nécessite d écrire puis de résoudre une équation du premier degré. Le niveau de difficulté varie évidemment d un problème à l autre. Dans cette partie qui termine ce chapitre, nous allons examiner un certain nombre de problèmes du premier degré. PROBLEME N 1 : APPLICATION ET EXECUTION DES Si on ajoute 8 au triple d un nombre on obtient 50. Quel est ce nombre? METHODOLOGIE (A SUIVRE!) Pour résoudre un problème du premier degré, il faut : Lire très attentivement l énoncé puis choisir l inconnue du problème (qui est généralement ce qu on cherche). NOTE : Ce choix est déterminant car il conditionne la résolution du problème. Exprimer les données du problème en fonction de l inconnue choisie ie (c est-à- dire les calculer à l aide de cette inconnue) pour aboutir enfin à une équation du premier degré. NOTE : C est l étape la plus délicate. Résoudre l équation ainsi obtenue (à l aide des techniques qu on vient d étudierd étudier) puis énoncer enfin la solution du problème posé. Revenons maintenant à notre problème et appliquons à la lettre cette méthodologie. Soit x le nombre cherché, alors le triple de ce nombre est 3x. Si on ajoute 8 à ce triple, on obtient alors 3x +8. L énoncé dit précisément que ce résultat vaut 50. On a donc l équation : 3x +8 =50 qu il s agit maintenant de résoudre. Or l équation 3x +8 =50 équivaut à 3x =50 8 ; c est-à-dire 3x = 42. 42 D où x = = 14. 3 Le nombre cherché est donc 14. PROBLEME N 2 : APPLICATION ET EXECUTION DES La somme de deux nombres est 173.. L'un d'eux dépasse le triple de l'autre de 5.. Trouver ces deux nombres.
-5- Désignons par x le plus petit des deux nombres, alors son triple est 3x. Le deuxième nombre dépasse ce triple de 5 ; donc il vaut 3x+5. Les deux nombres cherchés sont donc x et 3x+5, et leur somme vaut alors x + 3x+5. Or l énoncé précise que cette somme vaut 173 ; on a alors l équation x + 3x+5 = 173. On résout maintenant cette équation qui équivaut à x + 3x = 173 5 ; c est-à-dire 168 4x =168. On a donc x = = 42 puis 3x+5 =3 42+5 = 131. 4 Les nombres cherchés sont donc 42 et 131. PROBLEME N 3 : APPLICATION ET EXECUTION DES La somme de trois entiers consécutifs est 123.. Quels sont ces entiers? Désignons par x le plus petit des trois entiers cherchés, alors les deux autres entiers sont x +1 et x +2 (consécutifs veut dire qui se suivent). La somme des trois entiers est donc x + x + 1 + x + 2 = 3x + 3. Or l énoncé dit que cette somme est égale à 123. On a donc l équation 3x+3 = 123. Cette équation équivaut à 3x = 123 3 ; c est-à-dire à 3x = 120. On a alors 120 x = = 40. 3 Les entiers cherchés sont donc 40 ; 41 et 42. PROBLEME N 4 : APPLICATION ET EXECUTION DES Un libraire a vendu 12 livres, les uns à 6,40 et les autres à 9,, pour une somme totale de 89,80.. Calculer le nombre de livres de chaque sorte. Désignons par x le nombre de livres à 6,40. Comme il y a 12 livres au total, le nombre de livres à 9 est alors 12 x. Le montant total des livres vendus est donc 6,40x + 9(12 x). Or d après l énoncé, ce montant vaut 89,80. On a 144 2443 144 2443 Pr ix de x livres 6,40 Pr ix de 12 x livres 9 donc l équation 6,40x + 9(12 x) = 89, 80 qu il faut maintenant résoudre. On commence par développer ; ce qui donne 6,40x + 108 9x = 89, 80 puis 18,2 6,40x 9x = 89,80 108. On a alors 2,6x = 18, 2 et finalement x = = 7. 2,6 Le libraire a donc vendu 7 livres à 6,40 et 5 livres à 9.
-6- PROBLEME N 5 : APPLICATION ET EXECUTION DES Pauline achète un soutien-gorge à 24, un pantalon à 36 et une paire de chaussures à 49.. Une remise de x % lui est accordée sur les deux premiers articles. Le tout lui revient alors à 101,80.. Calculer le pourcentage de la remise x. 24 x Avec la remise de x % le prix net du soutien-gorge est 24 = 24 0,24x ; 123 100 Re mise Re mise 36 x Avec la remise de x % le prix net du pantalon est 36 = 36 0,36x ; 123 100 La paire de chaussure (il n ya pas de remise) coûte 49. Le montant total des achats de Pauline est donc 24 0,24x + 36 0,36x + 49 = 109 0, 6x. L énoncé se traduit donc par l équation 109 0,6x = 101,80 qu il faut maintenant résoudre. On a immédiatement 0,6x = 101,80 109 ; c est-à-dire 0,6x = 7,20. D où 7,20 x = = 12. 0,6 Le pourcentage de la remise est donc de 12 %.
-7- EXERCICES A FAIRE ET A RENVOYER : EXERCICE N 1 : Résoudre les équations suivantes puis contrôler vos solutions : 1 0,5x = 4 (la solution est 8) ; 2 4 x 3 = 13 (la solution est 4) ; x 3 14 x 9 = 5x + 29 (la solution est 2) ; 4 5 2 = 0, (la solution est 1) ; 5 11 7x = 2x 7 (la solution est 2) ; 6 2 x + 1 = 9x + 8 (la solution est 1) ; 7 5 (2x + 1) 12 = 7x + 2 (la solution est 3) ; 8 18 3( x + 2) = 12 (la solution est 0). EXERCICE N 2 : Le salaire S d'un représentant de commerce se calcule selon la formule : S = 0,0975x + 840 où x est le montant (en ) ) des ventes mensuelles qu'il réalise. 1 Calculer le salaire si le montant des ventes est 5600. 2 Si le salaire perçu est de 1230,, quel est le montant des ventes réalisées? EXERCICE N 3 : 25 enfants se réunissent pour acheter un ballon de football. Au dernier moment, 4 d'entre eux ne peuvent pas payer, et chacun des autres doit alors payer 1,60 de plus pour s'acquitter du prix du ballon. Combien le ballon coûte-t-il? EXERCICE N 4 : La consommation en carburant C (exprimée en litres) d une automobile est donnée par la formule C = 0,025 d + 0, 125, où o d est la distance en km parcourue. 1. Calculer la consommation correspondant à une distance de 25 km. 2. Déterminer la distance parcourue lorsque la consommation en carburant est de 2 L.
-8- EXERCICE N 5 : (TRES DIFFICILE!!!!!!!) Dans ma classe, hier, il y avait 8 fois plus de présents que d'absent. Aujourd'hui, il y a 2 absents de plus qu'hier et le nombre de présents est 5 fois plus que le nombre d'absent. Combien y a-t-il d'élèves dans ma classe?