I. Rappel 1.1 Egalité 1.1.1 Définition Lorsque deux vecteurs ont même longueur, même direction et même sens, ils sont égaux. Le sens de vers est le même que le sens de vers D - même longueur D - même direction - même sens = D 1.1.2 Vecteurs et milieu de segment Soient trois points, I et. Le point I est le milieu du segment [] si et seulement si I = I I 1.2 Sommes de vecteurs L'addition vectorielle est une loi de composition interne et possède certaines propriétés comme, l associativité, la commutativité, l élément neutre, la symétrie. Une loi de composition interne est une application qui, à deux éléments d'un ensemble E, associe un autre élément de E. utrement dit, c'est une opération binaire ayant lieu à l intérieur d un ensemble sans l affecter.
1.2.1 Vecteurs et parallélogrammes Soient quatre points,, et D. Le quadrilatère D est un parallélogramme si et seulement si = D. D D + D = 1.2.2 Relation de hasles Les vecteurs peuvent s additionner de manière analogue à celle de l addition de nombres. + = + = Relation de hasles Prenons un exemple pour illustrer la manière avec laquelle nous résolvons une addition de vecteur : E D + D + DE + E + + E + E + + =?
Je conseille de ne pas essayer de se représenter de schéma dans sa tête, qui plus est, lorsque l on en viendra aux vecteurs de l espace Il suffit simplement de supprimer les lettres identiques et contiguës : + D + DE + E + + E + E + + = = 0 qui est noté 0 est appelé vecteur nul. + + E D + DE E = + + E (D + ED ) E = E (ED + D ) E = (E ) = E 1.2.3 Soustraction de vecteurs omme on l a vu, pour soustraire un vecteur, il suffit d ajouter son opposé. Soient O,, et trois points quelconques. O O = O + O = 1.2.4 onclusion u lieu de noter nos vecteurs, ou, Nous nommerons à présent nos vecteurs par une lettre soient U, V, etc ssociativité : (U + V ) + W = U + (V + W ) ommutativité : U + V = V + U Elément neutre : U + 0 = 0 + U = U Elément symétrique : U + ( U) = 0
1.3 Multiplication d un vecteur par un scalaire 1.3.1 Définition Le produit d'un vecteur V par un scalaire α est un vecteur, noté α V, tel que : Sa direction est celle de V Son sens : celui de V si α > 0, celui de V si α < 0. En algèbre linéaire, les nombres réels qui multiplient les vecteurs dans un espace vectoriel, sont appelés des scalaires. Sa norme est égale au produit de celle de V par la valeur absolue de α : α V = α V. En géométrie, la norme est une extension de la valeur absolue des nombres aux vecteurs. Soit u (x, y) u = x 2 + y 2 1.3.2 Propriété La multiplication d'un vecteur par un scalaire est une loi de composition externe qui vérifie les propriétés : Distributivité par rapport à l'addition des vecteurs : α(u + V ) = αu + αv Distributivité par rapport à l'addition des scalaires : (α + β)u = αu + βu ssociativité : α(βu ) = (αβ)u Elément neutre : 1U = U 1.3.3 Loi de composition : Soient trois ensembles E, F et G (non vides). Toute application de E x F (produit cartésien de E par F) vers G est appelée loi de composition de E x F à valeurs dans G. ompositions interne et externe : Exemples : L'addition et la multiplication dans N, ensemble des entiers naturels, sont des lois de composition internes dans N. 2 3 = 5
La soustraction n'est pas une loi de composition interne dans N : par exemple, 2 + ( 3) n'est pas un entier naturel ; elle en est une dans Z, ensemble des entiers relatifs. 2 3 = 1 Z La multiplication suivante est une loi de composition interne dans l ensemble des naturels. 2 3 = 6 La division n'est pas une loi interne dans N* : par exemple, 2 3 n'est pas un entier naturel, mais elle en est une dans Q*, ensemble des nombres rationnels. Diviser revient à multiplier par l inverse Q 2 1 3 = 2 3 La multiplication d un vecteur par un scalaire est une loi de composition externe. α U = αu
II. Les barycentres 2.1 introduction Le barycentre, du Grec βαρύ-ς «lourd» et κέντρ-ον «centre» est le centre de gravité autour duquel deux corps ou plus orbitent. e concept est important au sein de champs d étude tels que l astronomie ou l astrophysique. En géométrie, le terme de «barycentre» est synonyme de centre géométrique d une forme à deux dimensions. G P 1 Kg 2 Kg P Une tige de masse négligeable en équilibre sur un support. G [] G = 2 G G = 2 G G + 2 G = 0 G est le barycentre des points pondérés ( ; 1) et ( ; 2). On montrera que G est le barycentre des points pondérés ( ; 1) et ( ; 2), que H est celui de (G ; 3) et ( ; 4) et enfin, que H est celui de ( ; 1), ( ; 2) et ( ; 4). 1 Kg P G + 2 G = 0 G H 3 HG + 4 H = 0 G + 2 G + 3 HG + 4 H = 0 2 Kg P 4 Kg P 2(HG + G ) + (HG + G) + 4H = 0 2 H + H + 4H = 0 H est le barycentre des points pondérés ( ; 1), ( ; 2) et ( ; 4).
2.2 arycentre de deux points pondérés 2.2.1 Démonstration Soient α, β R. «points pondérés ( ; α) et ( ; β)» signifie que et se voient affectés des coefficients respectifs α et β. Posons l expression suivante qui définit un point et seul point G de la droite (), soit le barycentre des points pondérés ( ; α) et ( ; β) : αg + βg = 0 αg + β(g + ) = 0 (α + β)g + β = 0 (α + β)g = β (α + β)g = β Deux cas de figures se présentent à nous : 1. Soit α + β 0 (α + β)g = β G = 2. Soit α + β = 0 β α+β (α + β)g = β 0 G = β β = 0 β = 0 ou = 0 ou encore = Par conséquent, si β 0 et alors 0 G = β 0 G = 0 S = On montre dans ce cas présent que si les deux conditions ne sont pas réunis, il est impossible d avoir une solution. En revanche, tout point est solution de 0 G = β
2.2.2 pplication Soient deux points et distincts ( ). Localiser sur une figure le barycentre G des points pondérés (, 4) et (, 6). Traduction en langage mathématique : Procédons à une résolution de cette équation : 4G 6G = 0 4G 6(G + ) = 0 2G 6 = 0 2G = 6 2G = 6 G = 3 G III. Vecteurs de l espace 3.1 Définitions 3.1.1 Terminologie 3.1.1.1 ase Tout triplet (i, j, k ) de vecteurs non coplanaires est appelé base de l ensemble des vecteurs de l espace. 3.1.1.2 Repère Tout quadruplet (O, i, j, k ), où O est un point de l espace et (i, j, k ) une base est appelé repère de l espace. u et v forment une base dans R 2 et w, une combinaison telle que : u + v = w
3.1.1.3 Orthogonalité Si les vecteurs de la base sont orthogonaux deux à deux, alors le repère est dit orthogonal. ttention à ne pas confondre perpendicularité et orthogonalité ; le premier, se dit pour le plan ; le second s utilise dans l espace. 3.1.1.4 Norme Si la norme de chacun de ces vecteurs (i, j, k ) est égale à 1 alors le repère est dit orthonormé (en considérant qu il soit déjà orthogonal). Sinon, il est simplement normé. 3.1.1.5 Dimensions Tout le monde connait la notion de 3D. D une manière générale, la dimension R n est n. Si n = 1, l espace vectoriel est une droite numérique. Si n = 2, nous avons un plan normé. Si n = 3, un espace. Enfin, si n > 3, c est un hyper-espace ou espace à n dimensions.
3.1.2 aractérisation vectorielle des plans de l espace Pour définir un plan unique, il est nécessaire d avoir deux vecteurs non colinéaires et un point. Soient, par exemple, deux vecteurs u et v et un point. Nous avons le plan () tel que u = et v =. Nous voyons que si et sont colinéaires, il est impossible de définir un plan ; ces deux vecteurs ne permettent pas dans ce cas d obtenir trois points non alignés. Le plan () est défini par u = et v =.
Une combinaison du type w = au + bv (a, b R) définit un vecteur w appartenant au même plan que u et v. On dit que ces trois vecteurs sont coplanaires. w = 2v u Soient trois vecteurs non coplanaires u, v, w. Tout vecteur s écrit comme étant une combinaison linéaire de ces trois vecteurs. Pour tout vecteur t, il existe 3 réels a, b et c tels que t = au + bv + cw. Une combinaison linéaire sert à définir un vecteur en utilisant d autres vecteurs déjà définis. On appelle coefficient le nombre qui vient en facteur de vecteurs dans une combinaison linéaire. Dans l exemple ci-dessous, u et v sont des vecteurs combinés et les nombres 3 et 2 des coefficients : 3u 2v = w