Cours de béton armé 14: Flambement BAC3 - Helmo -Gramme 1 Dr Ir P. Boeraeve - Unité 9 Construction - 2007
Effet du second ordre = Effets induits par la déformation de la structure Compression centrée d une colonne idéale «parfaitement droite» Pas d effet du second ordre 2
Effet du second ordre Compression centrée d un élément élancé «réel» 3
Effet du second ordre Prise en compte des effets du 2 nd ordre M Ed = M 0Ed + M 2 où : M 0Ed est le moment du premier ordre, compte tenu de l'effet des imperfections : EC2 6.1(4) excentricité minimale: e 0 = max(h/30;20 mm), h étant la hauteur de la section EC2 5.2 (9) voiles et poteaux isolés dans les structures contreventées : excentricité additionnelle e i = l 0 /400 pour couvrir les imperfections liées aux tolérances normales d'exécution. 4
Exemple Béton C25/30, enrobage 25mm Colonne 30cmx30cm avec 4Φ16 dans les coins, étriers Φ6. h=4m, bi-articulée N ED = 1000 kn AXIAL COMPRESSION, N, kn 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 M min 0 0 20 40 60 MOMENT Mx 80 100 knm 542 0.1fcuAc 5 Excentricité minimale (20mm) Excentricité additionnelle e i = l 0 /400=1cm -> exc tot=30mm M 0ED = 1000.0,03= 30 kn.m
Effet du second ordre Prise en compte des effets du 2 nd ordre M Ed = M 0Ed + M 2 où : est le moment nominal du second ordre et vaut : M 2 M 2 = N Ed e 2 où : N Ed e 2 est l'effort normal agissant de calcul est la déformation de second ordre 6
Effet du second ordre Colonne infiniment rigide, effort excentré de e 0 7
Effet du second ordre Colonne élancée e 2 8
Effet du second ordre Non prise en compte des effets du 2 nd ordre si : λ = l 0 / i < λ lim où : l 0 est la longueur efficace de la colonne i est le rayon de giration de la section de béton non fissurée 9
Effet du second ordre Non prise en compte des effets du 2 nd ordre si : λ = l 0 / i < où : λ lim = 20 A B C / n A = 1 / (1+0,2ϕ ) ( ef si ϕ ef n'est pas connu, on peut prendre A = 0,7) B = (1 + 2ω) 0,5 (si ω n'est pas connu, on peut prendre B = 1,1) C = 1,7 - r m (si r m n'est pas connu, on peut prendre C = 0,7) ϕ ef coefficient de fluage effectif ω = A s f yd / (A c f cd ) (ratio mécanique d'armatures ) A s est l'aire totale de la section des armatures longitudinales n = N Ed / (A c f cd ); effort normal relatif r m = M 01 /M 02 ; rapport des moments M 01, M 02 sont les moments d'extrémité du premier ordre, M 02 M 01 10
Exemple Béton C25/30, enrobage 25mm Colonne 30cmx30cm avec 4Φ16 dans les coins, étriers Φ6. h=4m, bi-articulée, pas de prise en compte du fluage N ED = 1000 kn l 0 = 400 cm I bh 3 /12 h i = 8.66 cm A = bh = 12 = λ = l / i = 46.19 0 11
Exemple Non prise en compte des effets du 2 nd ordre si : λ = l 0 / i = 46.2 < où : λ lim = 20 A B C / n A = 1 (ϕ ef =0 pas de prise en compte du fluage) B = (1 + 2ω) 0,5 =1.24 C = 1,7 - r m = 0.7 ω = A s f yd / (A c f cd ) = 0.2743 n = N Ed / (A c f cd ) = 10 6 /(300x300x14.17)=0.78 r m = M 01 /M 02 = 1 λ lim = 20 A B C / n =15.82 prise en compte des effets du 2nd ordre 12
Longueur de flambement : l o Structures contreventées (Braced) Structures non contreventées (Unbraced) 13
Longueur de flambement : l o Structures contreventées Structures non contreventées 14
Effet du second ordre Prise en compte des effets du 2 nd ordre M Ed = M 0Ed + N Ed e 2 où : N Ed est l'effort normal agissant de calcul e 2 est la déformation de second ordre e 2 = (1/c). (1/r) l o 2 15
Effet du second ordre Prise en compte des effets du 2 nd ordre e 2 = (1/c). (1/r) l o 2 2 d y dx 1/r est la courbure, mais la courbure n est pas constante sur la hauteur de la colonne. 2 = χ = 1 r Variation de la courbure sur la hauteur 1/c 1/10 (EC2) 1/r = K r K ϕ 1/r 0 16
Calcul de la courbure 1/r Que vaut la courbure en ce point du diagramme d interaction? 17
Calcul de la courbure 1/r Que vaut la courbure en ce point du diagramme d interaction? 1 r bal = (0.0035 + f / E ) / d 1 l ' EC2 prend : = ε yd /(0.45 d) r 0 yd s 18
Calcul de la courbure 1/r 1/r trouvé par interpolation 19
Exemple Béton C25/30, enrobage 25mm Colonne 30cmx30cm avec 4Φ16 dans les coins, étriers Φ6. h=4m, bi-articulée, sans fluage N ED = 1000 kn Calc effet 2nd ordre 1/rbal 1.851E-05 mm-1 Kφ 1 Kr 0.5431948 1/r 1.005E-05 mm-1 e2 20.108273 mm M2 20.108273 knm Mtot 50.108273 knm 20
Fluage Charges quasi-permanentes Charges permanentes Ψ 2 x Charges variables 21
Fluage E c,eff = E cm (t 0 ) / (1 + φ(t,t 0 )) -t 0 est l'instant initial du chargement -t est l'instant considéré du calcul -E cm (t 0 ) le module d'young au moment du chargement -φ(t,t 0 ) le coefficient de fluage à la référence de 28 jours 22
Fluage A 1 ère étape : choisir t 0 instant initial du chargement A 23
Fluage A 2 ème étape : tracer droite par 0 et A 24
Fluage A 25 3 ème étape : calculer h0 et rechercher φ(,t 0 ) h 0 = rayon moyen = 2Ac /u
Fluage A 26 3 ème étape : calculer h 0 et rechercher φ(,t 0 ) Colonne 30cmx30cm h 0 = 2x30x30/(4x30)=15cm φ(,t 0 )=2.8
Fluage Colonne 30cmx30cm h 0 = 2x30x30/(4x30)=15cm φ(,t 0 )=2.8 et on a : ϕ ef = ϕ (,t 0 ) M 0Eqp / M 0Ed donnée ho ϕ (,t 0 ) 2.8 150 mm M0Eqp= 17.6471 knm M0ED= 30 knm φef= 1.64706 27
Fluage A XIA L C OMPR ES SION, N, kn 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 Prise en compte du fluage effets du second ordre encore plus forts M min 50.7 56.5 0.1fcuAc selon EC nu 1.27425327 n 0.78431373 nbal 0.4 Kr 0.56040917 Kφ 1.27519035 1/r= 1.3227E-05 e2= 26.4544898 mm M2 Mtot= 26.4544898 knm 56.4544898 knm 28 0 0 20 40 60 80 100 MOMENT Mx knm 42.0 Au lieu de Mtot=50.7 knm, sans fluage