Chapitre IX SKIZ et Ligne de partage des eaux

Chapitre IX SKIZ et Ligne de partage des eaux SKIZ euclidien et géodésique Fonction distance Ligne de partage des eaux Définition et propriétés Algorithmes J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology IX. 1

Le squelette par zones d'influence : SKIZ Définition (C.Lantuejoul) : Considérons un compact X de R 2. La zone d'influence d'une composante X i de X est l'ensemble des points du plan qui sont plus près de X i que de toute autre composante Le SKIZ est alors la frontière de ces zones d'influence. SKIZ Zone d'influence Construction : En digital, le SKIZ se construit en deux étapes : 1) Amincissement du fond (avec "L" en maille hexagonale) 2) Ebarbulage du résultat de l'amincissement (avec "E" en maille hexagonale) J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology IX. 2

SKIZ géodésique Soit, dans R 2, Y = { Y i, i Ι } formé de I composantes connexes compactes, toutes incluses dans le compact X. La zone d' influence géodésique de Y i dans X se définit comme le lieu des points a de X qui sont géodésiquement plus proches de Y i que de toute autre composante connexe de Y zi (Y i \ X) = {a X, k i, d X (a, Y j ) d X (a,y k )} où la distance géodésique d X (a, Y) est la plus petite des distances géodésiques du point a à tous ceux de l'ensemble Y. Le SKIZ géodésique est alors la frontière entre les différentes zones d'influence. Y 1 zi X (Y 1 ) SKIZ (Y) Y 2 Y 3 Exemple de SKIZ géodésique X J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology IX. 3

Propriétés du Skiz Nous supposons ici ici que l ensemble euclidien X est est réunion finie de de I composantes connexes compactes et et disjointes K i i.. Toute image de de [0,1] par une bijection bicontinue est est dite arc simple. Les deux propriétés qui suivent sont dues à C. C. Lantuejoul Finesse L ensemble skiz(x) est est réunion localement finie d arcs simples, formant exclusivement des contours fermés (avec éventuellement des points a l infini). Continuité Soit X n n = { K i,n i,n } une suite d ensembles du du type ci-dessus, où où chaque compact K i,n i,n converge vers le le compact K i i,, lui lui même disjoint de de toutes les les autres limites K j j,, j j i, i, j j I i.e. i.e. X n = K i,n i,n X = K ii alors Skiz (X (X n ) ) Skiz (X).. J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology IX. 4

Les deux problèmes de la segmentation (I) Quand on on veut segmenter l'ensemble ci-contre, la la première question est est :: " en en combien de de morceaux? " (dans le le cas présent, 6 ou ou 7 grains?)?) On On peut décider soi-même, et et marquer, de de façon interactive, les les centres supposés. On On peut aussi faire confiance à un un procédé de de marquage. Mais les les résultats risquent de de varier selon la la méthode (ici, entre 6 et et 7 )) Qui qu'il en en soit, ce ce premier acte est est distinct de de celui du du traçé de de la la frontière. Objet et son érodé ultime. Erodé ultime après filtrage de l'objet. J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology IX. 5

Les deux problèmes de la segmentation (II) Quand on on a choisi les les marqueurs (ici, la la bissectrice conditionnelle), le le tracé de de la la frontière peut s'optimiser L'expression la la plus grossière s'obtient en en prenant l'exosquelette des marqueurs (on ignore alors la la forme de de l'ensemble) On On peut en en tenir compte (un peu) en en dilatant, au au préalable, chaque marqueur par un un disque égal au au nombre d'étapes qui le le sépare du du marqueur ultime ;; Dans cet cet esprit, le le procédé le le plus fin fin consiste à calculer le leskiz géodésique de del'érodé n n i i dans l' l' érodé n n i-1, quand i i varie de del'érodé ultime à 0, 0, et et prendre la la réunion des skiz obtenus. Exosquelette des marqueurs. Skiz géodésiques successifs. J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology IX. 6

Fonction distance (I) : Définition La fonction distance sert de transition entre les ensembles et les fonctions. Si l'on a défini une distance dans l'espace étudié, on peut associer à chaque ensemble X le sous-ensemble X λ constitué des points qui sont à une distance supérieure à λ de sa frontière. X 1 2 3 4 Quand λ augmente, les sous-ensembles sont inclus les uns dans les autres. Ils peuvent être interprétés comme les sections horizontales d'une fonction valant λ en x si x est à une distance λ de la frontière. Cette fonction est appelée fonction distance. Les lignes de plus grande pente y sont des segments de droite partant de la frontière et aboutissant au squelette. J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology IX. 7

Fonction distance (II) : propriétés Comme la distance est caractérisée par les disques δ λ de taille λ, les sous-ensembles X λ sont les résultats des érosions à l'aide de cette famille de disques. Plus précisément, l' on a : i ) λ µ δ λ δ µ ii ) δ λ δ µ δ λ + µ λ, µ 0 ( ingalité triangulaire ) iii ){δ λ, λ 0} = Ιd ( opérateur identité ) iv ) x 5δ (y) y 5δ (x) ( symétrie ) Inversement, toute famille de dilatations qui possède ces quatre propriétés définit une distance d par la relation: d(x,y) = Inf {λ λ : x δ λ (y) ; y δ λ (x) } δ λ (y) est alors la boule de centre y et de rayon λ (J.Serra). J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology IX. 8

Exemple de fonctions distance Ensemble A Fonctions distance des ensembles A et A c. J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology IX. 9

Autre Exemple Le voyage des Hommes et des Femmes Tingary (Papunya, Australie) J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology IX. 10

Segmentation fine et fonction distance Les érodés successifs de de l'ensemble X constituant les les sections horizontales de de sa sa fonction distance, la la procédure de de segmentation fine précédente, par Skiz géodésiques revient donc à déterminer les les lignes de de partage des eaux de de la la fonction distance (tout au au moins quand les les marqueurs sont les les érodés ultimes. Aussi bien, par dualité, il il s' s' agit des lignes de de vallées sur sur la la fonction inverse ligne de partage des eaux érodés ultimes J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology IX. 11

L. P. E. d'une fonction numérique La méthode suggérée par le cas des fonctions distance s'applique aussi bien à toute image numérique (S.Beucher) L'analogie entre niveaux de gris et altitudes justifie les termes de ligne de partage des eaux et de bassins versants. Toutefois, il ne s'agit pas ici de ruissellement, mais au contraire, d'eau qui sourd des minima. lignes de partage des eaux caractères topographiques d'une image numérique Minima Bassins versants surface de la fonction N.B. L algorithme de Beucher et Lantuejoul (ci-dessous), est pédagogiquement le plus parlant. Il a été amélioré par L.Vincent et P.Soille. A noter surtout celui par files d attente hiérarchiques de F.Meyer, sensiblement plus performant. J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology IX. 12

Construction de la L.P.E. par inondation (I) niveau de l'eau barrage en construction Minima Imaginons que de l' eau jaillisse de chaque minimum et que la surface soit inondée à partir de ces sources. Progressivement, le niveau de l'eau s'élève. Pour empêcher le mélange des eaux venant de minima différents, on crée un barrage élémentaire en chaque point de contact. L' eau continue de s'élever; A la fin, ne restent que les digues achevées, entourées d'eau: c'est la L.P.E. J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology IX. 13

Construction de la L.P.E. par inondation (II) Algorithme (S.Beucher, Ch ChLantuejoul) Soit m la la valeur minimale de de la la fonction f. f. Posons: X 00 = { x: x: f(x) = m}, X k k = { x: x: f(x) m+k } avec 1 k max ff Appelons Y 11 les les zones d'influence géodésiques de de X 00 dans X 11 et et distinguons trois types de de composantes connexes de de X celles, X 1,1 1,1 qui ne ne contiennent pas de de points de de X 00 :: elles sont absentes de de Y 11 celles, X 1,2 1,2 qui contiennent une seule c.c. de de X 00 :: elles font alors partie de de Y 11 celles, X 1,3 1,3 qui contiennent plusieurs c.c. de de X 00 :: Y 11 récupère alors X 1,3 1,3 diminué des branches de de son skiz géodésique. évolution de l' inondation c.c. de X 0 c.c. de X 0 skiz ( X 0 \X 1 ) X 1.1 X 1.2 X 1.3 J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology IX. 14

Construction de la L.P.E. par inondation (III) Comme les les X 1,1 1,1 sont des minima apparus à la la cote 1, 1, il il convient de de les les incorporer à l'inondation. On On remplace donc X 11 par Y 11 X 1,1 1,1 et et l'on itère :: c'est à dire que l'on calcule les les zones d'influence géodésiques Y 22 de de Y 11 X 1,1 1,1 dans X 22,, d' d' où où le le marqueur Y 22 X 2,1 2,1,, etc... Le Le processus s' s' arrête quand on on atteint le le niveau k = max f. f. On On a alors :: Y max maxf f = réunion des bassins versant [Y max maxf ] f ] C C = ligne de de partage des eaux. J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology IX. 15

Exemple de L.P.E. par inondation (I) 2 1 Image initiale. Minima (1), et niveau suivant (2). Skiz géodésique de (1) dans (2) (en trait blanc). J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology IX. 16

Exemple de L.P.E. par inondation (II) Niveau (2), diminué du premier skiz, et niveau (3). Deuxième skiz (on notera qu' il prolonge le premier). L.P.E. finale (le résultat est significatif malgré le faible nombre de niveaux). J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology IX. 17

Références Sur Sur la la fonction distance :: Le Le concept d ensembles parallèles (i.e. (i.e. de de dilatés selon des des boules) date date de de J.Steiner{STE40} en en 1840. Mais Mais la la fonction distance apparaît en en traitement d image avec avec G.Matheron en en 1967, cas cas euclidien {MAT67}, et et A.Rosenfeld en en 1968, cas cas digital{ros66}. La La littérature est est riche riche d algorithmes pour pour calculer cette cette fonction {MEY89a},{VIN90},{SOI91} et et {DAN80}. Le Le théorème liant liant dilations et et distance est est établi dans dans {SER88, ch2}. Sur Sur la la ligne ligne de de partage des des eaux eaux (( LPE) :: La La transformation par par LPE LPE à fins fins de de segmentation d image de de gris grisest est due due à S.Beucher et et Ch.Lantuejoul, en en 1979 1979 {BEU79}. Pendant les les années 80 80 S.Beucher and and F.Meyer ont ont élaboré les les concepts de de marqueur et et de de «swamping» {BEU90} and and {MEY90}. L algorithme de de calcul de de la la LPE LPE le le plus plus performant a été été trouvé par par F.Meyer {MEY91} (files (files d attente hiérarchiques). Voir Voir aussi aussi {SER98} (LPE et et connexions) et et {ALB97} (méthode de de la la LPE LPE et et agrandissements). J. Serra Ecole des Mines de Paris ( 2000 ) Course on Math. Morphology IX. 18