CORRIGE TD n 6 Interféromètre de Michelson.

CORRIGE TD n 6 Interféromètre de Michelson. EXERCICE 1 : interféromètre de Michelson (franges d égale épaisseur) Un interféromètre de Michelson est réglé pour donner des franges de coin d air ; la différence de marche au centre du champ des miroirs est nulle. On opère sous incidence quasi normale, en lumière monochromatique de longueur d onde dans le vide λ =,5893 µm et on dispose de deux lentilles convergentes L 1 et L de même distance focale f =, m. On observe les franges du coin d air par projection sur un écran E. 1. Faire un schéma.. L écran E est placé à D = 1 m de la lentille L. L interfrange mesuré sur l écran est : i = 5 mm. Calculer l angle α du coin d air. On règle maintenant l interféromètre de Michelson en lumière blanche. 3. Qu observe-t-on sur l écran? On interpose sur un des trajets du faisceau lumineux (entre la séparatrice et un des miroirs) une lame dindice n (le rayon lumineux est perpendiculaire aux faces de la lame) et dépaisseur e. 4. Montrer quen déplaçant un des miroirs, on peut retrouver le phénomène initial. Pourquoi opère-t-on en lumière blanche? 5. Montrer quainsi on peut mesurer lindice de la lame connaissant son épaisseur. CORRECTION : 1. La lentille L 1 permet d obtenir un faisceau quasi parallèle en plaçant la source au voisinage du foyer objet. Les franges sont alors localisées sur le coin d air dont on forme l image, grâce à L, sur l écran (E). 3

Sur cette figure, seuls les rayons ou les portions de rayon nécessaires pour la compréhension du schéma ont été représentés. L axe O 1 O a été orienté de façon à pouvoir utiliser la relation de conjugaison pour la lentille L.. L interfrange i est mesuré sur l écran. Il est lié à l interfrange i sur le coin par : OO i/ i = γ = OO 1 Correspondant au grandissement transversal induit par (L ). Or on lit sur le schéma : OO = D. Par ailleurs OO et OO 1 sont liés par la relation 1 1 1 de conjugaison (L ) : OO OO = f d où l on tire sans peine : Df OO = 1 D f. 1 Puis : i = i/ γ = if / ( D f ) = 1, 5 mm. Or pour le coin d air, l interfrange est donné par la formule classique i = λ /α. On 4 en déduit que α= λ ( D f )/( if ) =,36 1 rad =,81 minute dangle. 3. On peut s assurer que la différence de marche est nulle au centre de l écran en éclairant le dispositif en lumière blanche : on doit voir apparaître au centre de l écran la frange d ordre zéro, achromatique, entouré de quelques franges de plus en plus irisées et de moins en moins contrastées. Remarque : l interfrange du coin d air est inversement proportionnel à α. Quand on observe ce type de franges, on peut agir sur les vis d orientation des miroirs pour augmenter l interfrange (écarter les franges). On se rapproche alors du parallélisme entre M 1 et M. 4. L introduction de la lame d épaisseur e introduit une différence de marche supplémentaire que l on peut compenser en modifiant la position du miroir M. Si la lame a été ajoutée entre la lame séparatrice et le miroir M, il va falloir rapprocher le miroir M de la séparatrice. Si au contraire, il a été placé entre le miroir M 1 et la séparatrice, il va falloir éloigner le miroir M. On observe le phénomène en lumière blanche car on ne peut donc observer que quelques franges sur l écran, ce qui permet une mesure précise. La différence de marche supplémentaire introduite est δ s = en ( 1). On doit mettre le facteur en raison de l aller-retour. Et on a implicitement approximer l indice de l air à 1. En modifiant la position du miroir M de cette distance, on retrouve les franges d interférences précédentes. 5. En repérant les positions du miroir M avant introduction de la lame et après introduction de la lame une fois que l on a retrouvé la figure d interférences, on détermine la différence de marche supplémentaire introduit par la lame. Attention un déplacement x du miroir introduit une différence de marche supplémentaire de x en raison de l aller retour. Soit, le déplacement du miroir M, on a alors n= / e+ 1. EXERCICE : Observation d un doublet. 33

Un interféromètre de Michelson est éclairé par une source monochromatique λ (pulsation ω ) collimatée par la lentille L 1 qui donne un faisceau parallèle. Ce faisceau, considéré i t comme étant une onde plane dont l amplitude du champ électrique Ee ω est divisé en deux faisceaux identiques par une lame séparatrice d épaisseur négligeable (appelé pellicule séparatrice). La première partie du faisceau réfléchie par un miroir fixe M 1 et après une nouvelle traversée de la pellicule se dirige vers la lentille L et le détecteur. La deuxième partie du faisceau est réfléchie par un miroir mobile M et après réflexion sur la pellicule vient interférer avec la première partie du faisceau. En x =, la différence de marche δ entre les deux faisceaux qui interfèrent est nulle. 1. Ecrire l amplitude du champ électrique des deux faisceaux au niveau du détecteur.. Ecrire l éclairement E d vu par le détecteur en fonction du déplacement d du miroir mobile M. 3. Représenter graphiquement la variation de l éclairement E d en fonction de λ. Sur quelle distance doit-on déplacer le miroir mobile M pour que l éclairement E d passe d un minimum à un autre? 4. On remplace la source monochromatique par une source émettant deux longueurs d onde proches λ 1 et λ ( λ = λ 1 λ, λ 1 λ λ et λ<< λ ) et de même amplitude. Donner la nouvelle expression de l éclairement E d en fonction de λ, λ et de d. Représenter schématiquement cette variation et déterminer λ ou υ. 5. Cette source est un laser He-Ne émettant sur deux modes séparés de υ au voisinage de λ = 63,8 nm. Déterminer la valeur numérique de υ en MHz sachant que l on est obligé de déplacer le miroir de 4,5 cm pour faire décrire à E d (d) un motif complet. CORRECTION : 1. Au niveau de la séparatrice, le champ est divisé en deux parties égales. L éclairement est divisé par deux. L amplitude du champ doit donc être multiplié par 1/. On passe une nouvelle fois par la séparatrice. Le champ électrique doit donc être multiplié par ½. Au niveau du détecteur, on utilise le théorème de superposition pour déterminer le champ électrique. 34

E E1 d expi t E d exp = ( ω ) et E = i( ωt) d où E i( ω t) E iπδ d = exp 1 exp + λ où δ = d est la différence de marche entre les deux faisceaux.. On en déduit que : * E E E Ed = EE d d = ( 1+ exp( iϕ) ) 1+ exp( iϕ) = 1+ cosϕ = 1+ cosϕ 4 E 4πd E d = 1+ cos λ. 3. ( ) ( ) ( ) Pour passer d un minimum à l autre, le miroir M doit se déplacer de λ/. 4. Les sources de longueur d onde différente ne sont pas cohérentes. On en déduit que : E 4πd 4πd πd πd πd πd Ed = Ed, λ + E 1 d, λ = cos cos 1 cos cos + + = + + λ λ E λ λ λ λ 1 1 1 4πd πd λ Ed = E 1+ cos cos λ λ πd λ La variation précédente est modulée par le terme cos λ. On a une période spatiale λ 4πd d spatiale =. Le terme cos λ λ varie entre -1 et 1 et beaucoup plus vite que la modulation. On en déduit que la période spatiale est d spatiale = λ λ 35

5. On est obligé de déplacer le miroir de 4,5 cm pour retrouver la même figure. On en λ ν λ déduit que λ = =,817 nm. Par ailleurs = et donc d ν λ spatiale c λ ν = = 6,1 GHz. λ EXERCICE 3 : Interférences en lumière blanche ; spectre cannelé On reprend l interféromètre décrit dans l exercice précédent auquel on se reportera. La source (S) émet maintenant de manière uniforme dans un intervalle de fréquence (ν 1,ν ). L éclairement émis dans la bande élémentaire de largeur dν appartenant à cet intervalle s écrit : de = Adν. 1. Montrer que l éclairement total peut se mettre sous la forme : E= E ( 1+ f ( δ )) Expliciter f ( δ ).. Cette source est en fait une source de lumière blanche ; les longueurs d onde qui limitent le spectre sont : λ =,4 nm et λ1=,65 nm. En vous aidant d une calculatrice, tracer E/ E en fonction de δ, δ variant de -, µm à, µm. En déduire une méthode de réglage de l interféromètre en épaisseur nulle. 3. On place en écran à la place du détecteur et on appelle F le foyer image de la lentille L. On fixe la différence de marche δ à une valeur supérieure à µm. Qu observe-t-on en F? 36

On place derrière F un spectroscope dont F constitue la fente d entrée. Montrer que l on obtient un spectre traversé de bandes sombres (ou spectre cannelé). Evaluer le nombre N de bandes sombres dans le domaine visible en fonction de δ. En déduire une méthode de réglage de l épaisseur nulle du Michelson. CORRECTION : 1. Au niveau du détecteur, la différence de marche entre deux rayons qui interfèrent est δ = d. C est une grandeur purement géométrique, qui ne dépend pas de la longueur d onde ou de la fréquence. Rappelons la formule générale donnant l éclairement des interférences à deux ondes en lumière monochromatique : πδ E = E 1+ cos λ Soit compte tenu de λ= c / ν : πδν E = E 1+ cos c Cette formule s adapte à la contribution de au niveau du détecteur de largeur spectrale dν en écrivant : πδν de = A 1+ cos dν c Dans ce résultat, on aurait pu omettre le facteur sans dommage pour le résultat final puisque nous normaliserons à E le préfacteur dee, afin d obtenir une expression conforme à celle fournie par l énoncé. Les contributions à E des différentes bandes du spectre s ajoutent (incohérence des vibrations de fréquences différentes). ν πδν E = A 1+ cos dν. c c πδν πδν 1 E = A ( ν ν1) + sin sin πδ c c sin p sin q= sin p q / cos p+ q /. Or (( ) ) (( ) ) ν1 + = + E et : c πδ( ν ν1) πδ( ν ν1) E A( ν ν1) 1 sin cos πδ( ν ν1) c c Cette expression est de la forme donnée par l énoncé avec = A( ν ν ) 1 ( ) ( + ) c πδ ν ν πδ ν ν f ( δ) = πδ( ν ν ) Il est commode d introduire les longueurs d ondes λ et λ 1. λλ πδ( λ1 λ) πδ( λ1+ λ) 1 f ( δ) = sin cos πδ( λ λ ) λ λ λ λ 1 1 sin cos 1 c c. 1 1 1 37

. Donnons à cette formule un aspect numérique en exprimant la différence de marche δ en µm. On obtient : sin( aδ) f ( δ) = cos( bδ) aδ -1 Avec a= 3, µm ; b= 1,69 µm ; δ en µm. Le tracé de cette courbe montre que l on peut observer au mieux que quelques franges bien contrastées. Pour régler l interféromètre en différence de marche nulle, on amène la frange brillante d ordre au centre de l écran. 3. Pour une différence de marche supérieure à µm, on n observe pratiquement plus d interférences. Par contre un spectroscope fera apparaître sous forme de bandes sombres des longueurs d onde telles que δ= (p + 1) λ/ avec p entier. Désignons par λ 1 et λ les longueurs d onde des bandes sombres qui sont aux deux extrémités du spectre : δ= (p+ 1) λ/ ; δ= (p1+ 1) λ1/. Si N est le nombre de bandes sombres (extrémités comprises) : p = p1 + ( N 1) On tire facilement des relations précédentes : p = δλ 1/ ; p = δλ 1/, ce qui permet d obtenir N 1 δλ ( 1 λ) ( λλ 1 ) 1 1 1 = +. Pour évaluer N, nous remplaçons λ et λ par λ1 et λ. Comme il s agit uniquement d un ordre de grandeur, la 38

présence du 1 dans cette formule n est pas significative. Il est intéressant de relier numériquement N à δ. δ= N( λ1λ) ( λ1 λ ) ou δ N. En réalisant le montage et en déplaçant le chariot dans un sens qui diminue le nombre de cannelures, on se rapproche du contact optique. 39