-SL-PL Mouvement d'un solide dans un champ gravitationnel 1-Interaction gravitationnelle 1.1 Loi de Newton. A partir de l'observation du mouvement des planètes, Newton énonça en 1666 la loi d'attraction universelle Deux corps ponctuels A et B, de massa m A et m B, exercent l'un sur l'autre des forces d'attraction directement opposées, dirigées suivant la droite AB, d'intensités proportionnelles à leurs masses et inversement proportionnelles au carré de leur distance : ur ur ma. m r B F A B = - F B A = - G. u r = AB et u r un vecteur unitaire sur AB La constante de proportionnalité G est appelée constante de la gravitation universelle Dans le système international d'unités, sa valeur est G = 6,67 10-11 m.kg -1.s - (ou SI) A ur FB A B F ur A B emarque : si l'on considère deux solides non ponctuels, la même relation s'applique, mais A et B sont alors les centres d'inertie des deux solides et m A et m B les masses totales. 1. Champ de gravitation. Définition : on dit qu'il existe un champ de gravitation en un point de l'espace, si une particule de masse m placée en ce point est soumise à une force gravitationnelle. Exemple : une sonde interplanétaire envoyée vers Mars depuis le erre ressent plus ou moins les champs de gravitation de le erre, de Mars et du Soleil. Pendant la plus grande partie de son périple, ce sera le champ gravitationnel du Soleil qui sera prédominant. Ce n'est qu'au début et à la fin de la trajectoire que les champs planétaires de La erre puis de Mars seront importants. emarque : en un point de l'espace plusieurs corps peuvent exercer une influence gravitationnelle. Un solide de masse m subira une force totale égale à la somme vectorielle des forces gravitationnelles dues à chacune des sources. En un point de l'espace, le champ gravitationnel est caractérisé par un vecteur champ de gravitation G ur. La force gravitationnelle subie par un solide placé en ce point est donnée par : ur ur F = m.g 1
1. Energie potentielle de gravitation. Lorsqu'un solide soumis à une force gravitationnelle se déplace, cette force fournit un travail W. Par définition, ce travail est égal à la diminution d'énergie potentielle de gravitation (c'est l'opposé de la variation d'énergie potentielle de gravitation) : W (force gravitationnelle) = - (énergie pot. de gravitation finale énergie pot. init.) Dans le cas simple d'un objet de masse m se déplaçant à une distance r d'un solide de masse M considéré comme fixe, on montre que l'énergie potentielle de gravitation s'exprime par la relation suivante : M.m E p = - G r N.B. : Le signe "-" vient du fait que le travail de la force gravitationnelle est positif pour un déplacement de l'infini à la position étudiée (force et déplacement de même sens. L'énergie potentielle négative veut dire aussi que la masse m est "piégée" dans le champ gravitationnel créé par M. Par convention, on dit que cette énergie potentielle est nulle lorsque les masses M et m sont à une distance infinie l'une de l'autre. -Applications.1. Champ de gravitation de la erre La forme de la erre est assez proche d'une sphère, pour simplifier, on considère que tout objet de masse m au voisinage de la erre, subit une force d'attraction exercée par un point situé au centre de la erre et dont la masse est la masse totale M de la erre : M Le "poids" de l'objet est donné par P = G.. m = m.g ( +h) L'intensité de la pesanteur est donc donnée par g = ( +h) l'altitude h du point considéré. est le rayon terrestre = 670 km M = 5,98 10 4 kg h est l'altitude du point dont la valeur diminue avec Au voisinage de la surface terrestre (pour h = 0) on retrouve la valeur connue de g = 9,81 N.kg -1 Si l'on appelle g 0 la valeur de g pour h = 0 (à la surface de la erre), on peut écrire que : g = 0 en remplaçant dans l'expression de g, on obtient : g = g. ( + h) 0 h N.B. Une formule approchée donne g(h) si h est très petit devant : g = g0.( 1 - ).. Champ de gravitation à la surface d'une planète ou d'une étoile En fait, le champ de gravitation se calcule de la même façon que pour la erre, seule la donnée de la masse totale et celle du rayon change : Exemple : pour le Soleil, masse M = 1,99.10 0 kg rayon = 696000 km g = / = 74 N.kg -1 (ou m.s - ) donc une valeur 8 fois plus grande que sur la erre! Une masse de 1 kg aurait donc un "poids" de 74 N sur la surface du Soleil
.. Mouvement des planètes. Une planète est essentiellement soumise à l'attraction gravitationnelle du Soleil. les forces exercées par les autres planètes sont négligeables en première approximation (on n'en tient compte que pour des calculs très précis). Le mouvement des planètes est décrit par les trois lois de Képler (publiées vers 1609-1619) : Première loi de Képler : Les planètes ont une trajectoire en forme d'ellipses dont l'un des foyers est occupé par le Soleil. En fait ces trajectoires sont très proches de cercles (par exemple pour la erre la distance erre- Soleil ne varie que de,%. Seule le trajectoire de Pluton est très elliptique. Deuxième loi de Képler : L'aire balayée par le rayon-vecteur (segment qui joint le soleil à la planète) est proportionnelle au temps. Autrement dit, si l'on fait l'approximation d'une trajectoire circulaire, la vitesse angulaire de la planète est quasiment constante au cours de son mouvement : le mouvement est pratiquement circulaire uniforme. roisième loi de Képler : Les carrés des temps de révolution (période ) des planètes sont proportionnels aux cube des grands axes des orbites (pratiquement : le rayon moyen de la trajectoire). a = Cte et cette constante ne dépend pas de la masse des planètes N.B. : On peut facilement vérifier que le graphe de en fonction de a est une droite. emarque : le mouvement d'une planète est décrit dans un référentiel de Copernic (le centre d'inertie du système solaire est l'origine du repère, les trois axes perpendiculaires entre eux sont définis par des directions fixes pointant vers des étoiles "fixes". L'une des directions est perpendiculaire au plan de l'écliptique (plan dans lequel se déplacent les planètes autour du Soleil) les deux autres directions sont contenues dans ce plan. (voir schéma à la fin de ce polycopié).
.4. Mouvement d'un satellite (artificiel ou naturel) Le mouvement d'un satellite de la erre est décrit dans un référentiel géocentrique : On choisit un repère dont l'origine est le centre d'inertie de la erre, et trois axes perpendiculaires entre eux sont parallèles aux axes du repère de Copernic cité ci-dessus..4.1 Vitesse et période d'un satellite. Un satellite est un corps gravitant autour d'une planète. La Lune est un satellite de la erre par exemple. Pratiquement toutes les planètes ont leur cortège plus ou moins nombreux de satellites. On cite souvent les quatre principaux satellites de Jupiter, car ils ont été observés très tôt (dès que Galilée a découvert la lunette portant son nom...) Depuis quelques décennies, il existe des satellites artificiels, objet de quelques dizaines à quelques centaines de kg envoyées dans l'espace par de puissantes fusées et qui gravitent pendant de nombreuses années dans notre ciel. Les lois régissant le mouvement des satellites sont les mêmes qu'ils soient naturels ou artificiels. Ici, on se contente d'étudier le cas de satellites à trajectoire circulaire : - le centre de la trajectoire est confondu avec le centre de la erre. - comme pour tout mouvement circulaire uniforme, le satellite a une accélération centripète dont la valeur est g (et qui dépend de l'altitude h à laquelle se trouve le satellite). Cette accélération centripète est aussi égale à v / Comme = + h et g = g. ( + h) on obtient l'expression de la vitesse : 0 v = g 0 la vitesse angulaire est ω = v/ donc + h ω =. g0 ( + h) d'où l'expression de la période de révolution d'un satellite de trajectoire circulaire : = π ( + h) = π ω g. 0 ( h) + = π v emarque : cette relation montre de façon évidente la troisième loi de Képler, puisque 4.π 4.π = = ( + h) g0. Ce rapport est donc constant et indépendant de la masse du satellite..4. Cas d'un satellite géostationnaire. Ce type de satellite a la particularité de rester immobile par rapport à un lieu à la surface de la erre. Sa vitesse angulaire est donc imposée et égale à celle de la erre (1 tour par 4 h) ce qui correspond à = 86164 s. ( h 56 min exactement, une révolution dite "sidérale"). Par conséquent, à cause de la relation ci-dessus, l'altitude de ce type de satellite ne peut pas être quelconque. L'altitude est obligatoirement telle que + h = 4000 km donc h = 6000 km puisque = 6400 km environ Un satellite géostationnaire est donc obligatoirement à une altitude de 6000 km! 4
.4. Lancement de satellites En fonction de la vitesse de lancement du satellite, différents types de trajectoires sont possibles. La figure ci-dessous résume tous les cas possibles : On peut calculer différentes vitesses limites : * Si la vitesse de lancement est supérieure à une valeur v L (vitesse de libération), l'objet devient une sonde spatiale (elle est libérée de la erre et peut aller très loin dans l'univers) sur une trajectoire hyperbolique dont la erre reste un des foyers. * Si la vitesse de lancement est égale à v L, la trajectoire est parabolique, l'objet s'éloigne de la erre. ( v L = vc ) * Si la vitesse de lancement est inférieure à v L, la trajectoire est elliptique (la erre est à l'un des foyers de l'ellipse) * Pour une vitesse particulière v c la trajectoire du satellite est circulaire. * Première vitesse cosmique : c'est la vitesse minimale pour pouvoir mettre un satellite sur une orbite circulaire basse. Pour cela, il faut que le satellite soit hors de l'atmosphère, on admet que l'altitude minimale est de h = 10 km, donc = + h = 6500 km L'accélération centripète du mouvement circulaire uniforme est v / et doit être égale à g. F a = m = = v donc v = le calcul donne v 1 = 7,8 km.s -1 N.B. : en pratique, le lancement se fait de préférence d'un point de la erre proche de l'équateur (Kourou pour les français) et vers l'est pour profiter de la vitesse de rotation de la erre sur ellemême. Ainsi la vitesse à communiquer effectivement grâce à la fusée de lancement peut être réduite à 7,6 km.s -1. * Deuxième vitesse cosmique : c'est la vitesse à communiquer pour que le satellite échappe à l'attraction terrestre et puisse devenir une sonde spatiale se dirigeant vers les autres planètes. L'énergie mécanique du satellite à une distance d de la erre est donnée par : 1 M.m E = mv - G cette énergie est positive et se réduit à l'énergie cinétique lorsque l'objet d est très loin de la erre (d = ) Comme cette énergie est conservée, elle doit aussi être positive également au moment du 1 M.m lancement, donc : mv 0 - G 0 donc v 0 L'application numérique donne v = 11 km.s -1 * roisième vitesse cosmique : c'est la vitesse de lancement nécessaire pour arracher l'objet à l'attraction terrestre, puis à celle du Soleil pour qu'il puisse quitter le système solaire. Un calcule plus complexe montre que cette vitesse doit être de 16,4 km.s -1. 5
Complément important : les référentiels utilisés en mécanique 1- éférentiel de Copernic (ou héliocentrique) Un repère du référentiel de Copernic a pour origine la centre d'inertie du système solaire (proche du centre du Soleil). rois axes perpendiculaires entre eux sont définis par des directions définies par des étoiles fixes (dont le position n'a pas changé depuis quelques siècles). Deux de ces directions sont contenues dans le plan de l'écliptique (plan dans lequel se déplacent les planètes dans leur mouvement autour du Soleil. Ce référentiel (et ce repère) est utilisé pour décrire le mouvement des planètes et des sondes interplanétaires. - éférentiel géocentrique. Le repère lié à ce référentiel a pour origine le centre d'inertie de la erre (proche de son centre). rois axes perpendiculaires entre eux sont parallèles à ceux du repère de Copernic. Au cours du mouvement de la erre, ce repère se déplace avec lui mais les axes gardent toujours le même direction. Ce référentiel sert à décrire le mouvement de satellites en orbite autour de la erre. N.B. : lorsqu'on étudie le mouvement des satellites d'autres planètes que la erre, on définit un repère sur le même modèle que ce repère géocentrique, mais l'origine sera le centre d'inertie de la planète considérée. - éférentiel terrestre (ou du laboratoire) Un repère lié à ce référentiel est lié à la erre : L'origine est au centre d'inertie de la erre. Les trois axes sont perpendiculaires entre eux : un axe est parallèle à l'axe de la erre, les deux autres sont dans le plan de l'équateur terrestre. Ces axes n'ont pas une direction fixe, ils tournent avec la erre. emarque : les deux premiers référentiels sont dits galiléens (la relation fondamentale de la dynamique et le principe d'inertie se vérifient bien expérimentalement). En toute rigueur, le référentiel terrestre n'est pas galiléen, on ne peut le prendre pour tel qu'en première approximation donc si la précision demandée n'est pas très grande! 6