Représentation et analyse des systèmes linéaires PC 5 Analyse fréquentielle

Représentation et analyse des systèmes linéaires PC 5 Analyse fréquentielle

Réponse fréquentielle des modèles LTI monovariables 2 Définition : réponse fréquentielle La réponse fréquentielle d un système LTI est la réponse en régime permanent du système à une entrée sinusoïdale X(p) = ωx p 2 +ω 2 x(t) = Xsinωt G(p) g(t) Y(p) y(t) Théorème : La réponse fréquentielle d un système LTI stable à une sinusoïde X sin(ωt) est une sinusoïde y(t) = Y(ω)sin(ωt+Φ(ω)) Nota : y(t) = Y sin(ωt+φ) = Im [ Y(ω)e jωt] avec Y(ω) = Y(ω)e jφ(ω) A Y(ω), on associe toujours le signal complexe Y(ω)e jωt

Réponse fréquentielle des modèles LTI monovariables 3 Fonction de transfert : G(p) = N(p) D(p) = N(p) (p+p )( )(p+p n ) Réponse : y(t) = ae jωt +ae jωt +b e p t + +b n e p nt Régime permanent : où : a = y 3 (t) = ae jωt +ae jωt [ ] Xω G(p) p 2 +ω 2(p+jω) p= jω = XG( jω) 2j a = [ ] Xω G(p) p 2 +ω 2(p jω) p=jω = XG(jω) 2j

Réponse fréquentielle des modèles LTI monovariables 4 Fonction de transfert sinusoidale : G(jω) = G(jω) e jφ G( jω) = G(jω) e jφ d où : Régime permanent : a = X G(jω) e jφ 2j a = X G(jω) ejφ 2j y 3 (t) = X G(jω) ej(ωt+φ) e j(ωt+φ) 2j = X G(jω) sin(ωt + φ) = Y sin(ωt+φ)

Réponse fréquentielle des modèles LTI monovariables 5 Définition 2 : fonction de transfert sinusoïdale On définit la fonction de transfert sinusoïdale du système comme - Son gain, - Sa phase, G(jω) = Y(ω) X(ω) G(jω) = Y(jω) X(jω) = Y(ω) X(ω) Φ(ω) = Argument(G(jω)) = Argument Définition 3 : réponse fréquentielle ( ) Y(jω) X(jω) La réponse fréquentielle du système est obtenue par variation de ω ( ) Y(ω) = Argument X(ω)

Représentation graphique de la réponse fréquentielle 6 G(jω) est un nombre complexe caractérisé par - son amplitude (le gain du système) - son argument (la phase du système) ou sa partie réelle et sa partie imaginaire qui sont des fonctions de ω Définition 4 : lieu de transfert On appelle lieu de transfert le lieu des points G(jω) quand la pulsation ω varie de 0 à l infini Le lieu de Nyquist : (Re(ω), Im(ω)) ou (Φ(ω), G(jω) ) le lieu de Nichols-Black : (Φ(ω), G(jω) db) Le lieu de Bode : (ω,φ(ω)) et (ω, G(jω) db)

Représentation de Nyquist des modèles LTI monovariables 7 Plan complexe Im φ(ω i ) Re(G(ω k )) φ(ω k ) Re ω = 0 ω i Im(G(ω k )) G(ω k ) ω k - Il décrit l ensemble du domaine de variation des ω - Problème des produits de lieux élémentaires connus G(jω) = G (jω)g 2 (jω)

Plan de Nyquist d un premier ordre 8 Im +ω 2 T 2 0 φ(jt) 0.5 ωt +ω 2 T 2 G(j/T) Re G(jω) = +jωt X = Re(G(jω)) = +ω 2 T 2 Y = Im(G(jω)) = ωt +ω 2 T 2 ω = T G(jω) = +ω2 T 2 Φ(ω) = tan (ωt) (X /2) 2 +Y 2 = ( ) ω 2 T 2 2 + +ω 2 T 2 ( ) 2 ωt = /4 +ω 2 T 2

Plan de Nyquist d un deuxième ordre 9 G(jω) = ) +2ξ (j ωωn + (j ωωn ) 2 Nyquist Diagram 5 0 ξ = 0. ξ = 0.07 ξ = 0.05 ξ = 0.7 ξ = 0.4 ξ = 0.2 Imaginary Axis 5 0 5 Re(ω) = ( ω2 ω 2 n ω2 ωn 2 ) 2 + ( 2ξ ω ω n ) 2 0 5 6 4 2 0 2 4 6 Real Axis Im(ω) = 2ξ ω ω ( ) n 2 ) 2 ω2 ω + (2ξ ωωn n 2 Figure ξ variant et ω n =

Représentation de Nichols-Black des modèles LTI 0 - Propriété d additivité : 20Log 0 ( G (jω) G 2 (jω) ) = 2 20Log 0 ( G i (jω) ) i= G(jω) db G(0) db φ(jω k ) φ(ω) ω i ω k G(jω k ) db

Représentations de Nichols - Black : ordre et ordre 2 5 Nichols Chart 0 ω = 0 5 Open Loop Gain (db) 20 25 G(jω) = +jω 30 ω 35 90 60 30 0 Open Loop Phase (deg) Nichols Chart Nichols Chart 30 30 20 ω n ω r = ω n 2ξ 20 0 0 M r = 2ξ ξ 2 0 Open Loop Gain (db) 0 0 20 ω = 0 Open Loop Gain (db) 0 20 30 40 ξ = 0.0 ξ = 0. ξ = 0.3 ξ = 0.5 ξ = 0.7 ξ = 50 30 ω 40 80 35 90 45 0 Open Loop Phase (deg) 60 70 80 35 90 45 0 Open Loop Phase (deg)

Représentation de Bode des modèles LTI 2 - Propriété d additivité et méthode de tracé asymptotique - Tracé incomplet G(jω ) G(jω) db 20Log 0 ( G (jω) G 2 (jω) ) = 2 20Log 0 ( G i (jω) ) i= φ deg. ω Echelles logarithmiques ω ω rad/s ω rad/s φ(jω )

Représentation de Bode des modèles LTI 3 Définition 5 : Une octave est définie par ω et 2ω alors qu une décade est définie par ω et 0ω pour ω donnée Bode Diagram 0 20Log 0 K (jω) N = 20Log 0 K ω N Magnitude (db) 5 0 5 0 ω co 20 db/décade 5 89 = 20Log 0 K 20NLog 0 ω Phase (deg) 89.5 90 90.5 9 0 0 0 Frequency (rad/sec) Définition 6 : pulsation de coupure ω cα est la pulsation de coupure à α db : G(jω cα ) db = G(j0) db α db La bande de pulsations 0 ω ω cα est appelée la bande passante du système à α db

Tracé de Bode d un premier ordre 4 Fonction de transfert sinusoidale : Pulsation de cassure : ω c = /T G(jω) = +jωt Module et phase : G(jω) = Φ +ω2 T = 20Log 2 0 ( db +ω2 T2) = tan (ωt) Pour les basses fréquences, ω ω c = /T : asymptote horizontale à 0 db 20Log 0 ( +ω 2 T 2 ) 20Log 0 () = 0 db En hautes fréquences, ω ω c = /T : droite de pente 20 db/décade ou 6 db/octave 20Log 0 ( +ω 2 T 2 ) 20Log 0 (ωt) db

Tracé de Bode d un premier ordre (suite) 5 0 Bode Diagram 5 0 5 0.97 db 3 db 0.97 db Magnitude (db) Phase (deg) 20 25 30 35 40 ω c 20 db/dec. 45 500 45 90 0 0 0 0 0 2 Frequency (rad/sec) ω rad/s Φ deg /T 45 /2T 26.6 /0T 5.7 2/T 63.4 0/T 84.3 Figure 2 Tracé dans le plan de Bode de /(p+2) - L erreur maximale est pour ω c = /T et vaut 3 db - L erreur pour ω = 2/T et ω = /2T vaut 0.97 db

Tracé de Bode du deuxième ordre 6 Fonction de transfert sinusoïdale : G(jω) = +2ξ ) (j ωωn + (j ωωn ) 2 Etude de l amplitude : G(jω) = 20Log 0 ( ω2 ω 2 n ) 2 ) 2 +(2ξ ωωn - ω ω n : G(jω) 20Log 0 () = 0 db Asymptote horizontale à 0 db ( ) ( ω - ω ω n : G(jω) 20Log 2 0 = 40Log 0 ω 2 n Asymptote de pente 40 db/décade ) ω ω n

Tracé de Bode du deuxième ordre (suite) 7 Etude de la phase : Φ = tan 2ξ( ω ω n ) ω2 ω 2 n ω = 0 Φ = 0 deg asymptote horizontale ω = ω n Φ = tan ( ) 2ξ 0 = 90 deg point d inflexion ω = Φ = 80 deg Définition 7 : pic de résonnance asymptote horizontale ω r = ω n 2ξ 2 M r = 2ξ ξ 2

Tracé de Bode du deuxième ordre 8 (jω) db Asymptotes M r = 2ξ ξ 2 ω n 40 db/dec. ω rad/s Magnitude (db) 20 0 0 0 20 30 Asymptotes Bode Diagram ξ = 0.05 ξ = 0. ξ = 0.2 ξ = 0.3 ξ = 0.5 ξ = 0.7 ξ = ω r = ω n 2ξ 2 0 3 db Bande passante à 3 db Phase (deg) 45 90 35 80 ξ = 0.05 ξ = 0. ξ = 0.2 ξ = 0.3 ξ = 0.5 ξ = 0.7 ξ = 0 0 0 Frequency (rad/sec) Définition 8 : La pulsation de cassure d un second ordre est définie par ω c = ω n

Représentation de Bode des modèles LTI 9 Règles de construction - Gain : K - Facteurs d intégration ou de dérivation : (jωt) ± - Facteurs du premier ordre : (+jω) ± - Facteurs quadratiques : [+2(ξ/ω n )jω +(jω/ω n ) 2 ] ± Procédure : - Ecrire la fonction de transfert sinusoïdale comme une factorisation des termes élémentaires 2- Identifier les fréquences de cassure caractéristiques associées à ces facteurs de base 3- Tracer les courbes asymptotiques 4- Calculer le module et la phase de la fonction de transfert et tracer quelques points afin d obtenir la courbe exacte

Spécifications fréquentielles des modèles LTI 20 - Pic de résonance M r : M ord 2 r = 2ξ ξ 2 ξ 0.707 G(jω) db. M r.5 M r - Pulsation de résonance ω r : ω ord 2 r = ω n 2ξ2 ξ 0.707 0 db ω r ω co Roll-off ω BP ω rad/s - Pulsation de coupure ω co : 3 db ω ord 2 co = ω n 4ξ2 2 G(jω co ) = 0 db - Bande passante ω BP : Spécifications fréquentielles de performance ωbp ord 2 = ω n [( 2ξ 2 )+ ] /2 4ξ 4 4ξ 2 +2 G(jω BP ) = 3 db - Roll-off : atténuation de la courbe de gain aux hautes fréquences

Analyse fréquentielle multivariable 2 Soit le modèle entrée-sortie multivariable y = G(p)d où y R r et d R m. - On applique une sinusoïde d j (t) = d j0 sin(ωt+α j ) sur l entrée j alors y i (t) = y i0 sin(ωt+β i ) y i0 d j0 = g ij (jω) β i α j = arg[g ij (jω)] - On applique simultanément sur chaque entrée des signaux sinusoïdaux de même fréquence ω + principe de superposition y i (ω) = m g ij (jω)d j (ω) y(ω) = G(jω)d(ω) j= Nota : d j (ω) = d 0j e jα j

Analyse fréquentielle multivariable 22 - Gain des systèmes SISO : y(ω) d(ω) = G(jω)d(ω) d(ω) = f(ω) = G(jω) - Gain des systèmes MIMO : y(ω) 2 d(ω) 2 = G(jω)d(ω) 2 d(ω) 2 = f(ω) Nota : - f(ω) est indépendante de d(ω) mais dépend de la direction d entrée d - La notion de phase pour les systèmes multivariables est complexe à définir et ne sera pas abordée dans ce cours

Analyse fréquentielle multivariable 23 Exemple : G = 3 2 d = 0 y 2 = 0 4 σ = 3.68 3.5 3 d 2 = 0 y 2 2 = 5 y 2 d 2 2.5 2 d 3 = 0.707 0.707 y 3 2 =.58.5 σ =.382 0 8 6 4 2 0 2 4 6 8 0 d 2 d

Analyse fréquentielle multivariable 24 Définition 9 : - La valeur maximale du gain quand l entrée varie est la valeur singulière maximale de G : max d 0 Gd 2 d 2 = max d 2 = Gd 2 = σ(g) - La valeur minimale du gain quand l entrée varie est la valeur singulière minimale de G : Gd 2 min = min d 0 d Gd 2 = σ(g) 2 d 2 = Nota : le gain est indépendant de l amplitude d entrée

Les valeurs singulières 25 Définition 0 : Décomposition en valeurs singulières A C l m peut être factorisée à l aide d une décomposition en valeurs singulières : A = UΣV H U C l l U H = U V C m m V H = V Σ est formée par une matrice diagonale des valeurs singulières σ i dans l ordre décroissant - l m : - l m : Σ = diag(σ,,σ q ) 0 l m m Σ = [ σ i (A) = λ i (AA H ) = diag(σ,,σ q ) 0 l m l ] avec σ = σ σ q = σ > 0 et min(l,m) rang(a) = q, λ i (A H A)

Analyse fréquentielle multivariable 26 Soit G(jω) C r m une matrice de réponse fréquentielle telle que sa SVD pour ω fixée est σ(ω). G(jω) = UΣ(ω)V H.. 0 Σ(ω) = σ(ω) Définition : 0 0 Les valeurs singulières sont appelées valeurs principales ou gains principaux. De plus, on définit les directions d entrée v j et de sortie u i : V = [v j ] j=,,m U = [u i ] i=, r G(jω)V = UΣ(ω) Gv j = σ i u i σ i = Gv j 2 Nota : la ième valeur singulière donne le gain dans la direction i.

Analyse fréquentielle multivariable 27 Exemple : modèle deux entrées - deux sorties Singular Values 30 20 0 A=[-0.+j -;0-0.-j 2;0 0-6]; B=[0 ; 0; ]; Singular Values (db) 0 0 20 C=[3 0;- 0 ]; D=[0 0;0 0]; sys=ss(a,b,c,d); 30 sigma(sys) 40 0 0 0 0 0 2 Frequency (rad/sec)