CRPE S5C. Autour des NOMBRES REELS Corrigé Mise en route Seule l égalité L égalité 0, est vraie. 5 om A. 7 7 est fausse car et 0,50 est fausse car 0,05. 5 6 0 0 Les autres résultats sont toutes des valeurs approchées 0, ;, 44 ;,4 ; les égalités sont donc fausses..c B. Quand on divise par à la calculatrice, celle-ci affiche,465846, le dernier chiffre affiché présente un arrondi (5 est arrondi à ), la division posée montre une périodicité dans les chiffres hs significatifs du quotient,4658. La valeur exacte du quotient décimal de par est donc égal à. Une écriture décimale périodique illimitée est (sauf cas particulier de 9) celle d un nombre rationnel ici. Pa rim at La période comprend 6 chiffres qui vont donc se répéter. La 5ème décimale est. 6 6 4. La 6ème décimale est donc 6 (deuxième chiffre) 40 6 6 4. La 40ème décimale est 5 (quatrième chiffre) Pour donner une troncature à quatre décimales, on coupe la partie décimale après le quatrième chiffre soit,465. 6.Le quotient euclidien de par est donc et on peut écrire Encadrement de A au centième près :, 46, 47 On peut donner une valeur approchée par défaut de ce quotient au centième près,46 ou une valeur approchée par excès :,47. =,4658. Pour donner un arrondi au rang n, il faut regarder le chiffre de rang n+. Si celui-ci est supérieur ou égal à 5, on arrondit le chiffre de rang n au dixième supérieur. C est le cas pour l arrondi au dixième :,5 (ou au millième :,46 ou au cent-millième :,4654) Si celui-ci est inférieur à 5, on lit directement l arrondi. C est le cas pour l arrondi au centième :,46 (ou au dix-millième :,465) C. A 64 84 0,6 et B,966. 00 75 Ce sont donc des rationnels non décimaux puisque ces quotients ont une écriture décimale illimitée périodique (distincte de 9). Parimaths.com CRPE 00-0 CMJ Catherine MarchettiJacques Digitally signed by Catherine Marchetti-Jacques DN: cn=catherine MarchettiJacques, o=parimaths.com, ou, email=info@parimaths.com, c=fr Date: 0.0.6 0:5:09-06'00'
On sait qu une fraction est décimale (donc représente un nombre décimal) si le dénominateur de la fraction irréductible associée ne présente que des facteurs ou 5. On peut donc regarder si ces fractions sont 7 64 4 9 4 84 irréductibles : et sont irréductibles et leurs dénominateurs présentent tous 00 9 75 5² deux le facteur. Ces deux fractions ne sont donc pas décimales. Pour les ajouter on cherche le dénominateur commun qui est le ppcm de 75 et, soit 75, puisque 75 est un multiple de. D. Soit a A et B 85 64 84 = 4 00 75 + 84 75 = 00 75 + 84 75 = 484 =,76. C est donc un nombre décimal. 75 85 b Pour que A et B soient un entier naturel il faut choisir a multiple de 85 et b diviseur de 85. Par exemple : a 70 A et 85 85 85 85 85 85 B 7 ou 5 ou 85 ou 5 7 85 a 4 7 Pour que A et B soient décimaux non entiers naturels, on peut choisir A (il faut 85 85 5 7 5 qu après simplification le dénominateur ne comporte que des facteurs 5). Pour B, par exemple : 85 85 B 8,5 b 0 Pour que A et B soient rationnels non décimaux, il faut choisir des valeurs de a et de b pour lesquels la a 5 fraction irréductible ne soit pas décimale. Par exemple : A ou et 85 85 85 7 E. Mettre une croix dans toutes les cases pour lesquelles la réponse est "oui". Le nombre est : 85 85 B b 5,5 0,70508... 45 5,459 <,459 57 5,7 00 Entier x x Décimal x x x x Rationnel x x x x Irrationnel x x F.. Soit x 0,9, de période 9. 0n a alors 0x 9,9 0x x 9,9 0,9 9x 9 x Donc 0,9.. x 5,6 0x 56,6 9x 5 5 7 x 9 x,78 00x 78,78 99x 78-59 59 65 x 99 Parimaths.com CRPE 00-0 CMJ
Pour s exercer Exercice a. Rangement en ordre croissant :,07,09,7,8 On peut ici comparer chaque chiffre significatif de même rang afin de pouvoir ordonner les nombres. Le chiffre des unités étant le même, on regarde les chiffres des dixièmes qui sont respectivement dans l ordre croissant 0,, 7, 8. b. Par exemple,0,,,. En effet,0,0,,0 On écrit ici les parties décimales avec le même nombre de chiffres significatifs (ici au millième) pour pouvoir comparer les nombres et les ordonner. c.,5h h0min h 9,5h h 0,5h h h h5min h 4 4 0,h 0, 60min 8min h 0 75 7 5 5 5 7,75h h 0,75h h 0,75 60min h,5min h min 0 s ou h h h 000 5 5 5 8 8 Exercice 5 05 4. Un spectacle a duré heures et 5 minutes, soit h5min ( ) h h h. La fraction 4 60 60 est irréductible et comporte un facteur au dénominateur, ce n est donc pas un nombre décimal. p 60n p 60n p. La durée s exprime n. Ce quotient est donc décimal seulement si le numérateur 60 60 5 est multiple de. Or 60n est multiple de. Il suffit donc que p soit un multiple de compris entre strictement entre 0 et 60. (On peut aussi remarquer qu il suffit que 60 p soit décimal car n étant entier, il est décimal.) Exercice. a. 9 9 Cette fraction n est donc pas décimale, puisque elle est irréductible et que son dénominateur 55 5 comporte le facteur. 9. Après simplification, on obtient un dénominateur qui ne comporte que les facteurs 5. Ce 75 5 5 nombre est donc décimal. Il est égal à : 5 5 5 00 0,5. b. On peut réduire au même dénominateur ces deux fractions pour les comparer : D après Martinique 004 ; Aix Marseille 96 ; Amiens 98 ; Aix-Marseille 97 ; Aix-Marseille 98 Voir aussi sur les unités de temps la fiche méthode sur les conversions. Parimaths.com CRPE 00-0 CMJ
9 9 9 5 45 55 5 5 75 9 4 9 9. On a donc. 75 5 5 5 75 75 55 et c. 9 9 soit 0,5 0,57 75 55 On peut intercaler par exemple 0,5 0,57 0,57 ; il y a une infinité de nombres possibles. 4 44 45 44 d. On peut écrire par exemple cet encadrement avec 75 75 75 décimal ( au dénominateur de la fraction qui est irréductible).. 9 7 0 0,70 9 0 0 0 0 Parimaths.com CRPE 00-0 CMJ 4 75 5 qui n est pas un nombre On remarque que le reste 00 se répète à partir de la troisième décimale donc les chiffres obtenus au quotient vont eux aussi se répéter. Quand on divise 8 par 7, les restes successifs sont,, 6, 4, 5, puis ils se répètent. Dans le quotient, la partie décimale va alors se répéter aussi 5,4857. Quand on divise 9 par 8, le quotient est décimal et égal à,5. Le reste est nul à partir du troisième rang. Par contre si on divise 8 par 9, le reste est toujours 8, la partie décimale a donc une période qui est ici 0,8.. On convient de noter x =, 0. Cette convention signifie que 0 est une période, et que ces chiffres vont se répéter indéfiniment. 5 x,6 0x 6,6 9x 5 x 9 07 y,09 00 y 09,09 99y 07 y 99 Ne pas confondre la période 09 avec une période seulement du chiffre 9 : 89 9 t,09 0t 0,9 00t 09,9 90t 09,9 0,9 89 t, 90 9 0 0 On peut remarquer qu il est nécessaire ici de soustraire 0t à 00t pour obtenir un nombre entier. 009 00 z,0 000z 0,0 999z 0,0 -,0 009 z 999 Exercice 4 64 7 0 0 La division euclidienne de 64 par 7 donne l'égalité 64 7 0, d où. 7 7 7 Pour connaître le chiffre des dixièmes, on va chercher combien il y a de dixièmes dans 0 7, c'est-à-dire combien il y a de fois 0 dans 0 7 en décomposant 0 ( 0) 0 00 avec00 7 7 0 7 0 7
On peut alors écrire 64 0 7 7 7 7 0 7 0 7 0 7 0 0 7 64 0 Soit 7 7 0 0 7 Le chiffre des dixièmes est donc, car est inférieur à un dixième (de l ordre du centième). 0 7 Ce chiffre est le quotient euclidien de 00 par 7. b. En appliquant à nouveau le même algorithme, 0 montre que le rang de centièmes n est pas nul, car 0. 7 64 7 7 7 0 7 7 7 0 00 7 0 00 00 7 Le chiffre des centièmes est 7. Ce chiffre est le quotient euclidien de 0 par 7. En poursuivant, 64 0 0 ce qui 7 7 0 0 7 0 00 7 64 7 7 0, ce qui montre que le chiffre des 7 0 00 00 7 0 00 000 7 millièmes est égal à 0 car 8 cm. 64 7 0 0 0 0 7 0, d où 7 0 00 000 000 7 Ce chiffre est le quotient euclidien de 0 par 7. On remarque qu à l étape suivante, on retrouve la même étape qu au début avec 0. Les chiffres de la partie 7 décimale vont donc se répéter :, 7, 0 ainsi que les restes successifs 0,,. L écriture décimale est donc illimitée et périodique. A chaque étape de cet algorithme, le chiffre de la partie décimale représente le quotient euclidien respectivement de 00, 0, 0 par 7. Il est inférieur à 0, et donc s écrit avec un seul chiffre. Cette remarque peut se généraliser avec les chiffres suivants. Exercice 5. On veut :, 876, 8??4, 84 où deux chiffres sont à déterminer pour satisfaire l encadrement. a. Tout nombre solution va vérifier : 876 8cm4 840 avec c. Si c=, alors m=8 ou m=9 ; si c=, alors m=0, m=, m= ou m=. Il y a donc six réponses possibles. b. On considère le nombre cm formé par deux chiffres. On a alors 76 cm4 40. Comme cm4 se termine par 4, cela revient à : 84 cm4 4 soit 8 cm.. Soit 4,876 D,5cm 4 5,84. On voit que D ne peut être égal qu à 5. En effet 4,876 ne peut pas être inférieur à 4, 5cm4 compte tenu du chiffre des dixièmes. Donc D égale 5 et 4,876 5,5cm4 5,84 Parimaths.com CRPE 00-0 CMJ
On remarque que quelque soit la valeur de cm la partie décimale 5cm4 est toujours inférieure à 840. On peut donc choisir c et m entre 0 et 9 respectivement. Il y a donc 00 solutions. Exercice 6 Enoncé : Faux. Si l on prend x 5, x est bien un entier naturel, mais 5 x n est pas un entier. x x x Enoncé : Vrai. En fait, x. La somme de deux entiers naturels est un entier naturel, le double d un entier naturel est un entier naturel. Donc si x est un entier, x l est aussi. Enoncé : Faux. Si x vaut 0, alors x vaut - qui n est pas un entier naturel. C est le seul contre exemple qui suffit cependant à affirmer que l énoncé est faux. Parimaths.com CRPE 00-0 CMJ