I) Ensembles de nombres Ensemble de nombres et approximations Ensemble des Nombres irrationnels : Ensemble R des nombres réels Ensemble des nombres rationnels :Q Rationnels décimaux :D Rationnels non décimaux : Entiers relatifs : Décimaux non entiers Exemples Positifs,, Naturels 0,1,2, 1,3 2/5 0,259999 Exemples négatifs,, 0,-1,-2,- 3-1,3-2/5 - sous forme de fraction finie infinie périodique infinie non périodique Partie NON OUI OUI OUI NON OUI OUI NON NON OUI OUI OUI OUI NON NON NON non nulle nulle Non nulle Non nulle R et Q sont stables par la multiplication, la soustraction et l addition. ils sont stables par la division par un nombre différent de 0. Z et D sont stables par la multiplication, la soustraction, l addition. mais pas par la division.
II) partie entière et partie d un nombre réel Soit x un nombre. On appelle partie entière de x le nombre entier n tel que n x<n+1 La partie entière de x est généralement notée E(x). Propriété Un nombre x est entier si et seulement si il est égal à sa partie entière. Remarque : Soit x un nombre. La partie entière de x est le plus grand entier inférieur où égal à x. Soit x un nombre décimal positif. On note E(x) sa partie entière. On appelle partie de x le nombre décimal d défini par Propriété 1 Un nombre décimal positif est entier si et seulement si sa partie est nulle. Propriété 2 Un nombre décimal positif est égal à la somme de sa partie entière et de sa partie. III) Encadrement intervalle : Soit x un nombre réel. Donner un encadrement de x, c'est donner deux nombres réels a et b tels que Le réel positif est l'amplitude de cet encadrement. : L intervalle [a ;b] est l ensemble des nombres réels encadrés par a et b, a et b compris. L intervalle ]a ;b] est l ensemble des nombres réels encadrés par a et b, a exclus et b compris. L intervalle [a ;b[ est l ensemble des nombres réels encadrés par a et b, a compris et b exclus. L intervalle ]a ;b[ est l ensemble des nombres réels encadrés par a et b, a exclus et b exclus. IV) Valeur approchée de x à p près Le nombre a est une valeur approchée de x à p près, ou à la précision p, si et seulement si : c'est-à-dire si et seulement si :. Cela signifie que la distance entre x et a, c'est-à-dire l'erreur commise en remplaçant x par a, est inférieure à p. Remarque p est souvent de la forme où n est un entier naturel. Le nombre a est une valeur approchée par défaut de x à p près, ou à la précision p, si et seulement si a est une valeur approchée de x à p près inférieure à x, c'est-à-dire si et seulement si :
Le nombre a est une valeur approchée par excès de x à p près, ou à la précision p, si et seulement si a est une valeur approchée de x à p près supérieure à x, c'est-à-dire si et seulement si : V) Arrondi de x Soit x un nombre. Si x est positif : l'arrondi (ou valeur arrondie) de x à l'unité est le nombre entier a tel que : ; l'arrondi (ou valeur arrondie) de x au dixième est le nombre décimal a tel que 10a est entier et ; l'arrondi (ou valeur arrondie) de x au centième est le nombre décimal a tel que 100aest entier et ;; l'arrondi (ou valeur arrondie) de x au millième est le nombre décimal a tel que 1000aest entier et Si x est négatif : l'arrondi (ou valeur arrondie) de x à l'unité est le nombre entier a tel que : ;; l'arrondi (ou valeur arrondie) de x au dixième est le nombre décimal a tel que 10a est entier et ; l'arrondi (ou valeur arrondie) de x au centième est le nombre décimal a tel que 100aest entier et l'arrondi (ou valeur arrondie) de x au millième est le nombre décimal a tel que 1000aest entier et Remarques L'arrondi de x à l'unité est une valeur approchée de x à 1 près ; si x est positif, cette valeur approchée est par défaut lorsque la première de x est 0, 1, 2, 3 ou 4, par excès lorsque cette est 5, 6, 7, 8 ou 9 ; si x est négatif, cette valeur approchée est par excès lorsque la première de x est 0, 1, 2, 3 ou 4, par défaut lorsque cette est 5, 6, 7, 8 ou 9. L'arrondi de x au dixième est une valeur approchée de x à 0,1 près ; si x est positif, cette valeur approchée est par défaut lorsque la deuxième de x est 0, 1, 2, 3 ou 4, si x est négatif, cette valeur approchée est par excès lorsque la deuxième de x est 0, 1, 2, 3 ou 4, par défaut lorsque cette est 5, 6, 7, 8 ou 9. L'arrondi de x au centième est une valeur approchée de x à 0,01 près ; si x est positif, cette valeur approchée est par défaut lorsque la troisième de x est 0, 1, 2, 3 ou 4, si x est négatif, cette valeur approchée est par excès lorsque la troisième de x est 0, 1, 2, 3 ou 4, par défaut lorsque cette est 5, 6, 7, 8 ou 9. L'arrondi de x au millième est une valeur approchée de x à 0,001 près ; si x est positif, cette valeur approchée est par défaut lorsque la quatrième de x est 0, 1, 2, 3 ou 4, si x est négatif, cette valeur approchée est par excès lorsque la quatrième de x est 0, 1, 2, 3 ou 4, par défaut lorsque cette est 5, 6, 7, 8 ou 9.
Soit x un nombre réel et n un entier naturel. Si x est positif, on appelle arrondi (ou valeur arrondie) de x à le nombre décimal a tel que est un entier et : Si x est négatif, on appelle arrondi (ou valeur arrondie) de x à le nombre décimal a tel que est un entier et : Remarque L'arrondi a de x à est une valeur approchée de x à près ; si x est positif, cette valeur approchée est par défaut lorsque la (n+1) ième de x est 0, 1, 2, 3 ou 4, si x est négatif, cette valeur approchée est par excès lorsque la (n+1) ième de x est 0, 1, 2, 3 ou 4, par défaut lorsque cette est 5, 6, 7, 8 ou 9. Lorsque n=0, a est l'arrondi de x à l'unité ; lorsque n=1, a est l'arrondi de x au dixième ; lorsque n=2, a est l'arrondi de x au centième ; lorsque n=3, a est l'arrondi de x au millième VI) Troncature Soit x un nombre positif. La troncature de x à l'unité est le nombre entier t tel que : t x<t+1 La troncature de x au dixième (ou à une ) est le nombre décimal t tel que 10t est entier et : t x<t+0,1. La troncature de x au centième (ou à deux s) est le nombre décimal t tel que 100t est entier et : t x<t+0,01. La troncature de x au millième (ou à trois s) est le nombre décimal t tel que 1000test entier et : t x<t+0,001 Remarques La troncature de x à l'unité est une valeur approchée de x à 1 près par défaut. La troncature de x au dixième est une valeur approchée de x à 0,1 près par défaut. La troncature de x au centième est une valeur approchée de x à 0,01 près par défaut. La troncature de x au millième est une valeur approchée de x à 0,001 près par défaut. Soit x un nombre négatif. La troncature de x à machin est le nombre entier -t tel que : t soit la troncature de x à machin
Vrai ou faux 1. 2. 1,414 est la troncature au millième de 3. -1,414 est la troncature au millième de- 4. l arrondi au centième de est 1,41 VRAI 5. l arrondi au centième de est -1,41 6. 1/3 7. une valeur approchée de à 0,01 près est 1,4148 8. la valeur approchée de à 0,01 près est 1,4148 9. une valeur approchée de à 0,01 près est 10. la valeur arrondie à 0,01 près de 1,414 est