Chapitre n 1 : «Opérations sur les nombres relatifs» I. Rappels 1/ Addition avec ou sans parenthèses 3 7= 4 57=2=2 118= 3 28=6 61= 5 618=12=12 21 24= 21 24= 45 7 25= 32 5 8= 3 45 8= 53 Règles de simplifications des parenthèses Lors d'un calcul avec parenthèses, on peut les enlever si c'est une addition. Par exemple : 58 12 s'écrit aussi 58 12. On peut enlever le signe en début de ligne. Par exemple : 4 8 13 s'écrit aussi 4 8 13. Avec plus de deux nombres relatifs A=7 124 8 5 A=74 12 8 5 A=11 25 A= 14 2/ Soustraction Exemples 5 8=5 8= 3 ou bien 5 8=5 8= 3 De même pour : 5 12= 5 12= 17 8 4= 84= 4 11 18=1118=29 5,5 12=5,5 12= 6,5 Avec plus de deux termes B= 5 83 5 1 B= 5 835 1 B= 148 B= 6
B ' = 3 2 1 4 10 B ' = 32 1 410 B ' =12 8 B ' =4 II. Multiplication 1/ Activité On considère l'expression B= 2 2 2 2. Puisque l'on additionne quatre fois le même nombre, on peut écrire que B= 4 2=4 2. Mais 2 2 2 2= 8 donc 4 2= 8. On en déduit que le produit d'un nombre positif et d'un nombre négatif est négatif. Par ailleurs, 4 2= 2 4 donc on se doute que le produit d'un «négatif» par un «positif» est aussi «négatif». Mais que se passe-t-il pour deux nombres de même signe? Pour deux nombres positifs, le résultat est aussi positif : 4 9=4 9=36. Il reste à étudier le cas de deux nombres «négatifs»... Complète la suite logique : 4 2= 8 3 2= 6 2 2= 4 1 2= 2 0 2=0 1 2=2 2 2=4 etc. Donc le produit de deux «négatif» est positif. 2/ Règle des signes Propriété Le produit de deux nombres de signes contraires est négatif. Le produit de deux nombres de même signe est positif. Remarque On peut retenir la propriété de cette façon : par donne par donne par donne par donne
Point méthode A partir de maintenant, il faudra bien distinguer les règles pour additionner et celles pour multiplier. Additionner deux nombres relatifs Multiplier deux nombres relatifs 8 12= 4 - négatif car 12 est le plus fort - 12 8 car ils sont de signes contraires 8 12= 96 négatif car par donne 812=4 - positif car 12 est le plus fort - 12 8 car ils sont de signes contraires 8 12= 20 - négatif car les nombres sont négatifs - 812 car ils sont de même signe 8 12 négatif car par donne 8 12=96 positifs car par donne 812=20 8 20=96 3/ Produit de plusieurs facteurs Activité/Exemples A= 4 3 5 1 Le résultat est soit 60, soit 60. Pour déterminer le signe, on fait le raisonnement suivant : 4 3 est positif car par donne ; 4 3 5 est positif car par donne ; 4 3 5 1 est négatif car par donne. Donc A= 60. B= 2 4 1 1 2 B=16 car par donne, par donne, par donne et par donne. On remarque la chose suivante... 1 1 1=1 est positif et le nombre de facteurs négatif est pair. De même pour 1 1 1 1 1=1. Lorsqu'il y a un nombre impair de facteurs négatifs, le résultat est négatif. Par exemple : 1 1 1 1 1= 1.
Exemples Calcule : A= 5 2 7 2= 140 car il y a trois facteurs négatifs. B= 1 4 5 3=4 15=60 calcul par regroupement. C=12 5 3= 180 car par donne et par donne. D= 2,5 10 4 100= 10 10 100= 10 000 calcul par regroupement. Méthodes Calcul du signe de proche en proche : 1 2 3 est positif car par donne et par donne. On rassemble, dans sa tête ou par écrit, les nombres négatifs : 2 5 1 8 = 2 1 8 5 = 16 5 = 80 On compte le nombre de facteurs négatifs. S'il est pair, le résultat est positif ; s'il est impair, le résultat est négatif. 2,5 4 1 100=1 000 car il y a quatre facteurs négatif. 12,547 100 5 2= 12 547 Rappels Pour multiplier un nombre décimal par 10, 100, 1000 il suffit de décaler la virgule de 1, 2, 3 chiffres vers la droite. Si besoin, on rajoute des zéros. 45,5687 100=4 556,87 1,2 1000=1200 III. Quotient de nombres relatifs Activité 24 se traduit par l'équation suivante 24=6?. On va appliquer ce principe pour 6 découvrir les règles de signes concernant la division. 24 =? se traduit par 24= 6?. Puisque moins par moins donne plus, le 6 résultat est négatif : 24 6 = 4. De même 24 6 = 4. 24 6 =? se traduit par 24= 6?. Puisque moins par plus donne moins, on a 24 6 =4
Propriété Le quotient de deux nombres de signes contraires est négatif. Le quotient de deux nombres de même signe est positif. Quelques rappels de calcul mental Pour diviser un nombre décimal par 10, 100, 1000 on décale la virgule de 1, 2, 3 rang vers la gauche : 526,21 100=5,2621 ; 6,7 1000=0,0067 Il faut connaître la table de 11 : 11 2=22 11 3=33 11 9=99 11 10=110 11 11=121 Il faut évidemment connaître ses tables pour faire des divisions : 72 9=? est équivalent à 9?=72, donc 72 9=8. La barre de fraction symbolise le résultat d'une division! 10 4 =2,5 ; 7 2 =3,5 ; 5 2 =2,5.
12 10= 1,2 126 2=6 3 4 ème 9 2010-2011 IV. Tableau récapitulatif (voir le site du collège ou le polycopié) Somme (addition) et donne et donne... et donne... et donne 3 5= 8... ça dépend : 35=2 ; 3 5= 2 3,55,3=8,8 Différence et donne...... ça dépend : 3 5= 35=2 ; (soustraction) et donne 5 3= 53= 2 3 5= 3 5= 8 et donne 3 5=35=8 et donne...... ça dépend : 3 5=3 5= 2 ; 5 3=5 3=2 Produit par donne 0,5 0,5=0,25 par donne par donne par donne 7 8,1= 56,7 0,01 12,5= 0,125 7 8=56 Quotient par donne 1,5 0,5 =3 par par donne donne 3 2 = 1,5 par donne
V. Conduire un calcul 1/ Rappels : ordre de priorité Exemples 9 512=412=16 «On calcule de gauche à droite» ou bien 9 512=21 5=16 9 5 12=9 60= 51 155 2=1510=25 «La multiplication et la division sont prioritaires sur l'addition et la soustraction» 9 5 215 32=9 1052=16 10=6 «La multiplication et la division sont sur un même niveau de priorité» 7 552 8 7=7 5 1 7=75 7=5 «Les parenthèses sont la priorité absolue» Ordre des priorités Les parenthèses Les multiplications et les divisions. Les additions et les soustractions. 2/ Exemple type A= 42 15 5 7 4 A= 42 15 35 4 «On a calculé 5 7=35» A= 42 20 4 «On a calculé 15 35= 20» A= 42 5 «On a calculé 20 4=5» A= 42 5 «Retrancher par un nombre revient à ajouter son opposé» A= 47 Exemple A' =38 18 5 4 2 A' =38 18 20 2 où 18 20 est a comprendre comme 18 20 A' =38 2 2 A' =38 1 A' =381 ou bien A' =381 A' =39 Pour lundi 27/09 Contrôle toute l'heure!