3 ème Chapitre A 1 EGALITES REMARQUABLES 1 I) Somme ou produit? Pour reconnaître si une expression numérique ou littérale est un produit, on considère la ou les opérations de la même famille qui seraient effectuées les dernières si on la calculait en respectant les priorités. (52 + 31) : 2 + ( 81 7 ) ( 5 47 ) 9 ( 3 + 5 ) + On termine par une addition et une soustraction. Cette expression est une somme de 3 termes. 99 [ ( 8 2 ) ( 58 + 3 ) 5 ( 2 + 7 ) ] ( 5 54 ) ( 8 + 6 ) On termine par 3 multiplications. Cette expression est un produit de 4 facteurs Une somme réduite est une expression écrite sous une forme développée réduite. Un produit dont les facteurs sont simplifiés est une expression écrite sous une forme factorisée simplifiée.
3 ème Chapitre A 1 EGALITES REMARQUABLES 2 II) Développer, factoriser. 1) Développer. PRODUIT Développer SOMME On utilise les formules suivantes : 1- k ( a + b ) = ka + kb 2- ( a + b ) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd ( par ordre de difficultés croissantes) Avec la formule 1 : 3 ( x + 2 ) = 3x + 6 4x ( 3 + 5x) = 12x 20x² Si on écrit 20x² + 12x on a ordonné le résultat selon les puissances décroissantes de x. 2x ( 6 x ) 8x ( 5x + 1 ) = 12x + 2x² 40x² 8x = 38x² 20x c est une somme de 2 termes qui sont des produits. Avec la formule 2 : ( x + 1 ) ( x 2 ) = x² 2x + x 2 = x² x 2 ( 3x + 2 ) ( 5 2x ) = 15x + 6x² 10 4x = 6x² + 11x 10 ( 2x + 7 ) ( x 2 ) + ( 4x + 3 ) ( 5 2x ) = 2x² 4x 7x 14 20x 8x² 15 6x = 10x² 37x 29 Les deux termes de la somme sont séparés par un +, il n est donc pas nécessaire de mettre des parenthèses autour des 2 développements.
3 ème Chapitre A 1 EGALITES REMARQUABLES 3 ( 3x + 5 ) ( 2 x 4 ) ( 4x 4 ) ( 5 6x ) = 10x² + 12x + 10x 20 ( 20x 24x² + 20 + 24x) = 10x² + 12x + 10x 20 + 20x + 24x² 20 24x = 14x² + 18x 40 ( 5x 2 ) ² ( 2x + 3 ) ² = ( 5x 2 ) ( 5x 2 ) ( 2x + 3 ) ( 2x + 3 ) = 25x² 10x 10x + 4 ( 4x² + 6x + 6x + 9 ) = 25x² 10x 10x + 4 4x² 6x 6x 9 = 21x² 32x 5 Les deux termes de la somme sont séparés par un, il est donc nécessaire de mettre des parenthèses autour du 2ème développement. Les carrés peuvent être écrits sous la forme de produits de deux facteurs identiques. 2) Factoriser : SOMME Factoriser PRODUIT On utilise la formule suivante : ka + kb = k ( a + b ) On cherche le «facteur commun» à tous les termes de la somme, et on le «met en facteur». 5x + 8x 2x 7x = x ( 5 + 8 2 7 ) = 4x Cette factorisation correspond à la réduction d une somme, car il n y a plus d inconnue dans le 2 ème facteur, et on peut donc le calculer complètement. 8x 8 y + 8 z = 8 ( x y + z ) 63x 4 + 35 x 3 = 7x 3 ( 9x + 7x 3 5 = 7x 3 ( 9x + 5 ) Le facteur commun est caché, il faut le faire apparaître. ( x + 2 ) ( 3x 1 ) + ( x + 2 ) ( 4x 3 ) = ( x + 2 ) [ ( 3x 1 ) + ( 4x 3 ) ] = ( x + 2 ) ( 3x 1 + 4x 3 ) = ( x + 2 ) ( 7x 4 ) Le facteur commun est plus complexe : ( x + 2 )
3 ème Chapitre A 1 EGALITES REMARQUABLES 4 ( 2x + 5 ) ² ( 4 3x ) ( 2x + 5 ) = ( 2x + 5 ) ( 2x + 5 ) ( 4 3x ) ( 2x + 5 ) = ( 2x + 5 ) [ ( 2x + 5 ) ( 4 3x ) ] = ( 2x + 5 ) ( 2x + 5 4 + 3x ) = ( 2x + 5 ) ( 5x + 1 ) ( 6x 1 ) ( 2 4x ) + 6x 1 = ( 6x 1 ) ( 2 4 x ) + ( 6x 1 ) 1 = ( 6x 1 ) [ ( 2 4x ) + 1 ] = ( 6x 1 ) ( 2 4x + 1 ) = ( 6x 1 ) ( 3 4x ) Le deuxième terme n est pas écrit sous la forme d un produit. Il faut l écrire ( 6x 1 ) 1 pour que (6x 1 ) soit un «facteur» commun. ( 4 + 5x ) ² 4 5x = (4 + 5x ) ² ( 4 + 5x ) 1 = (4 + 5x ) [ ( 4 + 5x ) 1 ] = ( 4 + 5x ) ( 4 + 5x 1 ) = ( 4 + 5x ) ( 3 + 5x ) Le facteur commun caché, il faut le faire apparaître ainsi que le 1 par lequel il est multiplié. III) Egalités remarquables ( ou identités remarquables). 1) Mise en évidence des formules. Carré de la somme de deux nombres : ( a + b ) ² = ( a + b ) ( a + b ) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b² donc quels que soient les nombres a et b, ( a + b ) ² = a² + 2ab + b² Application au calcul mental : 209² = ( 200 + 9 ) ² = 200² + 2 200 9 + 9² = 40000 + 3600 + 81 = 43681 Carré de la différence de deux nombres: ( a b ) ² = ( a b ) ( a b ) = a² ab ba + b² = a² 2ab + b² donc quels que soient les nombres a et b, ( a b ) ² = a² 2ab + b²
3 ème Chapitre A 1 EGALITES REMARQUABLES 5 Application au calcul mental : 399² = ( 400 1 ) ² = 400² 2 400 1 + 1² = 160000 800 + 1 = 159200 + 1 = 159201 Produit de la somme et de la différence de deux nombres : ( a + b ) ( a b ) = a² ab + ba b² = a² b² donc quels que soient les nombres a et b, ( a + b ) ( a b ) = a² b² Application au calcul mental : 198 202 = ( 200 2 ) ( 200 + 2 ) = 200² 2² = 40000 4 = 39996 2) Développer à l aide des égalités remarquables. Il faut reconnaître l égalité remarquable qui est en jeu, bien identifier les parties de l expression correspondant à a et b, puis appliquer la formule directement. ( x + 2 ) ² = x² + 4x + 4 ( 5x 3 ) ² = 25x² 30x + 9 Il s agit de la première égalité remarquable : a = x et b = 2 a² = x² b² = 4 et 2ab = 2 x 2 = 4x Il s agit de la deuxième égalité remarquable : a = 5x et b = 3 a² = (5x)² = 5² x² = 25 x² b² = 9 et 2ab = 2 5x 3 = 30x ( 4x 1 ) ( 4x + 1 ) = 16x² 1 ( 5x 3 ) ² + ( 3 + 2x ) ² = 25x² 30x + 9 + 9 + 12x + 4x² = 29x² 18x + 18 Il s agit de la troisième égalité remarquable : a = 4x et b = 1 a² = (4x)² = 4² x² = 16x² b² = 1 Il s agit des 1 ère et 2 ème égalités remarquables. ( 2x 4 ) ( 2x + 4 ) ( 7x 5 ) ² = 4x² 16 ( 49x² 70x + 25 ) = 4x² 16 49x² + 70x 25 = Il s agit des 3 ère et 2 ème égalités remarquables.
3 ème Chapitre A 1 EGALITES REMARQUABLES 6 45x² + 70x 41 (6x 1 ) ( 5x + 2 ) ( 3 + x ) ( 3 x ) + ( 8x + 4 ) ² = 30x² + 12x 5x 2 ( 9 x² ) + 64x² + 64x + 16 = 30x² + 12x 5x 2 9 + x² + 64x² + 64x + 16 = 94x² + 71x + 5 3) Factoriser à l aide des égalités remarquables. Il faut apprendre par cœur les égalités remarquables dans le sens factorisation : Quels que soient les nombres a et b, a² + 2ab + b² = ( a + b ) ² a² 2ab + b² = ( a b ) ² a² b² = ( a + b ) ( a b ) Il faut reconnaître l égalité remarquable qui est en jeu, bien identifier les parties de l expression correspondant à a et b, puis appliquer la formule directement. 25x² 40x + 16 = ( 5x 4 ) ² 81x² + 54x + 9 = ( 9x + 3 ) ² Si c est une égalité remarquable, alors c est forcément la 2 ème. Je reconnais les deux carrés : a² = 25x² donc a = 5x et b² = 16 donc b = 4 Je vérifie si le double produit de a et b est bien 40x : 2 a b = 2 5x 4 = 40x Si c est une égalité remarquable, alors c est forcément la 1 ème. Je reconnais les deux carrés : a² = 81x² donc a = 9x et b² = 9 donc b = 3 Je vérifie si le double produit de a et b est bien 54x : 2 a b = 2 9x 3 = 54x 64x² 49 = ( 8x + 7 ) ( 8x 7 ) 16x² ( 7x 1 ) ² = [4x + ( 7x 1 ) ] [ 4x ( 7x 1 )] = (4x + 7x 1 ) ( 4x 7x + 1 ) = Si c est une égalité remarquable, alors c est la 3 ème. Je reconnais les deux carrés : a² = 64x² donc a = 8x et b² = 49 donc b = 7 Si c est une égalité remarquable, alors c est la 3 ème. Je reconnais les deux carrés : a² = 16x ² donc a = 4x et b² = ( 7x 1 ) ² donc b = 7x 1
3 ème Chapitre A 1 EGALITES REMARQUABLES 7 ( 11x 1 ) ( 3x + 1 ) ( 2x + 4 ) ² ( 5 3x ) ² = [ ( 2x + 4 ) + ( 5 3x ) ] [ ( 2x + 4 ) ( 5 3x ) ] = ( 2x + 4 + 5 3x ) ( 2x + 4 5 + 3x ) = ( x + 9 ) ( 5x 1 ) Si c est une égalité remarquable, alors c est la 3 ème. Je reconnais les deux carrés : a² = ( 2x + 4 ) ² donc a = 2x + 4 et b² = ( 5 3x ) ² donc b = 5 3x Avec un mélange des deux méthodes : égalités remarquables et facteur commun. 36x² 24 x + 4 ( 6x 2 ) ( 3 5x ) = ( 6x 2 ) ² ( 6x 2 ) ( 3 5x ) = ( 6x 2 ) [ ( 6x 2 ) ( 3 5x ) ] = ( 6x 2 ) ( 6x 2 3 + 5x ) = ( 6x 2 ) ( 11x 5 ) Je reconnais la 2 ème égalité remarquable au début de l expression. Je factorise la somme de trois termes, puis je reconnais un facteur commun.