Mathématique 306 Chapitre 2 LA MANIPULATION ALGÉBRIQUE Section 2.1 Rappel sur les expréssions algébriques Section 2.2 Les opérations sur les monômes et les polynômes Section 2.3 Le développement et la factorisation Cahier des tâches Septembre 2015 Nom : Groupe : 31 32 33 34
2.1 RAPPEL Les termes Un terme peut être composé : uniquement d un nombre. Il s agit alors d un terme constant ; d un produit de nombres par des variables. Plus généralement, dans une expression algébrique, chaque élément relié par un symbole d addition ou de soustraction est un terme. Pour identifier les termes d une expression algébrique, on transforme chacune des soustractions en addition de l opposé. Exemples : 1) L expression algébrique 8x 7y 4 compte 3 termes : 8x, 7y et 4, et 4 est un terme constant. 2) L expression algébrique 6,1xy 18x peut s écrire 6,1xy 18x. L expression compte 2 termes : 6,1xy et 18x. Le coefficient Pour exprimer le produit d un nombre par une ou plusieurs variables, il est d usage de placer le nombre devant. Ce nombre, qui est un facteur, est appelé cœfficient. Exemple : Dans l expression algébrique 3xy x 9,2y : 3 est le coefficient du premier terme ; 1 est le coefficient du deuxième terme ; 9,2 est le coefficient du troisième terme. Les termes semblables Deux termes sont semblables s ils sont composés des mêmes variables affectées des mêmes exposants ou si chacun d eux est un terme constant. Exemples : 1) 17x 2 y et 9x 2 y sont des termes semblables. 2) 55,2 et 101 sont des termes semblables. 3) 4abc et 28ac ne sont pas des termes semblables. Un monôme et le degré d un monôme Un monôme est une expression algébrique formée d un seul terme. Le degré d un monôme correspond à la somme des exposants des variables qui le composent. Exemples : 1) 84x 3 y 2 est un monôme et son degré est 5, car 3 2 5. 2) 3x 8 y 5 z est un monôme et son degré est 14, car 8 5 1 14. 3) 7 est un monôme et son degré est 0. 2
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2.1 OPÉRATION SUR LES MONÔMES ET LES POLYNÔMES LES OPÉRATIONS SUR LES MONÔMES OPÉRATIONS SUR LES POLYNÔMES Un monôme est une expression algébrique formée d un seul terme. Exemples de monômes : 8 -x 7,5x -3x 2 8xy Un polynôme est une expression algébrique comportant deux ou plusieurs termes. Exemples de polynômes : 8x 6 x 2 + 3x + 1 x 3 1,5. On exprime généralement une expression algébrique sous sa forme réduite, c est-à-dire à l aide d une expression dans laquelle toutes les opérations possibles ont été effectuées. On peut réduire une expression algébrique composée de plusieurs termes de diverses façons selon la ou les opérations à effectuer. Opération Procédure Exemples Addition et soustraction Multiplication Additionner ou soustraire les termes semblables. Exploiter les propriétés de la multiplication. 1) 7x 44x 51x 2) 18xy 20xy 2xy 1) 2a 5 2 5 a 10a 2) 6a 7b 6 7 a b 42ab Division Exponentiation Utiliser les propriétés des fractions. Appliquer les lois des exposants. 80x 1) 80x 10 8x 10-2) 59,85ab 59,85ab 8,55 7ab 8,55 1) (4a 2 ) 3 4 3 a 2 3 64a 6 2) 3 12 1 x 3 (x 12 ) 12 3 x x 4 Opérations mixtes Procédures mentionnées ci-haut. 14 20x 1) 5x 14 8 5x 6 8 4x 2) (7xy) 2 61x 2 y 2 49x 2 y 2 61x 2 y 2 12x 2 y 2 5
LES ADDITIONS ET LES SOUSTRACTIONS Réduire une expression algébrique composée de plusieurs termes revient à additionner ou soustraire les termes semblables. Exemples : 1) 12a 7b 10a b 5 12a 10a 7b b 5 22a 8b 5 2) 5x 2 (8x y 55) 5x 2 8x y 55 5x 8x y 2 55 3x y 57 Ex : 1) = Ex : 2) ( ) 6
LA MULTIPLICATION Multiplier un polynôme par un monôme revient à multiplier chacun des termes du polynôme par le monôme. Ex : a) ( ) b) 3( ) c) ( ) 7
LA DIVISION Diviser un polynôme par un monôme revient à diviser chacun des termes du polynôme par le monôme. Ex : a) ( ) b) ( ) c) ( ) 8
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2.3 LE DEVELOPPEMENT ET LA FACTORISATION Développement : la multiplication d expressions algébriques Le produit de deux expressions algébriques est obtenu en multipliant chacun des termes de l une des expressions par chacun des termes de l autre, puis en réduisant les termes semblables. Exemple : Écris le développement de (2r s)(5r 3s). (2r s)(5r 3s) 2r (5r 3s) s(5r 3s) 2r 5r 2r 3s s 5r s 3s 10r 2 6rs 5rs 3s 2 10r 2 rs 3s 2 Factorisation : la mise en évidence simple Factoriser une expression algébrique consiste à l écrire sous la forme d un produit de facteurs. Exemples : Forme développée Forme factorisée Facteurs 1) 7x 2 63x 7x(x 9) 7x et x 9 2) 100x 3 60x 2 y 20x 2 (5x 3y) 20x 2 et 5x 3y Il existe diverses méthodes pour factoriser une expression algébrique, dont la mise en évidence simple. Mise en évidence simple Méthode 1. Détermine le plus grand facteur commun à tous les termes de l expression algébrique. Exemple : Factorise 10x 3 40x Le plus grand facteur commun de 10x 3 et de 40x est 10x. 2. Divise l expression algébrique par ce facteur commun. 10x 3 40x 10x 10 x 3 10 x 40 x 10 x x 2 4 3. Écris le produit du facteur obtenu à l étape 1 par le quotient obtenu à l étape 2. La forme factorisée de 10x 3 40x est 10x(x 2 4). 14
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