Leçon 12 Les probabilités Le champ d application des probabilités est très large. Sciences et économie les utilisent beaucoup. Cette leçon est nouvelle dans le programme de seconde. Il s agit de prendre contact avec le vocabulaire et les techniques de base car le principal du cours se fait en Première et Terminale.. Exercice 1 Dans un sac contenant 3 boules rouges et 2 boules noires, on tire 2 boules l une après l autre sans remettre la boule tirée dans le sac. Déterminer le nombre total de tirages possibles Soit A : «tirer deux rouges» et B : «tirer au moins une rouge». Calculer P(A) et P(B) C : «tirer deux boules de la même couleur» et D : «faire un tirage bicolore». Calculer P(C) et P(D). Exercice 2 On peut aborder un jeu truqué, l exemple le plus classique est le dé pipé. Supposons un dé où la face 1 a été lestée de façon à faire sortir plus souvent la face 6. On a P(«6») = 0,8 et P(«1») = 0,02. On considère que les autres faces sont équiprobables. Calculer la probabilité d avoir un nombre pair. Exercice 3 Nous jetons deux dés simultanément et nous notons la somme des deux nombres obtenus. Donner la table de ce jeu. Quelles sont les valeurs que nous pouvons obtenir? Calculer la probabilité de chaque valeur possible. Les valeurs de S sont elles équiprobables? Quelle est la probabilité d obtenir une somme paire? Peut-on simuler ce jeu sur ordinateur?
Correction Exercice 1 La première chose est de donner l univers, ce n est pas le sac mais l action faîte dans le sac pour cet exercice. E = {(x ; y) x et y étant deux boules différentes du sac}.attention,l ordre intervient dans le tirage des boules. Ensuite le cardinal de l univers c est-à-dire le nombre total de tirages possibles ou si on le dit plus généralement, le nombre total d éventualités. Card E = 5 4 = 20 tirages possibles (Nous avons 5 choix possibles pour la première boule et 4 pour la suivante car nous n avons pas remis la première boule tirée.) Pour compter les éventualités, en Terminale ES, on apprend des formules (Nombres de p- listes, arrangements ou combinaisons) mais en seconde, on se contente de faire un tableau ou un arbre. Le tableau r 1 r 2 r 3 n 1 n 2 r 1 **** (r 2 ;r 1 ) Etc. r 2 (r 1 ;r 2 ) **** r 3 (r 1 ;r 3 ) *** n 1 Etc. *** n 2 *** Horizontalement, la première boule tirée et verticalement, la deuxième. La diagonale est interdite ici. (r 1 ;r 2 ) signifie que l on a tiré en premier une boule rouge et en deuxième une deuxième boule rouge. Il y a bien 20 cases à remplies. L arbre r 2.(r 1 ; r 2 ) r 3....... (r 1 ; r 3 ) r 1 n 1........ (r 1 ; n 1 ) n 2....... (r 1 ; n 2 ) r 1....... (r 2 ; r 1 ) r 3........(r 2 ; r 3 ) r 2 n 1........(r 2 ; n 1 ) n 2........ (r 2 ; n 2 ) r 3 etc. n 1 n 2 etc. Nous trouvons bien 20 «branches».
Dans cet exercice, chaque tirage est équiprobable c est-à-dire dû au pur hasard et nous allons appliquer la formule Pascal : Soit A un événement alors P(A) = card A. card E Card A, le nombre de tirages donnant A Card E, le nombre total d éventualités. Cette formule s apparente à la formule donnant la fréquence d apparition en % d une variable statistique. 3 2 6 3 P(A) = = = = 0,3 = 30 %. 20 20 10 (Pour le cardinal de A, on peut compter les cases ou bien raisonner en disant, on a 3 choix possibles pour la première rouge et 2 choix possibles pour la deuxième) (Il y a trois façons de donner la réponse, en quotient irréductible, en décimal ou en pourcentage). Propriété importante : A, 0 P(A) 1. 0 est la probabilité de l événement impossible (ici, par exemple tirer une rouge et une blanche) et 1 celle de l événement certain (ici, tirer deux boules). B est composé de deux évènements, B 1 : «tirer une rouge et une noire» et A : «tirer deux rouges». Nous écrivons B = B 1 A. Ces deux évènements sont incompatibles (B 1 A = ) cela veut dire qu ils ne peuvent pas se produire en même temps c est-à-dire ils n ont pas d éventualités en commun. Nous avons une formule, si on a deux évènements incompatibles alors P(A B) = P(A) + P(B). Remarque, si les deux évènements ne sont pas incompatibles alors : P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). C est une formule qui vient des ensembles, si on a deux ensembles qui ont une intersection, c est-à-dire une partie commune, alors si on les réunit, l intersection est comptée deux fois et donc : Card(A B) = Card(A) + Card(B) Card(A B) Card(A) = 5 Card(A B)=2 Card(B) = 3 A B Nous avons bien sur cet exemple (Attention, ce n est pas une démonstration) : Card(A B) = 5 + 3 2 = 6. Nous voyons que les probabilités utilisent beaucoup le langage et les propriétés des ensembles. Ici, nous avons donc, P(B) = P(B 1 ) + P(A). P(B 1 ) = P(«tirer la rouge puis la noire» + P(«tirer la noire puis la rouge») = 3 2 2 3 + 20 20 12 3 = = (On dit 3 chances sur 5 soit 60 %). 20 5
3 3 9 P(B) = + =. C est un événement très probable (90% de chance de se produire). 10 5 10 Remarques a) Nous pouvons vérifier en comptant les cases ou les branches de l arbre (18 sur 20). b) Nous pouvons utiliser pour cette question l événement contraire. Définition et théorème Tout événement A possède son événement contraire noté A. ( A A= E ; A A = ) et nous avons P(A) = 1 P( A ). Dans cette question, l événement contraire de B est B : «tirer 2 noires» 2x1 1 1 9 P( B ) = = et on a bien P(B) = 1 =. 20 10 10 10 C : «tirer deux boules de la même couleur» P(C) = P(«tirer 2 rouges») + P(«tirer 2 noires») = 3 2 8 2 + = = (ou 0,4 ou 40 %) 10 20 20 5 D est l événement contraire de C et donc P(D) =1 P(C) = 5 3. Exercice 2 E = {{a}, une des faces du dé} ({a} s appelle un singleton) Propriété, P(E) = 1 or ici, P(E) = P(«1») + P(«2») + P(«3») + P(«4») + P(«5») + P(«6»). Posons x = P(«2») = P(«3») = P(«4») = P(«5») et donc, 4x + 0,02 + 0,8 = 1 et donc 4x = 0,18 donc x = 0,045. P(«avoir un nombre pair») = P(«2») + P(«4») + P(«6») (Evènements incompatibles) P(«avoir un nombre pair») = 0,045 + 0, 045 + 0,8 = 0,89 soit 89 %! alors que si le dé n est pas truqué, la probabilité est 3 6 1 = 2 1 = 0,5 soit 50 %. Exercice 3 Attention, nous jetons les dés simultanément donc obtenir 2 puis 3 revient au même que 3 puis 2 ; en fait l univers contient des paires : E = {{a ; b} a et b deux nombres différents pris entre 1 et 6 ; et les couples (1 ; 1) ; (2 ; 2) ; (3 ; 3) ; (4 ; 4) ; (5 ; 5) et (6 ; 6)} 6 5 Card E = + 6 = éventualités. 2 La table de ce jeu est un tableau montrant les deux dés et la somme obtenue dans chaque cas. Ceci va nous donner les valeurs possibles de S. En première, S s appelle une variable aléatoire. Dans le tableau, nous voyons bien que 2 et 3 n est compté qu une fois (2 et 3 même somme que 3 et 2)
Dé 2 Dé 1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 4 5 6 7 8 3 6 7 8 9 4 8 9 10 5 10 11 6 12 S prendra les valeurs 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ;10 ; 11 et 12. 1 1 2 2 3 1 P(S = 2) = ; P(S = 3) = ; P(S = 4) = ; P(S = 5) = ; P(S = 6) = = ; 7 3 1 3 1 2 2 1 P(S = 7) = = ; P(S = 8) = = ; P(S = 9) = ; P(S = 10) = ; P(S = 11) = ; 7 7 1 P(S = 12) = ; Nous comptons dans chaque cas le nombre de cases valable pour la valeur de S. Remarque : La somme de toutes ces probabilités vaut 1 (Probabilité de E). 1 1 2 2 3 3 3 2 2 1 1 + + + + + + + + + + = = 1. Nous voyons que les valeurs de S ne sont pas équiprobables. Pour avoir une somme paire, S doit prendre les valeurs 2 ou 4 ou 6 ou 8 ou 10 ou 12. Il s agit donc de 6 évènements incompatibles et donc : P(«S paire») = P(S = 2) + P(S = 4) + P(S = 6) + P(S = 8) + P(S = 10) + P(S = 12) 1 2 3 3 2 1 12 4 = + + + + + = = 0,571 57,1%. 7 Nous voyons l utilité des probabilités en effet, «sortir S paire» aura plus de chances de se produire que «sortie S impaire» (P( S impaire) = 7 3 )
Pour simuler ce jeu, nous devons modéliser un dé sous Excel par exemple : = ent(alea()*6) +1 Nous pouvons faire une feuille Excel (Simulation sur 500 tirages): 2 dés et la somme S Dé1 Dé2 S tests 1 1 2 1 4 6 10 1 Pour un dé 5 3 8 1 (=ENT(ALEA()*6)+1) 6 3 9 0 4 3 7 0 Pour S 4 3 7 0 (=A5+B5) 4 6 10 1 3 5 8 1 Pour les tests 6 2 8 1 (=SI(MOD(D5;2)=0;1;0)) 6 6 12 1 1 6 7 0 Enfin, nous faisons la somme 5 1 6 1 de la colonne tests 5 4 9 0 5 1 6 1 5 6 11 0 Total des S paires 260 Sur 500 6 4 10 1 4 6 10 1 6 6 12 1 Fréquences de S paire observée 1 1 2 1 6 4 10 1 52% 4 6 10 1 Etc.. 1 3 4 1 6 1 7 0 Ici aussi, la touche f9 montre les fluctuations selon les 500 tirages. Nous remarquons que la fréquence n est jamais supérieure à 57%, en effet, dans Excel, les dés sont créés l un après l autre aussi, ceci ne correspond pas à l étude faîte. Si nous considérons les dés lancés l un après l autre alors toutes les cases du tableau fait précédemment sont à considérées et l univers E va compter 36 éventualités car l ordre intervient (2 ; 3) (3 ; 2) même si la somme S vaut 5 dans les deux cas. Si nous comptons les cases où S est paire alors nous en trouvons 18 et donc dans ce modèle, 18 P(S paire) = = 0,5 = 50%! 36 Dans Excel, si nous augmentons le nombre des tirages, par exemple 2500 alors, nous voyons bien que la fréquence trouvée tourne autour de 50%. 1 1 (f 0,5 ;0,5 + soit f [0,48 ;0,52]). 2500 2500