Université Pierre et Marie Curie (Paris vi) Master Sciences et Technologie Mention Mathématiques et Applications M2 de Mathématiques fondamentales Année universitaire 2014 2015 Responsables : Jean-François Dat et Elisha Falbel Secrétariat : Mme L. Dreyfuss Campus de Jussieu, 1er étage, couloir 15-25, bureau 1.09) 4, place Jussieu, 75005 Paris Tél & Fax 01 44 27 85 45 Mél master.math.fond@upmc.fr Url http://mathfond.math.upmc.fr/
La figure en couverture est une famille de solutions quasipériodiques à deux fréquences, et périodiques modulo rotation, bifurquant à partir d un équilibre relatif (point fixe modulo rotation) du problème des 5 corps, le pentagone régulier à 5 masses égales. Dans le repère ici choisi, la famille possède une symétrie d ordre 20 contenant la symétrie chorégraphique, imposant à tous les corps de se poursuivre le long de la même courbe fermée à intervalle de temps fixé. La dernière solution tracée est plane, et périodique en repère fixe.
Table des matières 1 Le M2 de Mathématiques fondamentales 5 Parcours Mathématiques Recherche........................ 5 Parcours Mathématiques Avancées......................... 5 2 Organisation et déroulement du M2 6 Parcours Mathématiques Recherche........................ 6 Parcours Mathématiques Avancées......................... 7 Télé-enseignement................................... 7 3 Inscription et candidature 8 4 Cours de l année 2014-2015 10 5 Description des cours 11 5.1 Cours introductifs (8 sept. - 17 oct. 2014) 11 Les outils de la géométrie algébrique......................... 11 Théorie de Lie et représentations........................... 12 Eléments d analyse pour le master.......................... 13 Introduction aux surfaces de Riemann........................ 14 Théorie algébrique des nombres............................ 15 Géométrie différentielle................................. 16 5.2 Cours fondamentaux I (4 nov. - 15 déc. 2014) 17 Topologies différentielle et algébrique des variétés.................. 17 Géométrie complexe et théorie de Hodge....................... 18 Introduction à la théorie des schémas......................... 19 Théorie de Lie et Représentations........................... 20 Systèmes dynamiques I................................. 21 Introduction à l analyse semiclassique........................ 22 5.3 Cours fondamentaux II (5 janv. - 13 fév. 2015) 23 Formes modulaires et leurs propriétés arithmétiques................ 23 Introduction à la géométrie hyperbolique....................... 24 Introduction à la topologie des variétés algébriques réelles............. 25 Introduction à la dynamique hyperbolique...................... 26 3
Inégalités de Carleman................................ 27 Groupes algébriques et espaces homogènes...................... 28 5.4 Cours spécialisés (2 mars - 10 avril 2015) 29 Métriques d Einstein.................................. 29 Nonsmooth differential geometry........................... 30 Géométrie tropicale................................... 31 Logarithmes discrets dans les corps finis....................... 32 Points de hauteur bornée dans les structures o-minimales et géométrie diophantienne 33 Introduction à l ergodicité quantique......................... 34 4
1 Le M2 de Mathématiques fondamentales La spécialité Mathématiques fondamentales est une option de la mention Mathématiques et Applications du Master de Sciences et Technologie de l Université Pierre et Marie Curie (Paris VI). Elle s adresse aux étudiants titulaires d un M1 de mathématiques ou d un titre équivalent et comprend deux parcours : Mathématiques Recherche et Mathématiques avancées. Un large spectre des mathématiques fondamentales est généralement couvert, avec des variations selon les années : théorie des nombres, géométrie algébrique, théorie de Lie, géométries analytique et différentielle, systèmes dynamiques, analyse fonctionnelle, analyse harmonique, équations aux dérivées partielles, etc. Parcours Mathématiques Recherche Ce parcours, assez exigeant, s adresse à tous les étudiants se destinant à un doctorat en Mathématiques fondamentales. Une fois ce doctorat accompli, les débouchés naturels sont les métiers de la recherche et de l enseignement supérieur, au CNRS, à l université ou dans les centres de recherche des grandes entreprises. Ces diplômes devraient aussi être un gage de puissance et de créativité intellectuelles suffisant pour intéresser les entreprises de haute technologie, comme c est déjà le cas pour des diplômes équivalents en Allemagne, au Royaume Uni et aux Etats-Unis. Parcours Mathématiques Avancées Ce parcours, plus abordable, intéressera les étudiants dont le but principal est de valider le Master, sans poursuivre en doctorat. Les cours proposés sont essentiellement les mêmes que pour le parcours Recherche, mais les règles de validation sont assouplies, et il est aussi possible de valider certains cours de M1 avancés. Ce parcours est particulièrement bien adapté aux étudiants désirant préparer l agrégation. Une fois validé leur M2, ceux-ci pourront suivre la prépa agreg de la Faculté de Mathématiques. Les détails des règles permettant de valider l un ou l autre des parcours se trouvent sur la page Organisation de cette brochure. 5
2 Organisation et déroulement du M2 Comme tout M2, le cursus comprend des cours et un stage. Les règles de validation dépendent du parcours envisagé. Les cours se répartissent en 4 périodes de 6 semaines, regroupées de la façon suivants : cours d introduction de 24 heures sur 6 semaines (9 ECTS chacun). cours fondamentaux I et II, de 24 heures plus 12 heures de TD, sur 6 semaines (9 ECTS chacun). cours spécialisés, en général de 24h sur 6 semaines (9 ECTS chacun). En règle générale, la validation de chaque cours est conditionnée par la réussite à un examen écrit qui se tient à la fin de l enseignement concerné. Une session de rattrapage pourra être organisée en juin, si nécessaire : les étudiants intéressés par un rattrapage devront contacter directement les enseignants. Pour les cours spécialisés, la validation peut prendre d autres formes : examen oral, mini-mémoire de synthèse sur un thème connexe, etc. Voici les règles de validation des deux parcours. Parcours Mathématiques Recherche Les cours (36 ECTS) Les étudiants doivent valider 4x9=36 ECTS de cours, dont au plus 18 ECTS en cours introductifs et au moins 9 ECTS en cours fonda 2 ou spécialisé. Il est possible de valider des crédits de cours d autres universités (Paris 7, Orsay...) après accord des responsables du M2, qui vérifieront notamment la cohérence du choix. Le stage (21 ECTS) Il consiste en un travail personnel de compréhension, d explication et de synthèse d un ou plusieurs articles de recherche, conclu par la rédaction d un mémoire et une soutenance devant un jury. Le sujet du mémoire est bien souvent, mais pas nécessairement, un tremplin vers le futur sujet de thèse. Il est conseillé de prospecter pour un directeur de stage potentiel dès que l on est sûr de son sujet de prédilection. Fin mars semble être une limite raisonnable. La date de soutenance du mémoire sera fixée en accord avec le directeur de recherche et les membres du jury. Attention : les étudiants qui désirent candidater à un Contrat Doctoral auprès de l Ecole Doctorale devront avoir soutenu leur mémoire avant fin juin. Pour les autres, la limite ordinaire est fin septembre. Les 3 ECTS d ouverture Ils consistent en l apprentissage du logiciel de typographie (La)TeX utilisé par la quasi-totalité des mathématiciens dans le monde. 6
Parcours Mathématiques Avancées Les cours (36 ECTS) Les étudiants doivent valider 36 ECTS sous la forme de cours. Outre les cours du M2, il est possible de valider certains cours du second semestre de M1, dont le niveau est intermédiaire entre M1 et M2. Il faudra pour cela demander l accord d un responsable qui s assurera que le cours concerné n a pas déjà été validé en M1. son contenu n est pas inclus dans celui d un cours de M2 déjà validé. Par ailleurs, le nombre d ECTS ainsi acquises est limité à 12. Voici la liste des cours de M1 éligibles, dont on trouvera aussi une description sur la brochure générale du Master. Groupes et algèbres de Lie (6 ECTS) Introduction aux surfaces de Riemann (6 ECTS) Groupe fondamental et revêtements (6 ECTS) Théorie analytique des équations différentielles ordinaires (6 ECTS) Équations aux dérivées partielles (12 ECTS) Histoire des mathématiques (6 ECTS) Le stage (21 ECTS) Il est similaire à celui du parcours Recherche. Le sujet du mémoire pourra cependant être plus adapté au projet de l étudiant, notamment si celui-ci se destine à l agrégation. Les 3 ECTS d ouverture Ils consistent en l apprentissage du logiciel de typographie (La)TeX utilisé par la quasi-totalité des mathématiciens dans le monde. Télé-enseignement Une possibilité d enseignement par correspondance est ouverte sur certains cours. Les étudiants par correspondance reçoivent ou téléchargent les polycopiés des cours, passent les examens à l Université, et correspondent directement avec les enseignants (resp. leur directeur de stage) pour les questions pédagogiques (resp. la préparation de leur mémoire). Certains polycopiés sont disponibles sur les pages web des enseignants. On consultera le site web du M2 pour des informations à jour concernant les cours disponibles par correspondance. 7
3 Inscription et candidature L inscription au master de Mathématiques fondamentales est réservée aux étudiants titulaires du M1, d une maîtrise de mathématiques pures, ou d un diplôme équivalent par décision individuelle d équivalence du Président de l Université. En revanche, l acceptation n est pas automatique. Une sélection sera effectuée au vu des résultats obtenus dans les années antérieures. Voici les démarches pour candidater. Inscription administrative par internet Obligatoirement remplir un dossier d inscription administrative via internet sur le site de la scolarité de l université http://www.upmc.fr/fr/formations/inscriptions_scolarite.html. Si ce site est fermé, s adresser au secrétariat. Il sera demandé certains renseignements administratifs, après quoi il faudra imprimer le dossier ; de la persévérence peut s avérer nécessaire! Un numéro de dossier ainsi qu un mot de passe vous seront alors attribués, qui permettront de suivre sur ce site l évolution du statut de votre candidature. Candidature Ensuite, constituer un dossier de candidature et le remettre au secrétariat. Demander au secrétariat la date limite de remise du dossier de candidature (courant septembre). Ce dossier doit comporter : le dossier d inscription administrative imprimé le formulaire de candidature avec photo d identité (téléchargeable sur le site internet) le relevé de notes de M1, délivré par son université d origine. Les étudiants ayant des diplômes étrangers doivent fournir en plus : la photocopie du programme des cours suivis pendant les quatre années d études supérieures le relevé de notes des quatre années la photocopie des diplômes (le Service de la Scolarité en exigera ultérieurement une traduction assermentée ; voir par exemple le site des experts traducteurs http://www.ceticap.com/). Résultats Dans le cas d une réponse favorable, l étudiant recevra une lettre d acceptation signée par le responsable du parcours. Dans tous les cas, l avis de la commission sera consultable sur internet. Bourses Les étudiants désirant une bourse durant leur année de M2, doivent s adresser au Bureau des bourses de l université (campus de Jussieu). Il existe entre autres des bourses sur critère universitaire, des bourses sur critère social, des allocations d études. 8
Voir les détails ainsi que les conditions d attribution (de nationalité, de situation familiale, etc.) sur le site du bureau des bourses http://www.upmc.fr/fr/vie des campus/bourses.html. Pour les deux premiers types de bourses ci-dessus il faut déposer une demande entre le 15 janvier et le 30 avril. Par ailleurs, la Fondation Sciences Mathématiques de Paris offre des bourses d études à travers son programme Paris Graduate School of Mathematical Sciences. Consulter http://www. sciencesmath-paris.fr/pgsm/. 9
4 Cours de l année 2014-2015 Chaque cours a un volume de 24h, sur 6 semaines. Les cours fondamentaux sont doublés par 12h de TD, qui sont assurés par l auteur du cours (sauf mention du contraire, entre parenthèses). Les cours ont généralement lieu sur le campus Jussieu. Certains auront lieu dans le bâtiment Sophie Germain de Paris 7. Cours introductifs (9 septembre 18 octobre 2014) A. Ducros Les outils de la géométrie algébrique * GA M. Harris (P7) Théorie de lie et représentations I Lie N. Lerner Éléments d analyse pour le Master * HFE J. Marché Surfaces de Riemann GC, GT L. Merel (P7) Théorie algébrique des nombres * TN V. Minerbe Géométrie différentielle GT Cours fondamentaux I (5 novembre 16 décembre 2014) N. Bergeron, G. Ginot (A. Topologies différentielle et algébrique des variétés GT Guilloux) L. Charles Géométrie complexe et théorie de Hodge * GT, GC A. Ducros (TD de C. Demarche) Introduction à la théorie des schémas * GA D. Hernandez (P7) Théorie de lie et représentations II Lie M. Hindry (P7) (TD de???) Courbes elliptiques TN P. Le Calvez (TD de???) Systèmes dynamiques I Dyn S. Nonnenmacher (TD de D.V. Vu) Introduction à l analyse semi-classique HFE Cours fondamentaux II (14 janvier 21 février 2015) J.-F. Dat Formes modulaires et leurs propriétés arithmétiques * TN E. Falbel Introduction à la géométrie hyperbolique GT I. Itenberg Introduction à la Géométrie Algébrique réelle GA, GT R. Krikorian Introduction à la dynamique hyperbolique Dyn N. Lerner Inégalités de Carleman * HFE P. Polo Groupes algébriques et espaces homogènes * Lie Cours spécialisés (3 mars 11 avril 2015) O. Biquard Métriques d Einstein GT N. Gigli Non-smooth differential geometry GT, HFE I. Itenberg Géométrie Tropicale GA, GT A. Joux Logarithmes discrets dans les corps finis TN F. Loeser Points de hauteur bornée dans les structures o-minimales TN, GA et géométrie diophantienne S. Nonnenmacher Introduction à l ergodicité quantique Dyn, HFE * Cours pouvant être suivi en télé-enseignement. GA Géométrie algébrique TN Théorie des nombres Lie Groupes et algèbres de Lie GC Géométrie complexe GT Géométrie et topologie Dyn Dynamique Phy Physique Mathématique HFE Analyse harmonique, analyse fonctionnelle et équations aux dérivées partielles 10
Cours introductif Les outils de la géométrie algébrique Antoine Ducros Pas de notes de cours prévues. Le but de ce cours est d introduire un certains nombres d outils et notions, dans différents domaines (catégories, algèbre commutative, théorie des faisceaux), qui sont constamment utilisés en géométrie algébrique à la Grothendieck. Conçu dans l optique de préparer au cours d introduction à la théorie des schémas, il peut présenter un intérêt pour tout étudiant intéressé par l algèbre et la géométrie au sens large. Le langage des catégories : catégories, foncteurs, équivalence de catégories, foncteurs représentables, produits fibrés, foncteurs adjoints. Algèbre commutative : idéaux premiers et maximaux, localisation, éléments entiers, goingup et going-down, normalisation de Noether, Nullstellensatz, dimension de Krull, produit tensoriel. Théorie des faisceaux : préfaisceaux, faisceaux, images directes et inverses de faisceaux, espaces anneés, espaces localement annelés, faisceaux de modules. Il n y a pas techniquement énormément de prérequis, sinon les définitions de base de l algèbre commutative (anneaux, idéaux, modules...) ; mais une solide aisance en la matière est préférable. Je ne suivrai pas de livre spécifique ; je donne à titre purement indicatif deux références, le Matsumura pour l algèbre commutative, et le chapitre II, paragraphe 1 du Hartshorne pour les faisceaux. R. Harsthorne. Algebraic Geometry. Graduate texts in math. 52, Springer-Verlag H. Matsumura. Commutative ring theory. Cambridge Studies in advanced math. 8, Cambridge University Press ducros@math.jussieu.fr 11
Cours introductif Théorie de Lie et représentations Michael Harris Pas de notes de cours prévues. La théorie des représentations, notamment des algèbres de Lie, est un sujet central en mathématiques qui a de nombreuses applications à d autres branches des mathématiques (géométrie, théorie des nombres, combinatoire, topologie...) mais aussi en physique théorique (systèmes intégrables quantiques, théorie conforme des champs...). Le but de ce cours est de donner une introduction aux concepts et outils classiques de la théorie de Lie, notamment en théorie des représentations Algèbres de Lie : définition, notion de représentation, exemples classiques, motivations et lien avec les groupes de Lie. Algèbres de Lie nilpotentes, résolubles, semi-simples. Catégories de représentations d une algèbre de Lie, représentations irréductibles, représentations semi-simples. Représentation adjointe. Complète réductibilité pour les algèbres de Lie semi-simples (théorème de Weyl). - Structure des algèbres de Lie semi-simples. Systèmes de racines, groupe de Weyl. Modules de plus haut poids, modules de Verma, modules simples. - Catégorie O. Paramétrisation des représentations simple. Séries de Jordan-Holder. Multiplicité d une représentation simple dans une représentation de la catégorie O. - Représentations de dimension finie, paramétrisations par les poids dominants. - Structure tensorielle, morphisme de caractère, anneau de Grothendieck. Aucun prérequis n est nécessaire. J-P. Serre. Lie algebras and Lie groups. Lecture Notes in Mathematics, 1500, (2006) URL W. Fulton et J. Harris. Representation Theory: A First Course. Graduate Texts in Mathematics, 129 (3 ème édition, 2004). J. Humphreys. Introduction to Lie algebras and representation theory. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1978 J-P. Serre. Algèbres de Lie semi-simples complexes.. Benjamin 1966 michael.harris@imj-prg.fr 12
Cours introductif Eléments d analyse pour le master Nicolas Lerner Notes de cours : http://www.math.jussieu.fr/ lerner/index.m2intro.html. Le cours commencera par une présentation détaillée de la transformation de Fourier des distributions tempérées, qui sera suivie par quelques applications comme la formule de Poisson et la méthode de la phase stationnaire. On abordera ensuite les estimations classiques pour la convolution, inégalité de Young, de Hardy-Littlewood-Sobolev. On démontrera ensuite l inégalité de Gagliardo-Nirenberg et les théorèmes d injection de Sobolev. Le cours se terminera par quelques résultats de base sur le calcul pseudodifférentiel, notamment des résultats de continuité H s et l inégalité de Gårding. Ce cours sera utile pour les étudiants souhaitant suivre les cours fondamentaux de F. Klopp et N. Lerner. Analyse de Fourier et applications Inégalités de Young, de Hardy-Littlewood-Sobolev Inégalité de Gagliardo-Nirenberg Théorèmes d injection de Sobolev Calcul pseudodifférentiel Une bonne familiarité avec la mesure de Lebesgue et une connaissance sommaire de la transformation de Fourier pourront être utiles. J. Duoandikoetxea. Fourier Analysis. Graduate Studies in Mathematics, 29. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. URL L. Hörmander. The Analysis of Linear Partial Differential Operators I. Springer-Verlag, 256. N. Lerner. Metrics on the Phase Space and Non-Selfadjoint Pseudo-Differential Operators. Birkhäuser Verlag, 2010 N. Lerner. A Course on Integration Theory. Birkhäuser Verlag, 2014 C. Sogge. Fourier integrals in classical analysis. Cambridge Tracts in Mathematics, 105, Cambridge University Press, Cambridge, 1993. E.M. Stein. Harmonic analysis: real-variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals. with the assistance of Timothy S. Murphy, Princeton Mathematical Series, 43, Monographs in Harmonic Analysis, III, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1993. nicolas.lerner@imj-prg.fr 13
Cours introductif Introduction aux surfaces de Riemann Julien Marché Pas de notes de cours prévues. L objectif de ce cours est de proposer une introduction aux divers aspects algébriques, analytiques et géométriques d un des objets les plus riches et les plus importants des mathématiques, qui est la source de plusieurs domaines de la recherche contemporaine. Définition et exemples, courbes elliptiques, courbes algébriques, courbes associées aux fonctions holomorphes. Aspects topologiques, genre, triangulation, formule de Riemann-Hurwitz. Fibrés en droites, différentielles holomorphes et théorème de Riemann-Roch. Faisceaux, cohomologie de Dolbeaut, théorème d Abel-Jacobi. Analyse complexe de M1 et bases de topologie et de géométrie différentielle. S. Donaldson. Riemann Surfaces. Oxford Graduate Texts in Mathematics H. P. de Saint-Gervais. Uniformisation des surfaces de Riemann. Retour sur un théorème centenaire. Lyon, ENS editions. http://www.lcdpu.fr/livre/?gcoi=27000100107890& fa=complements N. Bergeron et A. Guilloux. Introduction aux surfaces de Riemann. http://www. math.jussieu.fr/~bergeron/enseignement_files/surfacederiemann.pdf Miranda. Algebraic curves and Riemann Surfaces. Graduate studies in Mathematics julien.marche@imj-prg.fr 14
Cours introductif Théorie algébrique des nombres Loïc Merel Notes de cours : http://www.math.jussieu.fr/ merel/tan.pdf. Introduction aux objets de base de la théorie algébrique des nombres en vue d étudier la géométrie arithmétique et les formes automorphes. Anneaux de Dedekind, nombres p-adiques, corps de nombres, groupe des classes, groupes des unités, discriminants. Les théorèmes classiques de la géométrie des nombres (finitude du nombre de classe, théorème des unités) Les nombres p-adiques Localisation, complétion de corps de nombres. Discriminants. Les fonctions zeta de corps de nombres La formule du nombre de classes (si le temps le permet) Le théorème de Chebotarev (si le temps le permet) Théorie de Galois, théorie des anneaux principaux, corps finis. Pierre Samuel. Théorie algébrique des nombres. references URL Jean-Pierre Serre. Corps Locaux. René Schoof. Catalan s conjecture. merel@imj-prg.fr 15
Cours introductif Géométrie différentielle Vincent Minerbe Notes de cours : http://www.math.jussieu.fr/ minerbe/. Il s agira d une introduction à la géométrie différentielle et riemannienne. Variétés, champs de vecteurs, formes différentielles. Fibrés, connexions, courbure. Métriques riemanniennes, géodésiques, courbure riemannienne, liens entre courbure et géométrie/topologie. Il est souhaitable d avoir suivi un cours de géométrie différentielle (niveau M1), même si des rappels seront faits. Gallot, Hulin, Lafontaine. Riemannian Geometry. Spivak. A comprehensive introduction to differential geometry. Petersen. Riemannian Geometry. Chavel. Riemannian Geometry: a modern introduction. Do Carmo. Riemannian Geometry. vincent.minerbe@imj-prg.fr 16
Cours fondamental 1 Topologies différentielle et algébrique des variétés Nicolas Bergeron et Gregory Ginot (Travaux dirigés par Antonin Guilloux) Pas de notes de cours prévues. La topologie algébrique fait un pont entre la géométrie et l algèbre. Dans ce cours nous nous concentrerons sur l étude des variétés différentielles. Le but est de classer, à difféomorphisme près, les variétés différentielles en leur associant des invariants de nature algébrique (nombres entiers, groupes, anneaux,... ). Les idées et images issues de la topologie algébrique irriguent l ensemble des mathématiques modernes. Le but de ce cours est de les exposer dans leur cadre originel en suivant le plan général proposé, il y a près de 130 ans, par Poincaré dans ses mémoires fondateurs sur l Analysis Situs. La présentation, le style, les démonstrations et les méthodes employées seront par contre celles du 21ème siècle. Variétés, homotopie des applications et homotopie entre espaces, rétraction (par déformation), contractibilité, revêtements. Notion abstraite de théorie homologique des variétés. Calculs et applications d une telle théorie. Construction d une théorie homologique. Complexes simpliciaux et polyèdres. Triangulation des variétés. Homologie simpliciale. Formule d Euler-Poincaré. Homologie Singulière. Intersection, dualité de Poincaré et cohomologie. Théorème de de Rham PL, cup-produit. Groupe fondamental, lien avec l homologie. Connaissances de topologie générale et géométrie différentielle de maîtrise. Cela pourra aider d avoir suivi les cours introductifs de géométrie différentielle et/ou surfaces de Riemann. Il y a par ailleurs un cours introductif à Paris 7 sur le même sujet mais avec un point de vue différent. Allen Hatcher. Algebraic Topology. Glen Bredon. Topology and Geometry. Claude Godbillon. Eléments de topologie Algébrique. William Fulton. Algebraic Topology: a first course. William Massey. A basic course in algebraic topology. Frédéric Paulin. Topologie algébrique élémentaire. http://www.math.u-psud.fr/ ~paulin/notescours/liste_notescours.html bergeron@math.jussieu.fr 17
Cours fondamental 1 Géométrie complexe et théorie de Hodge Laurent Charles Des notes de cours seront disponibles. Ce cours est une introduction à la géométrie complexe, c est-à-dire l étude des variétés localement isomorphes à un ouvert de C n. La théorie de Hodge est un outil puissant qui permet de comprendre la topologie de ces variétés. On s intéressera en particulier aux variétés kähleriennes compactes, qui forment une classe large et importante de variétés complexes. variétés complexes, cohomologie de Dolbeault Fibrés holomorphes, connexion de Chern Laplacien et théorie de Hodge Variétés kähleriennes et décomposition de Hodge Théorème d annulation et plongement de Kodaira. Surfaces de Riemann, géométrie différentielle (entre autres cohomologie de de Rham). Huybrecht. Complex geometry: an introduction. Wells. Differential analysis on complex manifolds. laurent.charles@imj-prg.fr 18
Cours fondamental 1 Introduction à la théorie des schémas Antoine Ducros Pas de notes de cours prévues. Le langage des schémas a été introduit par Grothendieck (et son école) dans les années 50-60 avec en ligne de mire les conjectures de Weil ; il permet de manipuler des variétés algébriques sur un corps ou même un anneau quelconques, et est toujours le cadre de travail de la géométrie algébrique contemporaine. On peut par exemple, grâce à lui, étant donné un système d équations S à coefficients dans Z, voir les variétés définies par S sur les différents corps F p (par réduction modulo p des équations) ainsi que sur Q (en oubliant que les coefficients sont entiers) comme les fibres d un certain morphisme, et donc penser à cette collection de variétés (dont le corps de définition varie) comme à une famille, au sens géométrique du terme. Spectre d un anneau commutatif. Définition d un schéma ; schémas irréductibles, composantes irréductibles, dimension... Morphismes de schémas. Foncteur des points d un schéma. Faisceaux quasi-cohérents, immersions fermées. Schémas projectifs, morphismes projectifs. Si le temps le permet : faisceau des différentielles, lissité. Je me fonderai sur le cours introductif Les outils de la géométrie algébrique. Je m inspirerai assez librement du chapitre II du Hartshorne ; je conseille également la lecture de l introduction de EGA. R. Harsthorne. Algebraic Geometry. Graduate texts in math. 52, Springer-Verlag A. Grothendieck et J. Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique. I. Le langage des schémas. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 166, Springer-Verlag ducros@math.jussieu.fr 19
Cours fondamental 1 Théorie de Lie et Représentations David Hernandez (Travaux dirigés par Luca Moci) Notes de cours : http://www.math.jussieu.fr/ hernandez/resumedan2.pdf. La théorie des représentations, notamment des algèbres de Lie, est un sujet central en mathématiques qui a de nombreuses applications à d autres branches des mathématiques (géométrie, théorie des nombres, combinatoire, topologie...) mais aussi en physique théorique (systèmes intégrables quantiques, théorie conforme des champs...). Le but de ce cours est double : d une part donner une introduction aux concepts et outils classiques de la théorie de Lie, et d autre part étudier des généralisations (de dimension infinie et quantiques) ainsi que certaines de leurs applications importantes. Lors du cours Fondamental 1 (qui fait suite au cours Introductif ) l accent sera tout particulièrement mis sur ces généralisations et applications. Algèbres de Lie de dimension infinie, algèbres de Kac-Moody. Catégorie des représentations intégrables dans la catégorie O. Algèbres de lacets, algèbres affines. Groupes quantiques, algèbres de Hopf. Equation de Yang-Baxter. Application aux systèmes intégrables quantiques. Cours introductif (M. Harris et D. Hernandez) : Théorie de Lie et Représentations. J-P. Serre. Lie algebras and Lie groups. 1964 lectures given at Harvard Uni- versity, Lecture Notes in Mathematics, 1500, (2006) W. Fulton et J. Harris. Representation Theory: A First Course. Graduate Texts in Mathematics, 129 (3 ème édition, 2004) V. Kac. Infinite-dimensional Lie algebras. Cambridge University Press, Cambridge, 1990 P. Etingof, I. Frenkel et A. Kirillov. Lectures on representation theory and Knizhnik-Zamolodchikov equations. Mathematical Surveys and Monographs, 58. American Mathematical Society, Providence, RI, 1998 V. Chari et A. Pressley. A guide to quantum groups. Cambridge University Press, Cambridge, 1995 E. Frenkel. Langlands correspondence for loop groups. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 103. Cambridge University Press, Cambridge, 2007 http://math.berkeley. edu/~frenkel/loop.pdf david.hernandez@imj-prg.fr 20
Cours fondamental 1 Systèmes dynamiques I Patrice Le Calvez Des notes de cours seront disponibles. Introduire les notions de base ainsi que les exemples classiques des systèmes dynamiques Dynamique topologique Introduction à la théorie ergodique, théorème ergodiques (Von Neumann, Birkhoff) Théorie spectrale Homéomorphismes du cercle (nombre de rotation de Poincaré, théorème de Denjoy) Entropie métrique Topologie, théorie de la mesure, analyse réelle. A. Katok, B. Hasselblatt. Introduction to the modern theory of dynamical systems. Cambridge University Press. URL P. Walters. An introduction to ergodic theory. Graduate Texts In Mathematics, Springer- Verlag patrice.le-calvez@imj-prg.fr 21
Cours fondamental 1 Introduction à l analyse semiclassique Stéphane Nonnenmacher (Travaux dirigés par Duc-Viet Vu) Pas de notes de cours prévues. En mécanique quantique, l état d une particule à l instant t est décrit par une fonction d onde u(x, t) sur R d ; son évolution temporelle est gouvernée par l équation de Schr odinger, de la forme i t u(t) = P ( )u(t), où P ( ) est habituellement un opérateur différentiel d ordre 2, typiquement P ( ) = 2 2m +V (x), avec m la masse de la particule, et V (x) le potentiel dans lequel elle évolue. Cette équation dépend explicitement de, une constante physique appelée constante de Planck, qui est microscopique ( 10 34 dans le système d unités international). L analyse semiclassique a pour object d analyser cette équation, et donc l opérateur P ( ), dans le régime asymptotique où 1. Cette limite est hautement singulière, puisque précède les termes dérivatifs de plus haut degré. L analyse semiclassique parvient à contourner cette singularité, et à faire le lien entre cette EDP et la mécanique classique d une particule ponctuelle, qui est gouvernée par les équations de Newton (ou de Hamilton). Précisément, on montrera comment relier les propriétés qualitatives et quantitatives du spectre de l opérateur P ( ), dans cette limite +0, aux propriétés du flot Hamiltonien correspondant. On se concentrera sur des situations où P ( ) est essentiellement auto-adjoint, et a un spectre purement discret. Nos méthodes permettent alors d étudier la densité spectrale, ainsi que les propriétés de localisation des modes propres, à la fois dans l espace et dans l espace de Fourier. Structure symplectique, espace des phases et mécanique Hamiltonienne. Equation de Schrödinger dépendante du temps / indépendante du temps. Quantification de Weyl. Opérateurs et calcul pseudodifférentiels. Principe d incertitude de Heisenberg. Correspondance classique - quantique. Théorème de Egorov. Comptage de valeurs propres: loi de Weyl semiclassique. Localisation des modes propres dans l espace des phases. Analyse réelle, théorie des distributions, analyse fonctionnelle. M.Zworski. Semiclassical Analysis. Graduate Studies in Mathematics, AMS, 2012 A.Martinez. An Introduction to Semiclassical and Microlocal Analysis. Springer, 2002 M.Dimassi et J.Sj ostrand. Spectral asymptotics in the semi-classical limit. Cambridge UP, 1999 stephane.nonnenmacher@cea.fr 22
Cours fondamental 2 Formes modulaires et leurs propriétés arithmétiques Jean-François Dat Notes de cours : http://www.math.jussieu.fr/ dat/enseignement/enseignement.php. Les formes modulaires sont des fonctions méromorphes sur le demi-plan de Poincaré satisfaisant une propriété d invariance pour l action d un sous-groupe convenable Γ de SL 2 (Z). Malgré une définition d apparence analytique-complexe, ces fonctions recèlent des propriétés arithmétiques remarquables, encodées dans leurs coefficients de Fourier. La forte cohérence de ces coefficients de Fourier se lit déjà sur la série génératrice de Dirichlet qui leur est associée. On peut en effet montrer que, pour une forme modulaire primitive, cette série converge sur un demiplan Re(s) >> 0 et admet un prolongement méromorphe et une certaine équation fonctionnelle. Ces propriétés rappellent étrangement celles de la fonctions ζ de Riemann par exemple, ou plus généralement des fonctions L de corps de nombres, et plus généralement encore, celles des fonctions L associées aux représentations complexes du groupe de Galois d un corps de nombres Galoisien sur Q. Cette ressemblance n est pas fortuite. Shimura et Deligne ont en effet montré l existence, pour toute forme modulaire primitive f, d une unique représentation Galoisienne l-adique de dimension 2 du groupe de Galois absolu de Q telle que pour presque tout nombre premier p, la trace d une substitution de Frobenius en p soit exactement le p-ème coefficient de Fourier de f. Le cours se propose d expliquer ce résultat dans le cas le plus simple. Formes modulaires. Définition, exemples. Courbes modulaires comme surfaces de Riemann. Interprétation géométrique d une forme modulaire. Opérateurs de Hecke, formes propres et coefficients de Fourier. fonction L d une forme modulaire primitive. Algébrisation des courbes modulaires. Relation de congruence d Eichler-Shimura. Surfaces de Riemann. Courbes elliptiques. Théorie des Nombres. Une lecture préalable de ce qu est la Jacobienne d une surface de Riemann pourrait aider. F. Diamond - J. Shurman. A first course in Modular Forms. GTM 228 Springer T. Miyake. Modular forms. Springer Mongraphs in Mathematics J.-P. Serre. Cours d arithmétique. jean-francois.dat@imj-prg.fr 23
Cours fondamental 2 Introduction à la géométrie hyperbolique Elisha Falbel Pas de notes de cours prévues. Ce cours est une introduction à la géométrie hyperbolique. On presentera des théorèmes fondamentaux de la théorie comme le théorème de rigidité de Mostow. surfaces hyperboliques dimension 3 - chirurgie de Dehn Théorème de rigidité de Mostow Géométrie hyperbolique complexe M. Kapovich. Hyperbolic manifolds and discrete groups.. Birkhauser 2009. R. Benedetti, C. Petronio. Lectures on hyperbolic geometry. Universitext. Springer. 1992. W. Goldman. Complex hyperbolic geometry. Oxford Mathematical series 1999 elisha.falbel@imj-prg.fr 24
Cours fondamental 2 Introduction à la topologie des variétés algébriques réelles Ilia Itenberg Pas de notes de cours prévues. Dans ce cours, on étudiera principalement les courbes algébriques dans le plan projectif réel et les surfaces algébriques dans l espace projectif réel de dimension 3. La topologie de ces variétés fait l objet de la première partie du 16-ème problème de D. Hilbert. On parlera de restrictions classiques sur la topologie des variétés algébriques réelles, ainsi que de constructions de ces variétés (en particulier, on présentera le patchwork de Viro, une construction qui est directement liée à la géométrie tropicale). Courbes algébriques réelles planes et projectives. Inégalité de Harnack. Courbes maximales. Restrictions classiques sur la topologie des courbes réelles. Isotopies rigides. Constructions (méthode de petites perturbations et patchwork de Viro). Surfaces algébriques dans l espace projectif réel de dimension 3. Problèmes de classification des variétés réelles dans une classe donnée de déformation de variétés complexes. Cours introductif Surfaces de Riemann de M2. Cours fondamental I Topologies différentielle et algébrique des variétés de M2. Il serait préférable (mais pas absolument nécessaire) d avoir une certaine familiarité avec la géométrie algébrique (cours introductif Les outils de la géométrie algébrique de M2). G. Wilson. Hilbert s sixteenth problem. Topology 17 (1978), 53-74. A. Degtyarev, V. Kharlamov. Topological properties of real algebraic varieties : Rokhlin s way. Russian Math. Surveys 55 (2000), no. 4, 735-814. ilia.itenberg@imj-prg.fr 25
Cours fondamental 2 Introduction à la dynamique hyperbolique Raphaël Krikorian Notes de cours : http://www.proba.jussieu.fr/ krikorian/. Le but de ce cours est de présenter une introduction à la théorie des systèmes dynamiques (uniformément) hyperboliques à partir d exemples simples, dans le cas à temps discret ou temps continu. Nous étudierons en particulier les perturbations des automorphismes hyperboliques du tore et illustrerons sur cet exemple les notions fondamentales de variétes stables/instables et de stabilité structurelle. Puis nous aborderons l étude des propriétés ergodiques des flots géodésique et horocyclique sur les surfaces hyperboliques (quotients hyperboliques du demi-plan de Poincaré). Rappels de théorie ergodique et de théorie spectrale des systèmes dynamiques L application d Arnold sur le tore T 2. Directions stable/instable, argument de Hopf, ergodicité, mélange. Partitions de Markov. Perturbations des automorphismes hyperboliques du tore : notion de variétes stable/instable. Théorème de la variété stable. Stabilité structiurelle. Le demi-plan de Poincaré, géométrie hyperboliques, SL(2,R), quotient, surfaces hyperboliques Flot géodésique, horocyclique, identification des variétés stables/instables. Ergodicité du flot géodésique, mélang Unique ergodicité du flot horocyclique (surfaces compactes), mélange Cours Math Fondamental Systèmes Dynamique 1 B. Bekka, M. Mayer. Ergodic Theory and Topological Dynamics for Group Actions on homogeneous Spaces. references URL raphael.krikorian@upmc.fr 26
Cours fondamental 2 Inégalités de Carleman Nicolas Lerner Notes de cours : http://www.math.jussieu.fr/ lerner/index.m2carl.html. Le but de ce cours est de donner une introduction aux inégalités de Carleman. Ces inégalités L p à poids sont utilisées dans différents contextes de l étude des EDP, pour des problèmes d unicité et de contrôle. La méthode de Carleman, exemples et introduction. Théorèmes d unicité de Calderón et de Hörmander. Inégalités de Carleman pour des opérateurs avec des coefficients présentant des sauts sur des hypersurfaces. Pseudo-convexité conditionnelle et applications. Analyse de Fourier, quelques notions sur les EDP. http://www.math.jussieu.fr/ lerner/realanalysis.lerner.pdf http://www.math.jussieu.fr/ lerner/pde-m1-lerner.pdf L. Hörmander. ALPDO, chapitre 28. Springer Grundlehren 275 J. Le Rousseau, N. Lerner. Carleman estimates for anisotropic elliptic operators with jumps at an interface. Analysis & PDE, 2013 http://hal.archives-ouvertes.fr/ hal-00546869 A. Ionescu, S. Klainerman. Uniqueness results for ill-posed characteristic problems in curved space-times. Comm. Math. Phys. 285 (2009), no. 3 lerner@math.jussieu.fr 27
Cours fondamental 2 Groupes algébriques et espaces homogènes Patrick POLO Notes de cours : http://www.math.jussieu.fr/ polo/. Le but du cours est de fournir une introduction aux groupes semi-simples (ou plus généralement réductifs) sur un corps algébriquement clos k, et à leurs actions sur diverses variétés (variétés homogènes, représentations, etc.) Ce cours n est pas orienté vers un cours spécialisé donné mais, comme les groupes semi-simples (sous la forme de groupes de Lie réels ou complexes ou de groupes algébriques sur un corps k) apparaissent dans plusieurs domaines, on espère que ce cours sera une introduction utile à ce sujet. Survol des résultats de structure: les tore maximaux (resp. sous-groupes de Borel) sont tous conjugués. Données radicielles et classification des groupes réductifs. Exemples. Variétés homogènes G/H, en particulier dans le cas où H est un sous-groupe parabolique (variétés de drapeaux). Représentations de G obtenues à partir d un espace homogène G/H et d une représentation de H. En particulier, classification des représentations irréductibles par leur plus haut poids (théorie de Borel-Weil). Éventuellement, bref aperçu de la construction du quotient X//G lorsqu un groupe réductif G agit sur une variété affine X. Systèmes de racines et classification des algèbres de Lie semi-simples complexes. Rudiments de géométrie algébrique, en particulier les notions de variétés algébriques et de morphismes entre elles. James E. Humphreys. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Grad. Texts Math. 9 (3rd printing), Springer-Verlag, 1980 Patrick Polo. Notes de cours de M2 2005-2008. http://www.math.jussieu.fr/ polo/ T. A. Springer. Linear Algebraic Groups. Progress Math. 9 (2nd printing), Birkhauser, 1983 G. W. Schwarz, M. Brion. Théorie des invariants et géométrie des variétés quotientss. Travaux en cours 61, Hermann, 2000 H. Hiller. Geometry of Coxeter Groups. Research Notes Math. 54, Pitman, 1982 P. E. Newstead. Introduction to Moduli Problems and Orbit Spaces. T.I.F.R. and Narosa Publ. House, 1978, new printing 2012 patrick.polo@imj-prg.fr 28
Cours spécialisé Métriques d Einstein Olivier Biquard Pas de notes de cours prévues. Le cours sera une introduction á l étude des métriques riemanniennes d Einstein, et à leurs liens profonds avec la topologie de basse dimension et la géométrie conforme. Analyse des métriques d Einstein : jauge, régularité ; compacité, singularités. Métriques d Einstein en dimension 4. Métriques asymptotiquement hyperboliques et géométrie conforme. Géométrie différentielle et riemannienne A. Besse. Einstein manifolds. Springer, 1987 URL C. LeBrun and M. Wang, eds. Essays on Einstein manifolds. Surveys in Differential Geometry, vol VI, 1999 olivier.biquard@upmc.fr 29
Cours spécialisé Nonsmooth differential geometry Nicola Gigli Pas de notes de cours prévues. Aim of the course is to show that it is possible to make differential calculus on metric measure spaces and present some of the constructions in the setting of spaces with Ricci curvature bounded from below. The course will be divided in 3 parts: 1) in the first I will discuss the general theory of L -modules (inspired by some works of N. Weaver) which provides the algebraic machinery needed to speak about sections of the (co)tangent bundle in a non-smooth setting 2) in the second I will present the constructions of (co)tangent module, the definition of differential of a Sobolev function and show how for this object the expected calculus rules hold. The duality relation between differentials and gradients will also be investigated, in particular in connection with integration by parts. 3) in the last part I will focus on spaces with Ricci curvature bounded from below. Such second order assumption on the space reflects in additional structural properties of the differential calculus allowing for the definition of the Sobolev space W 2,2, of the covariant derivative of vector fields and exterior derivative of differential forms. If time permits, I will show how from the bound on the Ricci one can derive an estimate on the dimension of the first cohomology group, in line with the smooth situation. Theory of L -modules (co)tangent vector fields on metric measure spaces Hessian, covariant and exterior differentiation on RCD spaces Ricci curvature tensor on nonsmooth setting General measure theory. Differential geometry. Bits of functional analysis. Nicola gigli. Nonsmooth differential geometry. cvgmt.sns.it nicola.gigli@imj-prg.fr 30
Cours spécialisé Géométrie tropicale Ilia Itenberg Pas de notes de cours prévues. Le but du cours est de présenter les notions de base et plusieurs applications de la géométrie tropicale, un domaine mathématique qui a connu un progrès spectaculaire pendant les quinze dernières années. La géométrie tropicale peut être vue comme une géométrie algébrique sur le semi-corps des nombres tropicaux, c est-à-dire, les nombres réels complétés par et munis de l arithmétique (max, +). Géométriquement, les variétés tropicales sont beaucoup plus simples que leurs analogues classiques (par exemple, les courbes tropicales dans le plan sont certains graphes rectilignes). Néanmoins, elles portent une information importante concernant des variétés complexes et réelles. On parlera tout particulièrement de courbes tropicales et d applications de la géométrie tropicale en géométries énumératives réelle et complexe. Nombres tropicaux, déquantification de Maslov des nombres réels strictements positifs. Courbes tropicales (en particulier, courbes tropicales vues comme limites tropicales de surfaces de Riemann). Géométrie tropicale énumérative. Diagrammes en étages. Applications en géométries énumératives réelles et complexe : approche tropicale au dénombrement de courbes algébriques. Résultats concernant les invariants de Gromov-Witten et les invariants de Welschinger. Variétés tropicales. Groupes d homologie tropicaux. Théorie d intersection tropicale et applications. Cours Introduction à la topologie des variétés algébriques réelles de M2. Familiarité avec la géométrie complexe (cours Géométrie complexe et théorie de Hodge de M2). P. Harinck, A. Plagne et C. Sabbah (éd.). Géométrie tropicale. Journées mathématiques X-UPS 2008, Editions de l Ecole Polytechnique, 2008. I. Itenberg, G. Mikhalkin et E. Shustin. Tropical Algebraic Geometry. Birkhauser, Oberwolfach Seminars Series, vol. 35, 2007. ilia.itenberg@imj-prg.fr 31
Cours spécialisé Logarithmes discrets dans les corps finis Antoine Joux Pas de notes de cours prévues. Le calcul de logarithmes discrets dans les corps finis, consiste à expliciter de manière calculatoirement efficace l isomorphisme entre le groupe multiplicatif F(Q) et le groupe additif Z Q 1. Des progrès récents en petite caractéristique ont permis d améliorer considérablement ce type de calculs. L objectif du cours sera de présenter les méthodes actuellement disponibles sur l ensemble des corps finis, ainsi que les problèmes mathématiques restant ouverts au sujet de leur efficacité. Méthodes pour les groupes génériques Principe du calcul d indice Algèbre linéaire creuse Number field sieve et Function field sieve Représentations implicites des corps finis Méthodes de log. discret à base de représentation par Frobenius Connaissance des corps finis, de la factorisation de polynômes univariés sur corps finis. Corps de fonctions, corps de nombres, anneau des entiers d un corps de nombre, unités, idéaux. Lenstra A., Lenstra H. (eds.). The Development of the Number Field Sieve. Lecture Notes in Mathematics 1554 Cohen H.. A Course in Computational Algebraic Number Theory. Graduate Texts in Mathematics 138 Antoine.Joux@m4x.org 32
Cours spécialisé Points de hauteur bornée dans les structures o-minimales et géométrie diophantienne François Loeser Des notes de cours seront disponibles. Les structures o-minimales constituent un cadre général pour la géométrie modérée au sens de Grothendieck. Pila et Wilkie ont démontré un théorème de comptage des points rationnels de hauteur bornée dans ces structures qui a eu récemment des retombées spectaculaires en géométrie diophantienne. L objectif du cours est de présenter en détail le théorème de Pilka-Wilkie et d exposer certaines de ses applications (nouvelle preuve par Pila-Zannier de la conjecture de Manin-Mumford, théorème de Masser-Zannier sur la torsion des courbes elliptiques, résultats de Pila sur la conjecture d André-Oort pour la fonction j). Structure o-minimales. Théorème de compacité La preuve de Doerge du théorème d irréductibilité de Hilbert Reparamétrisations de Yomdin-Gromov Le théorème de Pilka-Wilkie Applications à la conjecture de Manin-Mumford et la torsion des courbes elliptiques Résultats de Pila sur la conjecture d André-Oort pour la fonction j Il sera utile d avoir suivi un cours traitant des courbes elliptiques et des fonctions modulaires. Aucun prérequis en théorie des modèles ne sera supposé. J. Pila, A. Wilkie. The rational points of a definable set. Duke Math. J. 133 (2006), no. 3, 591 616 J. Pila, U. Zannier. Rational points in periodic analytic sets and the Manin-Mumford conjecture.. Atti Accad. Naz. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. Rend. Lincei (9) Mat. Appl. 19 (2008), no. 2, 149 162. D. Masser, U. Zannier. Torsion anomalous points and families of elliptic curves. C. R. Math. Acad. Sci. Paris 346 (2008), no. 9-10, 491 494. J. Pila. O-minimality and the André-Oort conjecture for C n. Ann. of Math. (2) 173 (2011), no. 3, 1779 1840. T. Scanlon. A proof of the André-Oort conjecture using mathematical logic [after Pila, Wilkie and Zannier]. Astérisque, Séminaire Bourbaki, Exposé 1037, 2010-2011. francois.loeser@imj-prg.fr 33
Cours spécialisé Introduction à l ergodicité quantique Stéphane Nonnenmacher Un des objectifs du chaos quantique est de comprendre la structure des modes stationnaires de systèmes ondulatoires (ou quantiques), dont la limite de haute fréquence (limite semiclassique) est chaotique. On traitera essentiellement un exemple emblématique de système chaotique, le flot géodésique sur une variété riemannienne compacte de courbure sectionnelle négative (M, g); le système quantique correspondant est le laplacien g associé à la métrique, qui admet une infinité de modes stationnaires (ou modes propres). L objectif principal du cours sera de montrer un théorème fondamental relié à cette question, le théorème d ergodicité quantique. Il s agit de montrer que presque tous les modes propres du laplacien s équidistribuent sur M (dans un sens faible, à définir proprement), dans la limite de haute fréquence. Ce théorème (dû à Shnirelman, Zelditch et Colin de Verdière) utilise la propriété d ergodicité du flot géodésique sur une telle variété. Sa preuve fait appel aux outils d analyse semiclassique développés dans le cours du premier semestre, qui seront adaptés ici au cas des variétés. On discutera ensuite de raffinements et de généralisations plus récents de ce théorème. Par exemple, on cherchera à analyser la structure des modes propres approchés (quasimodes) du laplacien. On étendra aussi le résultat principal à des systèmes Hamiltoniens plus généraux que le flot géodésique. Mécanique Hamiltonienne. Flot géodésique sur une variété compacte. Courbure négative: hyperbolicité, ergodicité Méthodes semiclassiques. Correspondance quantique-classique (théorème d Egorov). Mesures semiclassiques. Loi de Weyl, loi de Weyl généralisée Variance quantique et ergodicité quantique. Quasimodes Analyse semiclassique des EDP, théorie ergodique élémentaire, géométrie riemannienne. M.Zworski. Semiclassical Analysis. Graduate Studies in Mathematics, AMS, 2012 A.Martinez. An Introduction to Semiclassical and Microlocal Analysis. Springer, 2002 M.Dimassi et J.Sjöstrand. Spectral asymptotics in the semi-classical limit. Cambridge UP, 1999 P.Walters. An Introduction to Ergodic Theory. Springer, 1982 stephane.nonnenmacher@cea.fr 34