La gestion du transport de personnes à mobilité réduite

Faculté des sciences de l'administration MBA Laval-Gestion manufacturière et logistique La gestion du transport de personnes à mobilité réduite Mathieu Thériault Centre de recherche sur les Technologies de l Organisation réseau Été 2004

Remerciements Tout d abord, je tiens à remercier très sincèrement mes deux directeurs de recherches, M. Jacques Renaud et M. Fayez Boctor. Grâce à leur savoir, leurs idées, leur disponibilité et leur soutien, j ai pu réaliser ce projet. Ma reconnaissance va également à la société du Transport Adapté Québec Métro Inc., plus particulièrement à M. Jacques Ferland et M. Michel Wilson, tant au niveau de leur intérêt pour ce projet qu aux données essentielles à la réalisation de cet essai. Mes plus sincères remerciements vont aussi à mes parents et ma grand-mère qui m ont toujours encouragé dans la poursuite de mes études, ainsi que pour leur aide, leur compréhension et leur soutien. Je remercie également mes deux frères et ma copine pour leurs généreux conseils. De plus, j exprime ma gratitude envers le Centre de recherche des Technologies de l Organisation Réseau (CENTOR) et la Faculté des Sciences de l Administration (FSA) pour leur encadrement académique, leur aide financière ainsi que leurs infrastructures. Finalement, je tiens à remercier tous ceux, malheureusement oubliés ici, qui ont contribué à leur façon à ce document. -I-

Table des matières Remerciements...I Table des matières... II Liste des tableaux... IV Liste des figures...v Chapitre 1 : Introduction... 1 1.1 PROBLÉMATIQUE DU TRANSPORT ADAPTÉ... 1 1.2 OBJECTIFS DE L ÉTUDE... 2 1.3 MÉTHODOLOGIE UTILISÉE... 2 1.4 STRUCTURE DU DOCUMENT DE RECHERCHE... 4 Chapitre 2 : Présentation du TAQM... 6 2.1 PRÉSENTATION DE L ENTREPRISE... 6 2.2 MÉTHODE DE CONSTRUCTION ACTUELLE DE L ITINÉRAIRE DE LA FLOTTE DE VÉHICULES... 9 Chapitre 3 : Définition du problème... 12 3.1 FORMULATION DU PROBLÈME... 12 3.2 MISE EN CONTEXTE... 15 3.2.1 Les objectifs... 15 3.2.2 Les caractéristiques du problème... 16 3.2.3 Les contraintes... 16 3.2.4 Caractéristiques particulières reliées au TAQM... 17 Chapitre 4 : Revue de la littérature... 19 4.1 PROBLÈME DE TOURNÉES DE VÉHICULES AVEC FENÊTRES DE TEMPS... 19 4.2 LE PROBLÈME DE CUEILLETTE ET LIVRAISON AVEC FENÊTRES DE TEMPS... 21 4.3 LE PROBLÈME DE TOURNÉES SUR APPEL... 22 4.3.1 Résolution du problème de tournées sur appel à un véhicule... 24 4.3.2 Résolution du problème de tournées sur appel à plusieurs véhicules... 26 -II-

Chapitre 5 : Méthode de résolution proposée... 35 5.1 OBJECTIFS POURSUIVIS... 35 5.2 ALGORITHME DE CONSTRUCTION PAR INSERTION PARALLÈLE... 36 Chapitre 6 : Présentation du logiciel... 44 6.1 DESCRIPTION DU LOGICIEL... 44 6.2 ILLUSTRATION D UNE SOLUTION... 49 Chapitre 7 : Évaluation de l approche proposée... 56 7.1 DONNÉES UTILISÉES... 56 7.1.1 Structure de chacune des bases de données de clients... 56 7.1.2 Structure pour l évaluation de l approche proposée... 58 7.2 CRITÈRES D ÉVALUATION... 59 7.3 ÉVALUATION DE LA PERFORMANCE... 61 7.3.2 Analyse du nombre de véhicules utilisés afin de satisfaire la demande... 64 7.3.3 Analyse des différents critères définissant la satisfaction des clients... 66 7.3.4 Analyse des temps de résolution... 68 7.3.5 Analyse du nombre de clients total desservis après l insertion des clients en taxi... 69 7.3.6 Conclusion de l analyse... 70 Chapitre 8 : Conclusion... 72 Références bibliographiques... 74 Annexes... 79 ANNEXE 1 : EXPLICATIONS DE LA BASE DE DONNÉES... 80 ANNEXE 2 : BASE DE DONNÉES DES CLIENTS... 81 ANNEXE 3 : PRÉSENTATION DES RÉSULTATS DES TESTS... 82 ANNEXE 4 : PRÉSENTATION DE LA PROGRAMMATION... 83 -III-

Liste des tableaux Tableau 1 : Caractéristiques des véhicules disponibles... 8 Tableau 2 : Demandes de transports effectuées au TAQM... 11 Tableau 3 : Comparaison des différents algorithmes de résolution (DARP)... 33 Tableau 4 : Comparaison des différents algorithmes de résolution (DARP) (Partie2)... 34 Tableau 5 : Information sur les clients... 49 Tableau 6 : Tableau des paramètres en fonction... 50 Tableau 7 : Tableau de la première partie de la cédule... 50 Tableau 8 : Tableau de la deuxième partie de la cédule... 52 Tableau 9 : Tableau de la première partie de la cédule après la deuxième itération... 53 Tableau 10 : Tableau des critères d évaluation pour la définition des itinéraires des personnes qui nécessitent l'utilisation d un minibus (moyenne pour les 30 tests)... 61 -IV-

Liste des figures Figure 1 : Territoire desservi par le TAQM... 7 Figure 2 : Page d accueil du logiciel... 45 Figure 3 : Page du logiciel pour établir les paramètres en fonction... 46 Figure 4 : Icône qui indique le temps de résolution du logiciel... 46 Figure 5 : Page du logiciel qui donne les résultats de l algorithme... 47 Figure 6 : Page du logiciel pour visualiser la solution... 48 Figure 7 : Illustration de la première partie de la cédule... 51 Figure 8 : Illustration de la deuxième partie de la cédule... 52 Figure 9 : Illustration de la première partie de la cédule après la deuxième itération... 53 Figure 10 : Illustration des clients non inclus dans la première partie de la cédule... 54 Figure 11 : Illustration des clients non inclus dans la deuxième partie de la cédule... 54 Figure 12 : Comparaison des moyennes des temps de trajets pour l ensemble de la flotte de véhicule... 62 Figure 13 : Comparaison des moyennes des temps de trajets pour l ensemble de la flotte de véhicule... 63 Figure 14 : Comparaison du nombre de fois qu un véhicule supplémentaire a été nécessaire pour répondre à la demande... 64 Figure 15 : Comparaison du nombre de fois qu un véhicule supplémentaire a été nécessaire pour répondre à la demande... 65 Figure 16 : Comparaison des moyennes des séjours des clients à bord des véhicules... 66 Figure 17 : Comparaison des moyennes des moyennes des différences absolues entre les temps demandés et les temps réels accordés... 67 Figure 18 : Graphique des moyennes des temps de résolution... 68 Figure 19 : Comparaison du nombre total de clients desservis après l insertion des clients en taxi... 69 -V-

Chapitre 1 INTRODUCTION Chapitre 1 : Introduction Dans ce chapitre, nous présentons la problématique de l environnement dans lequel nous allons travailler tout au long de cette recherche. Par la suite, nous exposerons les objectifs, la méthodologie utilisée ainsi que l organisation de cet essai. 1.1 Problématique du transport adapté Les services de transport en commun prennent de plus en plus d importance au cœur des villes d aujourd hui et une excellente satisfaction de la clientèle devient de plus en plus importante. Les personnes à mobilité réduite n ont pas la possibilité de profiter du service de transport en commun offert à la population dû aux complications d accessibilité et de mobilité qui entourent leur transport. Par contre, ces personnes ont eux aussi le droit d avoir accès à un service de transport en commun de qualité. C est donc pour répondre aux besoins de ces personnes que le transport adapté existe. La demande grandissante pour ce service, dû au désir d accorder une plus grande attention aux besoins des personnes à mobilité réduite de notre société, nous fait comprendre qu il faut porter une attention particulière à ce type de transport. Pour que ce type d entreprise soit viable, puisqu il est rarement rentable, il faut constamment réévaluer le type de gestion afin de l améliorer pour en arriver à diminuer les dépenses au maximum. Pour atteindre cet objectif, il faut, entre autre, se préoccuper de bien définir les trajets pour la flotte de véhicules afin de répondre à un maximum de demandes de transport au moindre coût. Plusieurs recherches qui ont déjà été réalisées sur le sujet ont abouti à des conclusions intéressantes. Par contre, les méthodes provenant de ces recherches sont différentes et visent des objectifs variés. Les complications provenant de la confection de l horaire des autobus pour personnes à mobilité réduite sont dues en grande partie aux fenêtres de temps qu il faut respecter pour chacun des utilisateurs et au fait que chaque client à un point de départ et un point de destination particulier. Cette confection d horaire fait donc -1-

Chapitre 1 INTRODUCTION face à plusieurs contraintes et constitue un problème NP-Dur. De plus, il faut se préoccuper des objectifs divergents des différents utilisateurs du réseau et de ses gestionnaires. Il faut donc planifier les tournées pour les différents véhicules afin d'améliorer la satisfaction de chacun. Les utilisateurs veulent bien sûr avoir un service maximum pour un prix minimum. Les gestionnaires, pour leur part, veulent réduire les coûts afin d améliorer la rentabilité de leurs opérations. 1.2 Objectifs de l étude Nous avons choisi comme terrain d application la société TAQM (Transport Adapté Québec Métro Inc.) qui semblait avoir une méthode peu efficace pour l établissement de l itinéraire de sa flotte de véhicules. Un premier objectif est de se familiariser avec l entreprise et de bien comprendre leur manière de fonctionner. Deuxièmement, nous désirons identifier à quelle classe de problème correspond cette situation et trouver les problèmes reliés dans la littérature. Troisièmement, nous désirons développer une approche de résolution adéquate pour le problème pour ainsi en arriver à une solution réalisable qui respect la totalité des contraintes. Par la suite, un logiciel pour la mise en œuvre de l approche proposée. À l aide de ce dernier, une série de tests sur des données d une journée type et différents problèmes construits à l aide de ces données réelles sont effectués. Finalement, des analyses de certains paramètres de l approche afin de déterminer les meilleurs paramètres viennent terminer le tout. 1.3 Méthodologie utilisée Voici la méthodologie qui a été utilisée afin d atteindre les objectifs de cette recherche. Dans un premier temps, le Transport Adapté du Québec Métro Inc. (TAQM), qui est un service de transport public pour les personnes à mobilité réduite, est décrit de façon détaillée dans le but de pouvoir comprendre son fonctionnement actuel et d identifier le -2-

Chapitre 1 INTRODUCTION potentiel d amélioration au niveau de la confection des tournées. L entreprise de transport pour personnes à mobilité réduite de la région de Québec a donc été analysée afin d en identifier les caractéristiques, les objectifs ainsi que les contraintes auxquelles l entreprise se doit de faire face. Par la suite, une étude approfondie de la littérature a été réalisée afin d atteindre une meilleure connaissance du problème. L analyse de la littérature nous a donc permis de mettre en relief le problème du transport adapté par rapport aux autres problèmes connexes rencontrés dans la littérature scientifique, plus particulièrement ceux inclus dans les problèmes de tournées sur appel. Il a donc été possible de rattacher le problème du transport adapté pour les personnes à mobilité réduite au problème de transport de tournées sur appel. Ce problème est en soi un problème très complexe par l ensemble des caractéristiques qu il renferme : des fenêtres de temps précises, une flotte de véhicules contenant différents types de véhicules, des types d handicaps différents, etc. Des recherches ont déjà permis de formuler le problème de différentes façons (un ou plusieurs véhicules, un ou plusieurs dépôts, un ou plusieurs types d handicaps, etc.). Avec une bonne étude des recherches déjà effectuées, il a donc été possible de trouver des liens intéressants afin de développer une approche adéquate pour la résolution du problème particulier du TAQM. Afin de rendre l approche de résolution plus réaliste, l incorporation des contraintes spécifiques observées à la société TAQM a été très importante. Dans un premier temps, il a été nécessaire de développer une approche pour effectuer la résolution du problème. Cela englobe la constitution d un algorithme approprié, la prise en compte des contraintes spécifiquement reliées au TAQM et finalement le test de la qualité de l approche. L approche qui a été développée est un algorithme par insertion parallèle incluant les différentes contraintes particulières reliées au TAQM. L approche a été programmée à l aide du logiciel Visual Basic. -3-

Chapitre 1 INTRODUCTION Par la suite, l analyse des différentes approches développées a permis de résoudre le problème plus efficacement et d accroître ainsi la qualité du service de transport. Pour ce faire, des simulations ont été effectuées à l aide de données réelles pour évaluer la qualité des solutions finales. Nous disposons d un ensemble de demande de transport provenant d une journée représentative (un dimanche de juillet 2002) avec les caractéristiques réelles telles que le type d handicap du demandeur, le lieu de départ et d arrivée de chacun des clients, la capacité des véhicules, les caractéristiques de chacun des véhicules, les besoins particuliers découlant de la situation particulière de chacun des clients, etc. Différentes simulations ont été effectuées, incluant différents paramètres, dans le but de comparer les différentes méthodes de résolutions. Enfin, une évaluation des approches éventuelles a permis de déterminer l approche la plus susceptible d aider le TAQM dans l établissement des itinéraires de sa flotte de véhicules. 1.4 Structure du document de recherche Suivant l introduction, le chapitre 2 présente une description détaillée de l entreprise sujet de l étude, c est-à-dire la société TAQM. La situation générale de l entreprise est tout d abord expliquée, suivie par la description de la méthode actuellement utilisée afin d établir les itinéraires. Le chapitre 3 établit la définition exacte du problème. Dans un premier temps, une mise en contexte est effectuée. Ensuite, les principaux objectifs ainsi que les principales contraintes sont détaillées. Les caractéristiques d une solution adéquate sont expliquées et une évaluation de la complexité de la problématique est réalisée. Le chapitre 4 présente une revue de la littérature concernant trois classes de problèmes de tournées. La première classe traite des problèmes de tournées de véhicules avec et sans fenêtres de temps. La seconde traite du problème de cueillette et livraison c est-à-dire le -4-

Chapitre 1 INTRODUCTION problème de ramassage et livraison avec fenêtre de temps. Finalement, nous abordons les divers problèmes de transport adapté. Le chapitre 5 décrit la méthode de résolution proposée afin de résoudre le problème. Un éclairage sur les différents objectifs poursuivis et les caractéristiques particulières de l approche est tout d abord effectué. Par la suite, l algorithme de résolution est énoncé de façon détaillée. Le chapitre 6 effectue l évaluation de l approche proposée. Pour commencer, les critères d évaluation sont exposés ainsi que les données utilisées. Ensuite, ce chapitre présente les résultats et une analyse de performance de la méthode de résolution. Finalement, une conclusion, des références ainsi que des annexes complètent cet essai. -5-

Chapitre 2 PRÉSENTATION DU TAQM Chapitre 2 : Présentation du TAQM Dans ce chapitre, nous présentons l entreprise sur laquelle porte cet essai. De plus, nous définissons précisément la problématique à laquelle cette dernière doit faire face lors de la planification de ses tournées. 2.1 Présentation de l entreprise Le Transport Adapté du Québec Métro Inc. (TAQM) est un service de transport public à l usage exclusif des personnes à mobilité réduite. Cette corporation, qui est à but non lucratif, a comme mandat de transporter, sur le territoire du Réseau de Transport de la Capitale (RTC), les personnes à mobilité réduite qui ne peuvent utiliser le service de transport en commun régulier. Le TAQM offre un service de transport public de «porte-à-porte». Ceci signifie que le chauffeur prend et dépose l utilisateur à un endroit particulier, d un lieu de départ à un lieu de destination. Le budget d opération du TAQM est constitué à 75% d une subvention du Ministère des transports du Québec. Pour ce qui est du 25% restant, les municipalités desservies et la clientèle comblent la différence. Le territoire desservi par le TAQM, illustré à la figure 1, couvre les municipalités suivantes : Québec(2), Sainte-Foy(3), Charlesbourg(4), Beauport(5), Sillery(6), Vanier(7), Cap-Rouge(8), l Ancienne-Lorette(9), Loretteville(10), Lac St- Charles(11), St-Émile(12), Boischatel(13) et Val-Bélair(14). Les villes sont identifiées sur la figure 1 par chacun des numéros mentionnés ci-haut, de plus, le numéro 1 représente l emplacement exacte du dépôt pour les véhicules du TAQM. Les heures de service sont de 7h00 a.m. à 1h00 a.m. du lundi au vendredi et de 9h00 a.m. à 1h00 a.m. pour les fins de semaine et les jours fériés. -6-

Chapitre 2 PRÉSENTATION DU TAQM Figure 1 : Territoire desservi par le TAQM Le TAQM possède 14 minibus qui comptent chacun 6 places pour les chaises roulantes et 4 pour les personnes ambulantes. Il y a 17 chauffeurs qui travaillent directement pour le TAQM, 11 répartiteurs, 1 chef des opérations et 12 téléphonistes afin de noter les réservations. Le TAQM est aussi affilié avec une compagnie informatique (Telus Solution D Affaire) pour faire le développement et la gestion de leur système informatique. Il y a aussi une affiliation avec 5 compagnies extérieures de taxi. Ces compagnies offrent différents types de véhicules. L énumération des différents véhicules ainsi que leurs différentes capacités est effectuée dans le tableau 1. -7-

Chapitre 2 PRÉSENTATION DU TAQM Tableau 1 : Caractéristiques des véhicules disponibles Type de Nombre de Propriétaire véhicule véhicules Capacité du véhicule Personnes Personnes en chaise ambulantes roulante TAQM Minibus 14 4 6 Minibus 6 4 6 Compagnies affiliées Taxis adaptés 2 0 2 Taxibus illimité 6 0 Taxis réguliers illimité 4 0 Le TAQM veut réussir à planifier des itinéraires qui vont satisfaire la demande de sa clientèle tout en minimisant les coûts. Pour effectuer une analyse des différents coûts, les coûts de revient des différents moyens de transport nous ont été fournis lors de notre visite au TAQM. Il est important de mentionner que c est l utilisation des taxis indépendants, contrairement à ce qui est mentionné dans les différents problèmes de la littérature, qui doit être privilégiée puisque c est elle qui offre le coût de revient le plus bas (6$ par transport). Par contre, l utilisation des minibus est inévitable. Encore une fois le privé à un coût de revient moins élevé qui est de l ordre de 9,30$ par transport comparativement à 19$ par transport avec la flotte du TAQM. L autre avantage qui incite l utilisation des taxis est que ceux-ci peuvent-être utilisés selon la demande sans coût fixe. En effet, l utilisation des taxis n occasionne aucun coût fixe mais seulement des coûts variables dépendamment du nombre de clients desservi. Par contre, lorsque l utilisation d un minibus est requise, le chauffeur doit être rémunéré pour une période de 8 heures. Il faut donc essayer d utiliser au maximum ce minibus, puisqu il y a un coût fixe qui sera engendré pour une période de 8 heures. -8-

Chapitre 2 PRÉSENTATION DU TAQM 2.2 Méthode de construction actuelle de l itinéraire de la flotte de véhicules Dans cette section nous présentons le mécanisme de réservation des clients ainsi que la méthode de construction des itinéraires. Pour ce faire, des données provenant d une visite effectuée à la société TAQM ont été utilisées. Premièrement, les clients ont un délai de 8 heures pour faire leurs réservations. S il y a une réservation ou une modification à moins de 8 heures, le service de réservation acceptera de modifier ou d ajouter la réservation seulement si l horaire le permet. Ceci laisse une période approximative de 6 heures 30 minutes afin de planifier les itinéraires de la flotte. Pour les périodes de fort achalandage, ce temps peut s avéré nécessaire pour effectuer la planification. Pour les périodes moins achalandées comme le soir, 2 heures 30 minutes semblent suffisantes pour planifier les itinéraires. Les informations concernant les clients (heure demandée, endroit de départ, endroit d arrivé, handicap de la personne, etc.) sont entrées dans une base de donnée informatique. À l heure convenue, les répartiteurs font sortir les cartes de renseignements avec toutes les informations nécessaires sur les clients demandeurs. Chacun des clients est par la suite identifié par un drapeau qui donne toute l information pertinente sur celuici. Les drapeaux sont placés sur une carte de la région Québec pour ensuite être divisé en différents groupes de clients. Les répartiteurs commencent donc par séparer les demandes de transport, représentées par les drapeaux, par secteur, par heure et par mode de transport (minibus ou taxi). Par la suite, ils rassemblent les demandes qui ont des concordances (heure et mode de transport) et ils associent les demandes qui ont des origines et destinations dans le même secteur. Il y a aussi comparaison avec les journées antérieures, qui ont de grandes similitudes, avec l aide d un logiciel informatique. Les similitudes proviennent des clients qui font la même routine pour une journée particulière comme par exemple, plusieurs clients vont travailler à la même place du lundi au vendredi, semaine après semaine. Les répartiteurs reprennent donc les journées similaires pour les adapter aux cas particuliers par la suite. Les répartiteurs gardent habituellement les mêmes heures de travail et s occupent des -9-

Chapitre 2 PRÉSENTATION DU TAQM mêmes secteurs pour qu ils se familiarisent avec leur secteur. Les clients ne peuvent pas passer plus de 1 heure 30 minutes à bord du véhicule et les répartiteurs possèdent un jeu de 30 minutes, avant et après l heure demandée, pour planifier la demande de transport. Si l heure accordée pour le transport diffère de plus de 15 minutes avec l heure demandée, le répartiteur doit aviser le client. S il est nécessaire, le transfert d une personne d un véhicule à un autre est permis. Les répartiteurs privilégient autant que possible les taxis puisqu ils ont des coûts par transport moins élevés. De plus, il est possible d utiliser un taxi pour transporter un seul client et supporter seulement les frais pour celui-ci. L utilisation des taxis n occasionne donc que des coûts fixes. Les minibus doivent être utilisés pour une période de temps de 8h00 à cause de la convention des chauffeurs (minibus TAQM) et un respect des ententes (minibus des compagnies affiliées) ce qui provoque un coût fixe supplémentaire lors de l utilisation d un minibus additionnel. Le TAQM affecte différentes priorités aux demandes de service. En effet, la priorité de service est donnée successivement aux demandes de transport pour du travail, des études aux niveaux collégial et universitaire, des soins médicaux et autres services et, enfin, des loisirs. Afin d avoir une idée de l ordre de grandeur concernant les demandes de transports effectués au TAQM, le tableau 2 illustre la demande moyenne par mois et par jour pour la période du 1 er janvier au 31 mai 2002. L information disponible dans ce tableau est le nombre de demandes, le nombre d annulations et finalement le nombre de personnes qui avaient effectivement pris un rendez-vous mais qui étaient absentes à l endroit et l heure convenue pour le départ du transport. Par exemple, du 1 er janvier au 31 mai 2002 il y a eu 143 131 déplacements, 11 810 annulations et 1 330 personnes manquantes à leur rendezvous. -10-

Chapitre 2 PRÉSENTATION DU TAQM Tableau 2 : Demandes de transports effectuées au TAQM # de demandes # d annulations # de personnes manquantes Moyenne par jour 1 200 80 9 Moyenne par mois 36 600 2 440 275 Le TAQM doit respecter les fenêtres de temps pour ce qui est du début et de la fin du transport et respecter un temps maximal que les clients passent à bord du véhicule. Toutes les tournées des véhicules du TAQM doivent débuter et terminer au dépôt central. Par contre, les minibus de la compagnie affiliée partent d un endroit différent et les taxis peuvent être à n importe quel endroit. Le TAQM doit faire le transport de plusieurs individus d un endroit précis vers une destination déterminée et différente pour chacun. Elle doit faire les itinéraires en prenant en considération les différents types de véhicules et les différents handicaps des personnes. Finalement, elle possède un délai maximum de 6 heures 30 minutes pour effectuer chacun des itinéraires. -11-

Chapitre 3 DÉFINITION DU PROBLÈME Chapitre 3 : Définition du problème Ce troisième chapitre présente le problème qui est étudié dans cet essai. Dans un premier temps, une formulation mathématique est présentée et on explique en terme algébrique le problème à l étude. Ce modèle mathématique énonce alors les caractéristiques de la problématique à solutionner. Cet exercice favorise la compréhension de l objectif et des contraintes prises en considération. Par la suite une mise en contexte est effectuée et finalement des explications concernant les différents objectifs et les différentes contraintes sont données. 3.1 Formulation du problème Le problème peut être défini comme suit (Savelsbergh et Sol (1995)). N est l ensemble des demandes de transport. Pour chaque demande de transport i N, l espace utilisé est de q i et chaque demande de transport doit être transportée du point d origine N i+ à un point de destination N i-. L espace utilisé q i est positif lorsqu il est question d un embarquement de clients et il est négatif lorsqu il est question de débarquement de clients. V est l ensemble des points d origines et de destinations. M est l ensemble des véhicules, chaque véhicule k M a une capacité Q k. Pour tous les i,j V il y a d ij qui donne la distance du trajet ij et t ij pour le temps de trajet. Les constantes a i et b i sont les fenêtre de temps pour chaque origine de chaque demande de transport. -12-

Chapitre 3 DÉFINITION DU PROBLÈME Cette formulation provient du GPDP (Savelsbergh et Sol (1995)) et comporte 4 types de variables de décision, le problème est donc : Variables X ijk = Variable binaire qui prend la valeur de 1 si le trajet du véhicule k part de i pour se rendre à j, et 0 sinon Z ik = Variable binaire qui prends la valeur de 1 si la demande de transport i est assigné au véhicule k, et 0 sinon D i = Spécifie le temps de départ du point i (i V) Y i = Spécifie la charge du véhicule arrivant au nœud i (i V) Fonction objectif min i, j V, (1) Xijktij k M Contraintes j V k M z = 1 i N, (2) ik X ljk X jlk=0 l V, k M, (3) j V j V + X ljk zik=0 i N, l N N, k M, i i (4) D k+=0 k M (5) + D D 0 i N, p N, q N, (6) p q Di + tij Dj+ MXijk M i, j V, k M, i (7) Y k+=0 k M (8) i -13-

Chapitre 3 DÉFINITION DU PROBLÈME k M Q kzik Yl 0 i N, l V, (9) X = ijk=1 Yi + qi Yj i, j V, k M, (10) D 0 i V (11) i y 0 i V (12) i D p N + i, i N (13) p a i D p N + i, i N (14) p b i D q Dp 90 q N, p N (15) i + i { 0,1} X i, j V, k M, (16) ijk { 0,1} z i N, k M, (17) ik La contrainte (2) sert à vérifier si chacune des demandes est assignée à exactement un véhicule. Les contraintes (3) et (4) servent à vérifier qu un véhicule part d'un point seulement s il y est déjà arrivé et que la demande de transport est vraiment assignée à ce véhicule. La contrainte (6) s assure que le temps d origine précède le temps de destination et la (5) que le temps de départ de l entrepôt est bien de 0. La contrainte (7) vérifie que le temps de départ du point i plus le temps de trajet t ij soit plus petit ou égal au temps d arrivé au point j. La contrainte (9) s assure que la charge des véhicules n est pas dépassée et la (8) s assure qu il n y a aucune charge au départ. Les contraintes (9) et (10) s assurent que la capacité de chacun des véhicules est respectée. Les contraintes (13) et (14) donnent des fenêtres de temps à être respectées où le service doit commencer et se terminer et la (15) donne un temps maximum qu un client peut passer à bord du véhicule. -14-

Chapitre 3 DÉFINITION DU PROBLÈME 3.2 Mise en contexte Cette section fait une brève mise en contexte sur la problématique du transport pour les personnes à mobilité réduite. Le TAQM doit s adapter à ce contexte afin d effectuer une bonne gestion de ses opérations. Les véhicules doivent faire le transport pour chacun de leurs clients, d un point de départ spécifique vers un point de destination spécifique, habituellement sans aucun transfert de client à des points intermédiaires. La résolution du problème va donc nous permettre, par la formulation d un groupe de routes à être empruntées, de satisfaire toutes les requêtes de transport. En somme, pour être capable d effectuer une bonne résolution du problème, il faut bien connaître le contexte qui inclus les objectifs, les caractéristiques, les contraintes et les caractéristiques particulières reliées au TAQM. 3.2.1 Les objectifs La solution désirée est celle qui va minimiser les coûts, la durée du trajet et le temps d attente des clients. Par contre, étant donnée la complexité des problèmes multiobjectifs, le choix d un seul ou d un petit nombre d objectifs principaux se doit d être effectué. Dans le cas présent, l objectif principal est de minimiser le temps total sur les routes de l ensemble des véhicules. Par la suite, un choix de techniques de résolution se doit d être fait. Le choix de différentes techniques, pour minimiser cet objectif, est crucial afin de produire différentes solutions est de choisir la meilleure. Afin d effectuer ce choix, il est approprié de se servir des objectifs principaux pour en faire la mesure. En général, une décision importante pour la résolution de ce problème est de trouver un équilibre entre la rapidité d exécution et une bonne qualité de solution; plus l heuristique prend de temps d exécution, plus elle devrait donner une meilleure solution. Lors de cette résolution du problème, il faut prendre en considération les différentes caractéristiques du problème, celle-ci étant présentées dans la prochaines section. -15-

Chapitre 3 DÉFINITION DU PROBLÈME 3.2.2 Les caractéristiques du problème Une des premières caractéristiques du problème qu il faut prendre en considération est la nature statique ou dynamique du problème. Pour un cas statique, toutes les demandes sont connues d avance et sont disponibles pour la construction de la route. Dans le cas dynamique, les demandes sont prises en considération en temps réel. Un itinéraire est donc modifié ou créé à chaque fois qu une nouvelle demande de transport s ajoute et cela même si l itinéraire est déjà en cours d exécution. En conséquence, le groupe d'itinéraires doit être ré-optimisé constamment lors de l introduction de nouvelles demandes de transport. Dans cet ouvrage, le problème est traité de façon statique puisque c est généralement le cas pour la société TAQM. Il y a aussi le concept de dépôt qui est très important dans ce problème. Il peut y avoir plus qu un dépôt d où les véhicules commencent et terminent leur itinéraire. Le problème le plus simple est celui avec un seul dépôt central où tous les véhicules commencent et terminent leurs trajets. Pour sa part, le TAQM a un seul dépôt central. Dans la prochaine section, les contraintes qui reviennent généralement dans ce type de problèmes sont présentées. 3.2.3 Les contraintes Les véhicules doivent faire le transport pour chacun de leurs clients, d un point de départ spécifique vers un point de destination spécifique, habituellement sans aucun transfert de clients à des points intermédiaires. La résolution du problème va donc nous permettre, par la formulation d un groupe de routes à être empruntées, de satisfaire toutes les requêtes de transport à quelques exceptions près. Il est donc possible que la solution ne réponde pas à la totalité des requêtes de transport des personnes en chaise roulante étant donné que le nombre de véhicules pouvant les transporter est limité. Chacun des véhicules a une capacité donnée, une localisation de départ et de fin. Chaque demande de -16-

Chapitre 3 DÉFINITION DU PROBLÈME transport spécifie la quantité à être transporté, la localisation où elle doit être cueillie et la localisation où elle doit être déposée. Chaque client doit faire tout le trajet à bord du même véhicule sans transfert. Les contraintes de temps sont des contraintes très importantes dans le cas présent puisqu il est question de transport pour des personnes qui veulent être à un endroit précis pour une heure donnée. Ceci complique le problème puisque deux clients qui sont très près l un de l autre ne seront pas nécessairement desservis par le même véhicule à cause des contraintes de temps. Les premières contraintes de temps à traiter sont les fenêtres de temps dans lesquelles les clients veulent que leur départ ou leur arrivée soient effectués. Il y a une seconde contrainte de temps qui spécifie le temps maximum qu un client peut passer à bord d un véhicule. Les contraintes de temps sont aussi utilisées pour déterminer le temps au plus tôt que les véhicules peuvent partir de leur dépôt et le temps au plus tard pour y revenir. Les contraintes de temps sont importantes dans les problèmes de transport pour les personnes à mobilité réduite, par contre plusieurs autres contraintes et caractéristiques sont présentes dans des contextes particuliers. Dans la prochaine section il est donc question des caractéristiques qui sont plus particulières au TAQM. 3.2.4 Caractéristiques particulières reliées au TAQM Plusieurs contraintes et caractéristiques particulières, provenant directement des normes établies par le TAQM, ont été prises en compte lors de la résolution du problème. Premièrement, il y a une priorité de service qui est donnée successivement aux demandes de transport pour du travail, des études aux niveaux collégial et universitaire, des soins médicaux et autres services et, enfin, des loisirs. Les clients ne peuvent pas passer plus de 1 heure 30 minutes à bord du véhicule. Les heures de départ et d arrivé de chacun des clients ne doivent pas différer de plus de 30 minutes, avant ou après l heure demandée. -17-

Chapitre 3 DÉFINITION DU PROBLÈME Lors du choix des véhicules, les taxis doivent être mis en priorités autant que possible puisqu ils ont des coûts par transport moins élevés. De plus, les taxis peuvent être utilisés avec des temps coupés selon la demande tandis que les minibus doivent être utilisés pour 8h00 à cause de la convention des chauffeurs (minibus TAQM) et un respect des ententes (minibus des compagnies affiliées). S il s avère nécessaire, le transfert d une personne d un véhicule à un autre est permis. Cette dernière caractéristique n a pas été traitée dans ce document étant donné le peu d influence qu elle a, dû à sa très grande rareté. -18-

Chapitre 4 REVUE DE LA LITTÉRATURE Chapitre 4 : Revue de la littérature Ce quatrième chapitre présente une revue de la littérature sur différents problèmes de transport pertinents pour l étude du problème général de cueillette et livraison. La très grande quantité d articles s explique par le fait qu une bonne résolution de ce type de problème entraîne une économie de coût importante et un meilleur niveau de service. Savelsbergh et Sol (1995) ont d ailleurs fait récemment un bon survol du sujet. Dans ce chapitre, nous présentons trois problèmes de tournées bien connus et largement étudiés dont la maîtrise est préalable à l étude de notre problème. Premièrement, il y a le problème de tournées de véhicules avec fenêtres de temps. Deuxièmement, il y a le problème de cueillette et livraison avec fenêtres de temps. Finalement, le problème de tournée sur appel qui est un problème de cueillette et livraison où des personnes sont transportées et où les contraintes de fenêtres de temps jouent un rôle très important. Notons que l amélioration individuelle des routes, il faut utiliser des méthodes d amélioration conçus pour le problème du voyageur de commerce. Parmi ces méthodes d amélioration les plus efficaces disponibles actuellement, notons celle de Helsgaun (2000). 4.1 Problème de tournées de véhicules avec fenêtres de temps Le problème classique de tournées de véhicules est un problème qui a fait l objet de nombreuses recherches, il traite le cas où chacun des clients a une demande déterminée et où la flotte est homogène. Taillard (1993) a apporté une grande contribution à ce problème par son heuristique de partitionnement. Au cours des dernières années, la méthode de recherche tabou a été appliquée au problème de tournées par plusieurs -19-

Chapitre 4 REVUE DE LA LITTÉRATURE auteurs. Ainsi, Osman (1993), Gendreau et al. (1994), Rego et Roucairol (1996) et Xu et Kelly (1996) se sont inspirés de la méthode tabou pour développer des approches de résolutions efficaces. Par ailleurs, Prins (2004) obtient des résultats très intéressants en utilisant l algorithme génétique. Les fenêtres de temps sont des intervalles de temps où les clients se doivent d être desservis. C est un problème où l on doit définir un ensemble de trajets à partir d un entrepôt, visitant chaque client, soit pour une cueillette ou pour une livraison, à l intérieur de sa fenêtre de temps pour ensuite revenir à l entrepôt. Divers objectifs peuvent être visés. Entre autres, il y a la minimisation du nombre de véhicules requis, la minimisation du temps de transport et la minimisation de la longueur du trajet effectué par la flotte de véhicules. Une borne sur la durée des routes peut être imposée. Cordeau, Desaulniers, Desrosiers, Solomon et Soumis (2000) présentent un article synthèse qui porte sur les récents développements concernant le problème de tournées de véhicules avec fenêtres de temps. Ils montrent que les contraintes de temps peuvent être soit non rigide, auquel cas elles sont relâchées au prix d une certaine pénalité, ou soit rigide, auquel cas il n est pas permis de dépasser la limite supérieure. Ils présentent un modèle incluant des contraintes de temps et de capacité. Les méthodes heuristiques permettant de calculer des bornes supérieures sont d abord présentées. Suivent les modèles d optimisation basés sur la relaxation Lagrangienne et la génération de colonnes pour évaluer des bornes inférieures. Enfin, on présente l utilisation de l algorithme de séparation et d évaluations successives du «branch and bound» liée à ces méthodes afin d en arriver avec des solutions entières. L article se termine par l étude de cas particuliers et d extensions. Plusieurs autres auteurs ont aussi grandement contribués à la résolution de ce problème. Parmi ceux-ci, Rochat et Taillard (1995), Taillard, Badeau, Gendreau, Geurtin et Potvin -20-

Chapitre 4 REVUE DE LA LITTÉRATURE (1997), Cordeau, Laporte et Mercier (2001), Rousseau, Gendreau et Pesant (2002), Li et Lim (2003) et Berger et Berkaoui (2004). 4.2 Le problème de cueillette et livraison avec fenêtres de temps Dans le problème de cueillette et livraison avec fenêtres de temps, un ensemble d itinéraires doit être construit afin de satisfaire des demandes de transport. Une flotte de véhicules est disponible pour réaliser les itinéraires. Chaque véhicule a une capacité donnée, un endroit de début et un endroit de fin. Chaque demande de transport indique la taille de la charge à transporter, l endroit où elle se doit d être cueillie (l origine) et l endroit où elle se doit d être livrée (la destination). Chaque charge doit être transportée dans un seul véhicule de son origine à sa destination sans aucun transfert de véhicule entre les deux points. Tous les véhicules partent et reviennent à un dépôt central. Ce problème comporte donc des contraintes de temps : un intervalle de temps dans lequel le client se doit d être servi soit pour la cueillette ou pour la livraison. Ces contraintes viennent compliquer la construction des routes. Dans la littérature, ces contraintes ont souvent été relâchées afin de trouver des solutions plus rapidement. Il faut aussi prendre en compte qu un nouveau client qui s ajoute amène deux nouveaux sites à visiter, un point d origine et un point de destination (Savelsbergh et Sol 1995). Gendreau, Guertin, Potvin et Séguin (1998) décrivent des heuristiques de recherche locale avec mémoire adaptative, en particulier avec la recherche tabou, afin d optimiser la planification des routes pour une flotte de véhicules de transport. L étude se situe dans un contexte où les requêtes de service, chacune avec un point de collecte et un point de livraison incluant des fenêtres de temps, sont reçues et doivent être réparties en temps réel. Une approche en parallèle à deux niveaux est utilisée afin d augmenter la puissance de calcul entre les événements. Au plus haut niveau, différentes recherches s exécutent en parallèle puis, à l intérieur de chacune, le problème est décomposé en sous-problèmes de plus petite taille. Les résultats numériques démontrent les bénéfices apportés par de telles -21-

Chapitre 4 REVUE DE LA LITTÉRATURE procédures d optimisation. Cette étude a montré que les heuristiques développées permettent de résoudre les problèmes dynamiques de façon très efficaces. Li et Lim (2001) proposent une méta-heuristique afin de résoudre un problème de cueillette et livraison avec fenêtres de temps incluant plusieurs véhicules. Leur approche est un algorithme de recuit simulé tabou-incorporée qui reprend une procédure de recherche de la meilleure solution actuelle après plusieurs itérations de recherche sans amélioration. En outre, leur algorithme peut être facilement adapté pour résoudre de nouvelles généralisations du problème de cueillette et livraison avec fenêtres de temps. 4.3 Le problème de tournées sur appel Le problème de tournées sur appel consiste à établir des routes et des cédules de véhicules pour des utilisateurs qui indiquent des demandes d embarquements et de débarquements entre des origines et des destinations particulières. Régulièrement, le même utilisateur aura deux demandes pour le même jour : une demande pour sortir de la maison (par exemples : aller à l hôpital ou aller travailler), et une demande de retour. Dans la version standard, le transport est assuré par une flotte de véhicules identiques établis au même dépôt. Le but est d élaborer un ensemble d itinéraires pour minimiser le coût des routes des véhicules tout en respectant un ensemble de contraintes. Un excellent sommaire des algorithmes les plus importants concernant les problèmes de tournées sur appel a été effectué par Cordeau et Laporte (2003B). L exemple classique du transport sur appel est le problème de transport porte-à-porte pour les personnes à mobilité réduite (Madsen, Ravn et Rygaard, 1995; Toth et Vigo, 1996, 1997; Borndörfer et al., 1997). Les services de porte-à-porte peuvent fonctionner selon un mode statique ou dynamique. Dans le premier cas, toutes les demandes de transport sont connues à l avance, tandis que dans le deuxième cas, les demandes sont graduellement exprimées tout au long de la journée et les itinéraires des véhicules sont ajustés en temps réel dépendamment des -22-

Chapitre 4 REVUE DE LA LITTÉRATURE nouvelles demandes de transport. Dans la pratique, le problème de tournées sur appel purement dynamique existe rarement puisqu un sous-ensemble de demandes est normalement connu à l avance. La plupart des études sur les problèmes de tournées sur appel se basent sur l hypothèse qu une flotte de véhicules homogènes basés à un dépôt unique est disponible. La raison étant que cette hypothèse reflète régulièrement la réalité et peut servir de base intéressante pour la conception des modèles et des algorithmes. De plus, il est très important de se rendre compte qu une multitude de situations existent en pratique. Il peut y avoir plusieurs dépôts, particulièrement dans des secteurs géographiquement larges, et la flotte est parfois hétérogène. Quelques véhicules sont conçus pour porter des fauteuils roulants seulement, d autres peuvent seulement servir les passagers ambulants et certains sont capables de s adapter aux deux types de passagers. Dans certains problèmes, la considération principale est d abord de déterminer la taille de la flotte de véhicules et d établir les itinéraires capables de satisfaire la totalité des exigences tandis que dans d autres, le but est de maximiser le nombre de demandes qui peuvent être servies avec une flotte de véhicules de taille fixe. Ceci étant dit, il est normal de considérer le problème sous deux angles différents. Le premier est de réduire au minimum les coûts des opérations dans le but de répondre entièrement à la demande et aux différentes contraintes et la deuxième est de maximiser la satisfaction des clients sujet à la disponibilité des véhicules et aux différentes contraintes. Les coûts d opération les plus communs sont reliés à la taille et au fonctionnement régulier de la flotte, l utilisation occasionnelle des véhicules supplémentaires ainsi qu aux salaires des conducteurs. D autres parts, les différents critères pour l évaluation de la satisfaction de la clientèle sont la durée de l itinéraire, la longueur de l itinéraire, le temps d attente du client, le temps total passé à bord des véhicules et la différence entre le temps réellement obtenu et le temps désiré pour le début du service. De plus, certains de ces critères peuvent être traités comme contraintes ou en tant qu élément de la fonction objectif. -23-

Chapitre 4 REVUE DE LA LITTÉRATURE Dans les deux prochaines sections, le problème de tournées sur appel est divisé selon le nombre de véhicules disponibles. 4.3.1 Résolution du problème de tournées sur appel à un véhicule Bien que le cas avec un seul véhicule puisse paraître restrictif, les algorithmes développés peuvent servir pour résoudre des problèmes incluant plusieurs véhicules. C est principalement pour cette raison qu il est si important de posséder l habileté à résoudre le problème de tournées sur appel avec un seul véhicule. La version avec un véhicule a reçu une attention importante de la part des chercheurs durant les dernières années. Un des cas les plus simples du problème de tournées sur appel est celui où toutes les demandes sont connues à l avance et où tous les utilisateurs sont servis par un simple véhicule. Dans ce contexte, Psaraftis (1980) a développé une procédure d optimisation exacte, basée sur la programmation dynamique, pour résoudre les versions statiques considérant un seul véhicule. La fonction objectif étant la minimisation du temps total pour l accomplissement de l itinéraire et la minimisation de l insatisfaction des clients. L insatisfaction des clients est exprimée par une combinaison du temps d attente avant d être pris en charge et le temps passé à bord du véhicule. Au lieu de procéder avec des fenêtres de temps, le transporteur impose des contraintes de «changement de position maximale» limitant ainsi la différence entre la position d un utilisateur dans la liste des demandes et sa position dans l itinéraire du véhicule. Ce dernier algorithme a, par la suite, été mis à jour par le même auteur (Psaraftis, 1983) pour manipuler les fenêtres de temps que les utilisateurs spécifiaient. Comme il en est souvent le cas dans des formulations de programmation dynamiques, l algorithme peut seulement résoudre, de façon optimale, des exemples relativement petits, puisque la procédure a une complexité de O(n 2 3 n ). Le plus grand exemple résolu en utilisant cette approche contient neuf utilisateurs. Puisque la plupart des problèmes de tournées sur -24-

Chapitre 4 REVUE DE LA LITTÉRATURE appel qui se posent en pratique sont beaucoup plus grand, l approche proposée pourrait s avérer utile comme sous-programme dans un algorithme incluant plusieurs véhicules si le nombre d utilisateurs dans chaque itinéraire demeure relativement petit. Psaraftis (1983) a également développé une heuristique simple dont la complexité est de O(N 2 ) pour résoudre le problème statique de tournées sur appel avec un simple véhicule. Une analyse de la performance de l algorithme révèle que l heuristique en arrive à d excellents résultats pour des problèmes comprenant jusqu à 100 nœuds. Dans le contexte du transport pour personnes à mobilité réduite, Desrosiers, Dumas et Soumis (1984A), présentent eux aussi un algorithme de programmation dynamique pour résoudre le problème d un seul véhicule desservant un ensemble d usagers donnés. La capacité du véhicule ne doit pas être excédée et les fenêtres de temps du point d origine et du point de destination se doivent d être respectées. L objectif est de trouver l itinéraire qui minimise la distance totale du trajet. Leur algorithme résout les problèmes incluant 40 demandes. Le sous-problème correspond à une généralisation du problème du voyageur de commerces et peut avoir jusqu à 80 nœuds. L efficacité de leur algorithme de programmation dynamique est largement due à l utilisation de critères efficaces d élimination pour les situations qui sont infaisables. Des problèmes incluant plus de 40 demandes n ont pas été évalués puisque, dans le contexte de transport pour les personnes à mobilité réduite, un véhicule traite, selon eux, rarement plus de 20 demandes par jour. Cet algorithme peut également être utilisé pour faire l optimisation de routes produites par des heuristiques pour le problème avec plusieurs véhicules. La distance du trajet est réduite de 4% à 5% sans diminuer la qualité du service. L algorithme peut aussi être utilisé pour vérifier la faisabilité de servir un groupe de demandes avec un véhicule dans une approche qui commence par un regroupement de clients pour terminer par la confection de la cédule. La version dynamique du problème de tournées sur appel avec un simple véhicule a également été considérée par Psaraftis (1980). Dans ce problème, les nouvelles demandes se produisent dynamiquement dans le temps mais aucune information sur les futures -25-

Chapitre 4 REVUE DE LA LITTÉRATURE demandes n est disponible. Quand une nouvelle demande devient connue une solution prévue est disponible. Toutes les demandes qui ont déjà été traités peuvent ne plus être considérées. Le problème est alors ré-optimisé en y introduisant la nouvelle demande. Ceci est fait en appliquant l algorithme de programmation dynamique développé pour le cas statique. Une des difficultés pratiques provenant de cette approche est d être capable de résoudre le problème pour le temps t avant l arrivée de la prochaine demande. Ceci peut être infaisable si l algorithme est lent et si les demandes arrivent trop rapidement. Une alternative pour cette problématique a récemment été proposée par Gendreau, Laporte et Semet (2001) dans le contexte de la re-localisation dynamique d ambulances. Il s agit d établir plusieurs scénarios en utilisant le calcul en parallèle en prévision de futures demandes. En dépit de ses limites, le travail de Psaraftis sur la version dynamique du problème de tournées sur appel incluant un seul véhicule a aidé à définir les concepts utilisés dans des recherches postérieures concernant le problème dynamique de tournées (Psaraftis, 1988 ; Psaraftis, 1995 ; Mitrovié-Minié, Krishnamurti et Laporte, 2004). 4.3.2 Résolution du problème de tournées sur appel à plusieurs véhicules Dans le contexte du transport pour personnes à mobilité réduite, Desrosiers, Dumas et Soumis (1984B) ont résolu le problème avec une approche de mini-regroupements des usagers suivie d une planification optimale des tournées de véhicules. Un algorithme heuristique regroupe ensemble les usagers voyageant en même temps dans le même véhicule. Le mini-regroupement est résolu de façon optimale par un algorithme de génération de colonnes. Des problèmes comprenant jusqu à 200 usagers et 85 minigroupes ont été résolus facilement. Les problèmes de taille supérieure sont résolus en divisant la journée de travail en plusieurs périodes et en appliquant l algorithme à plusieurs reprises. Ce même document étudie aussi l optimisation de routes de véhicules pour un système à plusieurs véhicules. La construction des mini-groupes de clients voyageant en même temps dans le même véhicule a été fait dans le but de diminuer les difficultés de résolution. Ces mini-groupes permettent de réduire la taille du problème tout en satisfaisant la totalité ou la majorité des contraintes. -26-