Correction - TD n 17 - Diffraction

Correction - TD n 17 - Diffraction 1 Application directe A FAIRE PSI - Année 2010/2011 1 Lycée Paul Eluard

2 Diffraction par une fente PSI - Année 2010/2011 2 Lycée Paul Eluard

PSI - Année 2010/2011 3 Lycée Paul Eluard

3 Devinette En utilisant les résultats du cours, on peut déduire directement de la figure de diffraction que la pupille diffractante correspond à deux ouvertures rectangulaires identiques : Chaque ouverture rectangulaire donne lieu à la même figure de diffraction en croix, avec PSI - Année 2010/2011 4 Lycée Paul Eluard

une tache centrale de largeur : On en déduit donc que : L l = 2λf b 2λf h b = 2λf L = 1.10 10 4 m = 0.110mm h = 2λf = 1.12 10 4 m = 0.112mm l De plus, la présence de deux ouvertures éclairés par une seule source donne lieu à un phénomène d interférence en lumière cohérente. La direction des centres des ouvertures est orthogonale à la direction des franges d interférence obtenues sur l écran. De plus, l interfrange est donné par : i = λf a où a est la distance entre les centres des ouvertures, et on en déduit donc que : a = λf = 0.27mm i en mesurant sur la figure de diffraction i l 5. La pupille diffractante est représentée sur la figure ci-dessous. a b h PSI - Année 2010/2011 5 Lycée Paul Eluard

4 Diffraction par des fentes d Young PSI - Année 2010/2011 6 Lycée Paul Eluard

5 Diffraction de Fraunhofer par un prisme de petit angle 1. D après les lois de Descartes de la réfraction : les rayons ne subissent pas de déviation sur le premier dioptre (face d entrée du prisme) ; les rayons ont un angle d incidence de α sur le deuxième dioptre (face de sortie du prisme), d où un angle de réfraction r tel que n sin (α) = n air sin (r) (loi de la réfraction de Descartes). Comme α 1, on a aussi r 1 et nα n air r. Les rayons émergents du prisme font ainsi un angle β = r α = Oz. ( ) n 1 α avec l axe n air 2. On se place maintenant dans le cadre de la diffraction (notamment, on n a pas forcément n sin (α) = n air sin (r) car on travaille dans un cadre plus général que l optique géométrique). a) Le rayon frappant le prisme au point P d abscisse x traverse une épaisseur de verre : e (P ) = tan (α) X αx. L amplitude de l onde diffractée dans une direction θ correspondant à M donné s écrit : s 0 (M) = C te P Σ e jk 0(SP M) dσ P avec (SP M) = (SP ) + n e (P ) + (QM). Or dans une situation sans prisme (ss.pr.) mais avec seulement une fente, on aurait : (P M) ss.pr. n air e (P ) + (QM). P M ; Justification : (P M) ss.pr. = n air P Q + (Q M) où Q est le projeté orthogonal de Q sur de plus, P Q = e(p ) cos(θ) e (P ) avec θ 1 ; enfin, (Q M) = (QM). On en déduit (SP M) = (SP ) + (P M) ss.pr. + (n n air ) e (P ) puis s 0 (M) = C te P Σ e jk 0(n n air )e(p ) e jk 0((SP )+(P M) ss.pr. ) dσp 2π j (n n d où la fonction de transparence du prisme : t (X) ˆ= e λ air )αx 0 (on se ramène ainsi au cas d une ouverture diffractante plane affectée d une certaine fonction de transparence). b) Dans le cadre de la diffraction de Fraunhofer, l amplitude de la vibration correspondant à l interférence des ondelettes émises par les sources secondaires de l ouverture diffractante s écrit, dans la direction θ du plan Oxz : s 0 (θ) = s og ab a X=0 t (X) ejk(θ 0)X dx b 0 dy = s og a a s 0 (θ) = sog a a X=0 ejk 0ΘX dx = s og 1 jk 0 Θ a X=0 ejk 0(n air θ (n n air )α)x dx ( ) e jk0θa 1 avec Θ = n air θ (n n air ) α e s 0 (θ) = s jk 0 Θa/2 og k 0 Θ a/2 ejk 0 Θa/2 e jk 0 Θa/2 2j = s og e jk0θa/2 sinc ( k 0 Θ a ) 2. On en déduit "l éclairement diffracté" dans la direction θ via I = s 0 (M) s 0 (M) : ( I = I max sinc 2 π (n air θ (n n air ) α) a ) λ 0 PSI - Année 2010/2011 7 Lycée Paul Eluard

c) Si a λ 0 alors I = I max pour θ β = résultat de l optique géométrique. 6 Figures de diffraction à l infini ( ) n 1 α et I = 0 sinon : on retrouve le n air 1. Le dispositif est celui du cours dans le cas des conditions de Fraunhofer (source dans le plan focal objet d une première lentille, et écran dans le plan focal image de la lentille de projection). 2. Les trois figures correspondent à différentes expériences des trous d Young : la tache d Airy montre que les ouvertures sont circulaires, et la présence de franges regulières verticales atteste d un phénomène d interférence à 2 ondes. Le diamètre de la tache centrale correspond à : d = 1.22 λf où R est le rayon des ouvertures. R De plus, l interfrange est donné par : i = λf où a est la distance entre les trous. a Dans les figures a), b) et c) on mesure respectivement d 6i, d 3i et d i. On peut en déduire les résultats suivants présentés dans la figure ci-dessous. a = 6R a = 3R a = R 1.22 3. La pupille de diffraction est toujours percée de trous circulaires d après les anneaux de diffraction. Cependant, deux trous ne peuvent expliquer la formation des franges d interférences en carré. Afin d obtenir des franges suivant les deux directions du plan d observation, il faut donc une pupille s apparentant à deux dispositifs de trous d Young orthogonaux. PSI - Année 2010/2011 8 Lycée Paul Eluard

En fait, cette figure de diffraction correspond à quatre trous identiques placés au sommet d un carré. 7 Ecrans complémentaires PSI - Année 2010/2011 9 Lycée Paul Eluard

Ceci permet de comprendre pourquoi la figure de diffraction d un cheveu est indentique à celle obtenue avec une fente fine. 8 Diffraction et symétrie Il est facile de montrer que la figure de diffraction est elle-même symétrique par rapport à l axe (Ox) en utilisant une transparence complexe t(p ) paire dans l expression du principe d Huygens Fresnel. 9 Détermination du pas d un réseau, mesure d une longueur d onde PSI - Année 2010/2011 10 Lycée Paul Eluard

10 Minimum de déviation PSI - Année 2010/2011 11 Lycée Paul Eluard

11 Caractérisation et capacité d un Compact Disc (CD) Un CD peut contenir un grand volume d information numérique (codé en binaire : 011010001...) enregistré sur un sillon en forme de spirale creusé sur la surface du disque. Localement, ce sillon peut être vu comme un réseau (fentes rectilignes parallèles, voir photo). C est donc la diffraction de la lumière par la structure en surface du CD qui est à l origine des irisations de couleur qui s expliquent dans le cadre de l optique ondulatoire. Il ne faut pas les confondre avec les irisations obtenues avec un prisme ou des gouttes d eau (arc-en-ciel) qui s expliquent dans le cadre de l optique géométrique par les lois de la réfraction et le pouvoir dispersif du milieu : dépendance de l indice avec la longueur d onde (loi de Cauchy : n(λ) = A + B/λ 2 ). x/2 d laser θ CD -x/2 Figure 1: Dispositif pour mesurer le pas a de la spirale d un CD. Le dispositif utilisé pour mesurer le pas a de la spirale du réseau est schématisé ci-dessus. En incidence, la formule du réseau s écrit sin θ = pλ/a où p est l ordre. L angle θ s exprime en fonction de la distance x mesurée entre les ordres 1 et 1 (attention on ne peut pas faire l approximation des petits angles), le pas du réseau s écrit alors : ( d 2 a = λ 1 + 4 x) La mesure est d autant plus précise que les spots diffractés sont petits pour cela le spot laser doit éclairer sur le CD beaucoup de pas de la spirale (pouvoir de résolution du réseau R = Np), mais pas trop pour que le rayon de courbure de la spirale (quelques centimètres) soit négligeable. Ainsi, une tâche du laser sur le CD de l ordre du millimètre donne une bonne précision de mesure. On déduit des mesures que le pas de la spirale d un CD est de 1, 58µm en très bon accord avec la vue obtenue au microscope à force atomique (microscope à champ proche permettant de visualiser la topologie d une surface à l aide d une pointe montée sur un microlevier scannant la surface à interactions constantes). La capacité d un CD est le nombre de bits enregistrables. Il est égal à longueur de la spirale du sillon divisée par le pas b entre 2 bits. Or, d après la vue au microscope à force atomique b est de l ordre du micromètre et la longueur de la spirale est donnée par la surface enregistrable π(r2 2 r2 1 ) divisée par le pas a (penser au bonbon réglisse), soit : N bit = 8 N octet = π(r2 2 r2 1 ) ab PSI - Année 2010/2011 12 Lycée Paul Eluard

En prenant les dimensions d un CD, on obtient un capacité de l ordre de 1Go correspondant bien à celle indiquée sur un CD (800Mo). Enfin, Le nombre d ordres observables est donné par le fait que le sinus est borné entre 1 et 1 soit 5 ordres : 2, 1, 0, 1, 2 dans le cas proposé. D après la deuxième mesure, le pas d un DVD est deux fois plus petit a = 0.72µm, c est pourquoi il a une capacité 5 6 fois plus grande que le CD en supposant que le pas b est aussi 2 à 3 fois plus petit. Pour réussir à graver et à lire un disque, il faut que la taille du spot laser qui balaie le sillon du CD soit inférieure aux pas a et b. Ces tailles étant de l ordre de la longueur d onde, on atteint les limites technologiques de l optique dues à la diffraction qu on peut considérer comme proportionnelle à λ. Ainsi, pour augmenter la capacité des disques, il faut des pas plus petits et donc utiliser des diodes-lasers de longueur d onde plus faible. L évolution historique de la capacité des disques a suivi celle des diodes lasers, au début on ne savait fabriquer que des diodes de grandes longueurs d onde ce qui a donné la technologie CD d une capacité de 800Mo (longueur d onde : 780nm), puis le DVD de 5Go (635nm) et récemment le Blu-ray Disc de 25Go (405nm utilisant un doubleur de fréquence). 12 Apodisation 1. a) Le principe de Huygens-Fresnel stipule qu une ouverture ("ouverture diffractante" ou "pupille diffractante" ou "diaphragme") éclairée par une source primaire ponctuelle et monochromatique peut se décomposer en surfaces élémentaires se comportant comme des sources secondaires cohérentes émettant des ondes sphériques dont l amplitude est proportionnelle à l amplitude de l onde incidente et à chaque surface élémentaire. b) La diffraction de Fraunhofer peut être considérée comme le cas particulier où la source S et le point d étude M sont situés à l infini par rapport à l ouverture diffractante ("diffraction à l infini"). Pour observer la figure de diffraction à l infini d une fente fine de largeur a, on peut utiliser un montage avec 2 lentilles (la source étant dans le plan focal objet de la première et l écran dans le plan focal image de la deuxième). La figure obtenue sur l écran se trouve selon une direction perpendiculaire à la fente et est constituée d une tache centrale de largeur angulaire 2 λ a (largeur sur l écran : 2 λ a f 2 ), ainsi que de taches secondaires ("pieds"). Dans le cadre de la diffraction de Fraunhofer, l amplitude de la vibration correspondant à l interférence des ondelettes émises par les sources secondaires de l ouverture diffractante s écrit : s 0 (M) = sog Σ P Σ ejk((α d α i )X+(β d β i )Y ) dσ P La source se trouvant sur l axe optique, on a α i = 0 et β i = 0. De plus, b a implique que I 0 seulement pour β d = 0. Avec α α d, on a s 0 (α) = s og ab a/2 X= a/2 ejkαx dx b/2 Y = b/2 dy soit s 0 (α) = s og e jkαa/2 jkα d a ( e jkαa/2 e jkαa/2 ) = s og e jkαa/2 sinc ( kα a 2 d où I (M) = s 0 s 0 : I (α) = I maxsinc 2 ( πa λ α ) avec I max = s og s og. Notamment, on retrouve le fait que la figure obtenue est constituée d une tache centrale de largeur angulaire 2 λ πa a (annulation de I (α) pour λ α = ±π), ainsi que de taches secondaires. c) Un déplacement x S de la source revient à changer α en α α S (notamment, I (α s ) = I max ) : ) PSI - Année 2010/2011 13 Lycée Paul Eluard

( ) πa I = I max sinc 2 λ (α α s) La figure de diffraction est donc seulement translatée, son centre correspondant à l image géométrique de la nouvelle source. Remarque : la démonstration plus complète consiste à considérer : s 0 (M) = K P Σ e jk 0(SP ) e jk 0(P M) dσ P = C te ( kd P Σ ej ) k i. OP dσ P = s OG Σ P Σ ejk(α αi)x dσ P. 2. a) La limite de résolution d un instrument est la distance angulaire limite entre deux objets pour que les deux images soient discernables. Selon le critère de Rayleigh, le "bord" de la tâche de diffraction (premier minimum) d une image correspond alors au centre (maximum) de l autre. La distance angulaire des images géométriques est alors α = λ a ( 1, 22 s il s agit d ouvertures circulaires de diamètre a). b) Dans le cas de l oeil, l ouverture diffractante est la pupille, avec a = 2, 0 mm de diamètre. Avec λ 0, 6 µm (le domaine visible correspond à [0, 4; 0, 8] µm), on obtient une limite de résolution de l oeil d environ 3 10 4 rad = 2 (par exemple, on peut distinguer au mieux un intervalle de 1 mm à une distance de 2 m). Remarque : la rétine étant à 1, 5 mm de la pupille, la distance entre 2 images rétiniennes à la limite de séparation angulaire est de 7, 5 µm ; or la taille d un cône est d environ 3 µm : on peut donc tout juste placer trois cônes (rouge, vert, bleu) dans cet intervalle. Ainsi, l évolution naturelle s est adaptée au mieux à la limite de résolution imposée par la diffraction de la pupille. 3. a) Pour une lame absorbante de coefficient de transmission t(x), l amplitude diffractée est : s 0 (α) = K P Σ t (X) ejkαx dσ P = K e 2 X /a e jkαx dx s 0 (α) = K 0 e( 2 a +j 2π λ α)x dx + K 0 e ( 2 a +j 2π λ α)x dx ( s 0 (α) = K 1 2 a +j 2π λ α 1 lim X e2 X a e j 2π λ )+K αx 1 s 0 (α) = K 1 2 a +j 2π λ α (1 0) + K 1 s 0 (α) = K 2 a j 2π λ α ( 2 a j 2π α) λ = K a ( a) 2 2 +( 2π λ α)2 2 a +j 2π λ α (0 1) = K ( 1+( 2π a λ 2 α)2 2 a +j 2π λ α ( lim X + e 2 X a ) 1 2 a +j 2π λ α 1 2 a +j 2π λ α On en déduit l intensité diffractée : I(α) = s 0 s 0 = K 2 a 2 ( 1 + ( πa λ α) 2 ) 2 ) e j 2π λ αx 1 Ainsi, I max = K 2 4d 2 (obtenu pour α = 0, correspondant d ailleurs à l image de ( ( ) 2 2 l optique géométrique) et I = I max 4 pour α 1/4 tel que 1 + πa λ 1/4) α = 4 soit α 1/4 = λ πa. La figure de diffraction a donc une largeur angulaire au quart de la hauteur de 2α 1/4 = 2 λ πa. b) On compare ci-dessous les figures de diffraction obtenues pour une fente dont le coefficient PSI - Année 2010/2011 14 Lycée Paul Eluard

de transmission t(x) est discontinu (fente classique, courbe en pointillés) ou continu (t(x) = e 2 X /a, courbe en traits pleins). Remarque : on a une même hauteur de pic principal. Lorsque t(x) est continu, les maxima secondaires ("pieds") sont atténués (voire supprimés ici) : on parle d apodisation (figure du haut : cas d une source à l infini, une étoile simple par exemple). L intérêt de l apodisation est par exemple la mise en évidence d un astre situé proche d une étoile brillante (deuxième étoile, planète...), donnant une intensité beaucoup plus faible pouvant être confondue avec des maxima secondaires de l étoile brillante. Ainsi, la figure du bas correspond à une deuxième étoile écartée de α S = 1, 3 λ a et de luminosité égale à 5% de celle de l étoile principale ; la présence de la deuxième étoile est douteuse avec une fente classique de transmission discontinue (courbe en pointillés), indubitable avec la fente de transmission continue utilisée ici (courbe en traits pleins). Intensité Intensité 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 étoile seule -3-2 -1 0 1 2 3 αa/λ étoile double 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 t(x) b=a/2-2 -1 0 1 2 x/a -3-2 -1 0 1 2 3 αa/λ 13 Holographie A FAIRE PSI - Année 2010/2011 15 Lycée Paul Eluard