PSI FEUILLE D EXERCICES DE SCIENCES PHYSIQUES N 23 11/02/2017 2016/2017 Thème: Conversion électro-magnéto-mécanique (1) APPLICATIONS DIRECTES 1. Electroaimant de levage On considère l électroaimant représenté ci-contre. a) On suppose que le matériau ferromagnétique est parfait. Que peut-on en déduire quant aux lignes de champ? b) Déterminer le champ magnétique créé par cet électroaimant. A-t-il la même valeur dans le fer et l entrefer? c) Que devient cette expression lorsque l entrefer est nul? d) Que devient cette expression lorsque l entrefer n est pas nul, mais la perméabilité du matériau infinie? e) Rappeler la définition de l inductance d un circuit magnétique linéaire. L exprimer en fonction des paramètres de ce circuit magnétique. f) La bobine a 200 spires. La section du matériau est carrée et vaut 10 mm * 10 mm, la distance entre les branches internes de l électroaimant vaut 20 mm. La perméabilité relative du noyau est de 1500, l entrefer de e = 3 mm, calculer l inductance. g) En déduire l expression de l énergie magnétique de ce circuit. Comment varie-t-elle avec la taille de l entrefer? h) Quelle relation y-a-t-il entre l énergie magnétique E B et la densité d énergie magnétique, dont on rappellera l expression, pour ce circuit magnétique? En déduire que l énergie magnétique est localisée dans l entrefer lorsque celui-ci existe. i) On veut soulever la pièce mobile inférieure. La force subie par cette pièce est donnée par F =d E B / dxu. x Vérifier l homogénéité de cette relation. Que représente x? Où est l origine de l axe? Dans quel sens est-il orienté? Cette force dépend-elle du sens du courant? Quel est le sens de variation de la force avec x? Pour quelle valeur de x cette force est-elle la plus intense? h) Calculer l intensité à faire passer dans la bobine pour soulever la pièce, dans les conditions de la question f. Le fer a une masse volumique de 7 800 kg.m -3. 2. Vitesse de rotation d une machine synchrone Comment peut-on expliquer qu un grand nombre de machines tournantes ait en Europe une vitesse égale à 3000 tours par minute, pour 3600 tours par minute en Amérique du Nord? 3. Moteur synchrone de ventilateur à aimant permanent: Un ventilateur électrique est constitué : d un système fixe de bobines (appelé stator), alimenté par des courants alternatifs et produisant un champ magnétique B d intensité constante mais dont la direction tourne à la vitesse angulaire constante ; ce champ «tournant» demeure orthogonal à un axe z z fixe ; 0 d un aimant permanent de moment magnétique M orthogonal à z z, solidaire des aubes du ventilateur qui tourne à la vitesse angulaire autour de l axe z z. a) Représenter le schéma simplifié de ce moteur synchrone. On annotera avec les noms : rotor, stator, entrefer, circuit d induit. Quelle est la nature du circuit inducteur? Que signifie machine à pôles lisses? b) On considère un enroulement statorique, comprenant un pôle Nord et un pôle Sud diamétralement opposés, avec une répartition judicieuse des densités de spires permettant de réaliser, dans l entrefer une variation sinusoïdale du champ avec la position = ki(t).cos, où i(t) est une fonction sinusoïdale du temps de pulsation. Exprimer le champ magnétique dans l entrefer.
c) Montrer qu un système de 2 bobines d axes orthogonaux Ox et Oy parcourues par des courants sinusoïdaux de même pulsation, mais en quadrature de phase (système diphasé) peut créer un champ tournant. Donner l expression du vecteur champ magnétique glissant. 4. Energie stockée dans l entrefer d une machine synchrone On considère une machine synchrone comportant des enroulements statoriques et rotoriques créant dans l entrefer des champs de la forme : B S (,t) = B S.cos( t - ) et B R (,t) = B R.cos( t - o ). On note = t - o la position angulaire d un des axes de symétrie du rotor, est la vitesse angulaire du moteur. a) Faire un schéma où sont représenté les champs rotoriques et statoriques à l instant t = 0, puis à un instant quelconque. b) Exprimer l énergie magnétique dans l entrefer si seul le champ statorique est présent. On introduira le rayon R et l épaisseur e de l entrefer, ainsi que la longueur L de la machine. c) Lorsque les deux champs sont présents, faire apparaître une somme de trois termes, dont l un correspond à la présence simultanée des deux champs, terme de couplage. On rappelle que le couple électromécanique s écrit C = U M. A quelle condition ce couple est-il α maximal? d) Retrouver un résultat relatif au dipôle magnétique plongé dans un champ magnétique extérieur. 5. Diagramme de Fresnel équivalent Un moteur synchrone est décrit dans une modélisation simple, sans prise en compte des pertes fer et cuivre et en considérant le milieu magnétique sans fuites. a) En nommant le phénomène concerné, et justifiant sa traduction en dipôle électrique équivalent (impédance complexe, source de tension) proposer un schéma électrique d un des enroulements de l induit. b) En déduire une construction de Fresnel faisant figurer la tension d induit et l intensité dans l enroulement. On se place en convention récepteur. c) Pour une machine diphasée, quelle relation permet d exprimer le déphasage entre tension d induit et intensité, lorsque le moteur fournit un couple électromécanique C? d) Lorsque la machine synchrone fonctionne en alternateur, reprendre les questions précédentes en adoptant une convention générateur. 6. Bilan de puissance On modélise chaque phase du circuit statorique du moteur synchrone bipolaire diphasé en régime permanent par une inductance, une résistance et une fcém. Déterminer la puissance instantanée consommée par chacun des trois circuits électriques qui compose cette machine. En déduire que la puissance électrique apportée est égale à la puissance perdue par effet Joule et à la puissance absorbée par les fém. Quelle relation a-t-on entre la puissance mécanique founie et la puissance absorbée par les fcém? 7. Stabilité d'un moteur synchrone : On considère une machine synchrone à aimant permanent fonctionnant en moteur. On note 0 l'angle interne entre les champs magnétiques rotorique et statoriques en régime permanent à la vitesse angulaire 0. a) Rappeler l'expression du couple moyen et en déduire les valeurs de 0 acceptables pour un fonctionnement moteur. b) Le rotor est soumis de la part des machines qu'il entraîne et des frottements à un couple résistant C r.
Pour quelles valeurs de C r ne peut-on jamais avoir de régime permanent? c) Le couple résistant augmente. Décrire l'évolution de et étudier la stabilité du système en fonction des valeurs de 0. d)le rotor est lancé par une machine à courant continu avec une vitesse angulaire initiale proche mais légèrement différente de Etudier son mouvement ultérieur en fonction de la valeur initiale de l angle interne, * si < 0 ; * si > 0. 8. Alternateur monophasé Soit un alternateur monophasé produisant une tension sinusoïdale U de fréquence f = 50 Hz. Le schéma électrocinétique équivalent simplifié de l induit est composé d une inductance telle que X=L = 1,6 à 50 Hz et d une source de tension E. On néglige la résistance des enroulements. 1. Si le rotor n a qu une seule paire de pôle quelle est sa vitesse de rotation? 2. On montre que si le rotor de l alternateur comporte 4 paires de pôles pour une vitesse de rotation de 750 tr/min, on obtient un courant statorique dont la fréquence est toujours de 50 Hz. Quel est l intérêt de multiplier les paires de pôles? La valeur efficace de la fém de l alternateur est donnée par E(V) = 120i (A) avec i le courant d excitation pour une vitesse de rotation de 750 tr.min -1. 3. A quels paramètres est proportionnel E? 4. Représenter le schéma électrique de l alternateur. L alternateur alimente une charge résistive traversée par un courant d intensité efficace I = 30 A. La tension U aux bornes de la résistance a pour valeur efficace U = 110 V 5. Que peut-on en déduire quant au déphasage entre la tension aux bornes de l alternateur et le courant débité? Tracer le diagramme de Fresnel représentant la situation. 6. En déduire la valeur efficace de la fem de l alternateur E. 7. En déduire la valeur de l intensité i du courant d excitation. 8. En déduire la puissance fournie par l alternateur à la charge résistive. 9. Dans les conditions de l essai, les pertes de l alternateur sont évaluées à 450 W. Evaluer la résistance de l alternateur. Calculer le rendement. 10. La vitesse de rotation de l alternateur passe à 500 tr/min sans modification du courant d excitation. Déterminer f, E, X, U et I les nouvelles valeurs de f, E, X, U et I. EXERCICES I. Electroaimant de levage Un électroaimant de lavage destiné à soulever des pièces métalliques, est formé d un demi noyau magnétique sur lequel sont bobinées N spires parcourues par un courant d intensité I. Les extrémités à l air du noyau sont dirigées vers la pièce à soulever taillée dans un matériau magnétique. La section S du noyau magnétique est un carré de côté a = 2 cm et porte N = 100 spires. Les longueurs d une ligne de champ moyenne dans le noyau de l électroaimant et dans la pièce à soulever, de perméabilités magnétiques relatives respectives µ r1 = 2000 et µ r2 = 500 valent respectivement l 1 = 20 cm et l 2 = 10 cm. La section S p du circuit magnétique à l intérieur de la pièce vaut environ 2S. 1. La bobine est alimentée par une source de tension délivrant U o constante qui délivre un courant I = 1 A. Calculer la masse maximale que peut soulever cet électroaimant. 2. La masse de la pièce à soulever vaut 4 kg, calculer à l équilibre, l épaisseur de l entrefer. Analyser l évolution de l épaisseur lorsque la masse augmente. 3. On approche l électroaimant précédent de plusieurs pièces, de forme comparable à celles étudiée, ces pièces étant en aluminium, eu cuivre, en acier. L électroaimant est sans effet sur certaines pièces et en soulève d autres de masse égale à 20 kg. Expliquer
II. Couple nécessaire à la fermeture du circuit du circuit magnétique On considère le circuit magnétique ci-contre. La bobine est parcourue par un courant I constant et contient N spires. La longueur moyenne du fer de permittivité µ r est l m. Connaissant la longueur a du grand côté du cadre, b du petit côté, S la section du tore et fer la masse volumique du fer effectuer le bilan des couples qui s exercent sur la partie mobile et déterminer une condition pour que le circuit magnétique se ferme. On donne a = 20 cm ; b = 10 cm ; fer = 7 800 kg.m -3 ; I = 5 A. Le couple électromagnétique est la dérivée par rapport à de l énergie magnétique. III. Egalité des nombres de paires de pôles Lorsque l enroulement statorique ou rotorique d une machine comprend un pôle nord et un pôle sud diamétralement opposés, une répartition judicieuse des densités de spires permet de réaliser, dans l entrefer, une variation sinusoïdale du champ avec la position angulaire. La période spatiale angulaire est ainsi 2 Pour un système diphasé ou triphasé de courants d alimentation, on parvient à créer des champs tournants, par exemple pour le champ statorique : B S (,t)=b S cos( t - On s'interroge sur la possibilité d'utiliser pour chaque enroulement de la machine un nombre de paires de pôles magnétiques différent de 1 : N S pour le stator, N R pour le rotor. N S et N R sont des entiers naturels non nuls (2,3 ) a priori différents. a) Proposer une expression, fonction de paramètre angulaire, pour les champs statorique et rotorique à un instant donné. b) Qu en déduire pour l énergie dans l entrefer lorsque les nombres de paires de pôles N S et N R sont différents? c) Quelle condition permet d obtenir un couple non nul? IV. Caractéristique d un alternateur On a relevé la caractéristique à vide de l alternateur, à vitesse constante, nominale : I e (A) 0 20 35 50 75 100 E s (V) 0 1550 2500 3100 3500 3750 I e est le courant d excitation qui alimente le rotor, E S est la fém mesurée aux bornes d une phase de l induit, à vide. On néglige la résistance de l induit. 1. Représenter le modèle électrique d une phase statorique de l alternateur. Lors d un essai sur une phase statorique en court-circuit, on a relevé I S = 775 A et I e = 20 A. 2. Déterminer la réactance de la phase statorique. On désire un fonctionnement à tension constante U = 2500 V, à 50 Hz. 3. Déterminer la valeur de la fém E S de l induit, puis celle du courant d excitation I e lorsque l alternateur alimente une charge inductive de facteur de puissance de 0,800 pour des courants I S valant 250, 500, 750, 1000 A. 4. La résistance apparente entre bornes, au stator, est R stat 0, 04 et celle de l inducteur, r = 2 ; les pertes constantes valent 200 kw. Calculer le rendement pour ces quatre valeurs de I. V. Machine synchrone fonctionnant en alternateur puis en moteur Soit une machine synchrone bipolaire et diphasée à rotor bobiné. On considère une des phases (bobines) du stator et l on note et (supposés indépendants de la phase choisie) respectivement le déphasage retard de la fém e(t) et du courant i(t) par rapport à la tension appliquée u(t). Soit R et L la résistance et l inductance de chacun des enroulements du stator avec R = 0,9 Essai à vide à la vitesse de rotation : tension efficace U V = 220 V ; Courant d excitation I EV = 4,0 A
Essai en court-circuit à la vitesse de rotation : courant d excitation I ECC = 1,0 A ; courant en ligne efficace I CC = 3,5 A. 1. La machine fonctionne en alternateur. Que signifie essai à vide et essai en court-circuit? A quels courants correspondent les appellations courant de ligne et courant d excitation? Montrer que la fcém induite dans une bobine du stator s écrit e(t) = E 2sin( t) avec E = KI E Avec l essai à vide, déterminer le produit K Avec l essai en court-circuit, calculer la réactance L Montrer que R << L, ce que l on fera pour la suite. 2. La machine fonctionne en moteur. En régime nominal chaque phase fonctionne sous une tension de valeur efficace U = 190 V et de fréquence 50 Hz ; le stator absorbe une puissance P = 1,0 kw avec un facteur de puissance cos = 0,87. On néglige les frottements mécaniques. Calculer l intensité efficace en ligne I. En faisant un bilan de puissance, calculer le moment du couple électromagnétique appliqué à l arbre moteur. Tracer le diagramme de Fresnels lorsque > 0. Déterminer la valeur efficace de la fcem, notée E Etablir la relation U cos E cos où est le déphasage entre i(t) et e(t)
IV. Ie (A) 100 80 60 40 20 Ie (A) 100 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Es (kv) 80 60 40 20 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Es (kv)