Chapitre 7 Contrôleur On a vu dan le chapitre précédent le différent type de ytème aini que le paramètre qui le définient. Souvent, pour de ytème ou étude, il y a quelque paramètre dont on déire améliorer, comme le dépaement maximal, ou réduire l erreur tatique, ou améliorer le temp de répone. Pour améliorer la répone de ytème, on e ert de contrôleur. Ce contrôleur eront placé avant le ytème ou étude afin de modifier la caractéritique globale du ytème. On verra aui en fin de chapitre comment implanter ce contrôleur à l aide de circuit compoé d ampli-op, de réitance et condenateur. 7. Contrôleur proportionnel (P) On a déjà vu de exemple où l on ajoutait un gain dan une boucle pour rendre un ytème table, par exemple, ou réduire l erreur tatique. Le contrôleur P et imple : il agit que d un gain K prop, comme à la figure 7.. K prop Figure 7. Contrôleur proportionnel Donc un ytème avec un contrôleur P reemblerait au ytème de la figure 7.2.
R() + C() K prop G() Figure 7.2 Contrôleur proportionnel dan un ytème La fonction de tranfert en boucle fermée et : T () = K propg() + K prop G() (7.) Selon l équation précédente : L ajout d un contrôleur P ne change pa le type d un ytème. Aucun nouveau pôle ou zéro n et ajouté au ytème. Seule la poition de pôle et zéro peut changer. Exemple Soit le ytème uivant : R() + C() ( + ) On ajoute un contrôleur P.. Quel et le type du ytème? 2. Quelle et l erreur tatique pour : (a) Entrée échelon? (b) Entrée rampe?. On trouve la fonction de tranfert en boucle ouverte : Le ytème et de type. 2. Erreur tatique : G o () = K prop ( + ) Gabriel Cormier 2 GELE533
a) Entrée échelon : K p = lim G o () = 0 e = = 0 + K p b) Entrée rampe : K v = lim 0 G o () = K prop e = K v = K prop 7.2 Contrôleur intégral (I) Avec un intégrateur, la ortie du contrôleur et l intégrale du ignal d entrée, oit : ou t Sortie = K i Entrée dt (7.2) o G c () = K i (7.3) La fonction de tranfert en boucle ouverte et : G o () = G c ()G() = K i G() (7.4) On voit, elon l équation 7.4, qu on a ajouté un pôle au ytème et augmenté le type du ytème. Ce qui veut dire que i le ytème et de type 0, avec une erreur tatique, cette erreur tatique era nulle puique le ytème et maintenant de type. Par contre, le contrôleur intégral peut rendre un ytème intable, et il et rarement utilié eul. Exemple 2 On utilie le même ytème que l exemple, auf qu on e ert d un contrôleur I.. Quel et le type du ytème? 2. Quelle et l erreur tatique pour : (a) Entrée échelon? Gabriel Cormier 3 GELE533
(b) Entrée rampe? 3. Comparer la tabilité avec celle de l exemple.. Type du ytème : 2. Erreur tatique : a) Entrée échelon : G o () = K i 2 ( + ) Type 2 K p = lim G o () = 0 e = = 0 + K p b) Entrée rampe : K v = lim 0 G o () = e = K v = 0 (mieux qu avec un contrôleur P) 3. Stabilité a) Table de Routh : Le ytème et table i K prop > 0. K prop T () = 2 + + K prop 2 K prop 0 0 K prop 0 b) Table de Routh : K i T () = 3 + 2 + K i 3 0 2 K i K i 0 0 K i 0 Le ytème et intable pour toute le valeur de K i. Dan ce ca, l utiliation d un contrôleur I n a pa aidé. Gabriel Cormier 4 GELE533
7.3 Contrôleur proportionnel-intégral (PI) On peut réduire l intabilité relative du contrôleur intégral en combinant le deux, P et I. Dan ce ca, ( + G c () = K prop + K K prop i = ( ) + τi = K prop où τ i et la contante de temp intégrale. ) K i K prop La fonction de tranfert en boucle ouverte du ytème et : (7.5) (7.6) G o () = K ( ) prop + τi G() (7.7) Donc un zéro à τ i et un pôle à zéro ont été ajouté au ytème. Exemple 3 On utilie le même ytème que l exemple, contrôlé cette foi par un PI avec τ i = 2.. Quel et le type du ytème? 2. Quelle et l erreur tatique pour : (a) Entrée échelon? (b) Entrée rampe? 3. Comparer la tabilité avec celle de l exemple et 2.. Type du ytème : G o () = K ( ) prop + τi G() = K ( ) prop + τi 2 ( + ) Le ytème et de type 2. 2. Erreur tatique : = K prop( + 0.5) 2 ( + ) a) Entrée échelon : e = 0 pour un ytème de type 2 à une entrée échelon. b) Entrée rampe : e = 0 pour un ytème de type 2 à une entrée rampe. Gabriel Cormier 5 GELE533
3. Stabilité Table de Routh : T () = K prop ( + 0.5) 2 ( + ) + K prop ( + 0.5) = K prop ( + 0.5) 3 + 2 + K prop + 0.5K prop 3 K prop 2 0.5K prop 0.5K prop 0 0 0.5K prop 0 Le ytème et table i K prop > 0. L ajout de la compoante P au contrôleur I a rétabli la tabilité. 7.4 Contrôleur dérivateur (D) Pour un contrôleur dérivateur, on dérive le ignal à l entrée. Ceci veut dire que pour un changement abrupte du ignal à l entrée, le ignal de contrôle peut être trè élevé. La fonction de tranfert et : et en boucle fermée, T () = G c () = K d (7.8) K dg() + K d G() (7.9) On utilie généralement le contrôleur D avec d autre compoante (PD ou PID). De façon pratique, le contrôleur D peut préenter certain inconvénient, et on utilie plutôt un compenateur à avance de phae (Ch.9). 7.5 Contrôleur PID Dan un contrôleur proportionnel-intégral-dérivateur (PID), le troi élément de contrôle de bae ont préent. La fonction de tranfert et : ou G c () = K prop + K i + K d (7.0) ( G c () = K prop + ) τ i + τ d (7.) Gabriel Cormier 6 GELE533
où τ i = K prop K i (7.2) τ d = K d K prop (7.3) En boucle ouverte, G o () = G c ()G() (7.4) = K prop( + τ i + τ i τ d 2 ) G() (7.5) τ i Il y a donc deux zéro de plu et un pôle de plu au ytème. Le facteur augmente aui le type du ytème. Le tableau 7. réume l effet de chacun de type de contrôleur ur le caractéritique d un ytème. Le contrôleur P va réduire le temp de montée et réduire l erreur tatique, an pour autant l éliminer complètement. Un contrôleur I éliminera l erreur tatique, mai peut rendre la répone tranitoire pire. Le contrôleur D augmentera la tabilité d un ytème, réduira le dépaement et peut améliorer la répone tranitoire. Tableau 7. Réumé de propriété de contrôleur Contrôleur T r M p T Erreur tatique K prop Diminue Augmente Effet faible Diminue K i Diminue Augmente Augmente Élimine K d Effet faible Diminue Diminue Effet faible Il faut noter que ce réumé n et que général ; l effet de modifier la valeur d un contrôleur peut affecter l effet de deux autre. 7.6 Détermination de paramètre du PID Il n exite pa de méthode analytique pour déterminer le paramètre K prop, K d et K i. Quelque méthode exitent, notamment deux par Ziegler-Nichol, et une par Cohen- Coon. Gabriel Cormier 7 GELE533
7.6. Courbe de réaction : Ziegler-Nichol Cette méthode applique plutôt à de ytème ayant un délai dont le comportement reemble celui d un ytème de premier ordre. Ce type de répone et ouvent retrouvé dan le procédé chimique et thermique. Soit un ytème dont la répone et donnée à la figure 7.3. K Sortie Entrée Amplitude L τ Temp () Figure 7.3 Répone d un ytème : courbe de réaction On peut approximer la fonction de tranfert par la relation uivante : G() = Ke τ d τ + (7.6) Le terme e τ d repréente un délai (où τ d = L). On recherche la pente maximale R = K/τ. Par aprè, le valeur du tableau 7.2 ont utiliée dan le contrôleur voulu. 7.6.2 Méthode de Cohen-Coon La méthode de Cohen-Coon et une variation de la méthode de la courbe de réaction de Ziegler-Nichol. Comme la première méthode de Ziegler-Nichol, cette technique applique à de ytème dont la répone reemble à celle d un ytème de premier ordre. Le paramètre ont donné dan le tableau 7.3. Gabriel Cormier 8 GELE533
Tableau 7.2 Paramètre de deign, contrôleur P, PI et PID : Ziegler-Nichol P PI K prop K i K d RL 0.9 RL PID.2 RL 3 0RL 2 0.6 0.6 RL 2 R Tableau 7.3 Paramètre de deign, contrôleur P, PI et PID : Cohen-Coon P PI PID K prop τ i τ d ( + L ) RL 3τ ( 0.9 + L ) 30 + 3(L/τ) L RL 2τ 9 + 20(L/τ) RL ( 4 3 + L 4τ ) 32 + 6(L/τ) L 3 + 8(L/τ) 4 L + 2(L/τ) Remarque : Le paramètre ont pour un PID dont la fonction de tranfert et de la forme donnée à l équation 7.. 7.6.3 Méthode d ocillation : Ziegler-Nichol Pour cette méthode, on e ert de la tabilité critique. Soit le ytème de la figure 7.4. R() + C() K G() Figure 7.4 Sytème ou étude : Ziegler-Nichol On ajute le gain K à une valeur faible. On augmente enuite le gain K juqu à ce que le ytème oit marginalement table (limite de tabilité). On note le gain critique, K u. On doit aui meurer la période de ocillation, T u, comme à la figure 7.5. Gabriel Cormier 9 GELE533
Amplitude T u Temp () Figure 7.5 Répone d un ytème : Ziegler-Nichol Par aprè, on utilie le valeur du tableau 7.4 pour calculer le paramètre de contrôleur. Tableau 7.4 Paramètre de deign, contrôleur P, PI et PID : Ziegler-Nichol 2 P K prop K i K d 0.5K u PI 0.45K u 0.54K u T u PID 0.6K u.2k u T u 0.075K u T u Il faut noter que le paramètre donné dan le tableaux 7.2, 7.3 et 7.4 ne ont que de valeur nominale, et non pa optimale. Il peut être néceaire de varier ce paramètre quelque peu afin d obtenir une meilleur répone. De plu, d autre méthode peuvent donner de meilleur réultat, mai elle ont plu complexe. Exemple 4 Soit un ytème ayant la fonction de tranfert uivante : G o () = 3 ( + )( + 2)( + 3) Calculer la valeur de compoante pour réalier un contrôleur PID. Il faut trouver la valeur du gain critique K u et la période critique T u. Pour un ytème Gabriel Cormier 0 GELE533
imple comme celui-ci, il uffit d utilier la table de Routh pour obtenir le gain critique, pui imuler et meurer la période. La fonction de tranfert en boucle fermée et : La table de Routh et alor : T () = Pour que le ytème oit table, il faut que Le gain critique et donc K u = 20. 3K 3 + 6 2 + + (6 + 3K) 3 2 6 6 + 3K 66 (6 + 3K) 0 6 0 6 + 3K 0 a) 66 (6 + 3K) > 0 K < 20 b) 6 + 3K > 0 K > 2 Si on imule le ytème avec le gain critique, on obtient une période de T u.9. On peut aui calculer la fréquence d ocillation du ytème avec le gain critique. On utilie le polynôme 2 de la table de Routh, pui on iole ω c en remplaçant = jω c. 6 2 + 6 + 3K = 6 2 + 66 = 2 + On ubtitue = jω c, et la période et : (jω c ) 2 + = 0 ω c = T u = 2π ω c =.89 Le paramètre du PID ont : K prop = 2 K i = 2.7 K d = 2.84 Pour comparer la répone du ytème, on imule avec un contrôleur P, un contrôleur PI et un contrôleur PID, en utiliant le valeur appropriée du tableau 7.4. Le différente répone ont donnée à la figure 7.6. Gabriel Cormier GELE533
.6.4 PI PID Amplitude.2 0.8 0.6 0.4 0.2 P an compenation 0 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 20 22 24 Temp () Figure 7.6 Simulation de répone de compenateur 7.7 Circuit pratique Pour réalier phyiquement le contrôleur, on utilie de circuit à ampli-op. La figure 7.7 illutre un ampli-op en configuration d amplificateur avec feedback négatif. On utilie de réitance et de condenateur pour réalier le fonction voulue. Z 2 V i Z + V o Figure 7.7 Ampli-op comme amplificateur avec feedback négatif Pour réalier chacun de contrôleur, on a qu à utilier l impédance néceaire à Z et Z 2. Gabriel Cormier 2 GELE533
Gain Pour réalier un contrôleur P, il uffit que : La fonction de tranfert et : d où on obtient Il faudra ajouter un invereur pour obtenir un gain poitif. Z = R (7.7) Z 2 = R 2 (7.8) V o V i = R 2 R (7.9) K prop = R 2 R (7.20) Intégrateur Ici, Z = R (7.2) Z 2 = C (7.22) La fonction de tranfert et : d où on obtient V o V i = RC K i = RC (7.23) (7.24) Dérivateur Dan ce ca, Z = C (7.25) Z 2 = R (7.26) La fonction de tranfert et : d où on obtient V o V i = RC (7.27) K d = RC (7.28) Gabriel Cormier 3 GELE533
Contrôleur PI Il agit d une combinaion de contrôleur P et I, oit : Z = R (7.29) Z 2 = R 2 + C (7.30) La fonction de tranfert et : d où on obtient V o V i = R 2 R ( ) + R 2 C (7.3) K prop = R 2 R (7.32) τ i = R 2 C (7.33) Contrôleur PID On combine le troi contrôleur de bae : Z = R //C (7.34) Z 2 = R 2 + C 2 (7.35) La fonction de tranfert et : V o = V i + C ) R C 2 ( R2 + R 2 C + R C 2 (7.36) d où on obtient K prop = R 2 + C R C 2 (7.37) K i = R C 2 (7.38) K d = R 2 C (7.39) Note : Dan la réaliation pratique de contrôleur, on a une inconnue de plu que le nombre de paramètre connu. Par exemple, dan le ca du contrôleur PID, on a troi paramètre connu (K prop, K i et K d ), mai quatre inconnue (R, R 2, C et C 2 ). Il faudra donc choiir arbitrairement une valeur, pui calculer le autre. On choiit habituellement un condenateur en premier. Gabriel Cormier 4 GELE533