Division euclidienne Division décimale Activités supplémentaires Critères de divisibilité par 2 ou par 5 1 a. Écrire tous les multiples de 2 à partir de 2 10 jusqu à 2 20. b. Regarder le chiffre des unités. Que remarque-t-on? c. Conjecture : Recopier et compléter la phrase : «Si un nombre est un multiple de 2 (ou est divisible par 2), alors ---.» 2 a. Écrire tous les multiples de 5 à partir de 5 10 jusqu à 5 20. b. Regarder le chiffre des unités. Que remarque-t-on? c. Conjecture : Recopier et compléter la phrase : «Si un nombre est un multiple de 5 (ou est divisible par 5), alors ---.» 3 On considère les nombres suivants : 12 ; 18 ; 27 ; 30 ; 45 ; 53 ; 64 ; 75 ; 86. a. Vérifier que les nombres dont le chiffre des unités est 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8 sont des multiples de 2 en les écrivant sous la forme : 2. b. Vérifier que les nombres dont le chiffre des unités est 0 ou 5 sont des multiples de 5 en les écrivant sous la forme : 5. c. Recopier et compléter les égalités suivantes : 27 = 2 ; 27 = 5. Le nombre 27 est-il un multiple de 2? Un multiple de 5? Justifier les réponses. d. Recopier et compléter les conjectures suivantes : «Un nombre entier est un multiple de 2 (ou est divisible par 2) lorsque son chiffre des unités est égal à --- ou à --- ou à --- ou à --- ou à ---, et seulement dans ce cas.» «Un nombre entier est un multiple de 5 (ou est divisible par 5) lorsque son chiffre des unités est égal à --- ou à ---, et seulement dans ce cas.» Critères de divisibilité par 3 et par 9 1 Écrire les tables de multiplication par 3 et par 9. Expliquer pourquoi on ne peut pas savoir si un nombre est divisible par 3 ou par 9 en regardant son chiffre des unités. 2 Guillaume travaille dans un magasin de bricolage. Il doit répartir 123 clous dans trois boîtes. a. Pourra-t-il remplir ces trois boîtes avec le même nombre de clous? b. Effectuer la somme des chiffres du nombre 123. Obtient-on un multiple de 3? c. Reprendre les deux questions précédentes avec un lot de 156 clous, un lot de 182 clous et un lot de 233 clous. d. Comment Guillaume peut-il savoir s il est possible de remplir ses trois boîtes avec le même nombre de clous sans effectuer la division du nombre total de clous par 3? 3 On admet de même que les nombres divisibles par 9 sont les nombres dont la somme des chiffres est un multiple de 9. Guillaume pourra-t-il répartir équitablement 1 297 clous et 3 456 vis dans neuf boîtes? Prisme 6 e Éditions Belin 2009 Chapitre 4 Division euclidienne Division décimale 8
Choisir la bonne opération Dans chaque cas, indiquer l opération à effectuer, puis répondre à la question posée. 1 Un pain complet coûte 2,20. a. Combien coûtent quatre pains? b. Combien de pains peut-on acheter avec 8,80? c. Combien de pains peut-on acheter avec 14? Quel est le montant de la dépense? Quel sera le montant de la somme restante? 2 Les élèves de deux classes de 6 e vendent des tickets de tombola pour la fête de fin d année de leur collège. a. Les vingt-huit élèves de la classe de 6 e 1 ont vendu 336 billets. Combien de billets ont été vendus en moyenne par chaque élève de cette classe? b. Les vingt-cinq élèves de la classe de 6 e 2 ont vendu chacun 12 billets. Quel est le nombre de billets vendus par tous les élèves de cette classe? c. Quel est le nombre total de billets vendus par l ensemble des élèves des deux classes? 3 Maxime s amuse avec des petits bâtonnets de longueur 5 cm. a. Quelle est la longueur de la chaîne obtenue en mettant dix-huit bâtonnets bout à bout? b. Combien de bâtonnets doit-il mettre bout à bout pour obtenir une chaîne de 90 cm de longueur? c. Pourrait-il obtenir une chaîne mesurant exactement 2,75 m? Si oui, combien de bâtonnets seraient nécessaires? Effectuer une division posée Parmi les divisions euclidiennes ci-dessous certaines sont fausses. 1 Corriger les erreurs et indiquer dans chaque cas le quotient correct et le reste correspondant. 2 Vérifier alors l égalité : dividende = (diviseur quotient) + reste. 1 2 7 5 1 0 25 2 7 2 5 2 5 0 7 6 4 8 84 2 7 2 4 3 2 4 4 0 8 0 4 0 35 0 7 9 4 3 9 19 3 Prisme 6 e Éditions Belin 2009 Chapitre 4 Division euclidienne Division décimale 9
Comprendre la technique de la division posée On souhaite diviser 527,4 par 8. 1 Compléter l égalité : 527,4 = centaines + dizaines + unités + dixièmes + centièmes. 2 a. Compléter le texte suivant : «On commence par essayer de répartir les centaines : 5 est inférieur à 8, donc on ne peut pas répartir un nombre entier de centaines en huit parts égales. Le quotient sera donc inférieur à ---. Le nombre de dizaines de 527,4 est égal à : ---. On répartit les --- dizaines en huit parts égales. On peut attribuer au maximum --- dizaines à chaque part car 8 x --- < 52 < 8 x ---. On indique que le quotient comporte --- dizaines en écrivant --- 5 2 7, 4 8 dans la partie réservée au quotient. On a pu distribuer --- dizaines. Il reste donc --- dizaines.» b. Compléter la première étape de la division posée ci-contre. 3 a. Compléter le texte suivant : «Il reste --- dizaines à distribuer en huit parts égales, soit --- unités. On ajoute ces --- unités aux 7 unités du nombre 527,4. Il y a finalement --- unités à répartir. On dit qu on «abaisse» le 7. Chaque part peut ainsi recevoir au maximum --- unités car 8 x --- < --- < 8 x ---. On indique que le quotient comporte --- unités en écrivant --- à la suite du chiffre --- dans la partie réservée au quotient. On a pu distribuer --- unités. Il reste donc --- unités.» b. Compléter la deuxième étape de la division posée ci-contre. 4 a. Compléter le texte suivant : «Il faut donc distribuer ces --- unités en huit parts égales, soit --- dixièmes. On ajoute ces --- dixièmes aux 4 dixièmes du nombre 527,4. Il y a finalement --- dixièmes à répartir. On dit qu on «abaisse» le 4. Chaque part peut ainsi recevoir au maximum --- dixièmes car 8 x --- < --- < 8 x ---. On indique que le quotient comporte --- dixièmes en écrivant --- à la suite du chiffre --- dans la partie réservée au quotient (sans oublier la virgule pour bien indiquer que ce chiffre correspond au chiffre des dixièmes). On a pu distribuer --- dixièmes. Il reste donc --- dixièmes.» b. Compléter la troisième étape de la division posée ci-contre. 5 2 7, 4 8 4 8 6 4 7 5 2 7, 4 8 4 8 6 5, 4 7 4 0 7 4 5 a. Compléter le texte suivant : «Il faut donc distribuer ces --- dixièmes en huit parts égales, soit --- centièmes. On ajoute ces --- centièmes aux --- centièmes du nombre 527,4. Il n y a donc finalement que --- centièmes à répartir. On dit qu on «abaisse» le 0. Chaque part peut ainsi recevoir au maximum --- centièmes car 8 x --- < --- < 8 x ---. On indique que le quotient comporte --- centièmes en écrivant --- à la suite du chiffre --- dans la partie réservée au quotient. On a pu distribuer --- centièmes. Il reste donc --- centièmes.» b. Compléter la quatrième étape de la division posée ci-contre. On pourrait continuer ainsi en cherchant à distribuer les millièmes en huit parts égales, etc. 5 2 7, 4 0 8 4 8 6 5, 9 4 7 4 0 7 4 7 2 2 0 Prisme 6 e Éditions Belin 2009 Chapitre 4 Division euclidienne Division décimale 10
Exercices supplémentaires Division euclidienne 1 Vérifier que : 773 = (9 85) + 8. 1. Peut-on dire que 85 est le quotient de la division euclidienne de 773 par 9 et que 8 est le reste de 2. Peut-on dire que 9 est le quotient de la division euclidienne de 773 par 85 et que 8 est le reste de 3. Recopier et compléter la phrase : Le --- de la division euclidienne de --- par --- est égal à 9 et le --- de cette division est égal à ---. 2 Vérifier que : 123 = (3 37) + 12. 1. Peut-on dire que 3 est le quotient de la division euclidienne de 123 par 37 et que 12 est le reste de 2. Peut-on dire que 37 est le quotient de la division euclidienne de 123 par 3 et que 12 est le reste de 3. Recopier et compléter la phrase : Le quotient de la division euclidienne de --- par 3 est égal à --- et le reste de cette division est égal à ---. 3 Encadrer 79 par deux multiples consécutifs de 6. Donner alors le quotient de la division euclidienne de 79 par 6, puis calculer le reste de cette division. 4 Encadrer 235 par deux multiples consécutifs de 14. Donner alors le quotient de la division euclidienne de 235 par 14, puis calculer le reste de cette division. Multiples et diviseurs 5 Vérifier que : 665 = 35 19. Recopier et compléter les phrases suivantes : 665 est un multiple de --- et de ---. 35 est un diviseur de ---. 19 est --- de 665. 665 est --- par --- et par ---. Division décimale 6 1. On multiplie un nombre par 12 et on obtient 1,5. Quel est ce nombre? 2. On multiplie un nombre par 28 et on obtient 165,2. Quel est ce nombre? 3. On multiplie un nombre par 31 et on obtient 4,65. Quel est ce nombre? 4. Par quel nombre faut-il multiplier 14 pour obtenir 13,818? 7 Antoine a lu une nouvelle de 41 pages en 51,5 minutes. En combien de temps approximativement Antoine a-t-il lu chaque page de cette nouvelle? 8 1. Déterminer la moitié de chacun des nombres suivants. 29 ; 47 ; 24,2 ; 100,64. 2. Déterminer le tiers de chacun des nombres suivants. 57 ; 927 ; 36,09 ; 123,6. 3. Déterminer le quart de chacun des nombres suivants. 46 ; 84,08 ; 82,04 ; 52,52. Prisme 6 e Éditions Belin 2009 Chapitre 4 Division euclidienne Division décimale 11
9 1. a. Effectuer «à la main» la division de 23 par 11. b. Quelle est la douzième décimale du quotient (le douzième chiffre après la virgule)? La vingtième décimale? 2. a. Effectuer la division de 23 par 11 avec une calculatrice. b. Quelle est la dernière décimale affichée? Cela correspond-il au résultat obtenu en effectuant la division «à la main»? 3. À quoi correspond le résultat affiché par la calculatrice? 10 Pour chacune des questions ci-après, indiquer s il faut effectuer une division euclidienne ou une division décimale, puis répondre à la question posée. 1. On veut ranger 254 livres dans des caisses pouvant contenir 14 livres au maximum. Combien de caisses doit-on utiliser? 2. Combien de places de cinéma coûtant chacune 8 peut-on acheter avec 140? 3. Marie a acheté 3 kg de pommes et elle a payé 8,40. Quel est le prix d un kilogramme de pommes? 11 En cinq ans, le père de Cécile a parcouru en voiture 97 523 km. 1. Recopier et compléter l égalité suivante : nombre de kilomètres par an x --- = ---. 2. En déduire le nombre de kilomètres parcourus en moyenne par an en voiture par le père de Cécile. 12 1. Vérifier que 832 = 52 16, puis que 3 045 = 87 35. 2. Déduire des produits précédents le quotient et le reste de chacune des divisions euclidiennes suivantes. a. 841 par 52. b. 830 par 16. c. 3 040 par 87. d. 3 070 par 35. Vérifier maintenant les réponses données en effectuant les divisions. 13 1. Quel est le plus petit nombre de deux chiffres divisible : a. par 2? b. par 3? c. par 4? d. par 5? e. par 9? 2. Quel est le plus grand nombre de deux chiffres divisible : a. par 2? b. par 3? c. par 4? d. par 5? e. par 9? Reprendre les questions 1 et 2 avec des nombres de trois chiffres. 14 1. Les nombres suivants sont-ils divisibles par 3? a. 237. b. 125. c. 318. d. 837. e. 531. 2. Les nombres suivants sont-ils divisibles par 4? a. 844. b. 220. c. 154. d. 300. e. 196. 3. Les nombres suivants sont-ils divisibles par 9? a. 903. b. 189. c. 324. d. 219. e. 405. 15 Un nombre parfait est un nombre égal à la somme de tous ses diviseurs autres que lui-même. Par exemple : tous les diviseurs de 6 sont : 1, 2, 3 et 6. 6 = 1 + 2 + 3, donc 6 est un nombre parfait. 1. a. Déterminer tous les diviseurs de 28. b. Montrer que 28 est un nombre parfait. 2. a. Déterminer tous les diviseurs de 54. b. Montrer que 54 n est pas un nombre parfait. 16 Un homme a vécu 44 ans, 44 mois, 44 semaines et 44 jours jusqu à aujourd hui. Quel âge a-t-il? D après le concours Kangourou, 1998. Prisme 6 e Éditions Belin 2009 Chapitre 4 Division euclidienne Division décimale 12
17 Un chargement de 15 cagettes contenant chacune 12 avocats pèse 64,5 kg. Chaque cagette vide pèse 460 g. Combien pèse en moyenne un avocat? 18 Un livre est constitué de 216 pages de 32 lignes chacune. Combien y aurait-il de pages si chaque page contenait 24 lignes seulement? D après le concours Kangourou, 1993. 19 Un bassin de 1 500 L est rempli avec un robinet qui fournit 64 L en 6 minutes. Combien de temps durera le remplissage de ce bassin? 20 Le résultat de la division d un nombre a par un nombre b est égal à 6. 1. Indiquer le nouveau quotient obtenu dans chacun des cas suivants. a. On double le dividende. b. On double le diviseur. c. On prend la moitié du dividende. d. On prend la moitié du diviseur. 2. Vérifier les réponses données en prenant : a = 504 et b = 84. 21 Le résultat de la division d un nombre a par un nombre b est égal à 6. 1. Indiquer le nouveau quotient obtenu dans chacun des cas suivants. a. On triple le dividende. b. On triple le diviseur. c. On prend le tiers du dividende. d. On prend le tiers du diviseur. 2. Vérifier les réponses données en prenant : a = 504 et b = 84. Prisme 6 e Éditions Belin 2009 Chapitre 4 Division euclidienne Division décimale 13
Commentaires Activité, question 3. c : Le lien doit être fait entre : «un nombre est un multiple de 2 (resp. 5)» et «le chiffre des unités de ce nombre est 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8 (resp. 0 ou 5)» et «le nombre est égal au produit de 2 (resp. 5) par un nombre entier». Question 3. d : On peut faire remarquer que les critères de divisibilité par 2 et par 5 n utilisent que le chiffre des unités du nombre étudié. Activité : Objectif : Revenir sur le sens des quatre opérations à partir de situations concrètes. Activité : Objectif : Revoir la technique de la division posée à partir d opérations déjà effectuées. Activité : La technique de la division posée a déjà été vue au cycle 3, mais les élèves ne comprennent pas toujours le sens des différentes étapes et les expressions «en 52 combien de fois 8?» ou «on abaisse le 7» n ont, pour la plupart d entre eux, pas de réelle signification. Nous proposons cette activité sous la forme de phrases à compléter pour qu elle soit rapide à réaliser. On peut commencer par demander à un élève d effectuer au tableau la division, puis chercher avec l ensemble des élèves de la classe la signification des différentes étapes et enfin donner les phrases à compléter. Les divisions à compléter comportent les soustractions pour mieux comprendre les différentes étapes. Prisme 6 e Éditions Belin 2009 Chapitre 4 Division euclidienne Division décimale 14