Simulation de la croissance de grains Benoit Serre, Claire Maurice et Roland Fortunier Centre SMS UMR CNRS 5146 Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.1/26
Introduction Structure simulée représentative de la microstructure d un matériau granulaire ( joue le rôle de VER ) Structure 3D hors équilibre évolution vers des joints courbes Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.2/26
Introduction (bis) La taille des grains influence certaines propriétés macroscopiques des matériaux granulaires (exemple de la limite à la rupture). On souhaite contrôler cette évolution (ajout de particules «dures») pour obtenir des propriétés prédéterminées. Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.3/26
Introduction (bis) La taille des grains influence certaines propriétés macroscopiques des matériaux granulaires (exemple de la limite à la rupture). On souhaite contrôler cette évolution (ajout de particules «dures») pour obtenir des propriétés prédéterminées. Développer et d intégrer un modèle de croissance de grains dans un code éléments finis : ZeBuLoN. - Péréniser les résultats - Traiter des problèmes de grandes tailles - Enrichir le modèle de croissance cristalline Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.3/26
Plan 1. Base des modèles éléments finis (a) Dynamique du joint de grains (b) Modélisation éléments finis 2. Modélisation par vitesse normale 3. Modélisation avec 3 degrés de libertés Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.4/26
Plan 1. Base des modèles éléments finis 2. Modélisation par vitesse normale (a) Hypothèse simplificatrice (b) Quantités élémentaires (c) Etude d un cas test 3. Modélisation avec 3 degrés de libertés Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.4/26
Plan 1. Base des modèles éléments finis 2. Modélisation par vitesse normale 3. Modélisation avec 3 degrés de libertés (a) Les Hypothèses spécifiques (b) Réduction du problème par des relations linéaires (c) Quantités élémentaires (d) 2 cas tests étudiés Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.4/26
Partie 1 Base des modèles éléments finis Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.5/26
Dynamique du joint de grain 3 réseaux avec des orientations cristallographiques différentes : - excès d énergie - mouvement du joint avec une vitesse normale - freinage des atomes lors du réarrangement cristallographique traduit par une force de frottement 1111111000000000000000 111111111111111 1111111000000000000000 111111111111111 1111111000000000000000 111111111111111 1111111000000000000000 111111111111111 0000000 1111111 00000000 11111111 000000000000000 111111111111111 0000000 1111111 00000000 11111111 000000000000000 111111111111111 0000000 1111111 00000000 11111111 000000000000000 111111111111111 00000000 11111111 000000000000000 111111111111111 00000000 11111111 000000000000000 111111111111111 00000000 11111111 00000000 11111111 Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.6/26
Dynamique du joint de grain 3 réseaux avec des orientations cristallographiques différentes : - excès d énergie - mouvement du joint avec une vitesse normale - freinage des atomes lors du réarrangement cristallographique traduit par une force de frottement Equation du mouvement (Turnbull, 1951) : v n = mγκ κ : somme des courbures principales m : mobilité du joint γ : énergie libre surfacique 1111111000000000000000 111111111111111 1111111000000000000000 111111111111111 1111111000000000000000 111111111111111 1111111000000000000000 111111111111111 0000000 1111111 00000000 11111111 000000000000000 111111111111111 0000000 1111111 00000000 11111111 000000000000000 111111111111111 0000000 1111111 00000000 11111111 000000000000000 111111111111111 00000000 11111111 000000000000000 111111111111111 00000000 11111111 000000000000000 111111111111111 00000000 11111111 00000000 11111111 Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.6/26
Formulation variationnelle Modèle de Kawasaki (1989) Energie libre du joint : L = S γds Potentiel Dissipatif : D = S v 2 n 2m ds Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.7/26
Formulation variationnelle Modèle de Kawasaki (1989) Energie libre du joint : L = S γds Potentiel Dissipatif : D = S v 2 n 2m ds Formulation variationnelle de l équation de Lagrange pour un joint maillé avec n v noeuds : n v i=1 ( D + L ).δv i = 0 v i x i δv i C.A. Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.7/26
Approximations éléments finis Vitesse dans un élément composé de k noeuds : v e = k N i v i i=1 L et D comme sommes de quantités élémentaires : L = D = n elt e=1 L e = n elt D e = e=1 n elt e=1 γ e S e n elt Se (vn) e 2 2m e dse e=1 Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.8/26
Système matriciel Ecriture de notre formulation variationnelle sous forme d un système matriciel : [A]{V } = {F } Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.9/26
Système matriciel Ecriture de notre formulation variationnelle sous forme d un système matriciel : [A]{V } = {F } {F } vecteur force extérieure assemblé à partir des forces élémentaires : f e i = Le x i [A] matrice de viscosité assemblée à partir des dérivées élémentaires du potentiel de dissipation : [A e ]{V e } = De v i Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.9/26
Résolution du système Programme principal de ZeBuLoN Résolution directe de : [A]{V } = {F } Contrôle automatique du pas de temps Intégration explicite dans le temps t < t final Temps t Calcul des grandeurs géométriques Assemblage de [A(t)] et {F(t)} Résolution: [A(t)]{V } = {F(t)} Mise à jour de la géométrie t = t + t Retour au programme principal de ZeBuLoN Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.10/26
Partie 2 Modélisation par vitesse normale Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.11/26
Hypothèse simplificatrice Mouvement d un joint seul suivant sa normale : noeud un joint v i = v ni n i Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.12/26
Hypothèse simplificatrice Mouvement d un joint seul suivant sa normale : noeud un joint v i = v ni n i Nouvelle formulation variationnelle : n v i=1 ( D.n i + L ).n i δv ni = 0 v i x i δv ni C.A. Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.12/26
Quantités élémentaires Viscosité élémentaire : On pose v e n = { k N i v ni n i.n e i=0 Bi e=n in i.n e a e ij = S B e 1 e i m B e e j dse Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.13/26
Quantités élémentaires Viscosité élémentaire : D où D e v i.n i = k j=0 a e ijv nj Force normale élémentaire : f e n i = f e i.n i = γ e Se x i.n i Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.13/26
Quantités élémentaires Viscosité élémentaire : D où D e v i.n i = k j=0 a e ijv nj Force normale élémentaire : f e n i = γe 2 [(x i+ x i ) n e ].n i 1 ddl par noeud : sa vitesse normale ({V } contient l ensemble de ces vitesses) Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.13/26
Cas test : joint sphérique Equation particulière du mouvement dans le cas d un joint sphérique : t V (t) = mγ 2 R(t) équation différentielle du 1 er ordre R(t) R(t+dt) V(t) Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.14/26
Cas test : joint sphérique Equation particulière du mouvement dans le cas d un joint sphérique : t V (t) = mγ 2 R(t) équation différentielle du 1 er ordre Evolution de la surface dans le temps : R(t) R(t+dt) V(t) t S(t) = 4πR 2 (t) = 4π(R 2 0 4mγt) Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.14/26
Cas test : joint sphérique Equation particulière du mouvement dans le cas d un joint sphérique : t V (t) = mγ 2 R(t) équation différentielle du 1 er ordre Evolution de la surface dans le temps : R(t) R(t+dt) V(t) t S(t) = 4πR 2 (t) = 4π(R 2 0 4mγt) Maillage d un 8 ième de sphère composé de 64 éléments triangulaires linéaires Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.14/26
Résultats Décroissance uniforme de la sphère z z z z x y x y x y x y Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.15/26
ËÙÖ Ñ ¾ µ Résultats Décroissance uniforme de la sphère Evolution de la surface de la sphère ¼ Ò ÐÝØ ÕÙ ÙÖ Ð Ñ ÒØ Ò ÙÖ ¾ ¾¼ ½ ½¼ ¼ ¼ ¼¼¼ ½¼¼¼¼ ½ ¼¼¼ ¾¼¼¼¼ Ì ÑÔ µ Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.15/26
Partie 3 Modélisation avec 3 degrés de libertés Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.16/26
Les Hypothèses spécifiques Le modèle précédent valable pour les joints isolés : v i = v ni n i Cas d un noeud appartenant à une ligne triple : v i.t i = 0 Cas d un noeud qui est un point quadruple : v i est quelconque ligne triple Joint 3 Joint 2 Joint 1 Joint 6 Joint 5 point quadruple Joint 4 Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.17/26
Réduction du problème Les hypothèses précédentes sont gérées par des relations linéaires (RL) Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.18/26
Réduction du problème Les hypothèses précédentes sont gérées par des relations linéaires (RL) Cas du noeud appartenant à un joint isolé : Soit k tq v = v n n n k = max l [x,y,z] n l 2 relations linéaires : j k v j = n j n k v k Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.18/26
Réduction du problème Les hypothèses précédentes sont gérées par des relations linéaires (RL) Cas du noeud appartenant à une ligne triple : Soit k tq v.t = 0 t k = max l [x,y,z] t l 1 relation linéaire : v k = j k t j t k v j Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.18/26
Réduction du problème Les hypothèses précédentes sont gérées par des relations linéaires (RL) Pour résumer : type de noeuds nbre DDL nbre RL isolé 1 2 ligne triple 2 1 point quadruple 3 0 Gestion automatique de ces relations linéaires Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.18/26
Conditions périodiques La continuité des déplacements impose des conditions de périodicité sur le VER A B V A = V B Algorithme automatique de détection des noeuds périodiques - détection des joints périodiques (surface, nombre d éléments) - détection des éléments périodiques (surface, normale) - détection des noeuds périodiques (comparaison avec les barycentres) Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.19/26
Quantités élémentaires Viscosité élémentaire : { B e i On pose =N in e a e ij = 1 S e m B e e i Be j dse D où Force élémentaire : D e v i = k j=0 a e ijv j f e i = γe 2 [(x i+ x i ) n e ] Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.20/26
Nouvel algorithme Programme principal de ZeBuLoN Temps t Calcul des grandeurs géométriques Assemblage de [A(t)] et {F(t)} t < t final Résolution [A(t)]{ U} = t.{f(t)} Mise à jour de la géométrie Calcul du pas de temps t t = t + t Retour au programme principal de ZeBuLoN Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.21/26
Cas tests Dans le cas d un joints sphérique, on obtient des résultats identiques Nouveau cas test : ligne triple y y z x z x maillage initial résultat simulation Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.22/26
Cas tests Dans le cas d un joints sphérique, on obtient des résultats identiques Nouveau cas test : ligne triple Une autre ligne triple y z x Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.22/26
Autres exemples Exemple de calcul avec des conditions périodiques y z x Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.23/26
Ò Ö Ð Ö Autres exemples Exemple de calcul avec des conditions périodiques ÚÓÐÙØ ÓÒ Ð³ Ò Ö Ð Ö ¾ Ð Ò ØÖ ÔÐ Ô Ö Ó ÕÙ º Ò Ö Ð Ö ØÓØ Ð Ù Ý Ø Ñ º º º º º º¾ º½ ¼ ¾¼¼¼ ¼¼¼ ¼¼¼ ¼¼¼ ½¼¼¼¼ ½¾¼¼¼ Ì ÑÔ µ Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.23/26
Autres exemples (2) Calcul sur une structure plus réelle Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.24/26
Conclusions et perspectives Développement d un modèle de croissance de grains capable de gérer la connectivité des noeuds et les conditions périodiques Ce modèle a été vérifié dans le cas de géométries simples. Pour passer à des structures réelles : - Amélioration du temps de calcul, parallélisation - Prévoir les transformations topologiques - Enrichir la physique du problème : particules de seconde phase, énergie volumique, mobilité tensorielle, etc... Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.25/26
Exemple de fichier INP ÄÄ Ä Å ÆÌ º ¹¼¾ ÜÔÐ Ø Ö Ò ÖÓÛØ ÐÙÐ ÓÒ Ø Ø Ð Ö Ò ÖÓÛØ Ñ Ð Ò Ñ ÓÒ Ø ¾¼º Ó Ð Ø ÄÄ Ä Å ÆÌ ÔÖ ÙÖ Ø Ñ ¹½º ¼º ½º ½¼ Ú ÐÙ ¼º ½º ½º Ø ÓÒ ÙÒ ÓÖÑ ½ ½ ½º Ñ Ø Ö Ð ÓÙØÔÙØ ¾¼º ÒÔ Ö ÕÙ ÒÝ Ð Ö ÓÐÙØ ÓÒ ÒÖ Ñ ÒØ ÙØÓÑ Ø Ø Ñ Ö Ò Ò Ü ÓÙØÔÙØ ½º¾ ÙÖÚ Ö ºÓÙØ ÙÖ ØÝ ÐÓ Ð Ö Ò Ö Ý Ñ Ü Ø Ñ ¼¼¼º Ö Ø Ø Ñ ½¼º ÐØ Ú Ö ÙÖ Ø Ö ØÙÖÒ ¼º ½¼¼ Ñ Ò ÒÖ ÕÙ Ò ½ Ú ÓÖ Ö Ò ÖÓÛØ ÑÓ Ð Ó Ø Ñ ½¼¼¼¼¼º ÑÓ Ð ØÝ ½º¼ ¹ Ö Ú Ò ÐÓ Ö ØÙÖÒ Simulation croissance de grains, Club_Zebulon Dec05 p.26/26