1 MP*1-2016/2017 DS1 D après Mines MP-1997 Etude de quelques problèmes relatifs à la navigation, l aéronautique et l espace. La navigation consiste à conduire un mobile d un point à un autre, en sachant définir à tout instant la position de ce dernier par rapport à des références fixes. Au cours des millénaires, l art historique de la navigation, constitué de procédés, de pratiques et de théories s est enrichi des moyens, des phénomènes et des instruments amenés, révélés ou produits par les avancées scientifiques. 0. (Ne pas consacrer à cette question plus de trois minutes, environ) Indiquer, éventuellement dater approximativement, quelques moyens ou quelques outils de repérage de navigation de votre connaissance. PARTIE A - NAVETTE SPATIALE ; MISE SUR ORBITE D UN SATELLITE Le repérage de la position d un mobile (navire ou aéronef en vol) relativement à des repères fixes utilise et utilisera de façon croissante des satellites de radiopositionnement, comme ceux du système GPS (Global Positioning System) élaboré par la NASA. Cette partie étudie quelques aspects de la mécanique des lancements de ces satellites, depuis le véhicule que constitue la navette spatiale. Le lancer d un satellite depuis cette navette se fait en trois étapes successives : la navette est d abord mise en orbite circulaire, au moyen de fusées auxiliaires ; à partir de cette orbite circulaire, la navette éjecte le satellite qui gagne progressivement une altitude plus élevée ; enfin, une fois parvenu à son altitude définitive, le satellite s y stabilise au moyen d un dispositif de freinage. Dans l ensemble de cette partie, la Terre est assimilée à un astre à symétrie sphérique, de rayon R, de centre C fixe à l origine O des coordonnées d un référentiel galiléen (R g ). On appelle g o l accélération de la gravitation au niveau du sol, et T la période de révolution propre de la Terre autour de l axe des pôles. La navette spatiale et le satellite qu elle emporte sont assimilés à deux points matériels notés respectivement A et P. Pour les applications numériques, on prendra R = 6 400 km, g o = 9,80 m. s 2 et T = 86 164 s. A.I - LANCEMENT DE LA NAVETTE SPATIALE La navette spatiale et son satellite sont solidaires. Avec l équipage et la charge utile, l ensemble est assimilé à un point matériel unique de masse M. Le tout est en orbite circulaire d altitude h et de rayon r = CP = R + h. Cet ensemble subit une force attractive de la part de la Terre : F = GMM T CP. CP 3
2 1. Déterminer, dans (R g ) et en fonction des constantes M, R et g o, la vitesse v(r), la vitesse angulaire ω o (r). 2. Déterminer l énergie potentielle du système E p (r) et en déduire l énergie mécanique E(r) de l ensemble en fonction des constantes M, R et g o et de r. 3. Application numérique : déterminer l altitude H qu il faut atteindre pour obtenir la période de rotation de 12 heures, qui est celle des satellites du système GPS. Avant le lancement, la fusée était placée sur un pas de tir situé à la latitude (la latitude d un point P de la surface de la Terre est l angle formé par le segment CP avec sa projection sur le plan équatorial). Pas de tir, P P Pôle Nord Équateur 4. Déterminer, dans le référentiel géocentrique, la variation d énergie mécanique de la fusée, de masse M, entre le lancement (avant la mise en route des fusées) et Pôle Sud l arrivée sur orbite circulaire, en fonction de r, R, M, g 0, et T dans le référentiel (R g ). On explicitera d abord l énergie cinétique, l énergie potentielle et l énergie mécanique de la fusée avant le lancement en fonction de r, R, M, g 0, et T. 5. Commenter le choix de permettant, avec des moteurs donnés, la mise en orbite la plus favorable possible. 6. Application numérique : l orbite à atteindre est située à l altitude de 300 km. Calculer l économie d énergie réalisée par unité de masse du système lancé, lors du passage du pas de tir d Edwards (Californie, 1 = 34 50 N) à celui de Cape Canaveral (Floride, 2 = 28 30 N) ; à titre documentaire, un gramme d essence fournit, typiquement, 40 kj dans un moteur à explosion. Calculer aussi la vitesse sur orbite v(r) C A.II - LE SATELLITE DANS LA SOUTE DE LA NAVETTE ; LANCEMENT La navette spatiale ayant atteint l orbite décrite en A.I (circulaire de rayon r o, parcourue à la vitesse uniforme v(r o )), de période de rotation T o = 12 heures, le satellite qu elle contient dans la soute est alors libéré de ses fixations afin de le préparer au lancement. Le satellite est alors dit en impesanteur dans la soute et l on souhaite préciser cette notion. L ensemble de l étude est réalisé dans le référentiel (R N ), lié à la navette, en rotation uniforme autour de la Terre par rapport à (R g ). On appelle A le centre de ce référentiel, confondu alors avec le centre de masse de la navette spatiale. Ce référentiel a pour axes fixes les axes liés à la base orthonormée (A, e r, e θ, e z ) où e r est radial et e θ colinéaire à la trajectoire circulaire de la navette. Enfin, le satellite sera assimilé à un point matériel P de masse m repéré par : AP = x e r + y e θ + z e z 7. Quelles sont les forces qui s exercent, dans (R N ), sur le point matériel P? On donnera leurs expressions vectorielles respectives en fonction de m, g o, r o, e z,, CP HP, R, et de la vitesse v de P relative au référentiel (R N ), H étant le projeté de P sur l axe Cz. e P C A e r
3 8. Montrer que ces forces, soit ne travaillent pas dans (R N ), soit dérivent d une énergie potentielle E p dont on donnera l expression en fonction de g o, R, r o,m, CP = CP et HP = HP seulement. 9. Montrer que l énergie potentielle, au voisinage du point A, peut s exprimer sous la forme E p (x, y, z) = K + (C x x 2 + C y y 2 + C z z 2 ). Exprimer K, C x,, C y et C z en fonction de m et de g o, R, r o, puis en fonction de m, r o et ω o la pulsation de la navette spatiale. On donne : (1 + u) n ~1 + nu + n(n 1) u2 si u << 1 2 10. Établir les équations du mouvement de P dans (R N ), la force dérivant de l énergie potentielle précédente étant F (x, z) = mω o 2 (3xe x ze z ). Que peut-on dire de la stabilité de la (ou des) position(s) d équilibre du satellite? Discuter le concept d impesanteur au sein d un véhicule et les conditions de son observation. 11. L orbite de la navette a maintenant une période de T = 2 heures dans sa rotation autour de la Terre, un astronaute, assimilé à un point matériel N de masse m a, situé initialement en A, quitte la navette avec les vitesses initiales suivantes : 1 a) On suppose que : v ox v oy 0 et voz vo 15m. s. Quelle est la trajectoire de N? Quelle est la distance maximale L 1 de l astronaute à la navette au cours de son mouvement? Retournera-t-il à la navette? Si oui en combien de temps? 1 b) On suppose que : v v 0 et v v 15m. s. Mêmes questions qu au a). oz oy c) On suppose que : v v 0 et v oz ox ox v o 15m. s Dans quelle direction préfériez-vous quitter le vaisseau? oy o 1. Mêmes questions qu au a). Problème 2 : Principe d un gyromètre vibrant Même s il ne s agit pas des gyromètres les plus performants, les gyromètres vibrants ont l avantage majeur de pouvoir être miniaturisés et fabriqués à faible coût. Ils trouvent ainsi leurs applications dans des domaines variés : stabilisation de caméscopes, navigation automobile.. Ce problème propose de comprendre le principe général de ce type de gyromètres en s appuyant sur l exemple du micro-gyromètre VIG développé par l ONERA (Office National d Etudes et de Recherches Aérospatiales). La structure du gyromètre VIG est analogue à celle d un diapason. Afin de simplifier les calculs, on remplace cette structure par un système masse-ressorts. On considère ainsi une masse ponctuelle m localisée au point M accrochée à deux ressorts R 1 et R 2 de constantes de raideur respectives k 1 et k 2 et de longueur à vide l 1 et l 2. La masse est astreinte à se déplacer uniquement dans le plan horizontal Oxy, perpendiculaire au champ de pesanteur, l origine O
4 étant la position de la masse à l équilibre. Hors équilibre, la masse est repérée à la date t par ses coordonnées x(t) et y(t) telles que x et y soient très petits devant l 1 et l 2. Dans tout le problème on mettra à profit ces inégalités afin de linéariser les équations. On suppose dans un premier temps que le référentiel de repère Oxyz est galiléen et l on néglige dans la première question tout frottement. 1- Etablir le système d équations différentielles vérifiées par x(t) et y(t). Préciser les deux pulsations caractéristiques du système, notées ω x et ω y en précisant le mouvement de la masse (appelé «mode») pour chaque pulsation. On prend en compte les frottements dans la suite du problème : la masse, de vitesse v, subit une force de frottement de la forme f = βv. Par ailleurs, on excite le système en déplaçant le point d attache P du ressort R 1 de manière sinusoïdale selon Ox. L abscisse de P sur Ox est de la forme x p (t) = Acos(ωt) l 1 avec A << l 1. 2- Déterminer le nouveau système d équations différentielles. On introduire les pulsations ω x et ω y trouvées dans la question 1. 3- Montrer que les solutions du système précédent s expriment comme la somme d une solution transitoire tendant vers zéro et d une solution particulière appelée solution du régime sinusoïdal forcé. Par la suite on ne considérera que cette solution. Déterminer l expression de x(t) et y(t) qu on mettra sous la forme x(t) = Xcos(ωt + φ x ) et y(t) = Ycos(ωt + φ y ). Il pourra être judicieux pour trouver ces expressions d introduire la fonction complexe x(t) = Xexp(j(ωt + φ x )) avec x(t) = R(x(t) et d écrire l équation différentielle complexe vérifiée par x(t). Donner les expressions de X, tan(φ x ), Y, tan (φ y ) en fonction de A, β, m, ω x et ω. Les deux modes sont-ils excités par le déplacement du point P? 4- On définit le facteur de qualité par Q = mω x. On note r le rapport de l amplitude β des oscillations de M sur celles de P et φ le déphasage entre les oscillations de M et de P. Les graphes ci-dessous représentent log(r) et φ en fonction de la fréquence f d excitation pour le micro-gyromètre VIG. A partir de l étude des graphes, déterminer les valeurs numériques de la fréquence de résonance et du facteur de qualité du mode excité.
5 5- A quelle fréquence est-il préférable d exciter le système afin d obtenir une amplitude de la masse la plus élevée possible? On se placera dans cette situation dans toute la suite du problème. Le plan xoy est maintenant en rotation autour de l axe Oz par rapport au référentiel terrestre supposé galiléen avec une vitesse angulaire algébrique Ω supposée constante. Le point P effectue toujours un mouvement sinusoïdal selon Ox comme précédemment. 6- En supposant que Ω ω x et ω y, établir le nouveau système d équations différentielles vérifiées par x(t) et y(t) en fonction de m, β, ω x, ω y, Ω et A. Dans la littérature, on trouve parfois la description suivante : le gyromètre vibrant permet d accéder à la valeur de la vitesse angulaire par la mesure de l amplitude du mode «détecteur» en excitant de manière contrôlée le mode «pilote». 7- Expliquer cette phrase de manière qualitative à la lumière du système d équations différentielles précédent en indiquant qui joue ici le rôle du mode pilote et qui joue le rôle du mode détecteur. On suppose le terme 2mΩy négligeable et l on se place en régime sinusoïdal forcé. On note g le rapport de l amplitude de la composante selon Oy de M sur celle de la composante selon Ox. 8- Donner l expression de g. 9- Dans le cas du micro-gyromètre VIG, la différence entre les deux modes propres vaut 0,5 khz. En déduire l expression approchée de g : g~. ω x ω y Les calculs précédents ont été menés dans l hypothèse d une vitesse angulaire Ω constante. Un calcul non précisé ici, montre que la valeur de g obtenue précédemment chute si Ω varie trop rapidement Plus précisément, si la vitesse angulaire Ω varie de façon sinusoïdale, la bande passante à 3dB du gain g, notée BP, vérifie l inégalité : BP 1 4π ω x ω y 10- Expliquer qualitativement pourquoi la différence de fréquences entre les deux modes (0,5 khz dans le cas du VIG) est issue d un compromis entre deux impératifs que l on précisera. 11- Vérifier a postériori la légitimité de l élimination de certains termes dans le système d équations différentielles en x(t) et y(t) pour Ω = 1000 /s Ω
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