Toutes 3 èmes Samedi 13 mai 2017 Brevet blanc de mathématiques n 2 Durée de l épreuve : 2 h Calculatrice autorisée Consignes de présentation : - Souligner les résultats à la règle, soigner l orthographe, la rédaction, les notations. - Pour les 3 èmes 1 à 9, attacher toutes les copies ensemble dans l ordre, ainsi que le sujet à la fin de la dernière copie. - Pour les 3 ème 10 à 13, garder le sujet pour la correction. Les exercices sont indépendants. Toutes les étapes de calculs doivent apparaître sur la copie. Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. Le sujet comporte 4 pages et une annexe. Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5 Exercice 6 Exercice 7 Exercice 8 Maîtrise de la langue, respect des consignes 4 points 5 points 5 points 6 points 6 points 7 points 9 points 3 points 5 points Page 1/4
Exercice 1 Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Sur la copie, recopier le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la seule réponse qui vous semble correcte. Aucune justification n est demandée. Barème : réponse exacte : + 1 point ; absence de réponse : 0 point ; mauvaise réponse : 0,5 point (dans le doute, mieux vaut donc s abstenir!) 1) Le nombre Question Réponse a Réponse b Réponse c ² ² est un nombre rationnel et décimal 2) Les solutions de l inéquation 3 x + 5 > 9 sont les nombres x tels que 3) Soit : (3 + 7)² Par la fonction, combien d antécédent(s) le nombre 25 possède-t-il? 4) On tire au hasard un jeton dans un sac contenant 8 jetons indiscernables au toucher : 3 1 13 27 19 9 18 36 Soient M «tirer un multiple de 9.» et N «tirer un nombre premier.» Exercice 2 Voici un programme de calcul : rationnel mais non décimal x < x = x > Aucun antécédent Un seul antécédent irrationnel Deux antécédents p(m) < p(n) p(m) = p(n) p(m) > p(n) Choisir un nombre entier positif Ajouter 1 Calculer le carré du résultat obtenu Retrancher le carré du nombre du départ 1) Quel résultat obtient-on si l on choisit 8 comme nombre de départ? 2) Voici deux affirmations : Affirmation n 1 : «Le chiffre des unités du résultat du programme de calcul est 7.» Affirmation n 2 : «Le résultat du programme de calcul peut s obtenir en ajoutant le nombre entier de départ et le nombre entier qui le suit.» a. Ces deux affirmations sont-elles vraies si on choisit le nombre 8? b. Pour chacune des deux affirmations, expliquer si elle est vraie ou fausse quel que soit le nombre choisi au départ. Exercice 3 Sur un télésiège de la station de ski, on peut lire les informations suivantes : 1) Une journée de vacances d hiver, ce télésiège fonctionne avec un débit maximum pendant toute sa durée d ouverture. Combien de skieurs peuvent prendre ce télésiège durant cette journée? 2) Calculer la durée du trajet d un skieur qui prend ce télésiège. Donner le résultat en minutes et secondes. 3) Calculer l angle formé par le câble du télésiège avec l horizontale. Arrondir le résultat au degré. Page 2/4
Exercice 4 L inspecteur G. est en mission dans l Himalaya. Un hélicoptère est chargé de le transporter en haut d une montagne puis de l amener vers son quartier général. Le trajet ABCDEF modélise le plan de vol, il est constitué de déplacements rectilignes. On a, de plus, les informations suivantes : AF = BG = 12,5 km ; AC = 7,5 km ; DG = 7 km AB = CH = FG = 6 km ; CF = 10 km ; EF = 750 m ; BC = AH ; CG = HF ; (DE) // (CF) ; ABCH et ABGF sont des rectangles. B, C, D et G sont alignés ; G, E et F sont alignés et A, H et F sont alignés. 1) Vérifier que la longueur du parcours est de 21 km. 2) Le pilote doit-il avoir confiance en l inspecteur G? Justifier votre réponse. Exercice 5 Paul, en visite à Paris, admire la Pyramide, réalisée en verre feuilleté au centre de la cour intérieure du Louvre. Cette Pyramide régulière a pour base un carré de côté 35 m et a une hauteur de 21 m. Paul a tellement apprécié cette Pyramide qu il achète, comme souvenir de sa visite, une lampe à huile dont le réservoir en verre est une réduction à l échelle de la vraie pyramide. Le mode d emploi de la lampe précise que, une fois allumée, elle brûle 4 cm 3 d huile par heure. Au bout de combien de temps ne restera-t-il plus d huile dans le réservoir? Donner cette durée en heures minutes. Toute trace de recherche, même incomplète ou non aboutie sera prise en compte dans la notation. Exercice 6 Dans deux classes de 3 ème, on a relevé le nombre d enfants par famille. Le tableau en annexe donne les réponses à cette enquête. 1) Calculer la différence entre les nombres contenus dans les cellules G1 et B1. A quel terme statistique correspond cette valeur? 2) a. Déterminer le nombre médian d enfants par famille. b. Interpréter concrètement le résultat. 3) Déterminer le pourcentage de familles ayant au moins 4 enfants. Arrondir à 1 %. Page 3/4
Exercice 7 Le sang humain est classé en 4 groupes distincts : A, B, AB et O. Indépendamment du groupe, le sang peut posséder le facteur Rhésus. Si le sang d un individu possède ce facteur, il est dit de Rhésus positif (Rh+), sinon il est dit de Rhésus négatif (Rh-). Sur une population, les groupes sanguins se répartissent ainsi : A B AB O 40 % 10 % 5 % 45 % Pour chaque groupe, la population d individus possédant ou non le facteur Rhésus, pour chaque groupe sanguin, se répartit comme suit : Groupe A B AB O Rh + 85 % 81 % 84 % 80 % Rh - 15 % 19 % 16 % 20 % On s intéresse à une population de 1 000 personnes. 1) Quelle est la probabilité pour qu un individu pris au hasard ait un sang de groupe O? 2) Un individu ayant un sang de groupe O et Rhésus négatif est appelé donneur universel. Démontrer que la probabilité pour qu un individu pris au hasard soit donneur universel est de 0,09. 3) Compléter le tableau donné en annexe avec la répartition tenant compte des groupes et Rhésus. 4) Quelle est la probabilité pour qu un individu pris au hasard ait un Rhésus négatif? 5) Quelle est la probabilité pour qu un individu pris au hasard soit receveur universel, c est-à-dire ait un Rhésus de sang positif et soit de groupe AB? 6) Quelle est la probabilité pour qu un individu pris au hasard parmi les individus de Rhésus négatif, soit du groupe AB? Exercice 8 1) Une nouvelle boutique a ouvert à Paris. Elle vend exclusivement des macarons (petites pâtisseries). L extrait de tableur ci-dessous indique le nombre macarons vendus sur une semaine. Quelle formule saisie en cellule I2 donnerait le nombre moyen de macarons vendus cette semaine? 2) On donne le script de construction ci-contre sur le logiciel Scratch et la capture d écran d un extrait de la partie Commandes : Dans le repère donné en annexe, tracer le motif ainsi obtenu. Page 4/4
Nom Prénom :............................................. Tableau de l exercice 6 Annexe (à scotcher avec la copie) Tableau de l exercice 7 Groupe A B AB O Total Rh+ Rh- Total 1 000 Motif de l exercice 8
Correction du Brevet Blanc de Mathématiques n 2 Exercice 1 (4 points) 1) B = = = c estun rationnel maisnon décimal 2) A 3 + 5 > 9 donc 3 > 9 5 d où 3 > 4 et < 3) C on cherche x tel que f (x) = 25 ou encore (3x + 7)² = 5² 3x + 7 = 5 ou 3x + 7 = 5 (3x + 7)² 5² = 0 3x = 2 ou 3x = 12 (3x + 7 + 5) (3x + 7 5) = 0 x = ou x = 4 (3x + 12) (3x + 2) = 0 3x + 12 = 0 ou 3x + 2 = 0 Les antécédents de 25 par f sont et 4. 4) C Les multiples de 9 sont 27 ; 9 ; 18 et 36 donc p(m )= = Les nombres premiers sont 3 ; 13 ; 19 donc p(n)= d où p(m )> p(n) Exercice 2 (5 points) 1) Je choisis 8 8 + 1 = 9 9 2 = 81 81 8 2 = 81 64 = 17 (8 + 1) 2 8 2 = 9 2 64 = 81 64 = 17 Si je choisis 8, j obtiens 17. 2) a. Si je choisis 8, j obtiens 17 ; 17 se termine par 7 et 8 + 9 = 17 donc les deux affirmations sont vérifiées si le nombre de départ est 8. b. Si le nombre de départ est 0 alors le programme donne 1 qui ne termine pas par 7 Donc l affirmation 1 est fausse. Soit P le résultat du programme de calcul si on choisit un entier positif x au départ = ( + 1) = + 2 + 1 = 2 + 1 La somme du nombre de départ et de l entier qui suit est + + 1 = 2 + 1 Donc l affirmation 2 est vraie quel que soit le nombre choisi au départ. Exercice 3 (5 points) 1) 16 9 = 7 h Le télésiège fonctionne 7 h. 7 x 3 000 = 21 000 donc 21 000 skieurs peuvent rendre le télésiège en une journée. ) vitesse= distance distance donc temps= temps vitesse = 1452 = 264 s= 240 + 24 s= 4 min24 s 5,5 Le skieur met 4 min 24 s pour faire la montée.
3) Soit A le pied du télésiège, C le haut du télésiège et B le point tel que ABC soit rectangle en B. BC = 2 261 1 839 = 422 m Dans ABC rectangle en B sincab = CB AC = 422 1452 = 211 726 D où CAB 17 L angle formé par le câble avec l horizontale est de 17 environ. Exercice 4 (6 points) AF = BG = 12,5 km ; AC = 7,5 km ; DG = 7 km AB = CH = FG = 6 km ; CF = 10 km ; EF = 750 m ; BC = AH ; CG = HF ; (DE) // (CF) 1) Le triangle ABC est rectangle en B car ABCH est un rectangle d après le théorème de Pythagore, on a AC² = AB² + BC² d où BC = AC AB = 7,5 6 = 20,25 or une longueur est toujours positive donc = 20,25 =, C [BG] donc CG = BG BC = 12,5 4,5 = 8 km D [CG] donc CD = CG DG = 8 7 = 1 km (CD) et (EF) sont sécantes en G et (DE) // (CF) D après le théorème de Thalès, on a = = en particulier = d où = = =, Parcours = AB + BC + CD + DE + EF = 6 + 4,5 + 1 + 8,75 + 0,75 = 21 Km OU E [FG] donc GE = GF EF = 6 0,75 = 5,25 km Le triangle DEG est rectangle en G car CGFH est un rectangle, D [CG] et E [FG] d après le théorème de Pythagore, on a DE² = DG² + GE² DE = 7 + 5,25 = 76,5625 or une longueur est toujours positive donc = 76,5625 =, B, C, D et G sont alignés dans cet ordre donc BD = BG DG = 12,5 7 = 5,5 km Parcours = AB + BD + DE + EF = 6 + 5,5 + 8,75 + 0,75 = 21 Km Le trajet a bien une longueur de 21 km
2) La consommation est de 1,1 L par km Or = donc ( )= Volume de carburant nécessaire = 1,1 x 21 = 23,1 L Le pilote ne doit pas faire confiance à l inspecteur, qui pense que 20 L suffisent. Exercice 5 (6 points) La pyramide du Louvre est de hauteur 21 m et sa base est un carré de 35 m de côté Or Volume de lapyramide= etaired un carré= côté² Donc V pyramide = ² = ² = 35² 7 = La lampe est une réduction de la pyramide de rapport = Or, dans une réduction de rapport k, les volumes sont multipliés par k 3 Donc Volume de lalampe= k Volume de lapyramide Volume de lalampe= 8575 =, Donc = 6,86 10 10 cm = 6,86 10 cm =, La lampe brûle 4 cm 3 d huile par heure, = 17,15 h = 17h + 0,15 60 min = 17h 09 min. La lampe s éteint au bout de 17h09 min. Exercice 6 (7 points) 1) G1 B1 = 6 1 = 5 L étendue de cette série est 5. 2) a. effectif total : 2 = 60 : 2 = 30 La médiane est la moyenne des 30 ème et 31 ème données de la série ordonnée donc Me = = 2 Le nombre médian d enfants par famille est 2. b. Au moins 50% des familles ont 2 enfants ou moins et au moins 50% des familles ont 2 enfants ou plus. 3) 100 = 100 27 Environ 27 % des familles ont au moins 4 enfants.
Exercice 7 (9 points) 1) La probabilité pour qu un individu pris au hasard ait un sang de groupe O est de 45 % soit 0,45. 2) Sur 1 000 personnes, 450 sont de groupe O. Parmi ces 450 personnes, 20 % ont un rhésus négatif, soit 90 personnes car 450 = 90 = 90 1000 = 0,09 La probabilité pour qu un individu pris au hasard soit donneur universel est 0,09. 3) Groupe A B AB O Total Rh+ 340 81 42 360 823 Rh- 60 19 8 90 177 Total 400 100 50 450 1 000 4) La probabilité pour qu un individu ait un Rhésus négatif est soit 0,177. 5) La probabilité pour qu un individu pris au hasard soit receveur universel, c est-à-dire ait un Rhésus de sang positif et soit de groupe AB est soit 0,042. 6) La probabilité pour qu un individu pris au hasard parmi les individus de Rhésus négatif, soit du groupe AB est. Exercice 8 (3 points) 1) Il faut taper 2) = SOMME (B2 : H2) / 7 ou = (B2 + C2 + D2 + E2 + F2 + G2 + H2) / 7 ou = moyenne (B2 : H2)