Brouillon. CEA Finance I. Cours IV - 14/09/2017. Vincent GAUGÉ

CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Vincent GAUGÉ CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 1 / 68

Introduction Prix théorique vs prix de marché prix théorique d une obligation prix calculé à partir d un modèle prix de marché d une obligation prix auquel elle est échangée sur le marché. CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 2 / 68

Obligation à taux fixe Valeur actuelle des flux Obligation à taux fixe Obligation à taux variable Décomposition pair+swap On considère une obligation de notionnel 100, de coupon C annuel, de prix P et de maturité n. Le prix de cette obligation est supposé égal à la valeur actuelle des flux actualisés au taux sans risque, comme le prix des autres obligations à taux fixe. ZC(i) représente le prix de 1 en i et est déduit de la courbe de swaps Euribor Sous les hypothèses précédentes n P = C ZC(i) + 100 ZC(n) i=1 CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 3 / 68

Obligation à taux fixe Obligation à taux variable Décomposition pair+swap Obligation à taux variable Notations et flux - flux constatés en cours de vie - cf swaps slide 56 cours III dates et constatations Dates 0A 1A 2A 3A 4A 5A Nb jours Nbj 1 Nbj 2 Nbj 3 Nbj 4 Nbj 5 Eur12M L 0 L 1 L 2 L 3 L 4 flux des obligations par maturité (notionnel 1) Dates 0A 1A 2A 3A 4A 5A Oblig 1 an L 0 Nbj 1 360 +1 Oblig 2 ans L 0 Nbj 1 360............ Oblig 5 ans L 0 Nbj 1 360 L 1 Nbj 2 360 +1 L 1 Nbj 2 360 L 2 Nbj 3 360 L 3 Nbj 4 360 L 4 Nbj 5 360 +1 CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 4 / 68

Obligation à taux fixe Obligation à taux variable Décomposition pair+swap Obligation à taux variable 5 ans - valorisation en t=0 Ce qui est connu en t=0 - ce qui n est pas connu en t=0 - cf swaps slide 58 cours III flux attendus des obligations par maturité (notionnel 1) Dates 0A 1A 2A 3A 4A 5A Oblig 1 an L 0 Nbj 1 360 +1 Oblig 2 ans L 0 Nbj 1 360............ Oblig 5 ans L 0 Nbj 1 360 L 1 Nbj 2 360 +1 L 1 Nbj 2 360 L 2 Nbj 3 360 L 3 Nbj 4 360 valeurs actuelles (notionnel 1) - en utilisant le même raisonnement que pour la valeur actuelle de la jambe variable du swap (cours III), la valeur actuelle des flux de l obligation vaut 1 Flux variable L i Nbj i 1 360 Obligation VA en t=0 ZC(i 1) ZC(i) 1 L 4 Nbj 5 360 +1 CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 5 / 68

Obligation taux variable Prix pied de coupon à une tombée de coupon Obligation à taux fixe Obligation à taux variable Décomposition pair+swap Autre formulation en utilisant les taux forwards L(i-1,i) les taux forwards sont donnés par la relation ZC(i 1) 1 + i L(i 1, i) = ZC(i) la valeur actuelle des flux de l obligation à taux variable qui verse i L i 1 en i peut être calculée en prenant au numérateur le taux forward L(i-1,i) ( ) (avec L(0, 1) = L 0 connu) n 100 = i L(i 1, i) 100 ZC(i) + 100 ZC(n) i=1 ( ) on dit que L(i-1,i) est l espérance de Li sous la mesure de paiement ZC(i) et on l a démontré par relation d arbitrage (cf cours III pages 8 et 9) CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 6 / 68

Obligation taux variable Prix pied de coupon à une date quelconque Obligation à taux fixe Obligation à taux variable Décomposition pair+swap à la prochaine date de coupon, le prix pied de coupon de l obligation est de 100 (cf slide précédent) la valeur actuelle des flux de l obligation jusqu à maturité peut être calculée comme la valeur actuelle du flux 100+coupon fixé tombant à la prochaine date de coupon En notant on a d le nombre de jours jusqu au prochain coupon nbc le nombre de jours de la période du coupon en cours L 0 le taux Euribor fixé en début de période L d le taux Euribor pour une période de d jours P = 100 ( ) 1 + L 0 nbc 360 1 + L d d 360 }{{} Prix plein coupon nbc d nbc nbc 360 L 0 100 } {{ } Coupon couru CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 7 / 68

Décomposition pair+swap Obligation taux fixe Obligation à taux fixe Obligation à taux variable Décomposition pair+swap Prix de l obligation n P = C ZC(i) + 100 ZC(n) i=1 le prix de l obligation vaut le pair plus la valeur du swap receveur du coupon et payeur Euribor. n P = 100 + (C/100 i L(i 1, i)) 100 ZC(i) i=1 CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 8 / 68

Exercice XXII Décomposition pair+swap Obligation à taux fixe Obligation à taux variable Décomposition pair+swap On considère une obligation de notionnel 100, de coupon 1 annuel et de maturité 5 ans. Les données de marché sont les suivantes (hypothèses) Courbe swap Echéance Taux swap 1 A 0,80 % 2 A 1,10 % 3 A 1,20 % 4 A 1,30 % 5 A 1,40 % calculer les ZCs annuels entre 1 an et 5 ans calculer pour le swap 5 ans receveur taux fixe 1% notionnel 100 la valeur de la jambe receveuse 1% la valeur de la jambe variable payeuse calculer le prix de l obligation à partir de la valeur du swap CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 9 / 68

Solution exercice XXII Décomposition pair+swap Obligation à taux fixe Obligation à taux variable Décomposition pair+swap CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 10 / 68

Evénement de défaut Titre obligataire Risque de défaut d un titre Notation des titres L émetteur d un titre à taux fixe ou variable s engage à verser au détenteur de l obligation un certain nombre de coupons et le principal à échéance (notionnel). Le risque de défaut est le risque que l émetteur ne puisse honorer: le paiement d un coupon (et des suivants et du principal) ou le paiement du principal à échéance Les événements de défaut les plus courants: faillite de l émetteur paiement partiel d un intérêt restructuration de la dette CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 11 / 68

Perte en cas de défaut Taux de recouvrement Risque de défaut d un titre Notation des titres En cas de d impossibilité de faire face à ses engagements, le détenteur de l obligation recouvre une fraction de la somme due, éventuellement nulle. Usuellement, on exprime cette somme en pourcentage du notionnel Le taux de recouvrement dépend entre autres : du taux de subordination de la dette (dette senior ou subordonnée), c est-à-dire du degré de priorité dans le remboursement des dettes de l émetteur en cas de défaillance des éventuelles garanties attachées à la dette en cas de défaut de paiement CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 12 / 68

Notation Agences et échelles Risque de défaut d un titre Notation des titres Des entreprises, telles Standard and Poors, Moody s, Fitch, notent les émetteurs avec des échelles propriétaires; par exemple, Standard and Poors: AAA, AA, A, BBB, BB, B, CCC Moody s: Aaa, Aa, A, Baa, Ba, B, Ca avec des catégories plus fines (+/- pour S&P, 1 à 3 pour Moody s). CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 13 / 68

Echelles de notation Risque de défaut d un titre Notation des titres Ces notes traduisent la vision qu ont les agences de la capacité de l émetteur à rembourser les intérêts et le capital sur sa dette. Pour un même émetteur, les notes de titres peuvent être différentes en fonction du niveau de garantie des titres. Usuellement, dans les échelles S&P et Moody s - de AAA jusqu à BBB, les titres sont dits en catégorie investissement à partir de BB, les titres sont dits en catégorie spéculative CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 14 / 68

Exemple de classes Echelle AAA D Risque de défaut d un titre Notation des titres Classe Correspondance Catégorie AAA AA AA BBB BB B CCC/C D Prime - Première qualité Haute qualité Qualité moyenne Qualité moyenne inférieure Spéculatif Hautement spéculatif Extrêmement spéculatif, voire en défaut Défaut Investissement Spéculatif CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 15 / 68

Probabilités de défaut par classe Risque de défaut d un titre Notation des titres Les agences publient périodiquement par catégories d émetteur des statistiques sur les probabilités cumulées de défaut constatées sur historique. Par exemple, en 2011, Standard and Poor s publie les chiffres suivants CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 16 / 68

Matrice de transition par classe Risque de défaut d un titre Notation des titres De même, les agences publient des matrices de taux de transition entre classes de rating à 1 an et à des horizons plus éloignés CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 17 / 68

Relation entre TRI et rating Risque de défaut d un titre Notation des titres Plus le rating est bas, plus le taux de rendement (TRI) demandé sur l obligation est haut, plus le prix de l obligation est bas. En supposant que toutes les obligations sont émises au pair, le coupon d une obligation à faible rating est supérieur au coupon d une obligation à bon rating. Quand une obligation est dégradée, son TRI augmente et son prix baisse. CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 18 / 68

Rentabilité de référence Le spread par rapport à la référence sans risque Les différents types de spread Spreads obligations taux fixe Spreads obligations taux variable La rentabilité de référence est généralement la rentabilité attendue hors risque de défaut. Deux grandes sources de rentabilité sans risque : les rentabilités des obligations supposées les moins risquées (ex : rating AAA) les taux de swap du marché interbancaire CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 19 / 68

Les composantes du spread Le spread par rapport à la référence sans risque Les différents types de spread Spreads obligations taux fixe Spreads obligations taux variable Le prix d une obligation risquée est généralement inférieur au prix d une obligation de référence de mêmes caractéristiques (prix d une obligation AAA ou calculé en actualisant sur courbe Euribor), à cause des 2 facteurs suivants : le risque de défaut (vu précédemment) la liquidité Le spread est une traduction de cette différence de prix, plus aisée à utiliser. CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 20 / 68

Liquidité Le spread par rapport à la référence sans risque Les différents types de spread Spreads obligations taux fixe Spreads obligations taux variable La liquidité d un titre est liée au fait qu il y a un déséquilibre sur le marché entre vendeurs et acheteurs spread de liquidité positif: c est le cas le plus courant il y a beaucoup de vendeurs et très peu d acheteurs de l obligation une part importante des détenteurs est obligée de céder les titres (même à un prix inférieur au prix qu ils considèrent risqué) peu d acheteurs pour des titres très risqués spread de liquidité négatif: ce cas est plus rare titres considérés comme peu risqués - obligations valeurs refuges (Etat allemand et français) peut aussi survenir en cas de squeeze (tension sur positions acheteuses sur un titre) CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 21 / 68

Spreads présentés Titres à taux fixe spread de taux actuariel spread ZC spread d asset swap Titres à taux variable Euribor marge à l émission marge courante Le spread par rapport à la référence sans risque Les différents types de spread Spreads obligations taux fixe Spreads obligations taux variable CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 22 / 68

Spread de taux actuariel Obligation taux fixe Le spread par rapport à la référence sans risque Les différents types de spread Spreads obligations taux fixe Spreads obligations taux variable Le spread de taux actuariel est la différence entre le TRI du titre et le taux sans risque de référence pour la maturité du titre TRI obligataire taux de swap Le taux sans risque est lu ou interpolé sur la courbe de référence. CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 23 / 68

Exercice XXIII Calcul de spread de taux actuariel Le spread par rapport à la référence sans risque Les différents types de spread Spreads obligations taux fixe Spreads obligations taux variable Le 6 mai 2013, on considère une obligation A de coupon 5 annuel, tombant tous les 6 mai de maturité 06/05/2023 de prix pied de coupon 90 (base 100) Les données de marché sont les suivantes (hypothèses) Courbe swap Courbe obligataire Echéance Taux swap Maturité Taux oblig. 8 A 1,40 % 06/02/2021 2,10% 9 A 1,50 % 06/04/2022 2,15% 10 A 1,60 % 01/07/2023 2,20% 11 A 1,65 % 01/08/2024 2,22% 12 A 1,70 % 15/06/2025 2,24% Donner le spread de l obligation, en bps, par rapport à la courbe swap à la courbe obligataire CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 24 / 68

Solution exercice XXIII Calcul de spread de taux actuariel Le spread par rapport à la référence sans risque Les différents types de spread Spreads obligations taux fixe Spreads obligations taux variable CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 25 / 68

Spread Zero coupon Obligation taux fixe Le spread par rapport à la référence sans risque Les différents types de spread Spreads obligations taux fixe Spreads obligations taux variable Le spread Zero coupon est le spread à ajouter aux taux Zero coupon sans risque pour obtenir le prix de l obligation en notant ZC(Ti ) le ZC sans risque de maturité T i (prix de 1 en T i ) r(ti ) le taux ZC sans risque 1 ZC(T i ) = (1 + r(t i )) T i s le spread ZC n C 100 P = i=1 (1 + r(t i ) + s) T + i (1 + r(t n ) + s) Tn CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 26 / 68

Exercice XXIV Calcul de spread ZC On donne la courbe de taux actuariels ZC suivante Le spread par rapport à la référence sans risque Les différents types de spread Spreads obligations taux fixe Spreads obligations taux variable Echéance Taux ZC échéance Taux ZC 1 A 0,60 % 6 A 1,20 % 2 A 0,80 % 7 A 1,30 % 3 A 0,90 % 8 A 1,40 % 4 A 1,00 % 9 A 1,50 % 5 A 1,10 % 10 A 1,63 % Calculer le spread ZC pour l obligation A coupon annuel 5 maturité 10 ans prix pied de coupon 90 CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 27 / 68

Solution exercice XXIV Calcul de spread ZC Le spread par rapport à la référence sans risque Les différents types de spread Spreads obligations taux fixe Spreads obligations taux variable CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 28 / 68

Spread d asset swap au pair Obligation taux fixe Le spread par rapport à la référence sans risque Les différents types de spread Spreads obligations taux fixe Spreads obligations taux variable L asset swap une opération de swap initiée par l acheteur de l obligation. On suppose que l obligation a: un nominal de 100 un prix P flux sur l obligation : en t=0, l acheteur de l obligation paie le prix P il reçoit ensuite une séquence de coupons fixes C et le notionnel 100 sujets au risque de défaut de l émetteur de l obligation CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 29 / 68

Spread d asset swap au pair (II) Obligation taux fixe flux sur le swap: Le spread par rapport à la référence sans risque Les différents types de spread Spreads obligations taux fixe Spreads obligations taux variable en t=0, l acheteur paie 100 P à la contrepartie du swap (il reçoit P 100 si le titre est au-dessus du pair) on dit alors que l asset swap est au pair l acheteur paie ensuite les coupons certains C l acheteur reçoit des flux (Euribor + spread) 100 et le remboursement de 100 Le spread de l asset swap au pair est tel que le montage asset swap+obligation a une valeur 100. Eléments essentiels : les flux de l obligation sont risqués à cause du risque de défaut de l émetteur sur le swap, les deux contreparties sont supposées sans risque de défaut ou avec un risque de défaut très faible CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 30 / 68

Obligation + asset swap Flux Obligation Flux pour l acheteur de l obligation Le spread par rapport à la référence sans risque Les différents types de spread Spreads obligations taux fixe Spreads obligations taux variable Asset swap t=0 - P - (100 - P) t 1 C 1 C 1 1 (L 0 + δ) 100 t 2 C 2 C 2 2 (L 1 + δ) 100... t n C n + 100 100 C n n(l n 1 + δ) 100 + 100 Emetteur Risque de crédit Contreparties du swap CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 31 / 68

Obligation + asset swap Valeur actuelle des flux - ce qui n est pas connu en t=0 Obligation Valeur actuelle des flux en t=0 Le spread par rapport à la référence sans risque Les différents types de spread Spreads obligations taux fixe Spreads obligations taux variable Asset swap t 1 C 1 C 1 1 (L 0 + δ) 100 t 2 C 2 C 2 2 ( L 1 + δ) 100... t n C n + 100 100 C n n( L n 1 + δ) 100 + 100 (1) (2) (3) (1): valeur de l obligation avec flux risqués: prix de marché (2): - valeur actuelle des flux de l obligation au taux sans risque (3): obligation à taux variable au pair +valeur actuelle de la jambe de spread 100 δ i au taux sans risque CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 32 / 68

Spread d asset swap au pair Formule Le spread par rapport à la référence sans risque Les différents types de spread Spreads obligations taux fixe Spreads obligations taux variable En notant P le prix de l obligation (prix de marché risqué) P sr le prix de l obligation sans risque (valeur actuelle des flux actualisés au taux sans risque) δ = Le dénominateur 100 P sr P n (ZC(i) i ) i=1 n (ZC(i) i ) correspond à la valeur i=1 actuelle des versements de (1 i ) aux dates de versement de la jambe variable CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 33 / 68

Exercice XXV Calcul de spread d asset swap au pair On donne la courbe de taux actuariels suivante Le spread par rapport à la référence sans risque Les différents types de spread Spreads obligations taux fixe Spreads obligations taux variable Echéance Taux ZC échéance taux ZC 1 A 0,60 % 6 A 1,20 % 2 A 0,80 % 7 A 1,30 % 3 A 0,90 % 8 A 1,40 % 4 A 1,00 % 9 A 1,50 % 5 A 1,10 % 10 A 1,63 % Calculer le spread d asset swap au pair pour l obligation A (on supposera i = 1) coupon annuel 5 maturité 10 ans prix pied de coupon 90 CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 34 / 68

Solution exercice XXV Calcul de spread d asset swap au pair Le spread par rapport à la référence sans risque Les différents types de spread Spreads obligations taux fixe Spreads obligations taux variable CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 35 / 68

Marge d émission Obligation taux variable Le spread par rapport à la référence sans risque Les différents types de spread Spreads obligations taux fixe Spreads obligations taux variable Cette marge s applique aux émissions sur Euribor avec Euribor fixé en début de période et payé en fin de période terme de l Euribor correspondant à la période de l Euribor Exemple: émission à coupons trimestriels versant en fin de période Eur 3M fixé en début de période La marge m est telle que l obligation versant Eur 3M + m et remboursant le pair est au pair à l émission Le prix de marché de cette émission peut dévier du pair en cours de vie (m spread d émission pour la maturité résiduelle peut être différent de m lors de l émission) CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 36 / 68

Marge courante (discount margin) - I Construction des zeros coupons à partir des taux forwards Le spread par rapport à la référence sans risque Les différents types de spread Spreads obligations taux fixe Spreads obligations taux variable En notant d le nombre de jours jusqu au prochain paiement de coupon L d le taux Euribor de maturité d jours T 1,...T n les dates de prochain paiement i la fraction de période entre T i 1 et T i en base monétaire L(i 1, i) les taux forwards entre T i 1 et T i On a 1 ZC(0, T 1 ) = 1 + L d d/360 pour i entre 2 et n ZC(0, T i ) = ZC(0, T 1 ) i k=2 1 1 + L(k 1, k) k CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 37 / 68

Le spread par rapport à la référence sans risque Les différents types de spread Spreads obligations taux fixe Spreads obligations taux variable Marge courante (discount margin) - II Obligation taux variable avec marge - valorisation en t - ce qui n est pas connu en t à la date t, d jours avant la prochaine date de paiement de coupon Obligation taux variable Date Flux d jours avant T 1 T 1 (L 0 + m) 1 Connu, L 0 fixé T 2 ( L 1 + m) 2 Non connu... T n ( L n 1 + m) n + 1 Non connu valeur actuelle des flux avec actualisation sur courbe Euribor des taux forwards (cf slide 7) ZC(T 1 ) (L 0 +m) 1 + n ZC(T i ) (L(i 1, i)+m) i +ZC(T n ) i=2 CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 38 / 68

Marge courante (discount margin) - III Prix obligation taux variable vs prix actualisé Le spread par rapport à la référence sans risque Les différents types de spread Spreads obligations taux fixe Spreads obligations taux variable la valeur actuelle des flux actualisés sur courbe Euribor ne donne pas le prix constaté sur le marché la marge courante (discount margin notée DM) est la marge qu il faut ajouter à la courbe Euribor pour construire une nouvelle courbe d actualisation retrouver le prix de marché avec cette courbe d actualisation CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 39 / 68

Marge courante (discount margin) - IV Construction d une courbe ZC à partir des forwards + marge Le spread par rapport à la référence sans risque Les différents types de spread Spreads obligations taux fixe Spreads obligations taux variable On a 1 ZC DM (0, T 1) = 1 + (L d + DM) d/360 pour i entre 2 et n i 1 ZC DM (0, T i ) = ZC DM (0, T 1) 1 + (L(k 1, k) + DM) k k=2 valeur actuelle des flux avec actualisation sur courbe Euribor + marge courante n ZC DM (T 1 ) (L 0 + m) 1 + ZC DM (T i )(L(i 1, i) + m) i + ZC DM (T n) i=2 la marge courante est déterminée en rendant égale cette expression au prix de marché CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 40 / 68

Marge courante (discount margin) - V Schema des étapes de calcul Le spread par rapport à la référence sans risque Les différents types de spread Spreads obligations taux fixe Spreads obligations taux variable Instruments de marché avec prix 1 Calcul des Zeros coupons 2 Calcul des taux forwards aux dates de l obligation 3 Ajout d une marge aux taux forwards 4 Calcul des Zeros coupons forwards à partir de la courbe forwards avec marge 5 Calcul des ZCs comptants à partir des ZCs forwards précédents 6 Calcul du prix de l obligation avec marge courante 7 Détermination de la marge courante qui égalise prix calculé et prix de marché CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 41 / 68

Exercice XXVI Calcul de marge courante Le spread par rapport à la référence sans risque Les différents types de spread Spreads obligations taux fixe Spreads obligations taux variable On donne une obligation à taux variable qui verse annuellement Eur12M + 50bp pendant 4 ans. On suppose que la courbe des taux ZC (actuariels) est la suivante 1Y 1% 3Y 1,8% 2Y 1,5% 4Y 2,0% Calculer, en supposant i = 1 pour i=1,...4 les taux forwards 1 an dans 1 an, 1 an dans 2 ans et 1 an dans 3 ans la marge courante dans les 2 cas suivants prix de l obligation P = 100 prix de l obligation P = 98 CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 42 / 68

Solution exercice XXVI Calcul de marge courante Le spread par rapport à la référence sans risque Les différents types de spread Spreads obligations taux fixe Spreads obligations taux variable CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 43 / 68

Description Caractéristiques Description Modélisation Spread d émission vs CDS Le credit defaut swap (CDS) fonctionne comme un contrat d assurance sur le risque de défaut d un émetteur. Il se caractérise : par l émetteur sous-jacent par un titre ou un gisement de titres de référence par la durée de vie du contrat par la périodicité de versement de la prime par le mode de compensation en cas d événement de défaut CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 44 / 68

Description Jambe de prime et de défaut Pendant la vie du contrat : Description Modélisation Spread d émission vs CDS l assuré paie périodiquement une prime (marge) jambe de prime: jusqu à l échéance du contrat si l émetteur ne fait pas défaut jusqu à la date de défaut de l émetteur sinon : la prime à verser est alors calculée pro rata temporis sur la période l assuré reçoit un dédommagement des pertes liées au défaut de l émetteur en cas de défaut de celui-ci (mécanisme de compensation) jambe de défaut Les événements de défaut sont prévus au contrat : faillite de l émetteur défaut sur le paiement d un coupon ou le remboursement restructuration de la dette... CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 45 / 68

Description Parties du CDS Acheteur du CDS Acheteur de la protection Verse jambe de prime Reçoit jambe de défaut Description Modélisation Spread d émission vs CDS Vendeur du CDS Vendeur de la protection Reçoit jambe de prime Verse jambe de défaut CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 46 / 68

Modélisation simplifiée Temps discret Description Modélisation Spread d émission vs CDS R est le taux de recouvrement estimé en cas de défaut Notionnel 100 Jambe de prime: annuelle versée uniquement en cas de survie en fin d année Jambe de défaut: la compensation de (1 R) 100 est versée en fin d année CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 47 / 68

Modélisation simplifiée Schema des flux CDS 5Y En notant τ le temps de défaut Description Modélisation Spread d émission vs CDS Défaut Survie Défaut Survie t τ t 1 t 1 < τ t t < τ τ t 1 t 1 < τ t t < τ Jambe de prime Jambe de défaut 1 ns 0 S CDS 100 ns (1 R) 100 0 2 0 0 S CDS 100 0 (1 R) 100 0 3 0 0 S CDS 100 0 (1 R) 100 0 4 0 0 S CDS 100 0 (1 R) 100 0 5 0 0 S CDS 100 0 (1 R) 100 0 CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 48 / 68

Réplication d une obligation sans risque Montage Description Modélisation Spread d émission vs CDS On considère le montage suivant (notionnel 1): achat au pair d une obligation: de maturité 5 ans coupons annuels Euribor + spread m ( =1) achat d un CDS avec comme titre de référence l obligation achetée de marge scds versée annuellement pendant 5 ans tant que le titre n a pas fait défaut CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 49 / 68

Réplication d une obligation sans risque Flux du montage Les flux de ce montage sont les suivants : en cas de non défaut avant t, versement de scds réception de Euribor + m flux net Euribor + m s CDS Description Modélisation Spread d émission vs CDS en cas de défaut entre t-1 et t, flux en t réception de 1 R versement de R flux net de 1 CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 50 / 68

Flux du montage Montage Survie Description Modélisation Spread d émission vs CDS Défaut t t < τ t 1 < τ t Obligation CDS Obligation CDS 1 L 0 + m S CDS R 1 R 2 L 1 + m S CDS R 1 R 3 L 2 + m S CDS R 1 R 4 L 3 + m S CDS R 1 R 5 L 4 + m + 1 S CDS R 1 R CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 51 / 68

Réplication Montage vs obligation sans risque Description Modélisation Spread d émission vs CDS Ce montage peut être répliqué par une obligation sans risque : que l on conserve jusqu à maturité si pas de défaut que l on revend en fin de période de défaut sinon La réplication serait parfaite si l obligation sans risque valait 1 en fin de période où le défaut a lieu, mais l obligation sans risque vaut en fait le pair + coupon. CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 52 / 68

Réplication Montage vs obligation sans risque Survie Description Modélisation Spread d émission vs CDS Défaut t t < τ t 1 < τ t Obligation CDS Obl. sans r. Obligation CDS Obl. sans r. 1 L 0 + m S CDS L 0 R 1 R L 0 + 1 2 L 1 + m S CDS L 1 R 1 R L 1 + 1 3 L 2 + m S CDS L 2 R 1 R L 2 + 1 4 L 3 + m S CDS L 3 R 1 R L 3 + 1 5 L 4 + m + 1 S CDS L 4 + 1 R 1 R L 4 + 1 Au coupon résiduel près en cas de défaut, m S CDS CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 53 / 68

Réplication d une obligation Montage vs obligation sans risque Description Modélisation Spread d émission vs CDS Application numérique pour ordre de grandeur Euribor fixé de l ordre de 2% probabilité de défaut sur 10 ans 10% l écart entre la valeur de l obligation à la revente et le pair est au maximum de 2% chaque année (coupon) cet écart maximum multiplié par la probabilité de défaut de 10% est de 20 bp 10 La différence (m s CDS ) ZC(i) est inférieure à 20 bp i=1 10 En supposant ZC(i) de l ordre de 8, i=1 Abs(m s CDS ) < 2, 5 bp CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 54 / 68

Réplication Modèle alternatif Description Modélisation Spread d émission vs CDS prise en compte du défaut en cours de période défaut moyen en milieu de période prise en compte du versement de la marge jusqu au défaut coupon couru moyen en milieu de période ordre de grandeur conservé Survie Défaut t t < τ t 1 < τ t Obligation CDS Obl. sans r. Obligation CDS Obl. sans r. 1 L 0 + m S CDS L 0 R 1 R S CDS /2 L 0 /2 + 1 2 L 1 + m S CDS L 1 R 1 R S CDS /2 L 1 /2 + 1 3 L 2 + m S CDS L 2 R 1 R S CDS /2 L 2 /2 + 1 4 L 3 + m S CDS L 3 R 1 R S CDS /2 L 3 /2 + 1 5 L 4 + m + 1 S CDS L 4 + 1 R 1 R S CDS /2 L 4 /2 + 1 CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 55 / 68

Réplication d une obligation Limites En pratique, il peut exister des différences Description Modélisation Spread d émission vs CDS Différence de liquidité entre obligation et CDS Panier du CDS vs obligation Clauses de défaut du CDS vs obligation CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 56 / 68

Modélisation de défaut ZC risqué - Schéma et prix En notant τ le temps de défaut Prix du ZC risqué Défaut ZC et obligation taux fixe CDS Survie t τ t t < τ Probabilités p 1-p Flux du ZC risqué R 100 100 (p R + (1 p)) ZC(t) 100 p peut être déduit du prix observé et est appelée probabilité implicite CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 57 / 68

Exercice XXVII Calcul de probabilités de défaut ZC et obligation taux fixe CDS On suppose donnés les prix d obligation zero coupon pour les maturités 1 an à 5 ans: sans risque d un émetteur E Maturité Prix obligation Prix obligation AAA émetteur 1 A 99 98,5 2 A 98,5 97 3 A 98 95 4 A 97 92,5 5 A 96 90 calculer, en supposant un taux de recouvrement de 40 % les probabilités de défaut implicites jusqu à maturité les probabilités de défaut implicites annuelles CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 58 / 68

Solution exercice XXVII Calcul de probabilités de défaut ZC et obligation taux fixe CDS CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 59 / 68

Modélisation du défaut obligation Obligation à taux fixe 5Y - Schema ZC et obligation taux fixe CDS En notant p i les probabilités de défaut annuelles Défaut Survie Défaut Survie t τ t 1 t 1 < τ t t < τ τ t 1 t 1 < τ t t < τ Probabilités Flux conditionnés 1 0 p 1 1 p 1 0 R 100 C 2 p 1 p 2 1 p 1 p 2 0 R 100 C 3 2 i=1 p i p 3 1 3 i=1 p i 0 R 100 C 4 3 i=1 p i p 4 1 4 i=1 p i 0 R 100 C 5 4 i=1 p i p 5 1 5 i=1 p i 0 R 100 100 + C CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 60 / 68

Obligation à taux fixe 5A - prix ZC et obligation taux fixe CDS En notant vap la valeur actuelle probable des flux, le prix se décompose en 5 ZC(i) R 100 p i i=1 + 4 i ZC(i) C (1 p k ) i=1 + k=1 ZC(5) (100 + C) (1 vap des flux en cas de défaut vap des coupons de 1 à 4 en cas de survie 5 p k ) vap coupon+notionnel en cas de survie en 5 k=1 CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 61 / 68

Exercice XXVIII Calcul de prix ZC et obligation taux fixe CDS on suppose que l émetteur E émet une obligation 5 ans à coupon fixe annuel 1 Date Flux 1 A 1 2 A 1 3 A 1 4 A 1 5 A 101 en reprenant les hypothèses de l exercice précédent (calcul de probabilités implicites de défaut), calculer le prix risqué de l obligation sous hypothèse du modèle de défaut le spread d asset swap au pair de l obligation (on supposera qu il n y a pas de spread entre les taux des émissions AAA et ceux du marché interbancaire) CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 62 / 68

Solution exercice XXVIII Calcul de prix ZC et obligation taux fixe CDS CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 63 / 68

ZC et obligation taux fixe CDS Défaut Survie Défaut Survie t τ t 1 t 1 < τ t t < τ τ t 1 t 1 < τ t t < τ Jambe de prime Jambe de défaut 1 ns 0 S CDS 100 ns (1 R) 100 0 2 0 0 S CDS 100 0 (1 R) 100 0 3 0 0 S CDS 100 0 (1 R) 100 0 4 0 0 S CDS 100 0 (1 R) 100 0 5 0 0 S CDS 100 0 (1 R) 100 0 On cherche le spread S CDS tel que la valeur totale du CDS J prime + J défaut = 0 CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 64 / 68

Calcul de la marge de CDS au pair Jambe de prime du CDS J prime = ZC et obligation taux fixe CDS 5 ( S CDS ) 100 ZC(i) Pr(τ > i) i=1 Jambe de défaut du CDS 5 J défaut = (1 R) 100 ZC(i) (Pr(τ > i 1) Pr(τ > i)) i=1 Spread du CDS au pair S CDS = (1 R) 5 ZC(i) (Pr(τ > i 1) Pr(τ > i)) i=1 5 ZC(i) Pr(τ > i) i=1 CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 65 / 68

Exercice XXIX Calcul de spread de CDS ZC et obligation taux fixe CDS En reprenant les probabilités implicites déduites des prix des obligations ZC de E (cf exercice précédent) avec un taux de recouvrement de 40%, calculer, avec le modèle discret la marge de CDS 2Y de l émetteur E la marge de CDS 5Y de l émetteur E CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 66 / 68

Solution exercice XXIX Calcul de spread de CDS ZC et obligation taux fixe CDS CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 67 / 68

Références Roland Portait - Patrice Poncet Finance de marché - 3ème édition Instruments de base, produits dérivés, portefeuilles et risques Ed Dalloz CEA Finance I Cours IV - 14/09/2017 Page 68 / 68