MatsEnClaircom - Tous droits réservés ctivité Formule du coefficient directeur de (B) Calculer le coefficient directeur de la droite (B) lorsque (;5) et B (4;7) y Formule : a( B) B B y pplication Calculer le coefficient directeur de la droite (B) avec (3 ; 7) et B(5 ; ) ctivité Point sur la courbe d une fonction Soit f la fonction définie sur par : + 3 On considère le point appartenant à la courbe de f et dont l abscisse est, et le point M de la courbe de f et dont l abscisse est + Calculer l ordonnée du point Montrer que l ordonnée du point M est : pplication ym + 7 + 0 Pour tout réel, on pose : + 5 On note le point de la courbe de f d abscisse 3 et M celui d abscisse 3 + Calculer f (3), et eprimer f (3 + ) à l aide de Donner l epression du coefficient directeur de la droite (M) en fonction de ctivité3 Tau d accroissement Pour tout réel on pose : ² + 5 3 Montrer que f ( + ) f () M est égal à + 6 f ( + ) f () Le nombre s appelle «tau d accroissement de f entre et +» Définition Le tau d accroissement de f entre a et a + est : ( ) f ( a + ) f ( a) Ta pplication3 Pour cacune des fonctions suivantes, eprimer le tau d accroissement de f entre a et a + pour la valeur de a indiquée f ( ) 5 +, a + 4 + 7, a Le mot «accroissement» d une fonction entre deu nombres donnés ne signifie pas que la fonction est nécessairement croissante sur un intervalle contenant ces deu nombres ctivité4 Nombre dérivé de f en a Pour tout réel, on pose : + + 5 Donner le tau d accroissement de f entre 3 et 3 + Vers quel nombre tend le tau d accroissement lorsque tend vers 0? Ce nombre s appelle «nombre dérivé de f en a 3», et il se note : f (3) Définition Le nombre dérivé de f en a, noté f ( a) est : f ( a + ) f ( a) lim 0 Le tau d accroissement de f entre a et a+ est le coefficient directeur de la droite (M) où et M sont les points de la courbe de f d abscisses respectives a et a+ Le nombre dérivé s interprète donc comme le coefficient directeur de ce que devient la droite (M) lorsque tend vers zéro, donc comme le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point Interprétation du nombre dérivé Par définition, la tangente à la courbe de f au point d abscisse a est la droite passant par et de coefficient directeur le nombre dérivé de f en a
MatsEnClaircom - Tous droits réservés pplication4 Pour 3, on pose : 3 Calculer f (5) ; eprimer f (5 + ) à l aide de Eprimer le tau d accroissement de f entre 5 et 5 + à l aide de 3 En déduire le nombre dérivé de f en 5 4 Vérifier en représentant sur l écran de la calculatrice la courbe de f ainsi que la tangente à cette courbe au point d abscisse 5 Formule de la tangente ( ) y f ( a) a + f ( a) pplication6 Pout tout réel, on pose : ² + 9 Quel est le tau d accroissement de f entre et +? En déduire le nombre dérivé de f en a 3 Calculer une équation de la tangente à la courbe de f au point d abscisse 4 Vérifier à la calculatrice en traçant la tangente à la courbe de f au point d abscisse ide : ctivité7 ctivité5 Commande «nbredérivé()» Pour tout réel, on pose : 3 + 3 En utilisant la commande nbredérivé( ), déterminer le nombre dérivé de f en a pplication5 Pour, on pose : l aide de la calculatrice, donner le nombre dérivé de f en a En revenant à la définition, calculer f () ctivité6 Formule de la tangente Soit f une fonction, le point d abscisse a de sa courbe représentative et T la tangente à cette courbe au point Quelle est l ordonnée de? Soit d d équation : ( ) y f ( a) a + f ( a) a Montrer que le point appartient à d b Quel est le coefficient directeur de d 3 Que représente la droite d pour la courbe de f? Courbe représentative de f et quelques tangentes Lire grapiquement f () et f () Donner une équation de la tangente à C f en Lire grapiquement f (3) et f (3) 3 Que valent f () et f (4)?
MatsEnClaircom - Tous droits réservés pplication7 ctivité9 Pour caque fonction f définie sur, calculer l epression f ( ) f ( ) 5 3 7 3 8 4 5 4 + 7 6 + 3 7 8 3 + 7 Les tangentes à C f en, B, C, D et E sont indiquées Que vaut f ( ), f ( ) Donner une équation de la tangente à Cf en Donner une équation des tangentes à C f en B, C, D et E 3 Résoudre f ( ) 0 ctivité8 Soit f la fonction définie sur par Soit 0 un réel quelconque En revenant à la définition du nombre dérivé, calculer f ( 0) En déduire : f ( ), f (0), f (), f () 3 Définir la fonction dérivée f en donnant l epression f ( ) Formule pplication8 si f, alors ( ) Soit f la fonction définie sur * par Soit 0 un réel non nul En revenant à la définition du nombre dérivé, montrer que: f ( 0) ( ) En déduire f ( ), f ( ), f (), f () 3 Définir la fonction dérivée f en donnant l epression f ( ) 0 Formules si a + b alors f ( ) a si si si pplication9 b alors f ( ) 0 a alors f ( ) a alors f ( ) 3 Soit f la fonction définie sur par ( ) Développer f ( ), puis à partir de cette forme développée, calculer f ( ) On se propose de vérifier à la calculatrice le calcul de f ( ) : dans Y : entrer l epression f ( ), désactiver le symbole contrôlant l afficage de la courbe ( on ne souaite pas tracer cette courbe ) dans Y : entrer «nbredériv(y(x),x,x)» dans Y3 : entrer ce qui a été obtenu comme epression pour f ( ), coisir le tracé en gras Coisir le paramétrage suivant : Vous devez obtenir : Formule si, alors f ( ) 3
MatsEnClaircom - Tous droits réservés ctivité0 Pour tout dans [ 0;+ [, on pose : Montrer que le tau d accroissement de f entre 4 et 4 + est : + 4 + En déduire le nombre dérivé de f en Soit 0 un nombre strictement positif a Montrer que le tau d accroissement de f entre 0 et 0 + est : + + b En déduire que f ( 0) 0 0 c Définir la fonction dérivée f en donnant l epression f ( ) Sur quel intervalle f est-elle définie? 0 pplication Calculer f ( ) pour cacune des fonctions f suivantes : ( 3 ) 3 + ( ) + 4 3 + 0 4 5 + 4 5 + ctivité3 On a utilisé la calculatrice en entrant dans Y, et en posant YnbreDérivé(Y(X),X,X) On obtient : Formule si, alors f ( ) Courbe de en trait fin et courbe de en gras Traiter les questions suivantes, par lecture grapique : pplication0 Pour tout [ [ Calculer f ( ) En déduire f () 0;+, on pose : + 3 3 Donner une équation de la tangente à la courbe de f au point de C f d abscisse ctivité Calculer f ( ) pour cacune des fonctions f suivantes (3 + ) ( 4) 3 5 + + 4 + 5 On donnera f ( ) sous une forme telle que l on puisse en étudier le signe ( on ne demande pas d effectuer cette étude de signe ) Formules u v u v v u u v v u + u v v ( ) Dresser le tableau de variation de la fonction f Dresser le tableau de signes de sa dérivée f 3 Eiste-il un lien entre le sens de variation de f et le signe de sa dérivée f? Le téorème fondamental L idée à retenir : le sens de variation d une fonction et le signe de sa dérivée sont liés Plus précisément, pour toute fonction f dérivable sur un intervalle I : f est croissante sur I f est positive sur I I f est décroissante sur I f est négative sur I f est constante sur I f est toujours nulle sur Pour les eercices de type «sciences économiques» Recette Pri à l unité quantité produite Bénéfice Recette Coût total Ctotal ( q) Cmoyen( q) q C ( q) C ' ( q) ( approimation ) marginal total 4
MatsEnClaircom - Tous droits réservés Eercice5 Eercice Soit f définie sur { } par : + Montrer que le tau d accroissement de f entre et + est égal à : 3 + 9 En déduire le nombre dérivé de f en a 3 Donner une équation de la tangente à la courbe de f au point d abscisse Eercice Pour tout réel, on pose : Calculer f ( ) Résoudre l équation f ( ) 3 + En déduire les abscisses des points et B de la courbe de f pour lesquels la tangente est parallèle à la droite d équation y 3 Vérifier à la calculatrice en traçant la courbe de f et les tangentes à cette courbe en et en B Eercice3 Pour tout [0; + [,on pose : Calculer une équation de la tangente à la courbe de f au point d abscisse 4 On note g la fonction affine dont cette droite est la représentation grapique En utilisant le fait que pour proce de 4 les valeurs de g( ) et ont des valeurs proces, donner une estimation de calculatrice Eercice4 On pose, pour tout réel : 4,08 sans utiliser la ² + + Justifier que la fonction f est bien définie sur Calculer f ( ) 3 Etudier le signe de f ( ) 4 Dresser le tableau de variation de f Courbe représentative de f et tangente en Dresser le tableau de signes de f ( ) Résoudre l équation : f ( ) 0 3 Dresser le tableau de signes de f ( ) 4 Que vaut f () et que vaut f ()? Donner une équation de la tangente à C f en Eercice5 Pour tout : ( 4 + 4)( 5) On note C f la courbe représentative de f dans un repère ortogonal Résoudre l équation f ( ) 0 et donner une interprétation grapique des solutions obtenues On se propose de calculer f ( ) de deu façons différentes Première métode Développer l epression f ( ), puis calculer la fonction dérivée à partir de cette forme développée de f ( ) Deuième métode Calculer en utilisant la formule ( ) u v 3 Résoudre l équation f ( ) 0 et donner une interprétation grapique des solutions obtenues 4 Donner une équation de la tangente T à la courbe de f au point d abscisse 5 Il semble eister un point B de la courbe C f distinct de et en lequel la tangente est parallèle à la droite T Calculer l abscisse du point B 5