SIMULATION DU MODELE DE SOLOW-SWAN SUR MATLAB/DYNARE Jean-Paul K. Tsasa Laboratoire d analyse-recherche en économie quantitative http://www.lareq.com Juin 15, 2015 Résumé Dans cette note, je montre comment le modèle de Solow-Swan peut être simulé sur le logiciel MatLab/Dynare. Mots-clés : Modèle de Solow-Swan, simulations stochastiques, MatLab/Dynare Abstract This note shows how the Solow-Swan model can be simulated on the MatLab/Dynare software. Keywords: Solow-Swan model, stochastic simulations, MatLab/Dynare JEL classification: E13, E17, O41 I. Introduction Cette note résout le modèle de croissance néo-classique, et montre comment il peut être simulé sur le logiciel MatLab/Dynare. Ce modèle a été proposé par Solow (1956, février) et Swan (1956, novembre), d où le nom de modèle de Solow-Swan. Plus précisément, nous présenterons ici une version d équilibre général du modèle de Solow-Swan. Dans ce modèle, l économie est composée de : (i) deux types d agents économiques. D une part, les ménages ou consommateurs et d autre part, les firmes ou producteurs ; (ii) trois biens, à noter le travail, L ", le capital, K ", et l output, Y " ; (iii) trois marchés : le marché du travail, le marché du capital et le marché des produits. Donc, il y a un marché pour chaque bien ; et (iv) un secteur, i.e. le modèle de Solow-Swan ne fait pas de distinction entre le secteur de production des biens de consommation (produits) et le secteur de production des biens d équipement (capital).
De plus, sans perte de généralité, nous supposons par ailleurs que : Le prix de l output est normalisé à l unité, et les prix des autres biens sont exprimés en unité de l output. Le prix du capital est le taux d intérêt, r ", et le prix du travail est le taux salarial, w ". Les ménages sont propriétaires du capital et du travail. Par conséquent, les ménages sont offreurs des services du capital et du travail respectivement sur le marché du travail et sur le marché du capital, alors que les firmes sont demandeurs. Le capital se déprécie au taux 0 < δ < 1. Les trois marchés, à noter le marché du travail, le marché du capital et le marché des produits, sont en concurrence parfaite, et donc les agents économiques considèrent chaque prix comme une donnée du marché. Les firmes et les ménages peuvent être caractérisés par une firme représentative et un ménage représentatif respectivement. Dans le reste du papier, tout d abord, nous présentons brièvement le modèle de Solow- Swan et dérivons le système d équilibre non-linéaire déterministique (section 2). Ensuite, nous considérons une version stochastique du modèle de Solow-Swan et procédons à la log-linéarisation (section 3). Enfin, dans la section quatrième, nous présentons le code MatLab/Dynare utilisé pour simule notre modèle. In fine, il sied de noter que ce papier ne discute pas des résultats des simulations, il se limite à présenter les résultats numériques. II. Dérivation du modèle de Solow-Swan Le modèle de Solow-Swan suppose qu à chaque instant du temps t, le nombre de consommateurs est donné par L ", lequel est prédéterminé par l évolution de la population. Le comportement des consommateurs est décrit par quatre faits principaux : (i) Chaque consommateur est assumé offrir inélastiquement une unité de travail, par conséquent l offre total du travail correspond exactement à L ". (ii) Le consommateur possède le stock du capital K ", lequel est prédéterminé par l accumulation du capital à la période précédente. L offre du capital est inélastique et est égale à la taille du stock de capital K ". 2
(iii) Le secteur de ménage peut être décrit comme un consommateur représentatif qui gagne tout le revenu brut généré dans cette économie : Y " = r " K " + w " L " 0. (1) Le consommateur décide de l affectation de son revenu entre consommer et épargner, suivant sa contrainte budgétaire intertemporelle : Y " = C " + S ". (2) Par ailleurs, le stock de capital détenu par le ménage à la date t + 1 doit être égal à son épargne à la date t nette de la dépréciation du capital alloué aux firmes durant la période t. Par conséquent, la contrainte budgétaire intertemporelle est telle que : K "45 K " = S " δk ". (3) Sans perte de généralité, nous supposons que le ménage épargne une fraction exogène et constante de son revenu : S " = 1 γ Y ". (4) où 0 < 1 γ < 1. (iv) La croissance des ménages est décrite par un taux de croissance exogène, n, de la population active L " : L "45 = 1 + n L ", (5) où n > 1. En parallèle, pour produire l output Y ", la firme représentative utilise les facteurs capital et travail, et les combine suivant une technologie F. La fonction de production est telle que : Y " = F K " 0, L " 0 ; A ", (6) où K " 0 et L " 0 dénotent respectivement la demande du capital et la demande du travail. 3
L objectif de la firme consiste à maximiser le profit : max A B C,D B C π " = Y " r " K " 0 w " L " 0. (7) Les conditions du premier ordre impliquent que : Pour le capital : π " K " 0 = F A K " 0, L " 0 ; A " r " = 0, (8) Pour le travail : π " L " 0 = F D K " 0, L " 0 ; A " w " = 0. (9) Le marché étant concurrentiel : Le prix r H égalise la demande et l offre dans le marché du capital : K " 0 = K " I, (10) Le prix w H égalise la demande et l offre dans le marché du travail : L " 0 = L " I. (11) Le profit est nul : π " = Y " F K " 0, L " 0 ; A " = 0, (12) où par identité d Euler : F K " 0, L " 0 ; A " = F A K " 0, L " 0 ; A " K " 0 F D K " 0, L " 0 ; A " L " 0. (13) Dès lors, nous pouvons procéder à la caractérisation complète du modèle de Solow. Pour ce faire, nous considérons une forme fonctionnelle spécifique de la production. Plus précisément, nous considérons une fonction de production Cobb-Douglas. 4
Caractérisation du modèle de Solow-Swan Fonction de production : Y " = A " K " K L " 5LK Prix du capital : r " = αa " K " L " KL5 Prix du travail : w " = 1 α A " K " L " K Équation de l épargne : S " = 1 γ Y " Dynamique du capital : K "45 = S " + 1 δ K " Dynamique du travail : L "45 = 1 + n L " III. Modèle de Solow-Swan stochastique Le modèle de Solow-Swan peut également s écrire sous forme stochastique. Il suffit, pour ce faire, de considérer A " comme un processus aléatoire de type autorégressif d ordre 1. ln A " = ρ Q ln A "L5 + ε Q,", (14) Pour simuler notre modèle, il faudra assigner à l ensemble de paramètres du modèle des valeurs appropriées (calibration), selon le type d économies considéré. Pour la suite, nous travaillerons en notations per capita. Caractérisation du modèle de Solow-Swan en notation per capita Fonction de production : y " = A " k " K Prix du capital : r " = αa " k " KL5 Prix du travail : w " = 1 α A " k " K Équation de l épargne : s " = 1 γ y " Dynamique du capital : 1 + n k "45 = s " + 1 δ k " 5
Ci-après, nous dérivons le système d équilibre à l état stationnaire. Caractérisation du modèle de Solow-Swan à l état stationnaire Fonction de production : y = Ak K Prix du capital : r = αak KL5 Prix du travail : w = 1 α Ak K Équation de l épargne : s = 1 γ y Dynamique du capital : s = δ + n k Dynamique du travail : n = 0 Processus technologique : A = 1 Choc technologique : ε Q = 0 Des équations de l épargne et de la dynamique du capital, il vient que : D où : y = δ + n 1 γ k. (15) k = 1 γ δ + n 5 5LK (16) y = k K (17) r = αk KL5 (18) w = 1 α k K (19) s = δk (20) 6
Connaissant le système d équilibre non-linéaire et le système d équilibre, il est dès lors possible de dériver le système d équilibre log-linéarisé. Version log-linéarisée du modèle de Solow-Swan Fonction de production : y " = A " + αk " Prix du capital : r " = A " 1 α k " Prix du travail : w " = A " + αk " Équation de l épargne : s " = y " Dynamique du capital : 1 + n kk "45 = ss " + 1 δ kk " Processus technologique : A " = ρ Q A "L5 + ε Q," Pour la suite, nous allons travailler avec la version log-linéaire du modèle de Solow. IV. Pour simuler le modèle de Solow-Swan, il faudra assigner à l ensemble de paramètres du modèle des valeurs appropriées (calibration), selon le type d économies considéré. Étant donnée qu il s agit d un modèle de long terme, chaque instant t du temps correspond à l année. Le modèle comprend quatre paramètres, à noter : (i) le taux de croissance de la population active (ii) la part du capital dans le revenu, (iii) le taux d épargne, (iii) le taux de dépréciation. Le taux de croissance n de la population active est relativement plus élevé dans les pays en développement que dans les pays à économie avancée. Ci-après, je résume le taux de croissance de la population active respectivement aux États-Unis et en RDC. Croissance de la population active aux États-Unis et en RDC entre 1990 et 2014 USA RDC Croissance de la population active 0,96 3,23 Source : Banque mondiale (WDI, 2016) 7
Le coefficient α pour les pays en développement est généralement estimé entre 0,34 et 0,40. Pour les pays à économie avancée, le coefficient α est généralement fixé à 1/3. Toutefois, Kydland et Prescott (1982) ou Merz (1995) considèrent une valeur de 0,36. Cooley et Prescott (1995) considèrent plutôt une valeur de 0,40. Valeur du paramètre α dans les pays en développement Valeur assignée à α Source 0,35 Mavungu, Ntagoma et Tsasa (2015) 0,34 Akitoby et Cinyabuguma (2004) 0,35 Sacerdoti, Brunschwig et Tang (1998) 0,40 Bosworth, Collins et Chen (1995) Comme indiqué ci-après, deux études sur la RDC permettent d avoir une idée sur le taux de dépréciation du capital δ. En général, la valeur assignée au paramètre δ varie entre 0,10 et 0,15 par an pour les pays en développement contre 0,05 dans les pays développés. Cooley et Prescott (1995) considèrent par exemple une valeur de 0,048 pour le cas de l économie américaine, et Merz (1995) retient également une valeur relativement proche, soit 0,05 par an. Pour le cas de la RDC, Mavungu et al. (2015) considèrent une valeur de 0,16. Plus tôt Akitoby et Cinyabuguma (2004) ont considéré une valeur de 0,15. Valeur du paramètre δ dans les pays en développement Valeur assignée à δ Source 0,16 Mavungu, Ntagoma et Tsasa (2015) 0,15 Beddies (1999) Akitoby et Cinyabuguma (2004) Enfin, le taux d épargne 1 γ est relativement plus faible dans les pays en développement que dans les pays développés. Ci-après, je résume le taux d épargne respectivement aux États-Unis et en RDC pour la période 1990-2014. Le taux d épargne a été approximé par l épargne intérieure brute exprimée en pourcentage du PIB. 8
Taux d épargne aux États-Unis et en RDC entre 1990 et 2014 USA RDC Taux d épargne (en %) 18,21 8,99 Source : Banque mondiale (WDI, 2016) L ensemble des paramètres du modèle de Solow-Swan, ainsi que les valeurs leurs assignées selon qu il s agit de l économie américaine ou de l économie congolaise peut être résumé comme suit. Étalonnage du modèle de Solow-Swan α 1 γ δ n USA 0,33 0,1821 0,05 0,0096 RDC 0,35 0,0899 0,16 0,0323 Enfin, pour la programmation, nous avons assignée au paramètre autorégressif ρ Q la valeur de 0,95 et à l écart-type du choc la valeur de 0,03. Nous organisons notre programme en trois blocs principaux. BLOC 1 : LES INSTCRUCTIONS INTRODUCTIVES 9
BLOC 2 : LE MODELE BLOC 3 : LES INSTRUCTIONS FINALES APERCU DU PROGRAMME SUR MATLAB/DYNARE 10
SIMULATION DU MODELE DE SOLOW-SWAN POUR LES ETATS-UNIS 11
SIMULATION DU MODELE DE SOLOW-SWAN POUR LA RDC 12
COMPARAISON DES RESULTATS DES SIMULATIONS DU MODELE DE SOLOW-SWAN POUR LES ETATS-UNIS ET LA RDC Conclusion L'objectif de cette note était d'illustrer comment le modèle de Solow-Swan peut être simulé sur le logiciel MatLab/Dynare. Dans un papier ultérieur, je montrerai comment le logiciel MatLab/Dynare peut également être utilisé à l'effet de procéder à l'analyse de la convergence. Références Akitoby, Bernardin and Matthias Cinyabuguma, 2004, Sources of Growth in the Democratic Republic of the Congo: A Cointegration Approach, IMF Working paper, no. 04/114, 31p. 13
Banque mondiale, 2016, WDI, World Development Indicators, Washington D.C.: The World Bank. Beddies, Christian H., 1999, Investment, Capital Accumulation, and Growth: Some Evidence from Gambia 1964-98, IMF Working Paper, no. 99/117, 32p. Bosworth, Barry, Susan M. Collins and Yu-chin Chen, 1995, Accounting for Differences in Economic Growth, Brookings Discussion Papers in International Economics, no. 115, 84p. Cooley, Thomas F. and Prescott, Edward C., 1995, Economic Growth and Business Cycles, in Thomas F. Cooley (ed.), Frontiers of Business Cycle Research, chapter 1, 1-38. Kydland, Finn E. and Prescott, Edward C., 1982, Time to Build and Aggregate Fluctuations, Econometrica, vol. 50, no. 6, 1345-1370. Mavungu, Marina, Jean-Baptiste Ntagoma et Jean-Paul K. Tsasa, Inclusivité et Marché du Travail: Approche par le Modèle DSGE Non-Ricardien, Revue congolaise de politique économie, vol. 2, no. 2, 141-193. Merz, Monika, 1995, Search in the Labor Market and the Real Business Cycle, Journal of Monetary Economics, vol. 36, no. 2, 269-300. Sacerdoti, Emilio, Sonia Brunschwig and Jon Tang, 1998, The Impact of Human Capital on Growth: Evidence from West Africa, IMF Working Paper, no. 98/162, 34p. Solow, Robert M., 1956, A Contribution to the Theory of Economic Growth, Quarterly Journal of Economics, vol. 70, no. 1, February, 65-94. Swan, Trevor W., 1956, Economic Growth and Capital Accumulation, Economic Record, vol. 32, no. 2, November, 334-361. 14