nde Evaluation n 1 de mathématiques Le 0/10/011 NOM :.. Durée : h Calculatrice autorisée. Le barème est donné sur 45. Les parties QCM, Fonctions et calculatrice, Espace sont à traiter sur le sujet. Le reste est à faire sur une copie. QCM : (8 points : 0,5 point par bonne réponse, 0,5 point par mauvaise réponse, 0 si pas de réponse.) Pour chaque ligne du tableau suivant, 3 réponses sont proposées, mais une seule est exacte. Recopier la lettre correspondant à la réponse choisie dans la dernière colonne du tableau. 1. Dans le triangle ABC ci-contre, I et J sont les milieux respectifs des côtés [AB] et [AC]. Le point E est a) l orthocentre b) le centre du cercle circonscrit c) le centre de gravité b La droite (AK) est a) une hauteur b) une médiane c) une bissectrice c. En faisant tourner le triangle AHS, rectangle en H, autour de (SH), on obtient le cône de révolution représenté ci-contre. On sait que SH = 10 cm et AH = 3 cm. La génératrice AS du cône est égale à : a) 10,4 cm b) 109 cm c) 91 cm b L aire de base du cône est égale à : a) 6 cm b) 9 cm c) 18 cm b Le volume du cône est égal à : a) 30 cm 3 b) 90 cm 3 c) 0 cm 3 a 3. Le tableau ci-contre est le tableau de variation d une fonction f : La fonction f est : a) décroissante sur [ 8 ; 1] b) décroissante sur [0 ; 1] c) croissante sur [0 ; 4] b Un antécédent de 1 est : a) 3 b) 8 c) b 4. Soit une fonction f, telle que sait que l image de 0 par la fonction f est égale à 0,5 et que 0 a deux antécédentspar f. Parmi les courbes représentées ci-contre, celle qui ne peut pas représenter la fonction f est : a) b) c) c
5. La courbe ci-contre représente une fonction f. L ensemble de définition de f est a) [ ; 4] b) [ 6 ; 6] c) [ ; ] b Le maximum de f sur son ensemble de définition est Le minimum de f sur son ensemble de définition est a) 4 b) c) 6 a a) 6 b) 1 c) c Le nombre d antécédents de 0 par f est a) 1 b) c) 3 c Les antécédents de par f sont a) b) ; ; 6 c) ; b 6. Soit la fonction f définie sur IR par : f (x) = x 3 x + 8. L image de 1 par f est a) 4 b) 6 c) 10 a L image de 3 par f est a) 36 b) 8 c) 0 b Un point de la représentation graphique de f a pour coordonnées : a) ( ; ) b) (8 ; 0) c) ( ; ) c Géométrie dans l espace (4 points) ABCDEFGH est un pavé droit. Les points I, J et K sont les milieux respectifs des arêtes [AE], [EF] et [EH]. Compléter, sans justifier : a) Les droites (FH) et (JK) sont (coplanaires et) strictement parallèles b) Les droites (IK) et (DG) sont non coplanaires c) La droite (HF) est sécante au plan (GCD). d) Les plans (EIJ) et (CDG) sont strictement parallèles e) Les plans (EJK) et (FGH) sont confondus f) La droite (FH) est incluse dans le plan (EJK) g) Les droites (IJ) et (AB) sont (coplanaires et) sécantes h) La droite (IK) est strictement parallèle au plan (BFC)
Statistiques. (9,5 points) Exercice 1 : (1,5 points) On a repris le fichier INSEE où figurent les populations de toutes les communes de France. Suite à un tri effectué par région, on voudrait compter le nombre de communes de la région Nord-Pas de Calais. Voici donc le début des communes de cette région ainsi que la fin. 1. Combien la région Nord-Pas de Calais comporte-t-elle de communes? Justifiez votre réponse. Les communes de la région Nord-Pas de Calais sont dans les lignes n os 1780 à 1436 d où le nombre de communes de cette région est égal à 1436 1779, c est-à-dire 1547 communes.. Dans le tableau suivant, 3 réponses sont proposées, mais une seule est exacte. Recopier la lettre correspondant à la réponse choisie dans la dernière colonne du tableau. Quelle formule permet de calculer la population moyenne par commune dans cette région? a) MOYENNE(J1780:J1436) b) = MOYENNE(J1780:J1436) c) = MOYENNE(J1780;J1436) b Exercice : (8 points) Un apiculteur amateur fait le bilan de la production de miel de ses ruches pour l année 008. Pour chacune d elles, il note la quantité de miel produite (en kg). Il obtient les résultats suivants : Production de miel (en kg) 18 0 1 3 4 6 8 Nombre de ruches 4 4 3 1 3 1 3 1. a) Calculer la quantité totale de miel produit. La quantité totale est égale à : 18 + 4 0 + 4 1 + 3 + 1 3 + 3 4 + 1 6 + 3 8 = 471 La quantité totale de miel est de 471 kg. b) Calculer la production moyenne par ruche. (On arrondira le résultat au dixième.) 18 + 4 0 + 4 1 + 3 + 1 3 + 3 4 + 1 6 + 3 8 x = = 471 +4+4+3+1+3+1+3 1,4 La production moyenne de miel par ruche est d environ,4 kg.. Déterminer la médiane de cette série. Production de miel (en kg) 18 0 1 3 4 6 8 Nombre de ruches 4 4 3 1 3 1 3 Effectifs cumulés croissants 6 10 13 14 17 18 1 L effectif total est impair : N = 1 N = 10,5 donc la médiane est le 11ème terme de cette série rangée dans l ordre croissant donc Med = La production médiane est de kg. 3. Déterminer l écart interquartile. Premier quartile : on a N 4 = 5,5 donc Q 1 est la 6 ème valeur de cette série rangée dans l ordre croissant donc Q 1 = 0 Troisième quartile : on a 3N 4 = 15,75 donc Q 3 est la 16 ème valeur de cette série rangée dans l ordre croissant donc Q 3 = 4 L écart interquartile est égal à : Q 3 Q 1 = 4 0 c est-à-dire à 4.
Fonction et représentation graphique (5 points) Soit une fonction f dont on nous donne les renseignements qui figurent dans les deux tableaux ci-dessous : Le tableau de variation x 50 0 0 60 Variation 50 10 de f 0 30 Le tableau de valeurs 1) Compléter ci-dessus avec les noms de ces deux tableaux. ) Donner l'ensemble de définition de f. f est définie sur l intervalle [ 50 ; 60]. x 35 0 5 30 40 f ( x ) 0 0 0 0 0 3) Tracer avec précision une courbe possible de f en tenant compte de toutes les informations données. Vous commencerez par choisir un repère convenable. y 50 40 30 0 10-50 -40-30 -0-10 0 10 0 30 40 50 60 x -10-0 -30
Fonction et géométrie plane (18,5 points) Deux frères possèdent un terrain de forme triangulaire et décident de se partager ce terrain en vue d y construire chacun une habitation. Ci-contre, on a représenté ce terrain ABC qui est un triangle rectangle en B avec AB = 60 m et BC = 70 m Ils décident d un commun accord, de le partager de la façon suivante : L un des deux recevra la partie triangulaire définie par le triangle AMN où (MN) et (BC) sont parallèles L autre recevra alors la partie trapézoïdale BMNC Ils veulent que les aires des deux parties ainsi constituées soient égales. On pose : x la distance AM en mètres. 1) a) Préciser l intervalle dans lequel se trouve le réel x. Voici le schéma qui représente la situation : M appartient au segment [AB], donc AM AB, soit AM 60 et AM est une longueur, donc AM 0. Donc x [0 ; 60] b) Exprimer en fonction de x la distance MN (en mètres). Dans le triangle ABC : - les points A, M et B sont alignés et distincts à - les points A, N et C sont alignés et distincts à - (MN) // (BC) D après le théorème de Thalès : AM AB = MN BC soit x 60 = MN 70 d où MN = 70 x 60 MN = 7 6 x c) En déduire l aire du triangle AMN puis celle du trapèze BMNC (en mètres carrés). Aire AMN = AM MN = x Aire BMNC = Aire ABC Aire AMN = 7 6 x Aire AMN = 7 x 1 AB BC 7 x 1 = 60 70 7 x 1 Aire BMNC = 100 7 x 1 ) Soient les fonctions f et g définies sur [0 ; 60] par : f ( x ) = 7 x / 1 et g (x) = (500 7 x ) / 1 A l aide de la calculatrice : a) Compléter le tableau ci-dessous : x 0 10 0 30 40 50 60 f ( x ) 0 58,3 33,3 55 933,3 1458,3 100 g ( x ) 100 041,7 1866,7 1575 1166,7 641,7 0 Indiquer la démarche utilisée. On utilise la table de valeurs de la calculatrice, en rentrant en Y 1 l expression de f (x) et en Y celle de g (x). On règle le début de la table à 0 et la fin à 60, puis le pas à 10. Peut-on donner une réponse à ces deux frères à l aide de ce tableau? Le tableau de valeurs des deux fonctions ne permet pas de donner une réponse aux deux frères. b) Visualiser les représentations graphiques de f et de g. Donner toutes vos étapes puis dessiner à main levée, dans le rectangle ci-dessous, l'allure des courbes que vous obtenez en les nommant. Allure Réglages : X min = 0 X max = 60 Y min = 0 Y max = 100
Conjecturer alors la valeur de x qui répond au problème posé c est-à-dire telle que l aire du triangle AMN soit égale à l aire du trapèze BMNC. Vous donnerez un encadrement d amplitude 0,1 de cette valeur. Soit cette valeur. Avec le solveur graphique de la calculatrice, on obtient : 4,4 < < 4,5 c) Déterminer la valeur exacte de x qui répond au problème posé c est-à-dire telle que l aire du triangle AMN soit égale à l aire du trapèze BMNC. Il s agit de résoudre algébriquement l équation : f (x) = g (x) 7 x 500 7 x Soit = 1 1 7 x 1 + 7 x 1 = 500 1 14 x = 500 x = 500 14 x = 1800 x = 1800 ou x = 1800 Or x > 0 donc x = 1800 = 30 La longueur MN doit donc être égale à 30 mètres, soit environ 4,43 mètres. d) BONUS : Recherche : Toute trace sera notée positivement. Nous attendons de vous de chercher à résoudre le problème posé. Il vous faut donc écrire, sur votre copie, toute votre recherche, l évolution de celle-ci, même si elle n aboutit pas. Avec la calculatrice, nous obtenons une valeur approchée de x. Un élève a résolu le problème avec un logiciel de géométrie dynamique. Il conjecture que la distance x ne dépend pas de la longueur BC. Peut-on répondre à celui-ci en trouvant la valeur exacte de x? Il s agit de montrer que la valeur de x telle que les deux aires soient égales ne dépend pas de BC. Soit Aire AMN = Aire BMNC or Aire BMNC = Aire ABC Aire AMN D où Aire AMN = Aire ABC Aire AMN Donc Aire AMN = Aire ABC AM MN = AB BC AM MN = AB BC or MN = AM AM BC = AB BC AB AM BC = AB BC AM = AB AM = AB AM = AB On a ainsi démontré que : ou AM = AB AM BC AB d après la question 1.b) or AM > 0 donc AM = AB quelle que soit la longueur BC, la valeur de x telle que les deux parcelles aient la même aire est égale à AB.