Bac Blanc Terminale S - Février 014 Épreuve de Mathématiques (durée 4 heures) L attention des candidats est attirée sur le fait que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entrent pour une part importante dans l appréciation des copies. Calculatrice autorisée. Aucun échange de matériel ou de calculatrice n'est permis entre les candidats. Exercice 1 (4 points) pour tous les candidats Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O; u, v). On réalisera une figure en prenant pour unité 1 cm. On complètera cette figure au fur et à mesure des questions. On considère les points A, B et C du plan complexe d affixes respectives a = -1 + i ; b = -- i ; c = -6 + i. 1 ) Placer les points A, B et C sur le graphique. ) Déterminer la nature du triangle OAB. ) On considère l application f qui à tout point M d affixe z avec z b, associe le point M ' d affixe z' définie par z' = z + 1 - i z + + i a) Calculer, l affixe c' du point C ', image de C par f. Le résultat sera donné sous la forme algébrique. Placer le point C ' sur la figure. b) Déterminer l'ensemble E des points M d affixe z avec z b, tels que z' = 1. c) Justifier que E contient les points O et C. Tracer E. 4 ) Soit J et K les points d affixes respectives 4 + i et -i. On note L le milieu de [JK]. a) Déterminer l'affixe de L. b) Démontrer que les points C, O et L sont alignés. c) En déduire que la médiane issue de O du triangle OJK est la hauteur issue de O du triangle OAB. Bac Blanc 014 - Terminale S page 1 / 7
Exercice (6 points) pour tous les candidats Partie A On considère la fonction f définie sur IR par f (x) = x e -x et on note (C) la courbe représentant f dans un repère orthogonal (O ; i, j). 1 ) a) Déterminer la limite de f en -. b) Justifier que, pour tout x IR, f (x) = 4 x e- x. En déduire que lim f (x) = 0. x + Interpréter graphiquement cette limite. ) Calculer la dérivée de f et dresser le tableau de variation de f sur IR. ) Justifier que l'équation f (x) = 1 a, sur l'intervalle [-1 ; 0], une solution unique α. 4 ) On donne l'algorithme ci-dessous : Variables a, b et m sont des nombres réels Initialisation Affecter à a la valeur -1 Affecter à b la valeur 0 Traitement Tant que b - a > 0,01 Sortie Affecter à m la valeur 1 (a + b) Si f (m) > 1 alors Affecter à a la valeur m Sinon Affecter à b la valeur m Fin de Si Fin de Tant que Afficher a Afficher b En suivant le déroulement de cet algorithme compléter les dernières colonnes du tableau ci-dessous que l on recopiera sur la copie. (on utilisera, si besoin, des valeurs approchées à 10 - près) Initialisation Étape 1 Étape Étape m -0,5 f (m) a -1 b 0 b - a 1 Que représentent les valeurs affichées en sortie lorsque l'algorithme se termine? (On ne demande pas de déterminer ces valeurs affichées) Partie B Pour tout réel k > 0, on désigne par f k la fonction définie et dérivable sur IR telle que : f k (x) = k x e -k x NB : lorsque k = 1, la fonction f 1 correspond à la fonction f de la partie A. On appelle (C k ) la courbe représentative de f k dans le plan muni d un repère orthogonal (O ; i, j). 1 ) Montrer que pour tout réel k > 0, les courbes (C k ) passent par un même point. ) a) Montrer que pour tout réel k > 0 et tout réel x on a f k '(x) = k x ( - k x)e -k x b) Justifier que, pour tout réel k > 0, f k admet sur ]0 ; + [ un maximum et calculer ce maximum. c) On a représenté sur le graphique ci-dessous les courbes (C ) et (C p ) où p est un réel strictement positif fixé. En observant ce graphique, donner une valeur approchée de p. Expliquer la démarche. (C ) (C p ) Bac Blanc 014 - Terminale S page / 7
Exercice (5 points) pour tous les candidats Soit la suite numérique (u n ) définie sur IN par : u 0 = 1 et pour tout entier naturel n, u n+1 = u n + 8 u n + 1 On admet que pour tout n IN, u n > 0. 1 ) a) Calculer u 1, u, u et u 4. (On donnera les valeurs exactes et des valeurs approchées à 10 - près) b) Vérifier que si n est égal à 0, 1,, ou 4 alors - u n est du signe de (-1) n. c) Montrer que pour tout n IN, - u n+1 = -(- u n ) u n + 1 d) En déduire, en utilisant une démonstration par récurrence, que pour tout n IN, - u n est du signe de (-1) n. ) On désigne par (v n ) la suite définie sur IN par v n = u n - u n + a) Montrer que (v n ) est une suite géométrique de raison - 5 b) En déduire l'expression de v n en fonction de n. c) Montrer que pour tout n IN, v n 1 puis que u n = v n + 1 - v n d) À l'aide du c), exprimer u n en fonction de n et déterminer la limite de la suite (u n ). Bac Blanc 014 - Terminale S page / 7
Exercice 4 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le robot Tom doit emprunter un pont sans garde-corps de 9 pas de long et de pas de large. Sa démarche est très particulière : Soit il avance d un pas tout droit ; Soit il se déplace en diagonale vers la gauche (déplacement équivalent à un pas vers la gauche et un pas tout droit) ; Soit il se déplace en diagonale vers la droite (déplacement équivalent à un pas vers la droite et un pas tout droit). On suppose que ces trois types de déplacement sont aléatoires et équiprobables. L objectif de cet exercice est d estimer la probabilité p de l évènement S «Tom traverse le pont» c est-à-dire «Tom n est pas tombé dans l eau et se trouve encore sur le pont au bout de 9 déplacements». Partie A : modélisation et simulation Les deux parties sont indépendantes On schématise le pont par un rectangle dans le plan muni d un repère orthonormé (O, I, J) comme l indique la figure ci-dessous. On suppose que Tom se trouve au point de coordonnées (0 ; 0) au début de la traversée. On note (x ; y) les coordonnées de la position de Tom après x déplacements. On a écrit l algorithme suivant qui simule la position de Tom au bout de x déplacements : x, y, n sont des entiers Affecter à x la valeur 0 Affecter à y la valeur 0 Tant que y ³ -1 et y 1 et x 8 Affecter à n une valeur choisie au hasard parmi -1, 0 et 1 Affecter à y la valeur y + n Affecter à x la valeur x + 1 Fin tant que Afficher «la position de Tom est» (x ; y) 1 ) On donne les couples suivants : (- ; 0) ; (9 ; -1) ; (7 ; 1) ; (9 ; -). Lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme? Justifier la réponse. ) Modifier cet algorithme pour qu à la place de «la position de Tom est» (x ; y), il affiche finalement «Tom a réussi la traversée» ou «Tom est tombé». Bac Blanc 014 - Terminale S page 4 / 7
Partie B : Pour tout n entier naturel compris entre 0 et 9, on note : A n l évènement «après n déplacements, Tom se trouve sur un point d ordonnée -1» ; B n l évènement «après n déplacements, Tom se trouve sur un point d ordonnée 0» ; C n l évènement «après n déplacements, Tom se trouve sur un point d ordonnée 1» ; S n l évènement «après n déplacements, Tom se trouve sur le pont». On note a n, b n, c n les probabilités respectives des évènements A n, B n, C n. 1 ) Justifier que a 0 = 0, b 0 = 1, c 0 = 0. ) Calculer les probabilités P(A 1 ), P(B 1 ) et P(C 1 ). ) a) Compléter l'arbre de probabilités, correspondant aux deux premiers déplacements, donné en annexe. a 1 + b 1 b) Montrer que a = b = a 1 + b 1 + c 1 c = b 1 + c 1 c) En déduire la probabilité que Tom se trouve sur le pont au bout de deux déplacements. 4 ) On admet que pour tout entier naturel n compris entre 0 et 8, on a : a n+1 = a n + b n b n+1 = a n + b n + c n c n+1 = b n + c n À l aide d un tableur, on a obtenu la feuille du calcul ci-contre qui donne des valeurs approchées de a n, b n, c n pour n compris entre 0 et 9. Donner une valeur approchée à 0,001 près de la probabilité que Tom traverse le pont. (On pourra s aider du tableau ci-contre) n a n b n c n 0 0 1 0 1 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,185 185 0,59 59 0,185 185 4 0,148 148 0,09 877 0,148 148 5 0,119 4 0,168 74 0,119 4 6 0,096 0 0,15 80 0,096 0 7 0,077 75 0,109 8 0,077 75 8 0,06 186 0,087 944 0,06 186 9 0,050 04 0,070 77 0,050 04 Bac Blanc 014 - Terminale S page 5 / 7
Exercice 4 (5 points) pour les candidats ayant choisi la spécialité MATH Le gestionnaire d un site web, composé de trois pages web numérotées de 1 à et reliées entre elles par des liens hypertextes, désire prévoir la fréquence de connexion sur chacune de ses pages web. Des études statistiques lui ont permis de s apercevoir que : Si un internaute est sur la page n 1, alors, soit il ira sur la page n avec la probabilité 1, soit il ira sur la page n avec la probabilité 1 4, soit il restera sur la page n 1 avec la probabilité 1 4. Si un internaute est sur la page n, alors, soit il ira sur la page n avec la probabilité 1, soit il restera sur la page n avec la probabilité 1 4, soit il ira sur la page n 1 avec la probabilité 1 4. Si un internaute est sur la page n, alors il ira, soit sur la page n avec la probabilité 1, soit sur la page 4 n 1 avec la probabilité 4. Pour tout entier naturel n non nul, on définit les évènements et les probabilités suivants : A n : «Après la n-ième navigation, l internaute est sur la page n 1» et on note a n = P(A n ) B n : «Après la n-ième navigation, l internaute est sur la page n» et on note b n = P(B n ) C n : «Après la n-ième navigation, l internaute est sur la page n» et on note c n = P(C n ) A 0 : «À la connexion sur le site, l internaute est sur la page n 1» et on note a 0 = P(A 0 ) B 0 : «À la connexion sur le site, l internaute est sur la page n» et on note b 0 = P(B 0 ) C 0 : «À la connexion sur le site, l internaute est sur la page n» et on note c 0 = P(C 0 ) 1 ) a) Compléter l arbre pondéré donné en annexe. b) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : ) Pour tout entier naturel n, on pose U n = (a n b n c n ) ; U 0 = (a 0 b 0 c 0 ) représente la situation initiale. a n+1 = 1 4 a n + 1 4 b n + 4 c n b n+1 = 1 4 a n + 1 4 b n + 1 4 c n c n+1 = 1 a n + 1 b n a) Justifier que, pour tout entier naturel n, U n+1 = U n M où M est une matrice à préciser. b) En déduire que, pour tout entier naturel n, U n = U 0 M n. ) Montrer qu il existe une unique matrice ligne U = (x y z) telle que : x + y + z = 1 et U = UM. 4 ) Un logiciel de calcul formel a permis d obtenir l expression de M n, n étant un entier naturel non nul. M n = 5 1 + 1-1 n 1 4 5 1 + 1-1 n 1 4 5 1 - - 1 n 1 4 1-1 - 1 n 1-1 - 1 n 1 + - 1 Pour tout entier naturel n non nul exprimer a n ; b n et c n en fonction de n. En déduire que les suites (a n ) ; (b n ) et (c n ) convergent vers des limites que l on précisera. Quel sera le comportement de l internaute à long terme? n Bac Blanc 014 - Terminale S page 6 / 7
À rendre avec la copie NOM - Prénom : NNNNNNNNN. Classe : NNNN Annexe Exercice 4 pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH A 1 A B a 1 S A b B 1 1 B C c 1 S C 1 B C Annexe Exercice 4 pour les candidats ayant choisi la spécialité MATH A n A n+1 B n+1 a n C n+1 A n+1 b B n n B n+1 C n+1 c n A n+1 C n B n+1 C n+1 Bac Blanc 014 - Terminale S page 7 / 7