Conception d une Pyramide de Keops Sylvain GARCIA 1 1 contact@sylvaingarcia.name http://www.sylvaingarcia.name Table des matières 1 Définition des constantes 1 Définition des rapports de proportions 3 Notion de grandeurs visibles et invisibles 4 4 Notion de vitesse de la lumière 6 5 Méthode de construction 7 6 Analyse des autres relations 8 7 Conclusion 9 8 Références 9 9 Annexe 9 1 Définition des constantes 1.1 Nombre Phi Nous allons maintenant introduire le nombre d or qui est la solution positive de l équation 1 suivante : x x 1 = 0 (1) On notant ce nombre d or ϕ on a les résultats 3 4 suivants : ϕ ϕ 1 = 0 () ϕ = ϕ + 1 (3) ϕ = ϕ 1 (4) 1
1. Nombre π Soit un cercle de centre 0 et de rayon r et de périmètre p alors : π = p r (5) Figure 1 pi Définition des rapports de proportions Nous allons ici exposer les différents rapports de proportions que l on peut avoir dans la grande pyramide. Nous noterons h la hauteur et c le coté de la base. Le demi périmètre divisé par la hauteur vaut π : c h = π (6) La hauteur moins la demi base vaut 10π : h c = 10π (7) h Le demi périmètre moins par la hauteur vaut 100π c h = 100π (8) La surface total visible divisé la surface invisible vaut ϕ S visible /S invisible = ϕ (9) Ici S invisible est l aire de la base soit S invisible = 4c. Pour l aire de S visible, elle est constituée de 4 triangles égaux. L aire d un triangle est : A = Bh (10) ou B est la longueur de la base, h la hauteur. Pour la face de la pyramide : B = c ( h = c ) + h (11)
Figure Base et hauteur d une des faces Nous avons donc : La hauteur plus la demi base vaut 100ϕ La hauteur divisé la demi base vaut ϕ ( 4c c ) + h = ϕ (1) c h c = 100ϕ (13) h c = ϕ (14) Le périmètre du cercle circonscrit moins périmètre du cercle inscrit vaut la vitesse de la lumière Figure 3 Le périmètre du cercle circonscrit et inscrit à la base cπ cπ = V (15) 3
3 Notion de grandeurs visibles et invisibles Nous avons vu précédemment certaines des relations que nous avons dans la pyramide. Afin de proposer un analyse sur la conception d un tel forme respectant toutes ces proportion, nous allons partir des notions de grandeur visible et invisible. Il est intéressant de voir que et c h = π (16) ( 4c c ) + h = ϕ (17) c Ce qui implique que des opérations utilisant les notions de grandeurs visibles et invisibles indique les constantes π et ϕ. Nous allons donc d abords nous concentrer sur ces deux rapports pour en déduire le point de départ éventuelle de la conception. Puisque toute les autres ne sont que des variantes de ces constante mettons les de coté pour le moment. Il faut déjà savoir que pour tracer tout les types de pyramides à base carré, deux paramètres sont nécessaires, qui sont la hauteur et un coté de la base. Afin de pouvoir proposé un modèle numérique de pyramide respectant les deux conditions 16 et 17 il suffit d exprimer la hauteur en fonction de la base. nous avons donc : et h = c π ( 4c c ) + h c = ϕ ( c ) + h = ϕ c ( c + h = ) cϕ ( c ) + h = c ϕ 4 h = c ϕ ( c 4 ) ( c ) h = (ϕ 1) (18) h = c ϕ 1 4
h = c ϕ (19) On peut voir ici un relation très intéressante qui implique que les équations 9 et 14 sont équivalente. On peut donc dire que l une des deux n est pas nécessaire pour la conception de cette pyramide, car l une est conséquence de l autre. Il faut résoudre maintenant le système d équation 18 et 19. Pour cela il suffit de tracer les deux courbes les représentant. La figure [4] illustre le résultat. Figure 4 Modelisation des pyramides possibles On peut voir que les deux relations 18 et 19, qui découle des 6 et 14, sont équivalentes! On peut bien voir que les courbes sont confondues. Pour être sure de ce résultat, on peut aussi proposer un programme récursif afin de construire une liste de valeurs c et h qui vérifie les deux relations et voir si la courbe représentative de l équation 19 tend à celle de la relation 18. Nous voyons bien sur la figure [5] que les deux courbes se rejoignent, proportionnellement au pas de calcul utilisé et à la précision du test paramétré. Nous avons donc : Longueur horizontale visible Longueur verticale invisible = π Surface visible Surface invisible = ϕ (0) Toutes cette étude nous fait remarqué que nous avons là des relations qui ne permettent pas de générer une pyramide unique, car toutes celles qui admettent des grandeurs présent sur la droite sont valide. Par contre, on peut en déduire que l équivalence 0 implique une unicité dans le choix même de la forme géométrique : pyramide à base carré. Pour pouvoir construire notre pyramide, il nous faut donc une autre variable. 5
Figure 5 Modélisation des pyramides possibles par une méthode récursive 4 Notion de vitesse de la lumière Introduisant maintenant la notion de vitesse de la lumière. Il faut ainsi admettre que la volonté première et de la déduite à partir de la base. La hauteur n entre donc pas en considération. On rappelle que cπ cπ = V (1) Pour trouver toutes les base qui conviennent, il suffit d exprimer le coté en fonction de la vitesse de la lumière. C est à dire : c = V π π Traçons maintenant le même type de graphe que précédemment, en utilisant la relation 6. Nous voyons sur la figure [6] un point d intersection unique qui correspond aux longueurs : hauteur h et coté c. Ce raisonnement permet de mettre en évidence le caractère unique de la pyramide en utilisant seulement deux relations qui sont la vitesse de la lumière et π. () 6
Figure 6 Modélisation des pyramides en fonction de pi et de la vitesse de la lumière 5 Méthode de construction Pour avoir une pyramide ayant toutes ces propriété, nous devons donc avoir une hauteur h et un coté de base c. Pour le coté, la relations suffit, pour la hauteur, il faut partir de : et en ajoutant la relation 5 c π = h (3) on a π = p r (4) p = r π on peut donc faire une analogie, c est à dire que c représente le périmètre d un π cercle. On a donc h qui vaut à un diamètre d un cercle de périmètre c. Ce qui revient à dire : (5) et donc c = hπ (6) 4c = hπ (7) 7
Il faut voir maintenant que 4c représente le périmètre de la base et hπ le périmètre d un cercle de rayon h. Il en résulte donc que h découle d une construction d un cercle ayant le même périmètre que la base. Avec h le rayon de ce cercle. 6 Analyse des autres relations Maintenant que cette pyramide est assemblé et que nous avons déterminé ses dimensions, on peut vérifier que les proportions avec les dérivés des nombres π et ϕ sont bien concordant. Par la même méthode que précédemment, on déduit la hauteur en fonction du coté pour tracer toutes les pyramides possibles. Figure 7 Modélisation des pyramides possibles en fonction de toutes les relations Nous voyons sur la figure [7] que toutes les relations, sont concourantes en un point qui correspond bien au dimensions de la pyramide de Gizeh. Ce qui prouve, en admettant la connaissance et la volonté de vouloir représenter à travers elle toutes ces relations et constantes, qu elle est belle et bien unique. En faisant une analyse récursive, en prenant toute les conditions en série que les seules dimensions possible sont h = 146.6 et c = 30.4. 8
7 Conclusion A travers ces démonstrations, on peut voir que la pyramide est bien unique par ces dimensions. Cependant tout ça découle de la connaissance de celle ci à la base. Mais néanmoins l utilisation de deux relations permet d en trouver ces valeurs. Il est aussi intéressant de voir que : Longueur horizontale visible Longueur verticale invisible = π Surface visible Surface invisible = ϕ (8) ce qui peut éventuellement démontré que seule le choix de cette structure en tant que solide mathématique est unique et nécessaire. En couplant cela à la volonté d exprimer la vitesse de la lumière, on peut ainsi en trouver les dimensions. Par contre il est aussi mis en évidence des relations équivalentes comme. Hauteur Demi base = ϕ Surface visible Surface invisible = ϕ (9) 8 Références P. Pooyard - J. Grimault, La révélation de pyramides, Film, 01. J. Grimault, La révélation de pyramides, Top Secret, vol. 64, pp. 46 53, 01. 9 Annexe Pour les initiés au calcul P ython ou pour les amateurs de calcul numérique, voici le code source du programme permettant de mettre en illustrations toutes les proportions de la pyramides : http ://www.sylvaingarcia.name/pyramids.py # * coding: utf 8 * from pylab import * phi = (1+sqrt(5))/ c = arange(1,300,0.1) h = arange(1,300,0.1) 9
iteration = len(c) #.cote / hauteur = pi if (3.14<(*c[i])/h[j]<3.145): print "Le nombre de pyramides tel que.c / h = pi est de %s" %nb pyr #.cote hauteur = 100.pi iteration = len(c) if (314<(*c[i]) h[j]<314.5): print "Le nombre de pyramides tel que.c h = 100.pi est de %s" %nb pyr # hauteur (cote / ) = 10.pi iteration = len(c) if (31.4<(h[j] (c[i]/))<31.45): print "Le nombre de pyramides tel que h (c / ) = 10.pi est de %s" %nb pyr 10
# hauteur + (cote / ) = 100.phiˆ iteration = len(c) if (61.7<(h[j]+(c[i]/))<61.9): print "Le nombre de pyramides tel que h + (c / ) = 100.phiˆ est de %s" %nb pyr ## # On calcule pour les 4 proprietes soient verifies ## iteration = len(c) if (3.14<(*c[i])/h[j]<3.145): if (314<(*c[i]) h[j]<314.5): if (31.4<(h[j] (c[i]/))<31.45): if (61.7<(h[j]+(c[i]/))<61.9): ## # On rajoute S vis / S inv ## print "< On rajoute S vis / S inv >" iteration = len(c) if (3.14<(*c[i])/h[j]<3.145): 11
if (314<(*c[i]) h[j]<314.5): if (31.4<(h[j] (c[i]/))<31.45): if (61.7<(h[j]+(c[i]/))<61.9): S inv = c[i]*c[i] S vis = 4 * (c[i]*sqrt((c[i]/)*(c[i]/) + h[j]*h[j]) / ) S = S vis / S inv ecrat rel = 100*((S phi) / phi) print "Le nombre de pyramides possibles est de %s" %nb pyr #on cherche l'ecart minimum mini y = 0 for i in range(len(liste ecart rel)): if liste ecart rel[i] < liste ecart rel[mini y]: mini y = i print "Le cote optimal est %s" %liste c[mini y] print "La hauteur optimale est %s" %liste h[mini y] # On trace les 3 droites h = (*c)/pi h = *c 100*pi h = 10*pi+(c/) c = arange(1,1000,0.01) h = (*c)/pi plot(c,h, label='demi perimtre / hauteur = pi') h = *c 100*pi plot(c,h, label='demi perimtre hauteur = 100.pi') h = 10*pi+(c/) plot(c,h, label='hauteur demi cote = 10.pi') h = 100*phi*phi (c/) plot(c,h, label='hauteur + demi cote = 100.phiˆ') h = (c/)*sqrt((phi*phi) 1) plot(c,h, label='h = (c/)*sqrt(phi)') c = (*99.79)/((*pi*sqrt() *pi)) matrice 0 = [c for i in range(99900)] plot(matrice 0,h, label='perim circonscrit Perim inscrit = V lum') xlabel('cote en m') ylabel('hauteur en m') title('modelisation des pyramides possibles') 1
legend() show() c = arange(1,100,0.1) h = arange(1,100,0.1) iteration = len(c) S inv = c[i]*c[i] S vis = 4 * (c[i]*sqrt((c[i]/)*(c[i]/)+h[j]*h[j]) / ) if (3.14<(*c[i])/h[j]<3.145): if (1.618<(*c[i]*sqrt((c[i]/)*(c[i]/)+h[j]*h[j])/(c[i]*c[i]))<1.619): plot(liste c,liste h, label='surface visible Surface invisible = phi') h = (*c)/pi plot(c,h, label='demi perimtre / Hauteur = pi') xlabel('cote en m') ylabel('hauteur en m') title('modelisation des pyramides possibles') legend() show() 13