ECOLE POLYTECHNIQUE DE TUNISIE T Classe : 3 éme année MEST Collection de sujets de de mini-p projets Optimisation des Structures par Moez Ben Jaber Année Universitaire 2014-2015 1
Mini projets Optimisation des Structures n 1 Année universitaire 2013 2014 Optimisation de forme d un pont à treillis Objectif On cherche à minimiser la masse d un pont à treillis sous un chargement donné, en variant les longueurs des barres par le déplacement dess positions verticales dess nœuds inférieurs. La structure est fixée aux deux extrémités et en appui simple au milieu et un chargement uniforme est appliqué sur la partie horizontale supérieure. La structure du pont doit résister à la chargee statique et le déplacement verticall maximal des nœuds inférieurs de la structure ne doit pas dépasser une certaine limite. Description du problème La structure considérée est tridimensionnelle. La géométrie initiale est présentée en vue de face et en vue de dessus dans la figure 1. 2 m 2 m 20 m 2
On supposera que la structure est homogène, ses caractéristiques physiques sont les suivantes : Module d Young E = 2,1.10 11 N/m 2 ; Coefficient de Poisson = 0,3 ; Masse volumique ρ = 7800 kg/m 3. La force imposée sur le bord supérieur est f = 25. 10 5 N. Section des barres horizontales : o profilé en tube d acier avec d= 0,08 m et e=0,005 m Section des autres barres : o profilé en tube d acier avec d= 0,04 m et e=0,003 m Limite d élasticité : R e =300 MPa Limite du déplacement vertical maximal autorisé : U 0 =0,1 m e d Coordonnées des nœuds variables y Suivant y z 3
Mini projets Optimisation des Structures n 2 Année universitaire 2013 2014 Optimisation dee forme d un support articulé Figure 1 Objectif On cherche à minimiser la masse d un support supposé de forme symétrique vertical, articulé en ses deux extrémités et chargé en son milieu (voir figure). par rapportt au plan La structure est sollicitée par une force verticale «F» uniformémen nt répartie sur une surface plane en son milieu dont les dimensions sont données dans la figure 2 ci dessous. Le volume à minimiser est celui généré par extrusion d un contour lissé (obtenu par une interpolation de type «spline» entre un nombre de points) reliant les articulations à la surfacee chargée (voir figure ci dessus). Le contour supposé symétrique par rapport au plan horizontal est défini d par 5 points uniformément espacés de 20 mmm horizontalement et dont leurs distances par rapport au plan de symétrie horizontal sont variables. Le support doit résister à la charge statique et le déplacement vertical maximal des nœuds de la structure ne doit pas dépasser 0.1 mm. On supposera que la structure est homogène, ses caractéristiques physiques sont les suivantes : Module d Young E = 2,1.10 11 N/m 2 ; Coefficient de Poisson = 0,3 ; Masse volumique ρ = 7800 kg/m 3. 4
La force imposée F= 5000N N. Limite d élasticité : R e =300 MPa Limite du déplacement vertical maximal autorisé : U 0 =0,1 mmm Figure 2 : CONFIGURATION INITIALE 5
Mini projets Optimisation des Structures n 3 Année universitaire 2012 2013 Optimisation dimensionnelle des sections d un pylône à treillis Objectif On cherche à minimiser la masse d un pylône de transmission de signal sous unn chargement donné, en variant les sections des barres. La structure est fixée au sol parr les nœuds inférieurs. Elle est soumise et un chargement composé par : Une force F 1 1= 10 kn appliquée les 2 nœuds B et C Une force F 2 2= 10 kn appliquée sur les 2 nœuds D et E Le poids propre La structure du pylône doit résister à la charge statique, doitt résister auu flambement et le déplacement vertical maximal des nœuds A, B, C et D ne doit pas dépasser une certaine limite. 6
Description du problème Vue de face et vue de dessus du pylône 7
La structure considérée est tridimensionnelle. La géométrie initiale est présentée en vue de face et en vue de dessus dans la figure 1. On supposera que la structure est homogène, ses caractéristiques physiques sont les suivantes : Module d Young E = 2,1.10 11 N/m 2 ; Coefficient de Poisson = 0,3 ; Masse volumique ρ = 7800 kg/m 3. Section des barres : profilé circulairee en acier Limite d élasticité : R e =300 MPa Limite du déplacement vertical maximal autorisé : U 0 =0,02 m d 8
Mini projets Optimisation des Structures n 4 Année universitaire 2013 2014 Optimisation dimensionnelle d un châssis de bicyclette Objectif On cherche à minimiser la masse du châssiss d une bicyclette. en variant les sections des barres (2), (3), (5), (5 ), (6) et (6). La structure du châssis est supposée symétrique par rapport au plan passant par l axe du volant et celui du support de la chaise du cycliste. Chargement La structure est supposée en appui simple sur l axe du volant et sur celui de la roue arrière. Le chargement du châssis est composé de trois force supposées toutes verticaless : Le poids du cycliste sur la chaise : F1=700 N L appui du cycliste sur le volant : F2= = 300 N 9
L action du pied du cycliste sur le pédale : F3=700 N Le châssis du bicyclette doit résister à la charge statique et au flambement. On supposera que la structure est homogène, ses caractéristiques physiques sont les suivantes : Module de Young E = 2,1.10 11 N/m 2 ; Coefficient de Poisson = 0,3 ; Masse volumique ρ = 7800 kg/m 3. Limite d élasticité : R e =300 MPa e d Section initiales des barres : Barre 1 2 3 4 5 et 5 6 et 6 D 82 36 40 30 12 20 e 5 2.5 3.5 1.5 2 1.5 10
Mini projets Optimisation des Structures n 5 Année universitaire 2013 2014 Optimisation de forme d un barrage d eau Objectif On cherche à minimiser le volume d un barrage soumis à la pression de l eau. Description du problème La structure considérée est tridimensionelle.. La géométrie initiale estt présentée dans la figure 1. Figure 1 Figure 2 Le barrage est considérée fixé par ses deux surfaces latérales et parr la surface de dessous. La forme du barrage est obtenue par lissage de 3 sections obtenues par des courbes de type spline. La structure du barrage doit résister à la charge statique et sa première fréquence propre doit être supérieure à une certaine limite f 0. On supposera que la structure est homogène, ses caractéristiques physiques sont les suivantes : Béton armée Module d Young E = N/m 2 ; Coefficient de Poisson = ; 11
Masse volumique ρ = kg/m 3. Limite d élasticité : R e =300 MPa Dimensions du barrage La hauteur du barrage h= 15 m La largeur du barrage est L= 50 m Epaisseur initiale h= 5 m Limite des fréquences propres est f 0 = 10 Hz 12
Mini projets Optimisation des Structures n 6 Année universitaire 2013 2014 Optimisation de forme d un château d eau en béton b arméee Objectif On cherche à maximiser le volume d un château d eau soumis à la pression p de l eau appliquée sur sa paroi intérieure. Description du problème La structure considérée est tridimensionnelle. La géométrie du château d eau sera modélisée par une coque d épaisseur constant et dont la forme est obtenu par lissage de 6 sections circulaires de diamètres variables situées danss 6 plans parallèles distant l un de l autre de 1 m. Figure 1 13
Les diamètres des 2 sections inférieures et supérieures seront fixés et valent 2 m. Le Château d eau est considérée fixé par le bas et soumis à la charge de la pression d eau appliquée sur sa surface intérieure et à son poids propre. Il doit résister à la charge statique et au flambage. On supposera que la structure est homogène, ses caractéristiques physiques sont les suivantes : Béton armée Module d Young E = N/m 2 ; Coefficient de Poisson = ; Masse volumique ρ = kg/m 3. Limite d élasticité : R e = 100MPa Dimensions du château d eau La hauteur h= 6 m La largeur D= 2 m Epaisseur de la paroi e= 0,15 m 14
Optimisation des Structures n 7 Année universitaire 2013 2014 Optimisation dimensionnelle d un réservoir d eau Objectif Dans ce mini projet, on cherche à déterminer les dimensions optimales d'un réservoir circulaire vertical d air comprimé de capacité donnée permettant d atteindre une u masse minimale Description Le réservoir est circulaire vertical, supporté par 4 poutres à profilé enn «L» soudés sur sa paroi cylindriques et, est chargé par une pression interne égale à 7 bars. Le réservoir doit résister au chargement statique et au flambement. Le volume du réservoir doit être supérieur à V=500 L. On supposera que la structure est homogène, ses caractéristiques physiques sont les suivantes : Acier Module d Young E = 2,1 10 5 MPa; Coefficient de Poisson = 0.3 ; Masse volumique ρ =7800 kg/m 3. Limite d élasticité : R e =250 MPa Facteur de sécurité : k s =2 15
Dimensions initiales du réservoirr : voir figuree ci dessous. Figure 1 Dimensions à optimiser : Valeurs initiales Epaisseur de la paroi du réservoir : e1 Rayon des formes sphériques : r Epaisseur des profilés en «L» : e2 Longueur des cordons de soudure entre profilés et réservoirs : d 2 mm 1365 mm 37.5 mm 102 mm 16
Mini projets Optimisation des Structures n 8 Année universitaire 2012 2013 Optimisation dimensionnelle d'une structure de toit en treillis soumis à la charge de la neige Objectif Le but de ce projet est d'étudier une structure de toit en treillis dans l objectif dee minimiser sa s masse en variant les sections des barress qui la composent. Description du problème La géométrie et le chargement de l'ossature sont présentées sur la figure.le module d'élasticité pour cette structure est de 210000N/ mm2. La limite élastique de l acier du treillis est 144N/mm2 et la déformation de mi portéé maximale ne doit pas dépasser 65mm. Less poutres de la structure sont collectées dans quatre groupes. Les poutres supérieures et les poutres inférieures sont rassemblées dans le groupe 1 et le groupe 2, respectivement. Pour les poutres verticales et diagonales sont collectées dans les groupes 3 et 4 respectivement. La structure est composée de : 12 poutres supérieures de même rayon R1 (groupe 1) 12 poutres inférieures de même rayon R2 (groupe 2) 13 poutres verticales de même rayonn R3 (groupe 3) 12 poutres obliques de même rayon R4 (groupe 4) 17
Les chargements de tous les noeuds supérieurs de la structure sont regroupés dans le tableau 1. 18
Mini projets Optimisation des Structures n 9 Année universitaire 2012 2013 Optimisation de forme d une coupole à treillis t Objectif On cherche à maximiser la rigidité (minimiser le déplacement) d une d coupole à treillis sous un chargement donné, en variant les longueurs des barres par le déplacement des positions verticales et des diamètres des anneaux (en forme f de polygones). Description du problème La structure considérée est tridimensionnelle. La géométrie initiale est présentée en vue de face et en vue de dessus dans la figure 1. 1 m 2 m 2.5 m Figure 1 4 m 8m 10 m 19
La structure est fixée par les nœuds de l anneau de base et soumise à un chargement linéique F l uniformément réparti et dirigé vers le bas. La structure du pont doit résister à la charge statique. On supposera que la structure est homogène, ses caractéristiques physiques sont les suivantes : Module d Young E = 2,1.10 11 N/m 2 ; Coefficient de Poisson = 0,3 ; Masse volumique ρ = 7800 kg/m 3. La force linéiques F l = 2000 N/m. Section des barres des anneaux : o Anneau 1 : d 1 = 0,1 m o Anneau 2 : d 2 = 0,06 m o Anneau 3 : d 3 = 0,04 m Section des autres barres : o Anneau 1 : d 4 = 0,1 m Limite d élasticité : R e =300 MPa d 20
Optimisation des Structures n 10 Année universitaire 2012 2013 Optimisation dimensionnelle d un réservoir d eau Objectif Dans ce mini projet, on cherche à déterminer le rayon optimal, longueurs et épaisseurs de paroi d'un réservoir circulaire horizontal de capacité donnée permettant d atteindre une masse minimale Description Le réservoir est circulaire horizontal, supporté à ses deux extrémités,, est chargé par une pression interne. Le réservoir doit résister au chargement statique et le déplacement maximal m de la structure ne doit pas dépasser 2 mm. Le volume du réservoir doit être V 0 =100 m 3 ± 10 m 3 Figure 1 21
On supposera que la structure est homogène, ses caractéristiques physiques sont les suivantes : Acier Module d Young E = 2,1 10 5 MPa; Coefficient de Poisson = 0.3 ; Masse volumique ρ =7800 kg/m 3. Limite d élasticité : R e =250 MPa Dimensions initiales du réservoir L= 12 m a= 1.3 m b= 0.65 m t 1 = 14 mm t 2 = 14 mm 22
Optimisation des Structures n 11 Année universitaire 2012 2013 Optimisation de forme d un profil d aile Objectif Maximiser le rapport portance/trainée d un profil d aile type NACA par p la variation de sa géométrie. Le changement de la géométrie du profil seraa réalisé en variant la cambrure maximale «c» ainsi que sa position «p» par rapport à la ligne de corde. Paramètres : Vitesse du vent 0.5 Mac Profil de départ Naca 0012 Profil NACA Description de la éométrie des profils NACA La forme des profils NACA est décrite à l'aide d'une série de chiffres qui suit le mot "NACA". Les paramètres dans le code numérique peut être saisi dans les équations pour p générerr précisément la section de l'aile et de calculer sess propriétés. Toutes les dimensions enn % sont entendues en % de longueur de corde, la droite reliant bord d'attaque et bord de fuite, parr rapport au bord d'attaque, sauf lorsque précisé. On pose : c est la longueur de la corde de profil x est la position le long de la corde variant de 0 à c t est l'épaisseur maximale en tant que fraction de la corde m est égal à la cambrure maximale en tant que fraction de la corde 23
p est la position de la cambrure maximale en tant que fraction de la corde Série à quatre chiffres (Séries 4) Ces profils sont définis par le code NACA suivi de quatre chiffres MPXX définissant la géométrie du profil 3 : 1. M, le premier chiffre définit la cambrure maximale en pourcentage de la corde, 2. P, le deuxième chiffre définit le pointt de cambrure maximale par rapport au bord d'attaque en pourcentagee de la corde,, 3. XX, les deux derniers chiffres définissant l'épaisseur maximale du profil en pourcentage la corde Par exemple, le profil aérodynamique NACAA 2412 possède une cambrure maximale de 2 % à 40 % à partir du bord d'attaque ; avec une épaisseur maximale de 12 %. Par exemple, e pour une aile de 10 cm de corde, le profil a une cambrure de 2 mm, et une épaisseur maximale de 12 mm située à 40 mm du bord d'attaque. La plupart des profils à 4 chiffres ont une épaisseur maximale à environ 30 % de corde du bord d'attaque. Le profil aérodynamique NACA 0015 est symétrique, le 00 indiquantt qu'il n'a pass de cambrure. Le 15 indique que l'aile a une épaisseurr de 15 % à corde rapport de longueur: il est de 155 % plus épais que long. Ces profils sont dits non porteurs, c'est-à-dire que pour une incidence nulle leur coefficient de portance est nul. Profil symétrique 00xx La demi-épaisseur d' 'un profil NACA 00xx est calculée avec l'équationn suivante 5 6 6 : Avec : c est la longueur de la corde de profill x est la position le long de la corde variant de 0 à c y est la moitié de l'épaisseur pour unee valeur donnée de x (axee de surface) t est l'épaisseur maximale en tant quee fraction de la corde À noter que dans cette équation, au (x / c) = 1 (le bord de fuite duu profil), l'épaisseur n'est pas exactement zéro. Si un bord de fuite d'épaisseur zéro est nécessaire, par exemple pour du calcul informatique, l'un des coefficients doit être modifiée de telle sortee que leur somme soit égale à zéro. La modification du dernier coefficient (-0,1036) se traduira par le plus petit changement de la forme globale de la surface portante. Le bord d'attaque est à peu près équivalent à un cylindre de rayon : Comme le profil est symétrique, la forme externee du profil est déduite directement de l'épaisseur du profil : Avec : 24
Profil cambré coordonnées de l'extrados coordonnées de l'intrados Les profils NACA asymétriques les plus simples sont les séries 4 chiffres, qui utilisent la même formule que les profils 00xx, symétriques, mais avec une ligne moyenne courbée. La cambrure moyennee du profil est définie en deux sections 5 : Pour la forme de l'extrados et de l'intrados, l'épaisseur doit être appliqué perpendiculairement à la ligne de cambrure, les coordonnées et, sont calculées avec les équations suivantes 6 : Où : Nota : pour on retrouve les équations du profil symétrique.. 25