FILTRES Un quadrupôle constitué de deux dipôles (D ) et (D 2 ), disposés comme l indique la figure cicontre, contient une résistance R, un condensateur de capacité C et une bobine d inductance L. Seules les bornes d entrée et de sortie sont accessibles à l expérimentateur. On réalise les mesures suivantes : On relie l entrée à une pile de f.e.m e(t) = E 0 = 5 V, la sortie étant ouverte. On mesure, en régime établi, un courant d entrée d intensité I(t) = I 0 = 5 ma. On remplace la pile précédente par un générateur de tension sinusoïdale e(t) = E 0 cos ωt et on effectue une étude en fréquence du système. L expérience montre qu il s agit d un filtre passe-bande dont le gain passe par sa valeur maximale pour la fréquence f 0 =, 6 khz et dont la bande passante à 3 db vaut f = 0, 34 khz. Déterminer la disposition et la valeur numérique des composants dans le quadripôle. 2 Entrée d un oscilloscope L impédance d entrée d un oscilloscope est caractérisée par un groupement parallèle R 0, C 0. On souhaite étudier un filtre RC série (voir figure ci-dessous). La tension de sortie u s du filtre est envoyée à l entrée de l oscilloscope. On donne R =, 0 kω ou 00 kω, C = 0 nf, R 0 =, 0 MΩ et C 0 = 30 pf.. Déterminer la fonction de transfert H = u s u e du filtre RC seul. Quelle est sa fréquence de coupure? 2. Donner la fonction de transfert de l ensemble {RC + oscilloscope}. Comment est modifiée la fréquence de coupure et le gain à basse fréquence du fait de la présence de l oscilloscope? On comparera les cas où R =, 0 kω et où 00 kω. Commenter.
3 Filtrage de la tension délivrée par une alimentation continue Une alimentation continue est basée sur le redressement de la tension sinusoïdale délivrée par un transformateur. En conséquence, elle n est pas parfaitement continue : elle contient une composante variable de fréquence 00 Hz. Cette tension est supposée de la forme e(t) = E 0 + E cos(200πt) avec E 0 = 0 V et E = 0, V ( E E 0 est appelé taux d ondulation). Le dispositif de résistance R u = 00 Ω auquel elle est branchée nécessite une tension continue d au moins 9 V avec un taux d ondulation inférieur à /000.. Quel(s) type(s) de filtre pourrait-on utiliser pour obtenir le résultat souhaité? 2. Déterminer le couple de valeurs (R, C) du montage suivant réalisant les conditions demandées avec la valeur de C la plus petite possible. R e(t) C R u s(t) 3. Montrer que le montage ci-dessous permet d éliminer théoriquement totalement l ondulation. Pourquoi n est-ce pas vrai en pratique? L e(t) C R u s(t) Sachant que L = mh, calculer la valeur de C permettant d éliminer l ondulation. 2
4 Filtre RC On étudie le filtre ci-contre.. En effectuant un schéma équivalent en BF (basse fréquence) et en HF (haute fréquence), déterminer sans calcul le type de ce filtre. 2. Déterminer sa fonction de transfert H(jω). 3. Déterminer sa pulsation de coupure ω 0 en fonction de R et C. 4. On a tracé ci-dessous le diagramme de Bode de ce filtre. Justifier les parties rectilignes du diagramme de Bode en gain ainsi que les valeurs asymptotiques de la phase. Déterminer la valeur du produit RC. 5. En haute fréquence, pourquoi parle-t-on d une intégration? Comment vérifie-t-on cette propriété sur la diagramme de Bode (en gain et en phase)? 6. Déterminer l expression du signal de sortie si l entrée vaut 0 cos ( 2π.900t + π 3 ). 0 0 2 0 3 0 4 f(hz) -0-5 -20-25 -30-35 G(dB) 3
0 0 2 0 3 0 4 f(hz) -0-20 -30-40 -50-60 -70-80 -90 ϕ ( ) 4
5 Réalisation d un filtre moyenneur On désire réaliser un filtre moyenneur avec un circuit RC, de fonction de transfert H = + jrcω. Pour cela, la composante continue du signal qui correspond à la valeur moyenne doit être transmise et les composantes alternatives "éliminées".. Quelle est la nature de ce filtre? 2. On considère que la conditions d élimination est réalisée si la composante alternative est atténuée de 40 db en sortie de filtre. Sachant en pratique, que les signaux à traiter ont des fréquences supérieures à khz, déterminer, en utilisant un gabarit, la valeur de la fréquence de coupure (on choisira la plus grande valeur possible). En déduire la valeur de R, sachant qu on a déjà un condensateur C = µf. 3. Le filtre précédent est maintenant réalisé, et fonctionne parfaitement. Pour le tester, on l alimente avec le signal u e (t) = 2 +. cos ( ) ( ) 2π.000t + π 3 + 5. cos 2π.2000t + π 3 (en unité SI). Qu observe-t-on en sortie? Conclure sur la fonction attendue de ce filtre. 4. À quelle condition ce filtre se comporte-t-il comme un intégrateur? 5. Toujours dans l optique de vérifier le bon fonctionnement du filtre, on l alimente avec un signal créneau évoluant entre 0 et 4V à la fréquence khz. Qu observe-t-on à la sortie? 6. Un élève, qui manifestement n a pas écouté les consignes, fait l observation du signal de sortie avec un oscilloscope réglé en mode AC. Il n observe rien... Il essaie alors de toucher un peu à tous les boutons. Il remarque qu en modifiant le calibre pour agrandir l échelle verticale il observe un signal triangulaire de fréquence khz : expliquer. Calculer l amplitude crête à crête du signal triangulaire obtenu. 5
6 Gabarit d un filtre passe-bande. On considère un filtre passe bande RLC dont la fonction de transfert peut s écrire sous la forme : H(jω) = + j( Lω ) = + jq(x ) = j x Q x R RCω x 2 + j x Q où on a introduit la pulsation propre du circuit ω 0 = / LC, le facteur de qualité Q = RCω 0 et la pulsation réduite x = ω/ω 0. Un cahier des charges impose pour ce filtre qu il laisse passer avec une atténuation inférieure à 4 db toutes les fréquences dans une bande comprise entre 300 Hz et 800 Hz, et rejette avec une atténuation supérieure à 8 db toutes les fréquences inférieures à 50 Hz ou supérieures à 5 khz.. Tracer le gabarit du filtre sur la figure ci-dessous 2. Vérifier que la courbe de gain dessinée sur la figure respecte le cahier des charges. Mesurer la pente des asymptotes. Est-ce compatible avec le filtre passe-bande d ordre 2 étudié? Quelle est la fréquence centrale de ce filtre? On impose L = 0, 0 H, en déduire la valeur de C. 3. Estimer à l aide du graphe la valeur du facteur de qualité Q. En déduire la valeur de la résistance. G(dB) f(hz) 0 0 0 2 0 3 0 4-5 -0-5 -20-25 -30 6
7 Filtre de Colpitts ) Déterminer la fonction de transfert du filtre ci-dessous : Montrer qu elle peut s écrire sous la forme : H(jω) = + j C C +C 2 ( C C 2 R C +C 2 ω R Lω ) = ( + jq H 0 ) ω ω 0 ω 0 ω et donner les expressions de Q et ω 0 en fonction de R, L, C et C 2. Quelle est la nature de ce filtre? 2) On souhaite sélectionner la fréquence f 0 = 50 khz avec un facteur de qualité Q = 20. Calculer R et C 2. Quel est le gain pour f = f 0? 3) Tracer le diagramme de Bode de ce filtre. 7