Exercices sur le régime sinusoïdal forcé S. Benlhajlahsen Dans tous les exercices, on étudie les circuits en régime sinusoïdal forcé. II. Détermination d une intensité I. ame de TGV Un moteur de rame de TGV est modélisé comme l association en série d une bobine idéale = 0.0 H et d une résistance =.0 0 2 Ω alimentée sous une fréquence de 50 Hz. On note u m l amplitude de la tension sinusoïdale aux bornes de l ensemble.. Déterminer l amplitude du courant qui la parcourt. Tracer l amplitude du courant i m = f(ω) en fonction de la pulsation. ommenter physiquement les comportements asymptotiques. 2. Déterminer le déphasage ϕ entre la tension et l intensité. ommenter physiquement les comportements asymptotiques. 3. EDF demande à la SNF de brancher en parallèle à son installation un condensateur 0 de telle sorte que le déphasage du courant dans l ensemble par rapport à la tension aux bornes de l ensemble soit nul. Déterminer l expression et la valeur de 0. Faire un représentation de Fresnel de la situation. 4. On envisage une variation de la capacité, celle-ci devenant = 0 + δ. Exprimer l impédance de l ensemble et le nouveau déphasage entre tension et courant. On considère le circuit de la figure. On pose u(t) = u m cos(ωt). u i i 2, Figure,. Déterminer, en SF, les intensités complexes i et i 2. 2. Pour quelle valeur de, les intensités i et i 2 sont-elles en quadrature? 3. Quelle relation supplémentaire doit-on avoir entre, et pour que les intensités maximales soient égales?
III. On considère le circuit de la figure 2. On pose u(t) = u m cos(ωt) et i(t) = i m cos(ωt + ϕ). u i Figure 2. Quelle condition doivent vérifier, et ω pour que i m soit indépendant de? 2. ette condition étant remplie, calculer i m et ϕ en fonction de u m, et. 3. A quelle condition supplémentaire sur, et ω, le déphasage ϕ est-il nul? IV. Etude d un pont On considère le circuit de la figure 3 alimenté en régime sinusoïdal forcé : u A = u e = u m cos(ωt + ϕ) d amplitude complexe U e = u m e jϕ. i i 2 A Z Z 2 B D Figure 3. es impédances sont celles-ci : Z = résistor de résistance en série avec un condensateur de capacité ; Z 4 = résistor de résistance en parallèle avec un condensateur de capacité ; Z 2 = 2 ; Z 3 = 3. (a) Déterminer la condition d équilibre du pont (c est-à-dire la condition pour laquelle u BD = 0). (b) e pont peut-il être équilibré en régime périodique non sinusoïdal? 2. On a maintenant : Z = Z 3 =, Z 2 = Z 4 = Z = X + jy. On posera u s (t) = u BD (t) dont l amplitude complexe est U s. Z 4 Z 3 (a) Exprimer u s en fonction de u e, et Z. (b) Quelle doit-être la nature de Z pour que le module de u s /u e soit égale à l unité quelque soit la valeur de et de Z? (c) e composant d impédance Z est un condensateur de capacité. Exprimer le déphasage entre u s (t) et u e (t). Quelle est alors l intérêt du montage si est variable? 2
V. eprésentation de Thévenin On considère le montage de la figure 4. Données : = 00 Ω, = 0 µf. En déduire l expression puis la valeur de l inductance de la bobine. e Z A VII. Sélection de fréquence On considère les deux dipôles ci-dessous. ' Figure 4 B A 2 M. Donner la représentation de Thévenin équivalente au dipôle actif AB. On note Z e l impédance de la représentation de Thévenin. 2. Quelle est la valeur de Z pour que Z e = 0? M 2 B Par quelle élément peut alors être constitué Z? VI. Mesure d une inductance On réalise le montage représenté en figure 5 et on constate sur l oscilloscope que pour une fréquence f 0 = 80 Hz, les signaux recueillis sur les voies X et Y sont en phase.. Pour quelle valeur ω 0 de la pulsation ω, les deux dipôles (AM et MB) ont-ils même impédance? 2. es deux dipôles sont utilisés dans le montage en pont ci-dessous, alimenté par une tension sinusoïdale e(t) = e m cos(ωt). Exprimer la tension complexe u MN. Quel est l intérêt d un tel montage? X, r Y A 2 M 2 B r N r e(t) Figure 5 e(t) 3
VIII. Source à ultrasons Une sonde à ultrasons est destinée à être appliquée sur le corps, à proximité de la zone à examiner. ette sonde est constituée d un ensemble de transducteurs élémentaires à ultrasons. On admet que, dans une certaine zone de fonctionnement, le schéma électrique équivalent du transducteur vu entre ses bornes, se ramène au circuit ci-dessous, avec 0 = 22 pf, = 5 pf, = 90 µh et = 350 Ω. A remonter à la température. Pour faire l analyse du phénomène, on étudie le circuit fictif formé par un générateur réel (générateur idéal e(t) et résistance interne ) et un condensateur de capacité. On étudie donc d abord le cas d un générateur de tension sinusoïdale e f (t) = e mf cos (2πft), de fréquence f ; l énergie électrique moyenne stockée dans le condensateur est notée E cf = q 2 Dans tout ce qui suit, X désigne la valeur moyenne temporelle de la grandeur X, moyennée entre t = 0 et t. 2 u B 0. Exprimer E cf puis en déduire E cf en fonction de,, f et e 2 mf. 2. a f.é.m. fluctuante e(t) peut être considérée comme la superposition de sinusoïdes ; pour l intervalle fréquentiel [f; f + df], la contribution δe 2 mf à e 2 mf est donnée par : δe 2 mf = u(f) df. Exprimer l impédance Z AB (jω) en fonction de,, 0 si l on néglige. Tracer l évolution de Z AB en fonction de ω. 2. Vue la forme de la courbe précédente, il existe deux pulsations ω p et ω s du système, qui correspondent à des comportements mathématiques extrêmes. Donner ces deux pulsations et les valeurs de Z AB correspondantes. es calculer numériquement et commenter. IX. Mesure de température dans une sonde à bruit Johnson où u(f) est la densité spectrale. Ici, on prendra u(f) = u 0 = cte. Exprimer alors la moyenne E c. On rappelle que : dx = arctan (x) + cte + x2 3. On peut montrer statistiquement que E c = k BT 2. En déduire, en fonction de la densité spectrale u 0, de et de k B, une expression de T. agitation thermique des électrons dans une résistance engendre des fluctuations de tension à ses bornes, appelées bruit Johnson qui permet de. c est le cas d un bruit "blanc" où toutes les fréquences ont le même poids dans la décomposition spectrale. 4
Oraux concours entrale-supélec XI. Modélisation d une bobine X. Modélisation d un haut-parleur Un haut-parleur est un dipôle électrocinétique dont l impédance dépend de la fréquence du signal sinusoïdal auquel il est soumis. impédance du haut-parleur a été mesurée expérimentalement à différentes fréquences (figure 6). es points de mesures sont représentés par des disques noirs et la barre d erreur prend en compte les incertitudes expérimentales. a courbe (en rouge) est le résultat d une modélisation. On souhaite étudier le comportement d une bobine d auto-induction, d inductance, en fonction de la fréquence. Pour cela, on envisage de mesurer le module de son impédance équivalente Z en fonction de la pulsation ω puis de tracer Z en fonction de ω.. En considérant que la bobine utilisée est idéale, représenter l allure du graphe que l on obtiendrait expérimentalement. omment pourrait-on en déduire la valeur de? 2. De même, en considérant que la bobine utilisée est modélisable par l association en série d une résistance s et d une inductance pure, représenter l allure du graphe que l on obtiendrait. omment pourrait-on en déduire les valeurs expérimentales de s et de? 3. Dans la Data-Sheet du composant, on trouve le graphe représentant log Z, en fonction de log ω comme représenté figure 8. log ( Z ) 6 5 4 Figure 6 Impédance d entrée du haut-parleur en fonction de la fréquence.. Parmi les quatre dipôles de la figure 7, un seul modélise le comportement fréquentiel du haut-parleur. (a) equel et pourquoi? (b) Déterminer les valeurs des résistances, capacités et inductances des composants du dipôle équivalent. 3 2 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 log (ω) Figure 8 Impédance de la bobine d aprés la Data-Sheet (a) Montrer que la modélisation représentée figure 9, est compatible avec la Data-Sheet, et notamment préciser l expression de la 5
Figure 7 Quel dipôle équivalent? pulsation propre ω 0 et du facteur de qualité Q du circuit parallèle intervenant dans la modélisation. s Figure 9 Modélisation large-bande de la bobine étudiée p Éléments de réponses I. On se place en notation complexe. e moteur est alimenté avec une tension complexe u = u m e jωt et on cherche le courant complexe i = i m e j(ωt+ϕ). Si on note Z = + jω alors le courant vérifie : i = u = Z u +jω. amplitude du courant vérifie alors : (b) En déduire un ordre de grandeur de s, et p. (c) ompte-tenu des ordres de grandeur trouvés, l obtention expérimentale de ce graphe vous paraît-elle possible au laboratoire? i m = omportements asymptotiques : u m 2 + 2 ω 2 pour ω 0, la bobine se comporte comme un fil et i m = um. pour ω, la bobine se comporte comme un interrupteur ouvert et i m = 0. 6
u m u m 2 i m Y = 2 + 2 ω 2 + jδω e nouveau déphasage entre courant et tension vaut alors : ϕ = arg (Y ) = 2 + 2 ω 2 δω II 2. On remarque que tan ϕ = ω < 0 et cos ϕ = ϕ = arctan ( ) ω. u m 2 ϕ ω 2 + 2 ω 2 ω > 0 donc. En SF, on trouve avec i m = De même, avec i 2m = u m 2 + 2 ω 2 u m 2 +(ω ω) 2 i = i m e j(ωt+ϕ ) et ϕ = arctan ( ω i 2 = i 2m e j(ωt+ϕ 2) ). et tan (ϕ 2) = ω ω. 2. Seul le cas d une quadrature avance de i 2 sur i est possible. a condition est alors = 3. i m = i 2m si 2ω 2 =.. 2 + 2 ω 2 III 3. admittance de l ensemble vaut Y = jω +. e courant est +jω en phase avec la tension si Y est réel ce qui est le cas si = 0 = 4. Dans ce cas, l admittance devient : 2 + 2 ω 2 9. 0 6 F. impédance totale Z doit être indépendant de. Méthode : d Z 2 d = 0. Méthode 2 : Z 2 a la meême valeur. Donc on peut étudier les cas limites, 0 et +. On trouve alors ω 2 = 2 2. Dans ces conditions, l impédance Z vaut : Z = jω 2 jω + jω = jω + jω jω 7
3. omme i = u Z, alors i m = i = ωu m et ϕ = Arg (Z) soit : ϕ = π 2 2 arctan (ω) ϕ = 2 arctan (ω) e déphasage entre la tension et l intensité est nul lorsque ω =. e montage est un déphaseur, c est-à-dire que la modifie de modifie ϕ sans modifier l amplitude. IV. (a) On montre facilement que : u BD = ( Z2 Z ) u Z 2 + Z 3 Z + Z e 4 e pont est alors équilibré si Z Z 3 = Z 2 Z 4. (b) a relation précédente fait intervenir la pulsation ω du signal sinusoïdal en entrée. omme cette condition est une équation polynomiale complexe vérifiée par ω, seul un nombre limité de pulsation peuvent vérifier cette condition. D autre part, dans le cas d un signal périodique non sinusoïdal, celui-comporte une infinité d harmoniques de pulsations différentes. a condition ci-dessus ne pourra pas alors être vérifiée par toutes les harmoniques. e pont ne sera alors pas équilibrée. 2. (a) Dans ce cas : u s = ( Z Z + ) u Z + e (b) Dans le cas où Z est imaginaire pur, le rapport u s /u e. (c) Pour Z = jω, alors : us = jω u e + jω e module est bien unitaire. Si on note ϕ le déphasage entre u s et u e, alors : VI es deux voies sont en phases si e(t) et i(t) sont en phase. ela impose que l impédance totale des dipôles linéaires en série soit réelle. On obtient alors :. ω 0 = 2. = 2 44 mh + 4π 2 2 2 f 2 VII 2. u MN = ( 2 Z AM Z AM +Z MN ) e. Si on se place à la pulsation ω0, u MN = 0. e montage peut servir de fréquencemètre. VIII. En négligeant la résistance, l impédance vaut : Z AB = ω 2 j ( + 0 ) ω ( ) 0ω 2 + 0 8
Z AB car cos 2 (2πft + ϕ) = 2. 2. e signal peut s écrire sous la forme : e(t) = δe Ici, on travaille sur e 2 donc f s f p f e 2 (t) = δe 2 = δe 2 mf cos 2 (2πft) On voit apparaître deux pulsations : ω s = 2πf s = et ω s = 2πf s = + 0 0. 2. ω s = 8.7 0 6 rad s et Z AB = 0. ω p = 24.2 0 6 rad s et Z AB. IX. Si on note q(t) = q mf cos (2πft + ϕ) la charge de l une des armatures du condensateur alors une étude en SF prouve rapidement e que q mf = mf et ϕ = arctan (2πf). 2 +(2πf) a moyenne temporelle est définie ici par : s(t) = lim t t t t=0 s(t)dt énergie moyenne stockée dans le condensateur vérifie : E cf = = = q 2 mf 2 cos2 (2πft + ϕ) e 2 mf 2 ( + (2πf) 2) cos 2 (2πft + ϕ) e 2 mf 4 ( + (2πf) 2) Soit encore, e 2 (t) = u 0 (f) cos 2 (2πft) df Dans ces conditions, l énergie stockée vaut alors : E c = = = = u 0 6 de cf 4 ( + (2πf) 2) δe mf u 0 4 ( + (2πf) 2) df X. (a) Analyse qualitative des quatre montages (on note Z = Z ) : Montage Z à BF Z à HF Z pour ω = ω 0 ω 0 2 0 0 0 + 3 4 0 + 0 + 0 9
On observe une résonance et après cette résonance, Z est constante (c est une résistance = 9.0 Ω d après le graphique), voir augmente un peu (on pourrait associer en série avec une inductance ) : e premier montage ne convient pas. impédance à la résonance reste finie, elle est de l ordre de 23 Ω : e troisième montage ne convient pas. a valeur de Z à la résonance est supérieure à celle de que l on obtient en continu ou à très haute fréquence : le quatrième montage ne convient pas. Ainsi, le montage qui convient est le second montage. On a alors : De la forme : Avec : Z = 0 + ( + j ω ) ω = 0 + ( + j ω ) ω Z = 0 + ω = ( ω + jq ω0 et Q = ω 0 = ω 0 = ω ) 0 ω (b) a pulsation de résonance est telle que ω 0 = 2πf 0 = avec f 0 = 60 Hz d après le graphique. a bande passante est f = f 0 = 30 Hz d après le graphique Q avec le facteur de qualité Q =. Enfin, lors de la résonance, Z max = + 0 = 23 Ω soit = 4 Ω. Ainsi, la résolution de 2 = 4 et 2π.60 =. donne = 4,5 0 4 F et = 6 mh. emarque : la modélisation a été faite avec 0 = 9,27 Ω, = 3,6 Ω, Q = 2,6 et f 0 = 60,4 Hz. XI. Dans le cas d une bobine idéale, on a Z = ω : le graphe obtenu est donc une droite de pente. 2. Dans le cas d un circuit série, on a : Z = s + jω. A basse fréquence, on a Z = s. A haute fréquence, on a Z ω. On obtient donc le graphe représenté figure. Z s Figure 0 pente= log ω 3. (a) impédance du circuit proposé est de la forme : 0
Z = s + p + jq ( ) ω ω 0 ω 0 ω = s + p Q j ω ω 0 + Q j ω ω 0 + ( j ω ω 0 ) 2 où ω 0 = et Q = p. a modélisation met en évidence deux autres pulsations caractéristiques : ω = s et ω 2 =. s Variation de Z en fonction de ω : ω ω = ω 0 ω ω TBF BF és HF THF ω ω ω 0 ω 0 ω 2 s s + s + p s + s jω jω e graphe obtenu est donc bien compatible avec la modélisation. D après l étude théorique, et en exploitant le graphe expérimental (voir figure 2) on obtient : log s = s = 0 Ω. log ( s + p ) = 6 p + s =.0 0 6 Ω p.0 0 6 Ω. log (ω ) = 2 ω =.0 0 2 rad s = s ω = 00 mh. log (ω 2 ) = 9 ω 2 =.0 0 9 rad s = sω 2 = 00 pf. Notons que l on peut confirmer les valeurs de et avec la pulsation de résonance : ω 0 = =.0 0 5.5 rad s. (b) a difficulté principale est l ordre de grandeur des fréquences intervenant dans l expérience : en effet les effets capacitifs de la bobine ne se font sentir que pour des pulsations supérieures à ω 0 et donc des pulsations qui s étendent bien au delà de la bande passante des appareils utilisés en TP.
log ( s + p ) = 6 ( log ) = 4.5 log s = log (ω ) = 2 log (ω 0 ) = 5.5 log (ω 2 ) = 9 Figure 2