Classe de 1ES1 20 janvier 2012 Devoir surveillé n 3 La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. L utilisation des calculatrices est autorisée. Exercice 1 3 points Dans cet exercice, aucune justification n est demandée; il suffit de recopier sur la copie les numéros des réponses. 1. Soit f une fonction polnôme du second degré telle que le maximum de la fonction f soit égal à 0. Parmi les propositions suivantes quelles sont celles qui sont exactes? a) a > 0 et < 0. FAUX b) a < 0 et = 0. VRAI c) a < 0 et < 0. FAUX d) La courbe représentatve de la fonction f coupe l axe des abscisses en deux points. FAUX e) L équation f(x) = 0 admet une seule solution. VRAI 2. Les 4 paraboles ci-dessous, sont les courbes représentatives de quatre fonctions polnôme du second degré f 1, f 2, f 3 et f 4. C 2 C 3 C 1 C 4 À partir des informations données sur le signe de a et sur le discriminant, associer à chaque fonction sa courbe représentative : f 1 : a > 0 et < 0 correspond à C 2 ; f 2 : a > 0 et > 0 correspond à C 3 ; f 3 : a < 0 et = 0 correspond à C 4 ; f 4 : a < 0 et > 0 correspond à C 1 ; page 1/ 5
Exercice 2 3 points Considérons la courbe C 2 de l exercice précédent. En utilisant les coordonnées du sommet de cette parabole déterminer l expression développée du polnôme correspondant. La parabole C 3 a pour sommet le point S de coordonnées ( 2;1) donc cette courbe correspond à un polnôme du second degré f qui admet pour forme canonique f(x) = a(x ( 2)) 2 + 1 ou encore f(x) = a(x + 2) 2 + 1. De plus d après la courbe nous pouvons voir que f(0) = 3; en remplaçant x par 0 nous obtenons f(0) = a(0 + 2) 2 + 1 et donc 3 = 4a + 1 ce qui donne facilementa = 0,5.Parconséquent,pourtoutréelx,f(x) = 0,5(x+2) 2 +1 = 0,5(x 2 +4x+4)+1 = 0,5x 2 +2x+2+1= 0,5x 2 +2x+3. Donc l expression développée du polnôme est 0,5x 2 +2x+3. Exercice 3 9 points 1. Résoudre dans R l équation suivante 2x 2 +3x 2 = 0. On a = b 2 4ac = 3 2 4 2 ( 2) = 25 > 0. Il a donc deux solutions. x 1 = 3 25 = 2 2 8 4 = 2 et x 2 = 3+ 25 = 2 = 0,5. Par conséquent, l équation admet deux solutions : 2 2 4 2 et 0,5. 2. En déduire la factorisation du polnôme f : x 2x 2 +3x 2. D après la question précédente le polnôme se factorise sous la forme : 2(x ( 2))(x 0,5) = 2(x+2)(x 0,5). 3. Résoudre dans R l équation 5x 2 9x+3 = 4x 2 +3x 1. Cette équation est équivalente à 9x 2 12x+4 = 0. On trouve facilement = 0 et donc cette équation admet une seule solution x = b 2a = 12 2 9 = 12 18 = 2 3. 4. Résoudre dans R les inéquations suivantes : a) 6x 2 x+2 0 On a = 49 > 0 donc il a deux solutions qui après calculs sont x 1 = 0,5 et x 2 = 2 3. Comme a = 6 < 0, nous obtenons le tableau de signe : x 2 3 0,5 + 6x 2 x+2 0 + 0 Ainsi, l ensemble des solutions de l inéquation est ] ; 2 3 ] [0,5;+ [. b) x2 2x x 1 > 0 On voit assez facilement que le polnôme x2 2x s annule en 0 et en 2. On obtient le tableau de signe : x 0 1 2 + x 2 2x + 0 0 + x 1 0+ + x 2 2x x 1 0+ 0 + Par conséquent l ensemble des solutions de l inéquation est ]0; 1[ ]2; + [. page 2/ 5
Exercice 4 5 points Une entreprise fabrique un produit Bêta. La production mensuelle ne peut pas dépasser 15 000 articles. Le coût total, exprimé en milliers d euros, de fabrication de x milliers d articles est modélisé par la fonction C définie sur ]0;15] par : C(x) = 0,5x 2 +0,6x+8,16 La représentation graphique Γ de la fonction coût total est donnée dans l annexe ci-dessous à rendre avec la copie. On admet que chaque article fabriqué est vendu au prix unitaire de 8e. 1. Qu est ce qui est plus avantageux pour l entreprise fabriquer et vendre 4 000 articles ou fabriquer et vendre 12 000 articles? Coût de fabrication de 4000 articles : C(4) = 18,56 milliers d euros. Vente de 4000 articles : 32 milliers d euros. Bénéfice pour 4000 articles vendus : 13,44 milliers d euros. Coût de fabrication de 12000 articles : C(12) = 87,36 milliers d euros. Vente de 12000 articles : 96 milliers d euros. Bénéfice pour 8000 articles vendus : 8,64 milliers d euros. Il vaut donc mieux fabriquer et vendre 4000 articles. 2. On désigne par R(x) le montant en milliers d euros de la recette mensuelle obtenue pour la vente de x milliers d articles du produit Bêta. On a donc R(x) = 8x. a) Tracer dans le repère donné en annexe la courbe D représentative de la fonction recette. C est la droite rouge. b) Par lecture graphique déterminer : l intervalle dans lequel doit se situer la production x pour que l entreprise réalise un bénéfice positif; L entreprise réalise un bénéfice positif entre 1200 et 13600 articles vendus. la production x 0 pour laquelle le bénéfice est maximal. On a à peu près x 0 7. 3. On désigne par B(x) le bénéfice mensuel, en milliers d euros, réalisé lorsque l entreprise produit et vend x milliers d articles. a) Montrer que le bénéfice exprimé en milliers d euros, lorsque l entreprise produit et vend x milliers d articles, est donné par B(x) = 0,5x 2 +7,4x 8,16 avec x ]0;15]. C est évidentcarb(x) = 8x C(x) = 8x (0,5x 2 +0,6x+8,16) = 8x 0,5x 2 0,6x 8,16 = 0,5x 2 +7,4x 8,16. b) Étudier le signe de B(x). En déduire la plage de production qui permet de réaliser un bénéfice (positif). On a = 7,4 2 4 ( 0,5) ( 8,16) = 38,44 et donc nous trouvons deux valeurs x 1 = 7,4 38,44 = 13,6 et x 2 = 7,4+ 38,44 = 1,2. 2 ( 0,5) 2 ( 0,5) D où le tableau de signe de B(x) car a = 0,5 < 0. x 0 1,2 13,6 15 B(x) 0 + 0 On a donc confirmation par le calcul que la plage de production qui permet de réaliser un bénéfice positif est [1,2; 13,6]. page 3/ 5
c) Étudier les variations de la fonction B sur ]0;15]. En déduire le nombre d articles qu il faut fabriquer et vendre chaque mois pour obtenir un bénéfice maximal. Quel est le montant en euro, de ce bénéfice maximal? Soit B(x) = 0,5x 2 + 7,4x 8,16; nous avons b = 7,4 et a = 0,5 < 0; de plus, 2a f(7,4) = 35,54. Par conséquent, nous trouvons le tableau de variation suivant : x 0 7,4 15 19,22 B(x) 8,16 9,66 Donc la fonction B est croissante sur ]0; 7,4] et décroissante sur [7,4; 15]. Il faut donc fabriquer et vendre 7400 articles pour obtenir un bénéfice maximal de 35540 euros. page 4/ 5
annexe 130 Γ 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 page 5/ 5