LES FORUMS DE QUESTIONS MATHÉMATIQUES SUR INTERNET ET

ABDULKADIR ERDOGAN & ALAIN MERCIER LES FORUMS DE QUESTIONS MATHÉMATIQUES SUR INTERNET ET LES ATTENTES SUR LE TRAVAIL DES ÉLÈVES Abstract. Forums of Mathematical Questions on Internet and Exectations about Puils Work Forums of mathematical questions on Internet aear today as a lace where a need of hel to the uils school works is crystallized. In this research, on the basis of the questions ut by uils on these forums, we want to study some ossible sources of this need. In this urose, we question about didactic stakes of the situations of the study and uils ossible actions in the accomlishment of their stakes. Our analysis rovides us some imortant results to reconsider the uils work and to reorganize the didactic situations. Résumé. Les forums de questions mathématiques sur Internet aaraissent aujourd hui comme des endroits où se concrétise un besoin d aide au travail des élèves, hors tems scolaire. Dans cette recherche, en artant des questions osées ar les élèves sur ces forums en vue d obtenir une aide our la réalisation du travail mathématique qui leur est demandé, nous nous roosons d étudier quelques déterminations ossibles de ce besoin. Notre analyse nous fournit certains résultats qui nous engagent à reenser le travail des élèves et les situations didactiques de l étude. Mots-clés. Forum, contrat didactique, enjeu didactique, étude, aide à l étude, algèbre, fonctions, classe de Seconde. Introduction Notre recherche s auie sur l observation d un hénomène didactique concernant le travail ersonnel que les élèves doivent réaliser à l extérieur de l esace scolaire our assurer leurs arentissages. Le hénomène en question est celui du besoin d accomagnement (Sensevy, Mercier, Schubauer-Leoni, 000) et d aide à l étude (Chevallard, 00a) que ressentent de nombreux élèves lors de ce travail. Le lieu où la manifestation de ce besoin est observée est celui des forums sur Internet que nous aelons «les forums de questions mathématiques». En nous intéressant aux questions osées ar les élèves sur certains forums, les lus accessibles et les lus rerésentatifs ar le nombre des questions qui y sont traitées et leur ermanence, nous nous sommes demandé quelle ouvait être la source de ce besoin et quelle ANNALES de DIDACTIQUE et de SCIENCES COGNITIVES, volume 1,. 147-163. 007, IREM de STRASBOURG.

148 ABDULKADIR ERDOGAN & ALAIN MERCIER aide ouvait donner les forums our que ce besoin s'y manifeste aussi massivement. Ce fut l objet de notre mémoire de DEA (Erdogan, 001). Dans le cadre de ce travail, au bout d une année d observation des échanges assés sur ces forums, nous avons rocédé à la classification des questions en vue d identifier les tyes de besoin qui s'y observent et nous avons tenté de définir le contrat didactique qui sous-tendait les échanges sur ces forums entre celui qui étudie et ose une question et celui qui aorte une aide à l'étude en réondant à cette question. On remarquera immédiatement que le format même des interactions est le format d'interaction sociale questions-réonses ; ordinairement, ce format n'est as orteur d'intentions didactiques fortes : la réonse est suosée éuiser l'intérêt de l'interaction. Dans le cadre d'un contrat didactique scolaire en revanche, la réonse du destinataire de la question a our objet de ermettre le déveloement de l'étude engagée ar le destinateur, qui ne se résente donc as comme l'exécutant d'une tâche normalement routinière 1. Au remier abord avec les questions osées, le besoin d aide fortement exrimé ar les élèves our la réalisation des devoirs à la maison et des exercices scolaires donnerait ourtant à croire que leurs questions ne sont as relatives à quelque chose à comrendre uis à arendre, mais ortent sur quelque chose à faire. Leur formulation montre qu'elles leur aaraissent comme des tâches dont il convient de s acquitter. D autre art, l'observation des réonses et le fait qu'elles n'aellent as à la oursuite de l'interaction montre qu elles sont faites sans interrogation sur des éventuelles difficultés que l élève ourrait rencontrer s il se mettait à étudier le contenu mathématique sous-jacent à la question. Cela ne nous étonne as vraiment: le fonctionnement des forums relève au mieux d un contrat faiblement didactique dont les caractéristiques ont été décrites ar Brousseau (1995) : L émetteur accete d organiser son message en fonction de certaines caractéristiques «théoriques» de son interlocuteur. Il assume certaines resonsabilités quant au contenu de ce message, mais aucune quant à ses effets sur le réceteur, même s il est conscient de modifier son système de décision. Ainsi : [ ] L émetteur réond à une demande du réceteur our une utilisation qu il ignore, il y a contrôle constant de la cométence de l émetteur mais as de celle du 1 L'exemle traditionnellement donné en illustration de ce hénomène (les tâches à enjeu didactique n'ont as our enjeu la réussite d'une action dans le monde mais indiquent la matière d'une étude) est celui de l'enfant à qui l'on demande de mettre le couvert et qui réond : "tu m'as aris hier, je sais" (sous-entendu : je n'ai lus besoin de l'arendre et je n'ai donc as à le faire), retournant ainsi à son avantage sa comréhension du contrat didactique.

FORUMS DE QUESTIONS MATHÉMATIQUES SUR INTERNET 149 réceteur. L émetteur ne sait as s il est vraiment comris, ni même reçu, si le réceteur ne manifeste aucune réaction Tout ceci a ourtant débouché sur des questions imortantes et nous ne rétendons as réondre à toutes : «Quelle est la véritable culture de l étude dans les classes de mathématiques?» et «Comment l institution - classe fonctionne-t-elle our engendrer un tel besoin d aide à l étude?» sont celle que nous retiendrons ici, afin de demander s'il serait ossible d'intégrer, dans le travail même de la classe sous la direction du rofesseur, le travail conduit ar les élèves à l'aide des forums dans un contrat lus fortement didactique. Conscient des limites du remier diagnostic, nous nous sommes interrogés sur les enjeux mathématiques et didactiques des situations scolaires d étude afin de déterminer certaines sources de difficulté our les élèves. Cela nous a engagé à reenser la nature du travail attendu des élèves et à rechercher quelles sont les réelles ossibilités des élèves vis-à-vis de ce travail. L'article s intéresse donc tout articulièrement aux dimensions éistémologique et didactique du travail d'étude attendu des élèves et montre notre manière de l étudier. Il s auie sur deux cas récis, chacun étant fondé sur une question osée dans un forum. 1. Des forums de questions mathématiques aux roblèmes didactiques L ouverture des forums commence avec Internet, devenu accessible aujourd hui à une très grande majorité de la oulation. L'existence des forums de questions relatives aux mathématiques scolaires semble soutenue d une art ar l'accessibilité d'autre art ar la raidité qu'ils donnent. La ossibilité d'obtenir une information dans un tems relativement court a suscité un besoin d aide dont les élèves témoignaient déjà dans leurs raorts aux Boutiques de mathématiques (Chevallard, 1990). Ceendant, même en considérant les forums comme des systèmes didactiques auxiliaires (Chevallard, 1995) 3 ar le fait qu ils rennent en charge un besoin d aide venu de l'étude conduite dans un système rincial autre, Il faudra noter que certains de ces forums montrent aujourd hui une évolution vers des interactions lus structurées. Nous ensons qu'elle est due à une rise de conscience, ar tous les acteurs (les élèves, les aides et les resonsables des forums), de la faible efficacité didactique des forums, our de nombreux élèves (Erdogan, 005). 3 Nous utilisons les notions de système didactique et de système d enseignement selon la différence marquée ar Chevallard (199, 1995) : Un système didactique comorte ou moins un sujet qui vient occuer une osition d enseignant et un sujet qui vient occuer une osition d élève, autour d un objet aartenant à l ensemble des enjeux didactiques our l institution. Mais l existence d un système didactique suose un système d enseignement qui construit «un environnement systémique, dont le rôle est essentiellement de créer tout un ensemble de conditions nécessaires à l existence du système didactique» Chevallard (199,.97).

150 ABDULKADIR ERDOGAN & ALAIN MERCIER comrendre les conditions de satisfaction de ce besoin ose des roblèmes didactiques difficiles (Félix, 00). Quelques-uns de ces roblèmes sont issus du système d enseignement d'autres, des systèmes didactiques rinciaux que sont les classes. Mais surtout, le aradoxe remier de tout contrat didactique : «Tout ce qu il [le maître] entrerend our faire roduire ar l élève les comortements qu il attend, tend à river ce dernier des conditions nécessaires à la comréhension et à l arentissage de la notion visée : si le maître dit ce qu il veut, il ne eut lus l obtenir.» (Brousseau, 1998) èse lus fortement encore sur l'interaction auxiliaire. Comment alors une ersonne qui vient réondre aux questions osées ar les élèves sur Internet - qui eut difficilement être tenue resonsable du rôle didactique de son message - se comorte-t-elle our fournir une aide sans que la resonsabilité de l élève dans l'exécution de sa tâche ne soit déniée, enlevant à celle-ci sa fonction majeure de désignation d'un enjeu didactique défini dans le système rincial? Peut-on définir a riori comment réondre? Existe-t-il un critère en vertu duquel une réonse de tye «Qu as-tu déjà trouvé?» serait référable à une réonse qui déveloe comlètement la démarche attendue 4? Doit-on considérer que l'on voit à l'oeuvre en ce lieu un délacement de la toogenèse et que le artage des resonsabilités eut être redéfini sans danger? A- t-on trouvé dans ces disositifs un moyen de négociation du artage toogénétique qu'il faudrait conseiller au rofesseur d'intégrer dans l'esace didactique rincial? La roduction d une réonse à ces questions suose que l on mette en lace un système d interrétation ertinent des situations didactiques ainsi créées à l'initiative des élèves. Cette ambition est hors de la ortée de cet article. Partant du besoin d aide récisé ci-dessus, nous voulons surtout nous interroger sur les enjeux didactiques des situations d étude roosées ar le moyen du travail donné à faire à la maison, afin de reconsidérer les actions ossibles des élèves dans la réalisation de leurs enjeux. À cet effet, nous nous situons du côté d une analyse éistémologique et didactique de ces situations qui relève de leur analyse a riori.. Analyse de deux situations d étude Nous allons ici étudier une question osée ar un étudiant de DEUG 5 et une question osée ar un élève de Seconde 6, toutes les deux venues le même jour (le octobre 000) sur le forum de l Ecole Polytechnique 7. Ce forum, tenu ar l'association des élèves de cette Ecole, reçoit majoritairement des questions venant des élèves du lycée, des remières années universitaires, des classes réaratoires. 4 Ces deux catégories de réonse font artie des réonses effectivement observées lors de notre travail cité ci-dessus. 5 Les deux remières années universitaires. 6 Première année du lycée, élèves de 15-16 ans. 7 Pour accéder au forum : htt://www.olytechnique.fr/eleves/binets/intermaths/

FORUMS DE QUESTIONS MATHÉMATIQUES SUR INTERNET 151 On eut enser que l'intérêt des olytechniciens our cette activité est un effet de leur entraînement au concours, qui les conduit à l'étude d'un très grand corus d'exercices et roblèmes, au travers duquel ils acquièrent une maîtrise technique reconnue dans les domaines mathématiques inscrits dans leur rogramme de réaration. On sait que cette activité les rend sensibles à la ossibilité d'accéder aux solutions d'exercices qu'ils ont échoué à résoudre mais qu'ils doivent ourtant étudier. Le forum, qui justement donne des schémas de réonse relativement comlets, a reçu ce jour là douze questions dont six d algèbre, cinq de géométrie et une de hysique. Il existe au moins une réonse donnée le même jour à chacune de ces questions..1. Question osée ar un élève de Seconde Envoyé ar Didier le Octobre 000 à 16:15:11: sous le titre : Maths Seconde hyer urgent «Bonjour, je dois faire ces deux exos et je n'y arrive as du tout, ouvez vous m'aidez? I/ valeur arochée de 1/(1+x), (x n'est as égal à -1) I/1/ Démontrer que, our tout x as égal à -1, on a : 1/(1+x)=1-x+(x²)/(1+x) / Démontrer que our tout x aartient à [-1/;1/] <= signifie inférieur ou égal. a) 0<=x²<=1/4 b) /3<=1/(1+x)<= c) 0<=x²/(1+x)<=x² 3/Déduire des deux questions récédentes que, our tout x aartient à [-1/;1/], 1-x est une valeur arochée ar défaut de 1/(1+x) à x² rès. 4/ Donner à l'aide de cette méthode des valeurs arochées des nombres suivants, en indiquant la récision (on ourra comarer les résultats obtenus avec ceux fournis ar la calculatrice): 1/1,004 ; 1/0,9993 ; 1/3,006. II/ Encadrement de sqrt(1+x), sqrt : racine carré. Soit x un réel strictement ositif. On ose: A=sqrt(1+x); B=1+x/; C=x²/8+sqrt(1+x) 1/ Montrer que A, B et C sont strictement lus grand que 1. / Comarer A² et B². En déduire que sqrt(1+x) <1+x/. 3/ Prouver que C²-B²=x²/4(sqrt(1+x)+x²/16-1). Comarer B² et C². En déduire que 1+x/- x²/8 est inférieur à sqrt(1+x). Note : Nous venons donc d'établir l'encadrement suivant de sqrt(1+x) : our x>0, 1+x/-x²/8 < sqrt(1+x) < 1+x/. 4/ Donner sans calculatrice un encadrement de sqrt(1,000) et une valeur arochée de sqrt(1,0000001) à 10^-14 rès. Merci beaucou beaucou.» Didie Etudions les deux questions ainsi que la forme des éléments de réonse donnés sur le forum :

15 ABDULKADIR ERDOGAN & ALAIN MERCIER Re : Maths seconde hyer Urgent Envoyé ar Basile le Octobre 000 à ::1: : I/ valeur arochée de 1/(1+x), (x n'est as égal à -1) : 1/ Démontrer que, our tout x as égal à -1, on a : : 1/(1+x)=1-x+(x²)/(1+x) Réduis au même dénominateur : / Démontrer que our tout x aartient à [-1/;1/] <= signifie inférieur ou égal. : a) 0<=x²<=1/4 Utilise la croissance de la fonction carré sur R+ et sa décroissance sur R-. Etc. Le destinataire de la question a une attitude didactique qui consiste à nommer une technique (réduire au même dénominateur) ou un théorème (la fonction carré est croissante sur R+) qui sont suosés connus d un élève de Seconde. Il fait donc bouger le artage toogénétique (ce qui est de la resonsabilité effective du rofesseur et des élèves) en fournissant une indication sulémentaire qui ermet en rincie l action autonome de l élève. D une certaine manière, l énoncé faisait de même ou resque en décomosant le travail en sous-questions relevant, chacune, d un savoir officiel de la classe de Seconde. Mais il ne nommait as ce savoir, l indication était lus subtile. Cette indication était inefficace car le fait que toute question dans un roblème relève d une telle aide n est eut-être as connu d un élève de Seconde : il l arendrait alors à cette occasion. Pour autant, l élève arrivera-t-il à saisir, audelà de cet arentissage relatif au contrat didactique, un enjeu mathématique au roblème. Par exemle, ce qui fait our nous l intérêt mathématique de son travail : comarer les encadrements des deux exressions et la manière de les obtenir, our s aercevoir qu il doit y avoir là une technique, dont la généralité devra être interrogée? Sans doute ne le fera-t-il as : il n est as révu d étudier ce tye de questions avant deux ou trois ans, lorsqu une technique générique ourra être mise en lace et s il y arrive seul, c est un élève remarquable! On eut même enser qu'un tel enjeu n'est as orté ar le rofesseur qui a choisi l'exercice, il n'est as sûr que les auteurs du manuel en aient été conscients. L indication nécessaire est ourtant donnée deux fois : ar l énoncé uisque la question terminale est la même dans les deux, ar le destinataire de la question qui termine en le disant : «comme récédemment» ; mais cette indication n est ertinente que our qui regarde le roblème comme déveloement dirigé d une technique et non comme occasion de mobiliser l ensemble des techniques dont on disose. Pour cela, il faut identifier ce que Chevallard (1999) nomme «un tye de tâches, roosé à l étude» comme la réétition de l exercice le montre

FORUMS DE QUESTIONS MATHÉMATIQUES SUR INTERNET 153 Suite de la réonse II- Encadrement de 1 + x : Soit x un réel strictement ositif. On ose: : A=sqrt(1+x) : B=1+x/ : C=x²/8+sqrt(1+x) : 1/Montrer que A, B et C sont strictement lus grand que 1. A : Utilise la croissance de la fonction carré sur R+ B : Pas dur. C : tu as C >= A >1 : /Comarer A² et B². Déveloes et mets tout du même côté. / 4/ Donner sans calculatrice un encadrement de sqrt(1,000) et une valeur arochée de sqrt(1,0000001) à 10^-14 rès. Même méthode que récedemment. Voila. En effet, les gestes techniques élémentaires sont standards : «déveloes et mets tout du même côté», «réduis au même dénominateur», «utilise la croissance de la fonction carré», etc. Mais en suivant les étaes intermédiaires et en se raortant à une comaraison des carrés de deux nombres ositifs donnés, l élève doit arriver à un encadrement de 1 + x en tant que formule algébrique qui ermettra de faire des calculs numériques, tels que l encadrement et la valeur arochée d une classe de nombres ouvant être mis sous cette forme arce qu'ils sont solution d une équation. Notons que ce genre de calcul ne ourrait être intéressant our un élève que our un motif numérique : lorsque le calcul déasse la caacité de la machine. Par exemle ; our comarer des nombres tels que A=1,000 000 000 1 et 1 B=1/0,999 999 999 9 il sera ertinent de comarer et 1 + x. 1 x En bref, l ensemble des réonses fournies à ces questions montre non as que l élève eut réondre dans le cadre strict du contrat, mais que le rofesseur eut montrer à l'élève une réonse qui semble dans ce cadre : en quoi il se légitime d'avoir donné la tâche mais il se défausse de la resonsabilité, réussir à désigner aux élèves l'enjeu de l'étude que demande la réalisation de la tâche. L'identification de la différence de leurs ositions institutionnelles suose l'analyse de ce que Chevallard (00b) nomme les niveaux de détermination de l'organisation mathématique étudiée, c'est-à-dire du cors de mathématiques auquel l'un et l'autre se réfèrent dans l'analyse du roblème et de ses enjeux. Le rofesseur travaille au niveau des grands roblèmes d'un cham de roblèmes ou du domaine d'une théorie quand l'élève est au niveau de la tâche isolée : que eut-il arendre du tye

154 ABDULKADIR ERDOGAN & ALAIN MERCIER de tâches sous-jacent au roblème, si le rofesseur se contente d'une démonstration de faisabilité sous contrat?.. Question osée ar un étudiant de DEUG L'énoncé de l'exercice fait la question, comme d'ordinaire sur les forums : Soit un nombre remier et k un entier tels que et k sont remiers entre eux ; a- Déterminer une relation entre C(, k) et C(-1, k-1) b- En déduire que divise C(, k) c-en déduire que our tout a, b de Z, ( a + b ) est congru à a + b (modulo ) d- Montrer ar récurrence que our tout n 1, e- En déduire que si ne divise as n alors f- Quel est le reste de la division euclidienne de n est congru à n (modulo ) -1 n est congru à 1 (modulo ) 403 61843 ar 13? L organisation de l ensemble des questions nous montre encore (arfois même exlicitement, ar la consigne "en déduire") qu il faudrait se servir de la question récédente comme hyothèse dans la résolution de la question qui la suit. Mais surtout, on ourrait remarquer que ce roblème roose de faire un assage de la combinatoire scolaire au traitement algébrique de questions d arithmétique, et c est grâce à ce assage que l ensemble des questions osées sera résolu. Si ici encore l étudiant suit la rogression de l énoncé en mobilisant les savoirs sensibles de son cours au fur et à mesure, il arrivera au terme de sa tâche sans que les relations roosées ar cette étude - ar exemle entre les théorèmes à démontrer et les classes de congruence - soient construites. Ainsi, cette fois encore le roblème ne devrait as être ris our une tâche à exécuter mais comme la résentation d'un tye de tâches à étudier : nous allons voir que c'est d'autant lus le cas ici que les questions orientent vers la seule voie efficace our un étudiant de DEUG en lui faisant démontrer des résultats techniques caitaux our les roblèmes de la même classe, mais qui ourtant ne font as théorie our ces roblèmes (l objet théorique ici est le etit théorème de Fermat, usuellement traité de manière lus directe dans les manuels). Exlicitons les étaes intermédiaires de la résolution du roblème : La remière question suose la mise en œuvre des connaissances de base de la combinatoire scolaire dont l étude, telle que la question est formulée, ne devrait as oser de roblèmes. Mais si cette question n avait as été osée et si la remière question avait été «Soit un nombre remier et k un entier tels que et k sont

FORUMS DE QUESTIONS MATHÉMATIQUES SUR INTERNET 155 remiers entre eux, montrer que divise C(, k)», la recherche de résolution aurait u être :! ( - k )! k! ( - 1)! ( - k )( - k - 1)! k! ( - 1)! ( - k )( - 1 - k )! k!. C - k k k C = = = = -1... et le mouvement aurait été interromu d'emblée, car cela ne ermet as de conclure. Cela nous montre déjà qu il s agit d entrer dans une organisation mathématique de grande envergure ermettant de démontrer certains théorèmes qui ourront ensuite fonder une ou des technique(s) our un certain tye de roblèmes. ( a + b) = P k = 0 C. a k -k. b k = a + C. a 1-1. b +... + C k. a -k. b k +... + C -1. a. b Une telle maniulation imlique une algébrisation qui aartient au calcul combinatoire, mais le mouvement évoqué se oursuit ar la question c-) qui ouvre un travail au niveau des congruences. Comte tenu de ce que, our tout C k 0 < k <, divise, on eut démontrer que ( a + b) a + b (modulo ). Ensuite, arès avoir montré ar récurrence, en s auyant sur le résultat récédent, que our tout remier et n 1, n n (modulo ), et arès avoir démontré que, -1 alors, n 1 (modulo ), la dernière question demande de déduire de ces résultats une technique our un certain tye de tâches que l on ourrait désigner ainsi: «Comment trouver le reste de la division euclidienne ar un nombre remier d un (grand) nombre élevé à une grande uissance?» et de la mettre en oeuvre dans un cas arès avoir vérifié que ce cas en relevait. Mais our autant, rien ne sera dit du secteur mathématique où de tels roblèmes se rencontrent. Nous ouvons dire, seulement en remontant de la tâche au tye de tâches uis au secteur, que l organisation mathématique de ce tye d'exercice met en jeu d abord les démonstrations de certains théorèmes techniques qui ermettent à leur tour l élaboration d une ou lusieurs techniques dont on ne sait dire les tâches qu'elles ermettraient d'accomlir 8. Ces techniques sont suosées rendre du sens grâce à la seule alication qui en est roosée, retournant ainsi le mouvement d enseignement traditionnel de la théorie vers la ratique. Il semble que l on ait ici une forme didactique réandue à l université, consistant à faire roduire ar l étudiant une séquence didactique telle que le rofesseur aurait u rooser dans une séance d étude dirigée. Nous qualifierons ce geste d enseignement en disant -1 + b 8 Par exemle, our ce tye de roblèmes, trouver le nombre qui est congru à 1 se révèle souvent comme une manière raide de former la réonse, sans our autant qu il y ait mise en œuvre d une technique justifiée.

156 ABDULKADIR ERDOGAN & ALAIN MERCIER qu il relève d un «contrat universitaire» traditionnel en ces lieux ; notre analyse de ce geste dans le cas de la Seconde demeure ceendant valide. 3. Des enjeux liés à l enseignement/l arentissage des objets mathématiques Ce que nous venons d identifier comme des gestes d étude attendus mais imossibles semble relever de situations vécues quotidiennement ou resque, tout au moins our les élèves des classes à mathématiques. En effet, le contrat didactique qui est suosé régler l étude autonome elle-même, roduit - comme nous venons de le voir - une contrainte didactique sur l'organisation des énoncés de devoirs donnés «à la maison» telle que des objets mathématiques et des relations ertinentes our donner du sens à l activité sont écartés de la scène. Un fossé se creuse alors entre les arentissages attendus des élèves et ce qu ils euvent effectivement comrendre des démarches mathématiques, qu'ils doivent étudier. Pour étudier cette hyothèse avec le soin nécessaire, nous allons nous intéresser lus articulièrement aux objets mathématiques de la question de l élève de Seconde et au cham mathématique dont relève cette question. 3.1. Analyse du cham didactique et mathématique corresondant à la question osée ar l élève de Seconde Si l on voulait aller lus loin dans la comaraison des deux questions récédentes, on ourrait même remarquer que toutes les deux s auient sur un unique objet/concet mathématique : la relation binaire. Mais dans le deuxième cas il s agit de relation d équivalence alors que dans le remier, il s agit d'une relation d ordre qui aaraît comme concet ermettant la comaraison 9. Du oint de vue du savoir mathématique en effet, l objet relation d ordre sous-tend les définitions de lus grand/lus etit élément, minorant/majorant, borne suérieure/inférieure etc. Cet objet est consubstantiel aux concets de nombre, olynôme, grahe, variation, fonction etc. La comaraison est lutôt un concet scolaire, effectif sur des ensembles connus en extension, signifiant la détermination de l ordre de deux éléments du même ensemble ordonné. Il devient, dans l enseignement au Collège, un objet utile dans la comaraison des nombres et la résolution d équations et inéquations. Il se traite le lus souvent ar une technique de réduction au roblème du signe de la différence des deux nombres. En classe de Seconde, tout en gardant son statut our la comaraison algébrique ou our la résolution d équations et 9 Une relation binaire R réflexive, antisymétrique et transitive dans l ensemble E est aelée relation d ordre dans l ensemble E. Soit R une relation d ordre dans un ensemble E, deux éléments x et y sont comarables si et seulement si l une des roositions xry ou yrx est vraie.

FORUMS DE QUESTIONS MATHÉMATIQUES SUR INTERNET 157 inéquations, cet objet est aelé à cohabiter avec les fonctions, telles que x couramment aelées les fonctions de référence ou les fonctions usuelles. et 1/x, En effet, la artie algébrique du curriculum de la classe de Seconde s auie sur deux volets : le calcul algébrique, étudié deuis le début du collège, devrait gagner avec l étude des fonctions non linéaires une certaine stabilité avant l entrée dans l Analyse en classe de Première ; à cette occasion, l'usage des équations et inéquations se voit élargi. Notamment, les rédacteurs des rogrammes notent que "les calculs numérique et algébrique ne doivent as constituer un chaitre de révisons systématique mais se retrouvent au travers des différents chaitres. En articulier ils seront traités en relation étroite avec l étude des fonctions" 10 Le curriculum révoit donc une étude nouvelle du calcul algébrique, en intégrant notamment les fonctions et leur étude dans les questions demandant de tels calculs qui jusque-là ne se justifiaient que d'eux-mêmes. C est dans cette organisation nouvelle que la question osée à l élève de Seconde semble avoir trouvé sa lace. Car les questions intermédiaires qui aident l'élève demandent de comarer, à chaque fois, deux de trois nombres donnés ar une exression algébrique. Par ailleurs, l'enjeu d'un encadrement de 1 + x est imortant car, comme la lecture même de la réonse donnée nous le montre, nous avons ici affaire aux fonctions de référence dans leur usage savant en analyse, qui est relatif au calcul numérique (Ovaert, 1988). Il s agit bien sûr de s auyer sur la croissance de la fonction carré sur R+ mais aussi d'utiliser l'aroximation des fonctions our obtenir des aroximations de nombres. Il nous faut donc montrer avec soin que les comaraisons demandées euvent être très bien menées à terme ar les élèves ar une méthode algébrique. Soient donc les questions successives, les savoirs techniques qui euvent être à disosition d'un élève et les manières de les utiliser dans des organisations techniques efficaces : 1) a et b étant deux réels, l hyothèse a b revient au même que l'hyothèse «la différence b-a est ositive» ou b-a>0. De là vient la méthode, aelée au niveau secondaire «la méthode de comaraison» ou «la méthode de différence». Ainsi, le traitement algébrique de la question «comarer A ² et B ²» donnera lieu à la x x ² résolution suivante : B ² - A ² = (1 + )² - ( 1 + x )² =, ce qui veut dire que, 4 x² étant strictement ositif, B ² - A² > 0 D où B ² > A² Mais le traitement de cette question ne s arrête as là, uisqu on nous demande dans la suite d en déduire que A < B. Pour ce faire, nous ouvons artir de l étae 10 Programme de mathématiques de la classe de Seconde, Bulletin officiel hors série n, le 30 août 001.

158 ABDULKADIR ERDOGAN & ALAIN MERCIER récédente en mobilisant un autre savoir, lus raffiné uisque c'est une variante de la technique de «la quantité conjuguée», fondée sur une «identité remarquable». ) B² - A² = (B - A)(B + A) > 0 B - A > 0, (B + A > 0) D où, B > A. Ce traitement algébrique ermet une démonstration raide du sens de variation de ce qu on aelle la fonction carré (x²), objet d enseignement central en classe de Seconde. En effet, our étudier le sens de variation d une fonction, la technique la lus connue consiste à aliquer la définition de monotonie qui en constitue aussi la technologie : 3) Une fonction est croissante (resectivement décroissante) sur un intervalle I, si our tous réels a, b aartenant à I tel que a b, alors f ( a) f ( b) (resectivement f ( a) f ( b) ). La technique corresondante est à eu rès imraticable arce qu'elle demande d abord de choisir les intervalles où la fonction est croissante (ou décroissante) avant de déterminer l ordre de f(a) et f(b) suivant l ordre de a et b, our démontrer cette croissance, déjà suosée. Deux traitements algébriques sont envisageables : a) Partant des nombres a et b comris dans I, constituer l ordre de f(a) et f(b) relativement à l ordre de a et b en suivant des règles de transformation du calcul algébrique ; b) Etudier le signe de f(b)-f(a) relativement au signe de b-a. Suivant la deuxième méthode, our tout réel a et b tels que 0 a < b, b-a étant ositif comme b+a, leur roduit (b-a)(b+a)=b -a est ositif ; d où b >a et f(b)>f(a). C'est-à-dire que la fonction x² est croissante sur l intervalle [0;+ [. Pourtant, il ne s agit as de la même démonstration que la ). Car c est l hyothèse réciroque qui lui corresond. Soit ; our tous réels a et b tels que 0 a < b et b²>a² alors b>a. Il s agit ici d un savoir technique qui n est en aucun endroit démontré dans les manuels et dont l étude n'est as demandée dans les rogrammes alors que son usage simlifie grandement le travail, comme le montre la réonse faite à l'élève de Seconde ar un élève de Polytechnique our qui cela va de soi. Enfin, considérée du oint de vue fonctionnel, la question de l'exercice est suosée mettre en œuvre des roriétés de la fonction carré, notamment ses variations ou l étude de son extremum, dans des usages qui ne semblent jamais établis en tant que tels en classe de Seconde. En effet, le fait d utiliser les variations de la fonction carré our résoudre une question algébrique relève d un vrai défi ; d abord arce que les variations d une fonction s auient, comme nous l avons vu, sur une définition technologique

FORUMS DE QUESTIONS MATHÉMATIQUES SUR INTERNET 159 délicate à mettre en œuvre ; mais aussi arce que, dans l état actuel du rogramme de Seconde, cette mise en œuvre est un enjeu imrenable. Pour montrer qu une fonction telle que f ( x) = 9 - ( x + )² est décroissante sur l intervalle [-;+ [, la technique réellement demandée serait la suivante Soit a et b deux réels tels que - a < b 0 a + < b +, donc a+ et b+ sont deux nombres ositifs, rangés dans l ordre croissant. Comme la fonction carré est croissante sur [0;+ [, on eut écrire ; ( a + - ( a + ) 9 - ( a + ) < ( b + ) > -( b + ) ) > 9 - ( b + ) Donc, f ( a) > f ( b) Conclusion : Pour tout a et b de [-;+ [ tels que - a < b, f ( a) > f ( b) Donc la fonction f ( x) = 9 - ( x + )² est décroissante sur l intervalle [-;+ [. 11 ; Nous ouvons voir que c est la roriété de la fonction carré qui devient le critère lorsqu il s agit de décider de l ordre de deux nombres ositifs élevés au carré. Mais le fait d utiliser cette fonction carré comme référence ne va as de soi. Parce qu il ne s agit as, our les élèves, d un usage ordinaire en calcul numérique. Pour en faire une roriété technique il faut mobiliser le non ostensif fonction à roos d'un objet ordinairement associé au calcul littéral, rendre en comte la croissance de la fonction, et cette fonction est x, un objet qui ne se voit que our qui ense f(x) en termes de «fonction comosée». Il y a donc une difficulté articulière dans le fait que la technique de résolution demandée est une sorte de mélange de deux tyes de techniques, à savoir la technique algébrique récisée lus haut et une technique fonctionnelle qui consiste à se servir des fonctions dont les variations sont connues, dans un geste inimaginable our qui ne connaît as les fonctions comosées ou au moins la notion de changement de variable. La référence à la fonction carré est ici introduite ar le contrat didactique dans ce sens que le rofesseur demande aux élèves en fonction des injonctions officielles de justifier ar les variations de la fonction carré dont l étude a eu lieu quelques semaines avant en lien avec la résolution d inéquations. Ce qui fait que 11 Il s agit d une technique de résolution observée dans des classes de Seconde dans le cadre de notre travail de thèse. L exemle choisi est le troisième exercice dans l introduction de cette étude dans une des classes observées.

160 ABDULKADIR ERDOGAN & ALAIN MERCIER l activité est nécessairement dénuée de sens our les élèves, au moins our ce qui concerne cette étae de la résolution 1. En résumé, la technique est essentiellement basée sur le calcul algébrique qui assure le montage de la fonction. La fonction carré dont la variation n intervient que d une manière non indisensable à la mise en œuvre de la technique constitue ceendant l objet du contrat, c'est-à-dire que cet usage de la fonction carré constitue l enjeu didactique du rogramme et oriente le rojet du rofesseur. Conclusion Au-delà du caractère éminemment roblématique de l aide que euvent donner des systèmes auxiliaires comme les forums sur Internet, nos analyses montrent qu il est nécessaire de s interroger sur une artie du travail des élèves qui est considérée la luart du tems comme allant de soi. Nous ouvons dire que le travail laissé à la charge des élèves échae souvent aux regards didactiques, et ourtant ce travail est our les deux actants du système d enseignement (élève et enseignant) un enjeu institutionnel majeur. Nous avons ainsi montré sur des exemles que ce travail a deux dimensions que la recherche didactique doit rendre en comte : une dimension liée au contrat didactique, aux gestes d étude attendus, et une dimension éistémique relative aux objets mathématiques des situations roosées, qu il convient de considérer comme un cham de signification et d investigation. Dans un sens récis, nous avons montré que devant une telle situation, les objets mathématiques - certains visibles, d autres cachés - s agencent les uns avec les autres - à différents niveaux de rofondeur - jusqu à constituer un cham ertinent sur lequel va s auyer l étude autonome de l élève, en lui donnant les outils d action mais aussi et c'est essentiel si l'on ense qu'un acteur humain n'agit jamais sans anticier quelque chose des effets de son action, les moyens d identification et de validation de ses rores démarches. Si ce cham ne se résente as à l élève en tant que tel, via l enseignement disensé et le contrat d étude mis en lace, quel sera le référentiel de l élève dans la situation de travail à la maison où il n y a as de rofesseur our organiser et diriger son étude? On se trouve alors devant une question didactique imortante : comment imaginer et mettre en lace une analyse qui nous ermet d identifier le cham mathématique dont relève une situation d étude? Comment rendre en comte les objets et les relations qui donnent du sens à l activité et assurent la dimension autonome de la démarche suivie? Pour réondre à cette question, nous roosons un concet 1 Au moment du contrôle, seul un élève sur 33 arrive à réussir dans une situation semblable. Une grande artie des erreurs commises concerne cette étae de la résolution.

FORUMS DE QUESTIONS MATHÉMATIQUES SUR INTERNET 161 didactique, celui de site mathématique 13 qui désigne le cham des objets et des relations ertinentes, aelé ar la situation, et nous roosons un modèle d analyse autour de ce concet, consistant à identifier les objets rinciaux du site mathématique en question, les concets corresondants et les techniques d étude liées à ces concets. Le site mathématique dans le cas de la question de l élève de Seconde sera alors un site «algébrique fonctionnel». Les objets rinciaux de ce site seraient ar conséquent constitués des objets/concets tels que nombre, olynôme, relation/grahe, équation, fonction, variation, ordre et inéquation Ce site s auierait sur un nombre imortant de concets mathématiques, chacun aartenant un ou lusieurs domaines mathématiques au sens strict et ces concets seraient convoqués en fonction des techniques qu ils ermettent de mettre en œuvre et dont ils assurent le sens, et ces techniques vont convoquer d autres concets, ainsi de suite. Nous ensons qu une telle analyse devrait tout d abord ermettre de montrer la ertinence éistémique de certains objets, les relations entre eux et étudier les relations et les objets articulièrement soutenus ar le contrat didactique à roos d une organisation didactique roosée. Par ailleurs, comme il s agit là d une vision assez soule et évolutive des objets mathématiques imliquées dans une situation d étude, cette analyse devrait ermettre d étudier les objets du curriculum comme un ensemble, d identifier les hénomènes de ruture et de continuité et les conséquences de ceux-ci sur les décisions du rofesseur et l étude autonome des élèves. 13 En référence à la notion du site archéologique où on effectue des fouilles. Pour lus d informations au sujet de la notion de site mathématique et de son usage à des fins didactiques, voir Duchet & Erdogan (005) et notre travail de thèse qui sera bientôt disonible.

16 ABDULKADIR ERDOGAN & ALAIN MERCIER Bibliograhie BROUSSEAU G. (1995), L enseignant dans la théorie des situations didactiques. Actes de la VIII e Ecole d été de didactique des mathématiques, Saint - Sauve, - 31 août. BROUSSEAU G. (1998), La théorie des situations didactique, La Pensée Sauvage. CHEVALLARD Y. (1990), Notes sur la notion de «Boutique de mathématiques», Note interne, IREM d Aix-Marseille. CHEVALLARD Y. (199), Concets fondamentaux de la didactique : ersectives aortées ar une aroche anthroologique. Recherche en Didactique des mathématiques 1-1, 73-11. CHEVALLARD Y. (1995), Familière et Problématique, la figure du rofesseur. Actes de la VIII e École d été de didactique des mathématiques, Saint - Sauves, - 31 août. CHEVALLARD Y. (1999), L'analyse des ratiques enseignantes en théorie anthroologique du didactique, Recherches en didactique des mathématiques 19-, 1-66. CHEVALLARD Y. (00a), Organiser l étude, Structure et Fonctions. In Dorier Jean-Luc (ed) XXI ème école d été de didactique des mathématiques, La Pensée Sauvage. CHEVALLARD Y. (00b), Organiser l étude : Ecologie et Régulation. In Dorier Jean-Luc (ed) XXI ème école d été de didactique des mathématiques La Pensée Sauvage. DUCHET P. & ERDOGAN A. (005), Puil s autonomous studying: From an eistemological analysis towards the construction of a diagnosis. Fourth Congress of the Euroean Society for Research in Mathematics Education (CERME-4), Sant Feliu de Guíxols, Sain, 17-1 February 005. ERDOGAN A. (001), La dimension didactique des forums de questions mathématiques, Mémoire de DEA, Université Claude Bernard- Lyon1. ERDOGAN A. (005), Forums on Internet: tools for teaching and learning? Proceeding in CD, Biltek005: International Informatics Congress, 9-1 juin 005, Eskisehir/Turkey. FÉLIX CH. (00), Une analyse comarative des gestes de l'étude ersonnelle : le cas des mathématiques et de l'histoire, Thèse du troisième cycle, Université d Aix- Marseille I.

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