TD ASSERVISSEMENT EXERCICES D'APPLICATION DES METHODES DE CALCUL : 1) Soit un signal ayant pour expression en Laplace :Y(p) = 1+3p (p+1) 2.(p+2) Donner la valeur finale de y(t), puis la valeur initiale de y(t) et de dy/dt. 2) FTBF Calculer la transmittance (FTBF) du schéma bloc suivant : 3) Schéma bloc à deux entrées Soit le système à deux entrées défini par le schéma bloc suivant : Calculer l expression des deux transmittances : Donner l'expression S(p) en fonction de E(p) et P(p) 4) Identification A) Identifier les paramètres des systèmes dont la réponse à un échelon unitaire est : a) b) pour cet exemple, indiquer la méthode, ne pas faire le calcul complet B) Un essai fréquentiel d'un système a permis de tracer le diagramme de bode donné page suivante. En déduire la fonction de transfert permettant de modéliser le système. TD space mountain 1/8
5) Tracé de Diagramme de Bode 5 a) H 1 (p) = b) H 2 (p) = (1+0,1 p) 10 1+0,2.p+0,01p² c) H 3 (p) = d) H 4 (p) = 1 1+0,02.p+0,01p² 8(1+10.p) (1+p)(1+0,01p) 6) Intérêt de la boucle fermée sur les performances a) Exprimer et représenter graphiquement la réponse à un échelon d amplitude X 0 du système linéaire de fonction de transfert G(p) = 1 1+τ.p représenté ci-contre. b) Avec = 1s, quel est le temps de réponse t 5%? On insère ce système du premier ordre dans un système asservi représenté ci-contre. Un gain pur K 1 est placé en amont du comparateur. La chaîne d action est composée d un gain pur K = 9 et de G(p). Le retour est unitaire. c) Quelle est la fonction de transfert H(p) = Y(p) de ce schéma bouclé? De quel type de système s agit-il X(p)? d) Quelle valeur donner à K 1 pour que la valeur finale de la réponse à un échelon soit la même avec les deux schémas? e) Qu apporte le bouclage sur la rapidité du système? f) Déterminer et représenter graphiquement le signal v(t) de transformée de Laplace V(p) qui est envoyé au système linéaire de fonction de transfert G(p) dans la configuration avec boucle si x(t) est un échelon d amplitude X 0. 7 - Conclure quant aux limites du procédé utilisé. TD space mountain 2/8
7) Modélisation d'un moteur à courant continu: a) L'induit d'un moteur à courant continu peut être schématisé par une fém E en série avec une résistance R et une inductance L. Dessiner le schéma en plaçant U m et I m, puis donner l'équation temporelle liant U m, I m et E. b) Le comportement du moteur est complété par les relations suivantes C m=k.i (C m : couple moteur, i courant ) E=k. Ω (Ω : vitesse angulaire ) L'équation mécanique du moteur est donnée par: J d Ω = Cm Cr f. Ω (J inertie du moteur, Cr : couple résistant, f coefficient de frottement dt visqueux) Transformer les 4 équations temporelles en Laplace. c) Compléter alors le schéma bloc suivant : d) Donner la fonction de transfert H(p) = Ω(p). (sans prendre en compte Cr.) U(p) e) Application numérique : f est négligée par rapport aux autres valeurs f = 0 k = 0.1 N.m/A U = 25 V J = 0.01 kg.m² L = 0.5 mh R = 0.1 Ohm Calculer : - le gain statique K - la pulsation propre 0 - le coeff. d amortissement m f) D'après la valeur de m, sous quelle forme peut-on mettre H(p)? Procéder à ce changement. g) On réalise un essai avec une tension du type U(t) = 25 u(t) (attention u(t) est la fonction existence u(t)=1 lorsque t > 0) - Exprimer (p) sous la forme d une somme de transformées de Laplace connues. (Cr(p)=0) - Donner l expression de la réponse indicielle (t) dans le domaine réel - Quelle est la vitesse atteinte en régime permanent? 8) Soit un système défini en boucle fermé par la fonction de transfert suivante : HBF(p)= S(p) = 4 E(p) 5+2.10 2 p+10 4 p² a) Calculer l'erreur statique (en %) pour une entrée en échelon. b) Donner la valeur de m et w 0.(coefficient d'amortissement et pulsation propre). c) Tracer l'allure de la réponse indicielle. (justifier) 9) Soit le système défini par le schéma bloc suivant : TD space mountain 3/8
Consigne position C(p) a) Donner la fonction de transfert en boucle fermée. b) Donner la valeur de K de manière à avoir un coefficient d'amortissement de 0,7. c) Donner l'erreur statique pour une entrée en échelon d'amplitude 50. PROBLEME I : ASSERVISSEMENT DE POSITION Etude de l'asservissement en position d'un robot de coulée (solide S) suivant x par rapport au bâti. Le schéma cinématique ci-contre présente le mécanisme de mise en mouvement de S. Le robot S est lié au bâti par une liaison glissière d axe x. Le moteur est encastré dans le robot, l arbre moteur entraîne l arbre de sortie au travers d un réducteur de rapport r. L arbre de sortie du réducteur est muni d une roue dentée (de diamètre ), qui roule sans glisser sur une crémaillère encastrée dans le bâti. Le moteur est à courant continu, il se modélise, ici, par une fonction de transfert du premier ordre de gain statique Km et de constante de temps m. Le moteur est alimenté par un modulateur. Le modulateur est commandé par une tension Uα et sera schématisé par un gain Kmod=20. Données : um(t) : la tension de l induit du moteur L(um(t))=Um(p) m (t) : la vitesse angulaire de l arbre moteur L( m (t))= m(p) r(t) : la vitesse angulaire de l arbre de sortie du réducteur L( r (t))= r(p) r(t) : la position angulaire de l arbre de sortie du réducteur L( r (t))= r(p) x(t) : la position linéaire de la crémaillère L(x (t))=x(p) On pose : r = 0.2 = 200 mm Km = 0.3 rad/s/v m = 0.2 s 1) On donne le schéma bloc suivant : U α(p) U m(p) H0(p) H1(p) m(p) H2(p) r(p) H3(p) r(p ) 1.1) Exprimer les fonctions de transfert H0(p),H1(p), H2(p), H3(p), H4(p). H4(p) X(p) 1.2) Exprimer la fonction transfert en boucle ouverte X ( p) H( p) U ( p) 2) Calculer, puis tracer la réponse à un échelon unitaire de tension de cette commande de position. 3) Le concepteur choisit d asservir cette commande de position. Un capteur de position angulaire est alors placé en position B. La fonction transfert de ce capteur sera prise égale à l unité. Un correcteur proportionnel de gain Kv est inséré. TD space mountain 4/8
Dessiner le schéma bloc correspondant à cette situation. 4) Pour Kv =1, tracer les diagrammes de Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte. Donner la marge de phase. Le système bouclé sera t-il stable? 5) Déterminer graphiquement quelle doit être la valeur de Kv afin que la marge de phase soit de 45. 6) Pour la valeur de Kv calculée précédemment, calculer la fonction de transfert en boucle fermée. Par identification avec la forme canonique, donner les valeurs de m et w0 (coefficient d'amortissement et pulsation propre de la FTBF). w0.tr 7) Calculer, pour la valeur de Kv calculée en 5, les performances temporelles suivantes de ce système (toujours pour une entrée indicielle). - précision statique. - temps de réponse par l intermédiaire de l abaque ci-contre. m PROBLEME II : ROBOT DE MANUTENTION Dans une usine de construction automobile, un robot portique assure le déplacement de pièces mécaniques. Il comporte une colonne dont l'extrémité inférieure est munie d'une griffe- Cette colonne se déplace entre le tapis d'arrivée des pièces et le poste d'usinage. Le mouvement de ces pièces peut s'effectuer dans trois directions (horizontal ou vertical). Le mouvement vertical de cette colonne permet de saisir, déposer ou maintenir les pièces mécaniques. Pour assurer une continuité de service, la salle de contrôle est équipée d'une alimentation de secours. L'étude portera sur un moteur assurant le déplacement vertical de la colonne, sur l'asservissement de sa position et sur l'alimentation de secours de la sonde de contrôle. A - MOTEUR A COURANT CONTINU A -I Moteur en régime Permanent Le moteur permettant le déplacement vertical de la colonne est un moteur à courant continu à aimants permanents, pour lequel un essai a permis de relever les mesures suivantes : Exploiter les résultats de ces mesures pour en déduire, dans ces conditions de fonctionnement : A -l-1 le moment du couple utile Cu développé par le moteur. A -l-2 la puissance électrique absorbée Po A -l-3 la valeur du rendement r du moteur. A -2 Moteur en régime transitoire La fréquence de rotation n du moteur à courant continu dépend à chaque instant t de la tension U appliquée à l'induit de ce moteur. TD space mountain 5/8
Dans ce qui suit, on exprime n en tr.min-1, U en V et le temps t en s. On note respectivement N(p) et U(p) les transformées de Laplace des grandeurs temporelles n(t) et u(t). Le comportement dynamique du moteur est modélisé par la transmittance M(p) telle que : A -2-l Quel est l'ordre du système modélisé par cette transmittance M(p)? Citer les deux paramètres permettant de caractériser un système de cet ordre et donner leurs valeurs numériques pour le système donné. Prévoir l'allure de n(t) pour un démarrage direct à tension nominale. A 2-2 Déduire de la fonction M(p) l'équation différentielle liant n(t) et u(t). Préciser la valeur numérique de la constante de temps du moteur. B - ASSERVISSEMENT DE POSITION Le robot est destiné à positionner la pièce saisie malgré les perturbations. Pour cela, un asservissement permet de régler la position verticale réelle x(t) de la colonne du robot en fonction de la position de consigne xc (t). L'écart entre la position de consigne et la position réelle représente le signal d'erreur {t). B -1 Transmittance en boucle fermée La modélisation de l'asservissement conduit au schéma-bloc suivant : Etablir l'expression de la fonction de transfert en boucle fermée HBF(p) en fonction T(p). B -2 Etude en boucle ouverte L'expression de la transmittance isomorphe du système en boucle ouverte est : B -2-1 En utilisant la correspondance p jw, donner l'expression de la transmittance complexe en boucle ouverte T (jw ) correspondante. Donner le module et l'argument cette transmittance. B-2-2 Tracer les diagrammes de Bode de T(jw). B-2-3 En déduire la marge de phase. B-2-4 Le système en boucle fermée sera-t-il suffisamment stable? Pourquoi? B-3 Correcteur Proportionnel On introduit un correcteur analogique constitué d'un bloc amplificateur A (A=4) dans la chaîne d'action. Le schéma-bloc de l'asservissement devient: B -3-1 Calculer la fonction de transfert en boucle fermée. La Mettre la sous forme canonique : HBF(p) = X(p) = K X c (p) 1+ 2m w0 p+ 1 w0² p² TD space mountain 6/8
B-3-2 Donner la valeur de m. B-3-3 Calculer l'erreur indicielle. Quel correcteur aurait-on pu utiliser pour avoir une erreur nulle? B-3-4 Tracer en rouge le diagramme de Bode de la fonction de transfert ainsi obtenu en boucle ouverte avec le gain A. (sur la même courbe qu'en B.2.2) Comment le gain a modifié le diagramme de Bode? B-3-5 Donner la nouvelle valeur de la marge de phase ainsi obtenue. Conclusion, quelles modifications a apportées le correcteur? Problème III : asservissement d un radar On étudie l asservissement en position angulaire d un radar de poursuite destiné à connaître avec précision la position et la vitesse d un mobile évoluant dans l espace aérien. Le système comporte une antenne parabolique émettant dans une direction précise appelée axe radioélectrique. Cet axe est repéré par les angles de site et de gisement comme le montre la figure ci après. Des capteurs de positions permettent d avoir en permanence une image s et s. En présence d une cible réfléchissante, l écho reçu par la parabole dépend du «dépointage angulaire» entre l axe radioélectrique et la ligne de visée. Le dispositif radar est capable de délivrer deux tensions proportionnelles aux écarts angulaires ( e- s) et ( e- s). On se propose d étudier l asservissement en gisement de la tourelle porte parabole dont l organisation matérielle est donnée ci dessous. L asservissement en site se fera sur le même principe. Hypothèses de modélisation : on néglige les frottements ; on néglige l inductance d induit du moteur ; on suppose que la variation de site ne modifie pas le moment d inertie autour de l axe z. 1 Calculer l inertie équivalente J de l ensemble sur l arbre moteur. Réaliser un schéma bloc sous la forme : TD space mountain 7/8
2 On envisage le fonctionnement du système en asservissement, ce qui conduit au schéma fonctionnel de la figure ci-contre : 2.1 Montrer que la FTBF est du deuxième ordre. Exprimer les coefficients usuels, Kf, mf et ωf. 2.2 Quelle valeur faut il donner au coefficient α pour que le temps de réponse à 5 % après une excitation en échelon de position soit le plus faible possible. Calculer tr. 2.3 Pour la valeur α calculée précédemment, exprimer puis calculer l erreur de poursuite (ou erreur de traînage) si l objectif évolue à une vitesse angulaire sensiblement constante : TD space mountain 8/8