ING1 PHYSIQUE (TD) S1. Optique Géométrique Lamia ROUAI 2008-09 rouai@ece.fr
Exercice 1 Sur une plage un baigneur A se trouve à une distance Y d'un rivage supposé rectiligne. Il décide A de se rendre sur une île B située à la distance Y B de ce rivage dans le minimum de temps. Quel chemin doit-il suivre si l'on suppose qu'il se déplace à la vitesse v sur la plage et v dans A B l'eau? Les vitesses v et v ainsi que les distances Y A B A, Y B et H H =L sont supposées constantes. A B Exercice 2 Un verre a l indice n=1,595 pour la lumière rouge et n=1,625 pour la lumière violette. Un rayon de lumière blanche, qui contient ces deux couleurs, se propage dans ce verre et arrive à la surface de séparation avec l air sous une incidence de 35 1. Calculer l angle que font dans l air les rayons rouge et violet 2. Calculer l angle limite dans le verre pour ces deux longueurs d onde Exercice 3 Un rayon lumineux se propage dans un premier milieu constitué d'air. Le rayon incident dans l'air frappe une surface de verre, puis une surface d'eau, ensuite une surface de verre et se propage finalement dans l'air. L'angle d'incidence dans l'air est de 40. 1. Quel est l'angle de réfraction dans le 2 ème milieu constitué de verre? 2. Quel est l'angle de réfraction dans le 3 ème milieu constitué d'eau? 3. Quel est l'angle de réfraction dans le 4 ème milieu constitué de verre? 4. Quel est l'angle de réfraction dans le 5 ième milieu constitué d'air? Exercice 4 Un pêcheur voit passer un poisson sous l'eau à une profondeur apparente de 45 cm. À quelle profondeur doit-il plonger son épuisette pour attraper le poisson? Exercice 5 Une piscine possède une profondeur réelle de 2 m. Quelle est la profondeur apparente de la piscine? Exercice 6 Un rayon lumineux traverse l'une des faces d'un cube en matière transparente sous une incidence de 45 puis rencontre une seconde face, perpendiculaire à la première ; en admettant que le plan d'incidence soit normal à ces deux faces et que le rayon sorte dans l'air en rasant la face de sortie, calculer l'indice de la substance du cube. Exercice 7 Une glace de verre d'épaisseur e=1 cm et d'indice n=1.5 est argentée sur sa face postérieure, un œil placé au voisinage de la perpendiculaire AH voit plusieurs images. 2
1. Expliquer la formation de ces images. Comparer leurs intensités. 2. Tracer la marche du pinceau qui, issu de A, entre dans l'œil en paraissant provenir de la plus lumineuse de ces images. 3. Préciser la position que devrait avoir le plan réfléchissant M pour donner, seul (sans le verre), cette image lumineuse de A. Exercice 8 Montrer que le support d'un rayon lumineux qui frappe sous une incidence i une lame à faces parallèles d'épaisseur e, plongée dans l'air et d'indice n subit une translation de : où r est l'angle de réfraction. Calculer cette translation pour i=60, e=5 cm et n= Exercice 9 Une bulle sphérique d'air n=1 de rayon R est immergée dans un liquide d'indice 4 n= 3. 1. Calculer la valeur limite i lim de l'angle d'incidence i pour laquelle il y a réflexion totale sur la bulle d'air pour un rayon incident parallèle à l'axe. 2. Quelle est alors la hauteur h du rayon incident par rapport à l'axe de la bulle d'air en fonction du rayon de la goutte? 3. Dans le cas où i>i lim, donner l'expression de la déviation subie par le rayon incident. 4. Donner l'expression de la déviation ˆD quand i<i lim, le rayon subissant deux réfractions et sortant de la bulle. On donne quelques valeurs particulières : arcsin(0, 66666666) = 42 ;arcsin(0,333333) = 19,5 ;arcsin(0,75) = 48,75 Exercice 10 Une source ponctuelle placée à 1.50 m d'une armoire à glace, est dans l'axe du panneau réfléchissant passant par son centre. La largeur du panneau est de 1 m. On fait tourner le panneau de 60 autour de sa charnière. On demande de : 1. dire suivant quelle courbe se déplace l'image de la source pendant que le miroir tourne ; 3
2. calculer le chemin franchi par l'image au cours de cette rotation ; 3. trouver la distance de l'image à l'objet dans la nouvelle position du miroir Exercice 11 1. Soit une fibre optique ordinaire constituée d un cœur d indice n 1 =1,5 et d une gaine d indice n 2 =1,3. Un rayon se propage dans le cœur de la fibre et arrive au point I à l interface cœur-gaine avec une incidence i. a. Quel est l angle de réflexion à l interface cœur-gaine? b. Pour quelles valeurs de i le rayon se propage-t-il dans la fibre? Soit L la longueur d une portion de la fibre ordinaire, c. Avec quelle différence de temps le rayon d incidence i 1 =0 et le rayon d incidence i 2 =25 vont-ils parcourir la distance L? 2. Lorsque le cœur de la fibre est remplacé par deux milieux : le premier d indice n 1 =1,5 et de diamètre h 1 et le second d indice gradient d indice. ' n 1 =1,4 et de diamètre h 2, cette fibre est alors appelée fibre à a. Pour quelles valeurs de i le rayon se propage t-il uniquement dans le milieu d indice n 1 =1,5? b. Pour quelles valeurs de i le rayon se propage t-il aussi dans le milieu d indice n 2 =1,4? Soit L la longueur d une portion de la fibre à gradient d indice, on considère h 1 =h 2 =h. c. Avec quelle différence de temps le rayon d incidence i 1 =0 et le rayon d incidence i 2 =25 vont-ils parcourir la distance L? d. Quel est l avantage de cette fibre par rapport à la fibre ordinaire? Exercice 12 Un prisme, placé dans l air, possède un angle au sommet de 60. L'angle de déviation minimum est de 38,93. 1. Quel est l'angle d'incidence sur la 1 ère face? 2. Quel est l'angle de réfraction de la 1 ère face? 3. Quel est l'indice de réfraction du prisme? Exercice 13 Un système est formé par un prisme de petit angle (A = 4 ; n = 1.5) et un miroir plan vertical disposés très près l'un de l'autre ; il reçoit un rayon horizontal SI qui arrive normalement sur la face d'entrée du prisme. 4. Tracer la marche du rayon (aller et retour) à travers le système. 5. Calculer l'angle d'incidence sur le miroir. 6. Calculer la déviation totale. Exercice 14 On considère un parallélépipède de verre d'indice n=1,5. Un rayon arrive au point d'incidence I avec un angle d'incidence i; il pénètre dans le prisme et on appelle r l'angle de réfraction. Au point 4
J, sur la deuxième face, il se réfléchit en formant un angle γ avec la normale. Enfin il ressort par la troisième face au point K sous l'angle i' (voir figure ci-dessous). 1. Établir les relations entre les différents angles en I, J et K. 2. Montrer que le rayon ne peut pas se réfracter en J. 3. Montrer qu'il ne peut pas y avoir réflexion totale en K. 4. Calculer la déviation ˆD subie par le rayon à la traversée du parallélépipède. Exercice 15 On considère un prisme d'angle Â, d'indice n >1 entouré d'air. 1. A quelles conditions sur  et sur n peut-on trouver un rayon incident qui donne naissance à un rayon émergent? 2. Que devient la déviation ˆD lorsque l'indice du prisme varie? 3. Etude de la déviation en fonction de l'angle d'incidence : montrer l'existence d'un minimum de déviation. 4. Si  est petit et pour les faibles incidences que devient la déviation Exercice 16 On creuse dans un bloc de verre d indice n une cavité en forme de prisme ABC d arrête A =60. L indice à l intérieur du prisme est donc égal à 1. Un rayon lumineux monochromatique arrive sur la face d entrée AB sous une incidence i. On appellera r l angle de réfraction sur la face AB, r l angle d incidence sur la face AC et i l angle de réfraction sur la face AC. 1. Pour quelles valeurs de l angle d incidence i a- t- on réflexion totale sur la face AB? 2. Supposons que cette condition ne soit pas vérifiée. Pour quelles valeurs de i notée i 0 le rayon réfracté arrive-t-il perpendiculairement sur la face de sortie AC? 3. Faire un schéma pour chacune des configurations i< i 0 et i> i 0 et écrire les relations entre r, angle de réfraction sur la face AB, et r, angle d incidence sur la face AC dans chaque cas 4. Quelles sont les conséquences sur la déviation dans chacun des cas? 5. Que vaut la déviation D pour i= i 0? Exercice 17 Un prisme possède un angle au sommet de 60. Si le prisme est placé dans l'air, l'angle de déviation minimum est de 52,88. Si le prisme est placé dans un liquide, l'angle de déviation minimum est de 6,46. 1. Quel est l'indice de réfraction du prisme? 2. Quel est l'indice de réfraction du liquide? 5
Exercice 18 Un dioptre sphérique concave de sommet S 2 et de rayon R sépare deux milieux d'indices n 1 et n 2. 1. Déterminer les positions des foyers F 2 et F' 2 et déduire leur nature. On donne n 1 =1,5 et n 2 =1 2. Construire géométriquement l'image d'un objet réel perpendiculaire à l'axe du dioptre dans les deux cas suivants : SA=4R et SA=2R 3. Calculer le grandissement linéaire pour chacun de ces cas. On place à gauche de ce dioptre, un deuxième dioptre sphérique de sommet S 1, de même centre C et de même rayon R que le premier, de telle sorte qu'il sépare le milieu d'indice n 2 du milieu d'indice n 1. 4. Trouver les foyers du système optique entier Exercice 19 Soit un dioptre sphérique convexe de rayon 5 cm, séparant un milieu d indice n=1 d un second milieu d indice n =1,5. 1. Déterminer les positions des foyers 2. Quelle est leur nature? Quelles sont les conséquences sur ce dioptre? On considère un objet réel AB de 2 cm de hauteur positionné à 20 cm du sommet du dioptre sphérique 3. Calculer la position de l image, sa taille et sa nature 4. Faire la construction de l objet et de son image On considère un objet virtuel AB de 2 cm de hauteur positionné à 20 cm du sommet du dioptre sphérique 5. Calculer la position de l image, sa taille et sa nature 6. Faire la construction de l objet et de son image Exercice 20 Un objet ponctuel A se trouve à 3 m au dessus de la surface d eau contenue dans un tube à essai de sommet S et de centre C. L indice de l eau est 4/3. 1. Quelle est l image A du point A après traversée de la surface du liquide 2. Le tube à essai, d épaisseur de verre négligeable, possède une forme sphérique avec un rayon de courbure de 3 cm et contient 2 cm d eau. Déterminer la position de l image finale A de A à travers le fond du verre On remplace la source ponctuelle A par un objet étendu AB de 1 m perpendiculairement à l axe SC, (toujours située à 3 m de la surface de l eau). 3. Calculer la taille de l image A"B" ainsi que sa nature. Exercice 21 Un dioptre sphérique concave de rayon de courbure R=10 cm sépare deux milieux d indice 4 n'= 3 1. Calculer la position des foyers et précisez leur nature 3 n= 2 et 6
2. Calculer la vergence. Le dioptre est-il convergent? 3. On place un objet AB mesurant 1 cm à 50 cm du sommet du dioptre sphérique 4. Calculer la position de l image ainsi que son grandissement transversal 5. Quelle est la nature de l image et sa taille? 6. Représenter géométriquement la position des foyers F, F et l objet AB puis construire son image A'B' Exercice 22 On considère le système optique représenté sur la figure ci-après. Les rayons de courbures des deux dioptres sont égaux à R. On donne S S = 2R, n 1 2 air=1 et n=nverre = 1. Déterminer la position des foyers objet et image du premier dioptre de rayon de courbure S C en fonction de R. Préciser leurs natures et les conséquences sur ce 1 er 1 dioptre 2. Déterminer la position des foyers objet et image du second dioptre de rayon de courbure S C en fonction de R. Préciser leurs natures et les conséquences sur ce 2 ème 2 dioptre 3. Déterminer la position des foyers objet et image du système optique formé des deux dioptres en fonction de R. 4. Quelles sont les distances focales de ce système? Est-il convergent ou divergent? 3 2 Exercice 23 Un dioptre sphérique convexe de rayon de courbure SC=3 cm sépare deux milieux d indices n=1 et n =3/2. 1. Déterminer les positions des foyers objet et image. 2. Calculer la vergence de ce dioptre. Est-il convergent ou divergent? On place sur l axe un objet réel filiforme AB de 2 cm de hauteur à une distance égale à 4 rayons de courbure de S. 3. Quelle est la position de l image A B? Quelle est sa nature? Quelle est sa taille? 4. Construire géométriquement cette image. L objet AB est en fait une croix ABED tel que ED coupe AB perpendiculairement en son centre et ED=AB=2 cm. 5. Construire géométriquement l image de cette croix. Comment est-elle? 7
Exercice 24 Soit un miroir concave de centre C et de rayon R=6 cm. 1. On place un objet réel à 9 cm de son sommet S. Calculer la position de l'image dans l'approximation de Gauss, en déduire sa nature (réelle ou virtuelle). Calculer le grandissement linéaire. S'agit-il d'une image droite ou renversée? 2. On désire obtenir à l'aide du même miroir une image droite, deux fois plus grande que l'objet. Où faut-il placer l'objet? En déduire la position et la nature de l'image. Peut-on atteindre ce résultat avec un miroir sphérique convexe? Exercice 25 Le Télescope de Cassegrain est composé de deux miroirs sphériques M 1 et M 2, de rayons R 1 et R 2 (R 1 >R 2 ) et de même centre de courbure C. Le miroir M 1 est percé en son sommet S 1 d'une petite ouverture destinée à l'observation de l'image donnée par le système. Le système est utilisé dans les conditions de Gauss pour observer un objet à l'infini. 1. Trouver quelle est la configuration des ces deux miroirs pour que l'image finale se forme en S 1 2. Quelle doit être la valeur de R 2 en fonction de R 1 pour que l'image finale se forme en S 1? 3. Exprimer en fonction de R 1 et du diamètre apparent a d'un objet situé à l'infini, la dimension linéaire de l'image donnée par M 1. 4. Déterminer le grandissement linéaire du miroir M 2 et la dimension de l'image finale Exercice 26 Une cuve contient de l'eau dont la surface libre est AB. Sur une même verticale OP se trouvent : en O, à 1.20 m au-dessus de AB, l'œil d'un observateur ; en P, à 0.80 m au-dessous de AB, l'œil d'un poisson. 1. A quelle distance l'observateur croit-il voir le poisson? A quelle distance le poisson voit-il l'observateur? 2. Le fond de la cuve est un miroir plan horizontal CD. L'épaisseur de la couche d'eau est e = 1.20 m. L'observateur O se regarde dans le miroir CD ; à quelle distance voit-il son image? Dans quel sens et de combien se déplace-t-elle lorsqu'on fait écouler toute l'eau de la cuve? Exercice 27 Un dentiste vous demande de concevoir un petit miroir à placer à l'extrémité d'un manche et destiné à l'observation intra buccale. Le dentiste voudrait que l'image d'une dent soit droite et ait une taille double de celle de la dent quand le miroir est situé à 15 mm d'elle. Calculer le rayon de courbure de ce miroir et préciser sa nature. Exercice 28 Un objet se trouve à 20 cm devant un miroir convexe ayant un rayon de courbure de 10 cm. La taille de l'objet est de 1 cm. 1. Tracez trois rayons lumineux entre l'objet et l'image. 8
2. Quelle est la position de l'image? quelle est la taille de l'image? 3. L'image est-elle réelle? est-elle renversée? 4. Quel est le grandissement? Exercice 29 Soit un miroir concave de 50 cm de rayon de courbure. Trouver les deux positions de l'objet pour lesquelles l'image est 4 fois plus grande que l'objet. Dans chacun des cas, déterminer la position de l'image, sa nature ainsi que la nature de l'objet. Exercice 30 Un individu a son œil placé à 25 cm du creux d une petite cuillère considéré comme un miroir sphérique convergent. 1. Sachant que cette personne voit son œil inversé et réduit d un facteur 9, calculer le rayon de courbure de la petite cuillère. 2. Quel est le grandissement de la nouvelle image si l individu retourne la cuillère tout en conservant la même distance de 25 cm Exercice 31 On veut réaliser la projection sur un écran d un document, l écran étant situé à 3,5m du document, au moyen d un seul miroir sphérique. 1. Quel miroir faut-il choisir (concave ou convexe)? 2. Quel rayon faut-il lui donner si on veut que l objet soit à 50cm du miroir? Exercice 32 Un miroir plan est placé face à un miroir sphérique concave de rayon R de telle façon que le miroir plan se situe au foyer du miroir sphérique. On place un objet ponctuel A à mi-distance du miroir plan et du sommet du miroir sphérique (voir figure ci-après) 1. Exprimer la position de l image finale en fonction de SA à travers le système entier 2. L objet et l image finale peuvent-ils être confondus? Le rayon se réfléchit à nouveau deux fois pour donner les images A et A 3. Déterminer analytiquement et géométriquement les positions des images successives pour un rayon de courbure de 2 m et un objet de départ réel situé à 50 cm du sommet du miroir 9
Exercice 33 On souhaite former l image du filament d'une lampe positionnée à 10 cm d un miroir. De plus, cette image doit se former sur un mur situé à 3 m du miroir. 1. Quel type de miroir faut-il utiliser? 2. Quelle sera la nature et la taille de l'image (le filament fait 5 mm de haut)? Exercice 34 Soit un bocal de forme sphérique rempli d eau d indice n=1,33 et de diamètre 20 cm. On considère l épaisseur du verre comme négligeable. Un objet AB de 1 cm de hauteur est placé à gauche de la sphère à une distance de 120 cm de la face d'entrée. 1. Déterminer la position des foyers objet et image de chacun des deux dioptres (D 1 ) et (D 2 ) qui forment la sphère. 2. Déterminer la position des foyers objet et image du système optique formé par la sphère de verre. 3. Déterminer la position de l'image de l'objet AB. 4. Calculer la taille de l'image à travers la sphère. Exercice 35 Une lentille mince biconvexe d'indice n est plongée dans un milieu d'indice N > n. Ce système est-il convergent ou divergent? Justifier votre réponse. Exercice 36 Une lentille épaisse biconcave est limitée par deux dioptres sphériques de rayons S C =3 cm et 1 1 S C =6 cm. Elle est plongée dans un milieu d indice n =1. L indice de la lentille est n =1,5 et 2 2 1 2 S S =3 cm. Un objet AB est placé à 6 cm à gauche de S, perpendiculairement à l axe du système. 1 2 1 1. Déterminer la position, la taille et la nature de l image obtenue, sachant que AB=12 mm. 2. Si S S devient négligeable devant les rayons des dioptres, donner l expression de 1 2 la position de l image A d un point quelconque A. Et en déduire les expressions et les valeurs des distances focales de cette lentille. 3. Quelle est la position de A si A est encore à 6 cm à gauche de la lentille? Exercice 37 Trouver, par construction géométrique puis par le calcul, la position et la taille de l image A B d un objet AB de 1 cm de hauteur, donnée par une lentille mince de distance focale 20 cm dans les cas suivants (les indications sont relatives au sens de propagation de la lumière). On précisera systématiquement la nature de l image. 1. La lentille est convergente et l objet est placé avant la lentille à 10 cm puis à 60 cm après la lentille. 2. La lentille est divergente et l objet est placé à 20 cm avant la lentille puis à 10 cm après la lentille 10
Exercice 38 1. Calculer la distance focale, dans l air, d une lentille mince biconvexe taillée dans le verre d indice 1,5 et dont les rayons de courbure sont 60 cm et 120 cm. 2. Que devient cette distance focale si la lentille est immergée dans l eau (indice 4/3)? Exercice 39 Une lentille mince biconcave est taillée dans un verre d indice 1,48. Les rayons de courbure sont respectivement 16 cm et 24 cm. 1. Calculer la vergence de la lentille ainsi que sa distance focale quand elle est placée dans l air. Préciser la nature de cette lentille 2. Déterminer position, la nature et la taille de l image d un objet de 1 cm de hauteur placé avant la lentille à 12 cm de son centre optique et perpendiculairement à son axe 3. Construire géométriquement cette image Exercice 40 Une lentille mince dont une des faces est plane, donne d un objet réel situé à 1 mètre de son sommet une image droite deux fois plus petite que l objet. La lentille est en verre. 1. Calculer la vergence de cette lentille 2. Quelle est sa nature? 3. Quel est le rayon de courbure de la seconde face? Exercice 41 On souhaite projeter une diapositive de 1 cm de coté pour obtenir une image nette de 2 m de hauteur sur un écran placé à 10 m de la lentille du projecteur. 1. Quelle lentille faut-il utiliser? 2. Calculer sa distance focale. Exercice 42 L'objectif L 1 d'un appareil photographique est assimilable à une lentille mince convergente de distance focale f'=12 cm et de 5 cm de diamètre. Pour effectuer la mise au point, on fait varier la distance de la lentille au plan du film de telle sorte qu une image nette se forme sur la pellicule. 1. On photographie un objet A à grande distance, où doit-on mettre la pellicule? 2. Sur le même cliché apparaît l image d un motif B placé sur l axe de la lentille à une distance de 3 mètres. Son image nette est-elle sur le cliché? Les rayons qui proviennent de B et qui rentrent dans l appareil forment sur la pellicule une tache de rayon x. 3. Déterminer la taille (x) de cette tache en examinant les rayons passant par les bords de l objectif. On considère que la photo est acceptable si x<0,2 mm 4. Est-ce le cas ici? que peut-on faire pour améliorer sa qualité? 11
Exercice 43 Un objet réel AB de 1 cm de hauteur est placé, perpendiculairement à l axe optique, devant une lentille convergente de distance focale égale à 50 cm. On observe alors sur un écran une image nette de 5 cm de hauteur. 1. Quelle est la position de cet objet? On intercale une lame d épaisseur e=30 cm et d indice n entre cet objet et la lentille, on constate alors que l image finale est rejetée à l infini. 2. Quel est l indice n de cette lame? Exercice 44 On place un objet réel S à une distance de 10 cm d une lentille mince convergente de centre optique O et de distance focale 8cm. L indice de l eau est de 4/3 1. Trouver la position de l image S 1 de S On dispose un miroir plan 30 cm après la lentille tel que OI=30 cm. I étant le point d intersection entre l axe optique et le miroir plan. Ce miroir est incliné à 45 par rapport à l axe de la lentille et réfléchit la lumière vers le bas. 2. Calculer la position IS 2 de l image de S 3. Quelle est la nature de S 2? Une cuve profonde remplie d eau est disposée sous le miroir. Son fond est positionné à 12 cm en dessous de l axe optique de la lentille. 4. Quelle hauteur d eau doit-on mettre dans la cuve pour que l image définitive S' de S se forme exactement au fond de la cuve? 5. Ce dispositif permet de mesurer l indice n d un liquide. Expliquer comment procéder pour trouver n? Un autre miroir plan, d épaisseur négligeable est placé horizontalement entre l axe de la lentille et le fond de la cuve. La hauteur d eau dans la cuve est de 8 cm. 6. Déterminer la position de ce miroir par rapport au point I pour que l image finale S'' soit confondue avec l objet initial S. Exercice 45 On place un objet rectiligne AB de hauteur 1 cm à 20 cm du centre optique d une lentille mince convergente, perpendiculairement à l axe principal. On obtient une image réelle A'B' à 80 cm de la lentille. 1. Trouver la distance focale et la dimension de l image 2. Faire la construction géométrique. Une lentille mince divergente est accolée à la lentille précédente. L ensemble donne une image rejetée à l infini. 3. En déduire la distance focale et la vergence de la lentille divergente. On enlève l objet AB et on éclaire l ensemble des deux lentilles, toujours accolées, avec un faisceau parallèle à leur axe principal. 4. A quelle distance des deux lentilles le faisceau lumineux converge-t-il? 12
Les deux lentilles sont maintenant éloignées l une de l autre, leurs axes principaux restant confondus. La lentille divergente, qui se trouve alors à 20 cm en avant de la lentille convergente, reçoit le faisceau incident de lumière parallèle à l axe principal. 5. A quelle distance de la lentille convergente viennent converger les rayons lumineux après avoir traversé les deux lentilles? 6. Que représente ce point image pour le système? Exercice 46 Déterminer l image, et le grandissement, par un système de deux lentilles minces convergentes identiques, de distance focale 30 cm, écartées de 20 cm, d un objet placé à 60 cm devant la première lentille. Exercice 47 On considère un système optique formé de deux lentilles L 1 et L 2 distantes l'une de l'autre de e=5 cm. La lentille L 1 est une lentille convergente de 2 cm de distance focale; la lentille L 2 est une lentille divergente de 3 cm de distance focale. 1. Calculer la position de l'image d'un objet réel AB situé à 4 cm du sommet de la lentille L 1 à travers le doublet de lentilles. 2. Calculer le grandissement du système 3. Calculer l intervalle optique de ce doublet 4. Déterminer la position des foyers F et F' du doublet et faire la construction Exercice 48 On considère une lentille convergente L 1 suivie à une distance d = 3 a d une lentille divergente L 2 ; les modules de leurs distances focales valent respectivement f 1 = 2 a et f 2 = 3 a. Déterminer par construction la position et la nature des foyers objet F et image F de l ensemble. Retrouver les résultats par le calcul. Exercice 49 On dispose sur un banc optique une lentille mince convergente L 1 de distance focale f ' 1 = 3 cm suivie d'une lentille mince divergente L 2 de distance focale f ' 2 = 1 cm, de telle manière que L 2 soit à une distance de L 1 d = 5,2 cm. On place un objet réel de 10 mm de hauteur, perpendiculairement à l'axe optique et à 6 cm de la lentille convergente. 1. Faire un schéma représentant la marche des rayons lumineux. 2. Déterminer les caractéristiques de l'image donnée par L 1 (réelle ou virtuelle, droite ou inversée et taille par rapport à l'objet). 3. Déterminer les caractéristiques de l'image définitive obtenue. 4. Déterminer la distance entre l'objet et l'image donnée par les deux lentilles. Exercice 50 Deux lentilles minces identiques L 1 et L 2 sont à une distance d = 12 cm l une de l autre. L'ensemble donne d un objet réel AB placé à 30 cm de L 1 une image réelle A'B' située à 30 cm de L 2. Soit A 1 B 1 l image de AB donnée par L 1. 13
1. Donner la relation entre O 1 A 1 (distance entre le centre optique O 1 de L 1 et A 1 ) et O 2 A 1 (distance entre le centre optique O 2 de L 2 et A 1 ). 2. Exprimer O 1 A 1 et O 2 A 1 en fonction de d. 3. Calculer la vergence de chaque lentille. 4. Quelle est la nature de chaque lentille (convergente ou divergente)? Justifier votre réponse. 5. Faire un schéma représentant la marche des rayons lumineux en respectant les différentes distances. Exercice 51 1. Un doublet placé dans l'air est constitué de 2 lentilles minces de puissance 50 δ et -50 δ séparées par une distance de 3 cm. 2. Représenter ce système optique à l'échelle 2 sur un papier millimétré. Déterminer graphiquement sur ce schéma la position des plans principaux, plans focaux et plans nodaux de ce doublet. 3. Quelle est la valeur de la puissance de ce système? 4. S'agit-il d'un système convergent ou divergent? Justifier votre réponse. Exercice 52 On considère un système optique formé de deux lentilles L 1 et L 2 distantes l'une de l'autre de 5 cm. La lentille L 1 est une lentille convergente de 2 cm de distance focale; la lentille L 2 est une lentille divergente de 3 cm de distance focale. Un objet réel AB est situé à 4 cm du sommet de la lentille L 1. 1. Déterminer la position de l'image A B d'un objet AB à travers le doublet. Quelle est sa nature? Quelle est sa taille? 2. Faire la construction à l'échelle (échelle 1). 3. Déterminer les positions des foyers résultants F et F' du doublet. 4. Calculer l intervalle optique de ce doublet. Exercice 53 Dans le modèle d œil normal dit «œil réduit», on considère que l ensemble des dioptres est assimilable à un dioptre sphérique unique dont le sommet S coïncide avec celui de la cornée et dont l indice intérieur est n=1,34. 1. Calculer le rayon de ce dioptre pour cet œil normal n accommodant pas (c est-à-dire regardant un objet à l infini), sachant que la distance entre la rétine et la cornée est SR=23 mm Si l on retire le cristallin de cet œil (œil «aphaque»), le seul dioptre qui subsiste est le dioptre constitué par la face antérieure de la cornée. Son rayon est égal à 8 mm, l indice intérieur étant le même que ci-dessus. 2. Déterminer la position de l image d un objet situé à l infini sur l axe optique pour cet œil aphaque. 14
3. Déterminer la position de l objet qui donnerait une image nette sur la rétine. Cet objet est-il réel ou virtuel? Quel est le défaut de cet œil? Air S S R On veut corriger le défaut de cet œil pour la vision à l infini, au moyen d un verre correcteur considéré comme une lentille mince que l on place à 12 mm en avant de la cornée. 4. Calculer la distance focale et la vergence de ce verre. On veut utiliser une lentille cornéenne au lieu du verre précédent. Cette lentille, d indice n =1,5, est appliquée directement sur la cornée, de sorte que le rayon de sa face postérieure est égal à 8 mm. 5. Calculer le rayon de sa face antérieure en négligeant l épaisseur de la lentille. Exercice 54 1. Quelle est l'amplitude d'accommodation d'un oeil emmétrope dont le Ponctum Proximum Pp serait à 10 cm et non à 25 cm? 2. Quelle est la vergence de lentilles de contact qui permettent de corriger l'amétropie d'un oeil myope qui possède un Punctum Remotum P R à 50 m? 3. Le sujet myope présenté ci-dessus devient presbyte avec l âge et son Pp est décalé de 5 cm par rapport au Pp normal. Est-ce que la correction de sa myopie convient à sa presbytie? Si non pourquoi? et comment corriger alors sa nouvelle amétropie? 4. On souhaite corriger l'amétropie d'un oeil hypermétrope qui possède un Ponctum Proximum P P à 30 cm à l aide de verres correcteurs dont le centre optique est situé à 1 cm du sommet de l œil. Quelle est la vergence des lunettes correctrices? Exercice 55 Une personne myope a son punctum proximum à 0,2 m, son pouvoir d accommodation est de 4 dioptries. On suppose que la distance rétine cornée est d environ 20 mm. 1. Quelle est la position de son P R en l absence de correction? 2. Quelle est la vergence des verres correcteurs qu on doit lui prescrire? 3. Comment est modifié le champ de vision lorsqu il met ses verres correcteurs? Exercice 56 La cataracte est une opacification du cristallin de l'œil. Un traitement consiste à remplacer ce dernier par une lentille. Celle-ci est calculée pour donner une vision nette à grande distance (l'infini). Comme il n'y a plus d'accommodation, des verres de contact sont nécessaires, par exemple pour la lecture, typiquement à 35-40 cm de l'œil. Quel type de verre normalisé convient, mesuré en dioptries? 15
Exercice 57 Du point de vue optique, l œil sera assimilé pour tout l exercice à une lentille mince convergente L, dont le centre optique O se trouve à une distance constante, 17 mm, de la rétine, surface où doit se former l image pour une vision nette. Ce modèle sera appelé œil réduit. On considère un œil qui donne d un objet à l infini une image située derrière la rétine à 18,5 mm. On la considèrera constante dans la suite du problème, l œil n accommodant pas. 1. L œil est il trop ou pas assez convergent? Quel est le défaut de cet œil? 2. Corrige-t-on ce défaut en ajoutant une lentille convergente ou divergente? 3. Correction avec un verre de lunette : Celui-ci est assimilé à une lentille mince L1 de centre optique O1, placé à une distance d=12 mm du centre optique de l œil réduit. On veut une vision nette d un objet situé à l infini. a. Rappeler l endroit où doit se trouver l image définitive b. Quelle est la distance focale de L1? 4. Correction avec une lentille de contact : La lentille correctrice L2 étant appliquée contre l œil En déduire la distance focale de la lentille L2 Exercice 58 Le montage de la figure ci-dessous représente un œil fictif. Il se compose de 2 cuves en plexiglas. La première cuve a sa face avant constituée par une calotte sphérique de rayon S 1 C 1 = 8 cm simulant la cornée ; sa face arrière fait office de rétine et est telle que S 1 R = 23 cm. Cette cuve est remplie d'eau d'indice n = 1,33. La deuxième cuve, simulant le cristallin, est assimilée à une lentille mince biconvexe de centre O et de rayons de courbure S 2 C 2 = 10 cm et S C 3 6 cm 3 =. Elle est remplie d'un liquide d'indice n' et est placée dans la première cuve de telle manière que le point O soit confondu avec C 1, centre du dioptre simulant la cornée. On réalise ainsi un système optique centré dont l'axe principal est orienté positivement dans le sens S 1 R (voir figure). L'ensemble est placé dans l'air d'indice n 0 = 1. Dans tout le problème, on néglige l'influence de l'épaisseur des parois de plexiglas sur la marche des rayons lumineux. On confond les points S 2, S 3 et O. On se place dans les conditions de l'approximation de Gauss. n 0 n n' 0 S 1 C 3 C 1 S 2 O S 3 R C 2 n 16
1. Dans une première expérience, on retire la "cuve cristallin". 1.1. Calculer la position de l'image A' d'un objet ponctuel et réel A situé à l'infini sur l'axe optique. 1.2. Que représente le point A' pour le dioptre sphérique représentant la cornée seule? 1.3. Où devrait se situer l'objet A pour que l'image se forme nettement sur la rétine? 1.4. Quel est le défaut de cet "œil"? Justifier votre réponse. 1.5. Cet œil est également presbyte. Pour quelle raison? 2. Dans un deuxième temps, on étudie la "cuve cristallin" seule remplie du liquide d'indice n', placée dans un milieu d'indice n. Etablir la relation de conjugaison de cette lentille mince en fonction de n, n', S 2 C 2 et S 3 C 3. 3. On considère maintenant le montage complet de la figure ci-dessus 3.1. Calculer la position de l'image A'' d'un objet ponctuel et réel A situé à l'infini sur l'axe optique si la "cuve cristallin" est remplie d'un liquide d'indice n' = 1,62. 3.2. En déduire, en le justifiant, le défaut de cet "œil". 3.3. Quelle devrait être la valeur de l'indice n' du liquide de la "cuve cristallin" pour que cet "œil" soit emmétrope? Exercice 59 Un œil au repos est assimilé à un dioptre sphérique unique séparant 2 milieux transparents d'indices respectifs n = 1 et n' = 1,336. La distance entre le sommet du dioptre S et O le point de la rétine centré sur l'axe optique est égale à 23 mm. Le rayon de courbure du dioptre est égal à 6 mm. 1. Quelle est la vergence de cet œil? 2. Calculer la position de son punctum remotum P R par rapport à S. 3. Préciser l'amétropie de cet œil. 4. Comment corriger le défaut dioptrique de cet œil? 5. On veut corriger l'amétropie par un verre correcteur. Sachant que la distance entre l'œil et la lentille correctrice est de 2 cm, calculer la vergence du verre correcteur. 6. Le pouvoir d accommodation de cet œil est A = 4 dioptries, quelle est la position de son punctum proximum par rapport à S avant et après correction? Exercice 60 Du point de vue optique, l œil sera assimilé pour tout l exercice à une lentille mince convergente L, dont le centre optique O se trouve à une distance constante, 17 mm, de la rétine, surface où doit se former l image pour une vision nette. Ce modèle sera appelé œil réduit. On considère un œil qui donne d un objet à l infini une image située derrière la rétine à 18,5 mm. On la considèrera constante dans la suite du problème, l œil n accommodant pas. 1. L œil est il trop ou pas assez convergent? Quel est le défaut de cet œil? 2. Corrige-t-on ce défaut en ajoutant une lentille convergente ou divergente? 3. Correction avec un verre de lunette : Celui-ci est assimilé à une lentille mince L 1 de centre optique O 1, placé à une distance d=12 mm du centre optique de l œil réduit. On veut une vision nette d un objet situé à l infini. 17
a. Rappeler l endroit où doit se trouver l image définitive b. Quelle est la distance focale de L 1? 4. Correction avec une lentille de contact : La lentille correctrice L 2 étant appliquée contre l œil c. En déduire la distance focale de la lentille L 2 Exercice 61 Un microscope est constitué par un objectif de 100 dioptries et un oculaire de 50 dioptries, que l on considèrera comme des lentilles minces. La distance entre les centres optiques est constante et égale à 210 mm. L observateur a une vue normale et la distance minimale de vision distincte est de 20 cm. L œil est placé dans le plan focal image de l oculaire. 1. Quelles sont les distances focales des deux verres? L objectif étant une lentille planconvexe d indice 1,50, quelle est le rayon de courbure de sa face bombée? 2. Quels sont la puissance et le grossissement intrinsèques de l appareil pour l observateur indiqué? On rappelle que la puissance intrinsèque correspond à des conditions où l œil n accommode pas (vision à l infini). Représenter soigneusement la marche du faisceau qui entre dans l objectif dans ces conditions d observation. L observateur peut distinguer deux points lorsqu il les voit sous un angle au moins égal à -4 3 10 rad 3. Quelle est la taille du plus petit objet que peut apercevoir l observateur à travers l instrument lorsqu il n accommode pas Exercice 62 Un observateur emmétrope regarde à l'œil nu un tout petit objet plan que l'on assimile à un segment AB orthogonal à l axe Ox. On note dm la distance minimale de vision distincte de l'observateur. On donne dm = 0,25 m et f' = 50 mm 1. Déterminer l'angle maximal α sous lequel est vu l'objet. L'observateur regarde maintenant l objet AB à travers une lentille mince convergente de distance focale f' et de centre O constituant une loupe. Son œil est situé au foyer image de la loupe. 2. Déterminer les positions de l'objet rendant possible l'observation d'une image nette. 3. Faire une construction géométrique d'une telle image. L'image est-elle droite ou renversée? 4. Pour quelle position l'observation se fait-elle sans fatigue de l oeil? 5. Exprimer l'angle α ' sous lequel est vu l'image 6. Que vaut le grossissement de la loupe G? Exercice 63 Un objectif de distance focale égale à 0,6 cm et un oculaire de distance focale 3,6 cm sont montés sur un microscope. L'image formée par l'objectif est située à 0,3 m de celui-ci. L'image finale est rejetée à l'infini. Le punctum proximum de l observateur est situé à 25 cm. 1. Construire l'image intermédiaire A'B' et préciser sa position. 2. Préciser la position de l'objet 18
Le grossissement G du microscope est défini par le rapport α ' α, si les angles α et α' sont petits. L'angle α est l'angle sous lequel on voit l'objet placé au punctum proximum et l'angle α' est l'angle sous lequel on voit l'objet à travers l'instrument 3. Calculer G Exercice 64 On associe une lentille divergente et un miroir sphérique concave de telle sorte que le foyer principal image de la lentille soit confondu avec le centre du miroir et que le foyer principal objet de cette lentille soit confondu avec le sommet du miroir. 1. Construire l image d un objet AB réel à travers ce système. 2. Déterminer le grandissement transversal du système. 19