Seconde Nombres et calculs I. Ensembles de nombres. N est l ensemble des entiers naturels. N = {0 ; ; ; }. Z est l ensemble des entiers relatifs. Il comprend les entiers naturels et leurs opposés. Z = { ; ; 0 ; ; } (Z comme zahl en allemand).. D est l ensemble des décimaux. Ce sont les nombres dont l écriture décimale ne comporte qu un nombre fini de chiffres après la virgule. Ils peuvent donc s écrire sous la forme signe partie entière, partie décimale comme par exemple,0. Remarques. Les entiers relatifs sont les décimaux dont la partie décimale est 0. Les décimaux peuvent s écrire sous la forme a 0 n avec a dans Z et n dans N comme par exemple,0 = 0 000 = 0 0. 4. Q est l ensemble des nombres rationnels (Q comme quotients). Ce sont les résultats de l opération b a avec a dans Z et b dans N (b 0) comme 7. Remarques. Les décimaux sont des rationnels. Lorsque qu on effectue la division b a on obtient signe partie entière, partie décimale La partie décimale peut être illimitée, mais dans ce cas le même groupe de chiffres se répète infiniment, par exemple, 7777. R est l ensemble des réels. Ce sont tous les nombres qui correspondent à des longueurs et à leurs opposés. Remarques. Les rationnels sont des réels. Les réels qui ne sont pas des rationnels sont appelés «irrationnels» comme ou ( est la longueur d un cercle de diamètre, est la longueur de la diagonale d un carré de côté ). L ensemble des nombres réels est usuellement représenté par une droite munie d un repère (O, I), O est l origine du repère, OI est l unité de longueur. Chaque point M correspond à un nombre réel x et chaque réel x correspond à un point M. O I M 6. On constate que tous entiers naturel est un entier relatif, tout entier relatif est un décimal On dit que N est inclus dans Z, Z est inclus dans D On le note N Z D
7. Ecriture décimale d'un nombre. Exercice. Compléter le tableau. Valeur exacte,087 approchée à 0,0 prés par défaut approchée à 0,0 près par excès tronquée à décimales arrondie à 0, près (au plus proche) arrondie à 4 chiffres significatifs (*) 4 6 7 (*) On compte les chiffres significatifs à partir du premier chiffre non nul à gauche. II. Puissances de dix, écriture scientifique, priorités. Les puissances de dix. 0 = 000 (millier) 0 6 = 000 000 (million) 0 9 = 000 000 000 (milliard) 0 = 0, 00 (millième) 0 6 = 0, 000 00 0 9 = 0, 000 000 00. Ecriture scientifique. Un nombre décimal peut s écrire de plusieurs façons. Exemples. a b 74000 0,0046 74 0,46 0 0 7,4 0 4,6 0. Parmi toutes ces écritures, on distingue l écriture scientifique obtenue en plaçant la virgule juste après le premier chiffre autre que 0. Ainsi l écriture scientifique de 76,8 est 7,68 0 et celle de 0,0078 est 7,8 0. Exercice. Donner l écriture scientifique les nombres suivants : 478,4 = 67,67 = 0,67 = 60,04 = 0,0004 = 0,08 =. Écriture scientifique et calculatrice. Pour écrire, 0 je tape :, à l'écran je lis... Pour écrire, 0 9 je tape :, à l'écran je lis... A l'écran de la calculatrice je lis., c'est le nombre :... A l'écran de la calculatrice je lis. 6, c'est le nombre :... 4. Priorités de calculs. La calculatrice connaît les priorités d opérations. En l absence de parenthèses, l ordre est le suivant. Les opérateurs et fonctions comme : opposé (-) ; racine carrée ; puissance.... et dans l ordre de lecture.. + et dans l ordre de lecture Il ne faut pas confondre (-) (opposé) et (soustraction) La multiplication implicite est prioritaire sur. donne et donne.
Exercice. Calculer avec chiffres significatifs A B C D E = π F 9 G III. Arithmétique Définition. a et b étant deux nombres entiers, on dit que a est un diviseur de b si le reste de la division euclidienne de a par b est nul. Exemples. 6 est un diviseur de 4 car 4 = 6 7. n est pas un diviseur de 7 car 7 = + (le reste de la division euclidienne est ). Vocabulaire. 6 est diviseur de 4. On peut aussi «4 est un multiple de 6» ou «6 divise 4». Exercice 4. Trouver la liste des diviseurs de 4, 4 puis le pgcd de 4 et 4. Retrouver ce résultat en utilisant l algorithme d Euclide. Critères de divisibilité. Un entier est divisible par : si il est pair. si la somme de ses chiffres est un multiple de. si il se termine par ou 0. 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9. 0 si il se termine par 0. Exercice. 40 est divisible par... 64 est divisible par... Définition. Un nombre premier est un entier supérieur ou égal à qui n admet pas d autres diviseurs que et lui-même. Exemples. 7 est un nombre premier car les seuls diviseurs de 7 sont et 7. 6 n est pas un nombre premier car = 6. Exercice 6. Trouver tous les nombres premiers inférieurs à 0. Remarque. Ne pas confondre : «Nombre premier» et «deux nombres premiers entre eux». (Deux nombres entiers sont dits premiers entre eux si leur pgcd est égal à ). Nous avons le théorème fondamental suivant, qui ne sera pas démontré. Théorème. Tout nombre entier supérieur ou égal à est soit premier, soit le produit de plusieurs nombres premiers. Dans ce dernier cas, la décomposition en facteurs premiers est unique à l ordre près des facteurs. Exercice 7. Décomposer les nombres suivant en produit de nombres premiers. 6 0 0.
Seconde Nombres et calculs Correction des exercices du cours Ensembles de nombres. Exercice. Complétons le tableau. Valeur 4 exacte,087 7 6 approchée à 0,0 prés par défaut,08 0,06,4, 0,9 approchée à 0,0 près par excès,09 0,07,4, 0,40 tronquée à décimales,08 0,06,44,8 0,9 arrondie à 0, près (au plus proche), 0,,4, 0,4 arrondie à 4 chiffres significatifs (*),08 0,0649,44, 0,4 (*) On compte les chiffres significatifs à partir du premier chiffre non nul à gauche. Puissances de dix, écriture scientifique, priorités. Exercice. Donnons l écriture scientifique les nombres suivants : 478,4 = 67,67 = 0,67 = 60,04 = 0,0004 = 0,08 =. Exercice. Calculons avec chiffres significatifs. A B C D E = π F 9 G. Arithmétique. Exercice 4. Trouvons la liste des diviseurs de 4, 4 puis le pgcd de 4 et 4. et donc 6. Retrouvons ce résultat en utilisant l algorithme d Euclide. La division euclidienne de 4 par 4 a pour quotient et reste 8, donc. La division euclidienne de 4 par 8 a pour quotient et reste 6, donc. La division euclidienne de 8 par 6 a pour quotient et reste 0, donc. Le pgcd est le dernier reste non nul, donc. Exercice. 40 est divisible par,,,, 6, 9, 0,, 8,, 0, 4, 0, 7, 90, 0,, 40. 64 est divisible par,,, 4, 6, 8,,,, 4,, 44, 66, 88,, 64. Exercice 6. Trouvons tous les nombres premiers inférieurs à 0. 7 7 9 9 7 4 4 47 Exercice 7. Décomposons les nombres suivant en produit de nombres premiers. =. 6. 0 =. 0 =.
Seconde Nombres et calculs Exercices Ensembles de nombres. Exercice. Les ensembles de nombres. 0, 4,0 7 7 N Z D Q R 0,4 7 00 000 N Z D Q R. Mettre une croix dans chaque case lorsque le nombre appartient à l ensemble indiqué.. Comment interpréter ce que l on a obtenu dans la dernière ligne?. Comment appelle t-on les nombres pour lesquels seule la dernière case de la colonne est cochée? 4. Comment ce tableau permet-il de retrouver les inclusions successives des ensembles N, Z, D, Q, R? Exercice. Calcul et calculatrice. La calculatrice ne travaille qu avec des décimaux, mais elle a un comportement satisfaisant avec la plupart des calculs. Quand on utilise une calculatrice, il faut garder en tête le triple aspect d un nombre. Par exemple, pour le rationnel 7 : Le nombre exact que l on pense entrer dans la calculatrice : la valeur 7. Le nombre affiché à l écran de la calculatrice : valeur arrondie à 0 chiffres significatifs. Le nombre avec lequel la calculatrice travaille : valeur ayant chiffres de plus en réserve. A faire sur la calculatrice. a. Taper sur la touche de la calculatrice. Lire et noter la valeur affichée d à l écran. b. La valeur affichée pour π est-elle exacte? c. Effectuer à la calculatrice : touche valeur d affichée pour. Noter le résultat obtenu. La valeur d affichée était-elle une valeur approchée de par défaut ou par excès? d. Trouver une façon d obtenir la valeur de mise en réserve dans la calculatrice.
Puissances de dix, écriture scientifique, priorités. Exercice. Puissances de 0.. Écrire sous forme de puissance de 0 : a. b. Un milliard c. d. Un cent-milliardième e. f. g. h... Ranger dans l ordre croissant les trois nombres : le carré d un milliard. Exercice 4. Effectuer et donner le résultat en écriture scientifique. a. b. c. d. e. f. g. h.. Arithmétique. Exercice. Le crible d érathostène. Cet algorithme (programme de calcul) permet de déterminer tous les nombres premiers (inférieurs à 00 par exemple). La procédure est la suivante :. On construit un tableau dans lequel on dispose tous les nombres impairs inférieurs à 00 (sachant que est le seul nombre premier pair). 7 9 7 9 7 9 7 9 4 4 4 47 49 7 9 6 6 6 67 69 7 7 7 77 79 8 8 8 87 89 9 9 9 97 99. Le premier nombre, est premier. On élimine tous les multiples de du tableau (le faire ). Le nombre suivant, non éliminé, est. C est un nombre premier. On élimine tous les multiples de du tableau (le faire ). 4. Le nombre suivant, non éliminé, est 7. C est un nombre premier. On élimine tous les multiples de 7 du tableau (le faire ). Le nombre suivant, non éliminé, est. C est un nombre premier. On élimine tous les multiples de du tableau (le faire ) 6. Justifier que le procédé est terminé. Noter alors tous les nombres premiers obtenus. Ératosthène (v. 76-v. 94 av. J.-C.), mathématicien, astronome, géographe et poète grec. Il est le premier à donner une évaluation précise de la circonférence de la Terre. Il est ainsi capable par des calculs trigonométriques de déterminer la circonférence de la Terre (près de 40 000 km). Il constitue un catalogue (aujourd hui perdu) de 67 étoiles. Il est surtout connu pour avoir mis au point une méthode, dite «crible d Ératosthène», permettant de déterminer les nombres premiers.
Exercice 6. Décomposer les nombres proposés en produits de nombres premiers (utiliser les puissances si besoin). A = 48 7 B = 70 C = 7 D = 6 4 E = 6. Exercice 7. Simplifier les fractions suivantes en utilisant la décomposition en facteurs premiers. 0 4 8 8 4 A B C D. 4 60 0 6 Remarques et énigmes sur les nombres premiers. Euclide a démontrer qu il existe une infinité de nombres premiers (considérer par exemple les diviseurs premiers de ). Pourtant, les nombres premiers sont de plus en plus rares dans l ordre croissant. (Il y a 4 nombres premiers entre et 0 mais seulement nombre premier entre 90 et 00). On ne sait toujours pas s il existe une infinité de nombres premiers jumeaux (comme et ). Goldbach a conjecturé (en 74) que tout nombre entier pair supérieur ou égal à 4 était la somme de deux nombres premiers
Seconde Nombres et calculs Correction des exercices Exercice. Les ensembles de nombres. 0, 4,0 7 N x x x Z x x x x D x x x x x x Q x x x x x x x R x x x x x x x N 0,4 7 Z x x D x x x Q x x x x 7 00 000 R x x x x x x x. Mettons une croix dans chaque case lorsque le nombre appartient à l ensemble indiqué.. Tous les nombres appartiennent à l ensemble des réels.. Les nombres pour lesquels seule la dernière case de la colonne est cochée sont les irrationnels. 4. Ce tableau permet de retrouver les inclusions successives des ensembles N, Z, D, Q, R. Lorsqu une cellule est cochée, il en est de même de toutes celles situées en dessous. Exercice. Calcul et calculatrice. La calculatrice ne travaille qu avec des décimaux, mais elle a un comportement satisfaisant avec la plupart des calculs. Quand on utilise une calculatrice, il faut garder en tête le triple aspect d un nombre. Par exemple, pour le rationnel 7 : Le nombre exact que l on pense entrer dans la calculatrice : la valeur 7. Le nombre affiché à l écran de la calculatrice : valeur arrondie à 0 chiffres significatifs. Le nombre avec lequel la calculatrice travaille : valeur ayant chiffres de plus en réserve. A faire sur la calculatrice. a. Tapons sur la touche de la calculatrice. On lit la valeur affichée d à l écran. b. Non, la valeur affichée pour π n est pas exacte car est un nombre irrationnel, la suite de ses décimales est infinie et ne se répète pas périodiquement. c. Effectuons à la calculatrice : touche valeur d affichée pour. On note le résultat obtenu :. La valeur d affichée était-elle une valeur approchée de par excès car donc. d. Trouvons une façon d obtenir la valeur de mise en réserve dans la calculatrice. Comme alors. Donc. x
Puissances de dix, écriture scientifique, priorités. Exercice. Puissances de 0.. Écrivons sous forme de puissance de 0 : a. b. Un milliard c. d. Un cent-milliardième e. f. g. h... Rangeons dans l ordre croissant les trois nombres : Donc :. le carré d un milliard. Exercice 4. Effectuons et donnons le résultat en écriture scientifique. a.. b.. Arithmétique. Exercice. Le crible d érathostène. Cet algorithme (programme de calcul) permet de déterminer tous les nombres premiers (inférieurs à 00 par exemple). La procédure est la suivante :. On construit un tableau dans lequel on dispose tous les nombres impairs inférieurs à 00 (sachant que est le seul nombre premier pair). 7 9 7 9 7 9 7 9 4 4 4 47 49 7 9 6 6 6 67 69 7 7 7 77 79 8 8 8 87 89 9 9 9 97 99
. Le premier nombre, est premier. On élimine tous les multiples de du tableau (en rouge).. Le nombre suivant, non éliminé, est. C est un nombre premier. On élimine tous les multiples de du tableau (en bleu). 4. Le nombre suivant, non éliminé, est 7. C est un nombre premier. On élimine tous les multiples de 7 du tableau (en vert).. Le nombre suivant, non éliminé, est. C est un nombre premier. On élimine tous les multiples de du tableau (il n y en a déjà plus!) 6. Le procédé est terminé. S il existait un nombre non premier dans le tableau, deux de ses facteurs premiers seraient au moins égaux à, donc ce nombre serait supérieur à. Les nombres premiers sont : 7 7 9 9 7 4 4 47 9 6 67 7 7 79 8 89 97. Exercice 6. Décomposons les nombres proposés en produits de nombres premiers (utilisons les puissances si besoin). A = 48 7. B = 70. C = 7. D = 6 4. E = 6. Exercice 7. Simplifions les fractions suivantes en utilisant la décomposition en facteurs premiers.