Formation Continue Diplomante à Distance Résistance des Matériaux

Ecole d Ingénieurs / Centre de Recherche Département Mécanique et Comportement des Matériaux 941, rue Charles Bourseul BP 838-59 508 Douai Cedex - rance Tél. (33) 3 27 71 23 18 / ax (33) 3 27 71 29 18 ormation Continue Diplomante à Distance Résistance des Matériaux Traction simple Compression simple Cisaillement pur Said HARIRI hariri@ensm-douai.fr Utilisation Interne 2003

2 Table des matières 1 Traction simple 4 1.1 Hypothèses................................. 4 1.2 Essai de traction.............................. 4 1.2.1 Courbe conventionnelle de traction................ 4 1.2.2 Courbe rationnelle de traction................... 6 1.3 Relations contraintes / déformations................... 8 1.4 Généralisation de l essai de traction.................... 8 1.5 Dimensionnement d une poutre soumise à une traction simple..... 10 1.5.1 Sollicitations constantes...................... 11 1.5.1.1 Section constante d aire S................ 11 1.5.1.2 Section variable...................... 11 1.5.2 Sollicitations variables....................... 11 2 Compression simple 12 3 Cisaillement pur 13 3.1 Hypothèses................................. 13 3.2 Exemples.................................. 13 3.3 Essai de cisaillement............................ 14

3 Liste des figures 1 Principe de l essai de traction normalisé.............. 5 2 Courbe conventionnelle de traction d un acier.......... 6 3 Courbe rationnelle de traction d un acier............. 7 4 Généralisation de l essai de traction - Volume élémentaie... 9 5 Coefficients de concentration de contraintes pour des poutres entaillées.................................. 12 6 Coefficients de concentration de contraintes pour des trous et des raccordements............................ 13 7 Exemples de cisaillement........................ 14 8 Schéma de principe de l essai de cisaillement........... 15 9 Courbe de cisaillement pur...................... 16

4 1 Traction simple 1.1 Hypothèses Hypothèse 1 (Hypohèses traction) Les hypothèses classiques de la R.D.M sont supposées vérifiées, avec les particularités suivantes : La ligne moyenne est une droite de longueur L Cette longueur L est supérieure à cinq fois la plus grande dimension de la section droite Au centre de gravité de G de la section droite d abscisse x, les éléments de réduction vérifient: N 0, T = 0, M = 0, C = 0 Les charges sont supposées uniformément réparties sur les sections extrêmes de la poutre. 1.2 Essai de traction L essai de traction, normalisé, est à la base de la caractérisation des matériaux. Son principe est décrit sur la figure 1. Par l intermédiaire d une machine de traction, on soumet une éprouvette normalisée (voir norme d essai de traction) à un effort longitudinal croissant. Cette éprouvette est constituée d un matériau homogène de type acier doux. La section initiale est constante d aire S 0. On notera par L i la variation de longueur d un segment de référence L i (segment parallèle à la force ). On vérifie que la variation relative de longueur est la même quel que soit le segment de référence initial L i prise dans la zone calibrée de longueur totale L 0. On notera par ɛ 11 cette variation relative de longueur, soit: L 1 L 1 = L 2 L 2 = = L i L i = ɛ 11 (1) 1.2.1 Courbe conventionnelle de traction Au cours de l essai, on enregistre la force et les déformations, et on obtient la courbe caractéristique (pour un acier), sur laquelle on peut distinguer trois zones spécifiques(cf. ig2).

5 L 1 L i L 0 L 2 ig. 1 Principe de l essai de traction normalisé Entre O et A (zone limitée par la force e ), le comportement est linéaire et réversible. Si on applique un effort = 1 inférieur ou égal à e, qu on diminue progressivement jusqu à zéro, le point M décrit la droite MO. Lorsque = 0, la variation relative de longueur ɛ 11 est nulle, autrement dit à = 0 l éprouvette reprend sa forme et ses dimensions initiales. Si on recommence l essai on décrit la droite dans le sens OM (sens de chargement). Cette premiere zone est appelée domaine élastique linéaire. Il est caractérisé, en plus de la linéarité et de la réversibilité du phénomène, par le fait que les déformations (ou L/L dans le cas de la traction simple) restent très petites et négligeables à l ordre deux. Entre A et B, ɛ 11 augmente presque sans variation de la force de traction. Il s agit d un palier ductile qui n existe pas pour tous les matériaux. Le long de ABCD, on enregistre de grandes déformations. Dans cette zone on perd la linéarité et la réversibilité du phénomène de déformation. En effet, si on amène la force jusqu à une valeur 2 e, puis on la diminue progressivement jusqu à zéro, on ne repasse plus par la courbe de chargement mais on décrit une droite GO. Cette droite est parallèle à la droite OA, et pour = 0, il reste une déformation résiduelle ou permanente représentée par le segment OO. A charge nulle, l éprouvette ne retrouve plus ni sa forme ni ses dimensions initiales. Ce domaine des grandes déformations est aussi appelé domaine plastique ou

6 max G C 2 e A B D 1 M O O ε 11 = L L ig. 2 Courbe conventionnelle de traction d un acier domaine de plasticité. Au point C, apparaît le phénomène de striction: une des sections droites diminue énormément et la rupture ne tarde pas à se produire dans cette section. Remarque : Après l apparition de la striction la déformation se localise dans la section, où apparaît cette striction. Au point D, on atteint la valeur ultime de l effort de traction (effort ultime ou effort de rupture). 1.2.2 Courbe rationnelle de traction En tenant compte des équations d équilibre et des hypothèses de la traction simple, on montre que la contrainte de traction σ 11 vérifie: σ 11 = S = N S (2) où S est la section droite de la poutre, N l effort normal dans cette section. On peut alors rendre les résultats de l essai de traction représentatifs du comportement du matériau, en éliminant l incidence de la géométrie. La courbe conventionnelle de traction est transformée en courbe rationnelle de traction traduisant l évolution

7 de la contrainte de traction (et non plus de la force) en fonction de la déformation (cf. ig.3). On distingue généralement deux domaines distincts: Un domaine élastique (entre 0 σ 11 σ e ). C est le domaine borné par σ e la limite élastique du matériau, dans lequel, le comportement du matériau est élastique, linéaire et réversible. Les théories de l élasticité linéaire et de la R.D.M ne concernent que ce domaine élastique. On notera par: ɛ 11 la variation relative de longueur selon la direction e 1 d application de l effort de traction ɛ 22 et ɛ 33 les variations relatives de longueur selon deux directions e 2 et e 3 appartenant au plan de la section droite et perpendiculaires à la direction d application de l effort de traction Un domaine plastique (pour σ σ e ) C est le domaine des grandes déformations. Le phénomène de déformation n est plus linéaire ni réversible. La théorie qui s applique dans ce domaine est la théorie de la plasticité. σ 11 σ R C σ e A B O ε 11 = L L ig. 3 Courbe rationnelle de traction d un acier

8 1.3 Relations contraintes / déformations Dans le domaine élastique, pour une éprouvette constituée d un matériau élastique linéaire soumise à un effort de traction, on vérifie : σ 11 = E ɛ 11 ɛ 22 = ɛ 33 = ν ɛ 11 (3) σ 11 = S Avec: E: module d young du matériau (ou module d élasticité longitudinale) ν: coefficient de Poisson du matériau N: effort normal (N=-) 1.4 Généralisation de l essai de traction Définition 1 (Matériau homogène) Par définition un matériau est dit homogène si un même état de contraintes conduit à un même état de déformation quel que soit le point considéré à l intérieur du solide. Définition 2 (Matériau isotrope) Un matériau est dit isotrope si aucune direction n est privilégiée vis à vis des contraintes ou des déformations. C est le cas de la plupart des matériaux métalliques, de nombreux matériaux polymères,... Propriété 1 (Généralisation à 3 dimensions) Pour un matériau élastique linéaire, soumis à trois sollicitations de traction σ ii selon trois directions perpendiculaires e i, les contraintes et les déformations sont liées par les relations suivantes: ɛ 11 = 1 [σ E 11 ν (σ 22 + σ 33 )] ɛ 22 = 1 E [σ 22 ν (σ 11 + σ 33 )] (4) ɛ 33 = 1 [σ E 33 ν (σ 11 + σ 22 )]

9 e 3 O e 2 e 1 ig. 4 Généralisation de l essai de traction - Volume élémentaie En effet, considérons le volume élémentaire de la figure 4, constitué d un matériau élastique linéaire homogène et isotrope et dont les facettes sont perpendiculaires aux axes e 1, e 2 et e 3. σ 11 σ 22 σ 33 σ 11 + σ 22 + σ 33 σ ɛ 11 11 ν σ 22 ν σ 33 ɛ E E E 11 = σ 11 ν σ 22 ν σ 33 E E E ɛ 22 ν σ 11 E σ 22 ν σ 33 ɛ E E 22 = ν σ 11 + σ 22 ν σ 33 E E E ɛ 33 ν σ 11 ν σ 22 E E σ 33 ɛ E 33 = ν σ 11 ν σ 22 + σ 33 E E E Tab. 1 Déformations dues à une sollicitation de traction tridirectionnelle Par application successive d un effort de traction respectivement selon les directions e 1, e 2 et e 3, on détermine les déformations associées. Puis de même, par application en même temps des trois efforts de traction. On notera par σ ii la contrainte de traction associée à l effort appliqué selon e i. Les résultats sont regroupés dans le tableau1.

10 Remarque : Ces relations sont inversibles, et connaissant les déformations (ɛ 11, ɛ 22, ɛ 33 ) on peut déterminer les contraintes par: σ 11 = E ɛ ν E 1+ν 11 + (ɛ (1+ν)(1 2ν) 11 + ɛ 22 + ɛ 33 ) = 2 µ ɛ 11 + λ (ɛ 11 + ɛ 22 + ɛ 33 ) σ 22 = E 1+ν ɛ ν E 22 + (ɛ (1+ν)(1 2ν) 11 + ɛ 22 + ɛ 33 ) = 2 µ ɛ 22 + λ (ɛ 11 + ɛ 22 + ɛ 33 ) σ 33 = E ɛ ν E 1+ν 33 + (ɛ (1+ν)(1 2ν) 11 + ɛ 22 + ɛ 33 ) = 2 µ ɛ 33 + λ (ɛ 11 + ɛ 22 + ɛ 33 ) Où λ et µ sont les coefficients de Lamé du matériau, avec: µ = E 2 (1+ν) λ = ν E (1+ν)(1 2 ν) E = µ 3 λ+2 µ λ+µ ν = λ 2 (λ+µ) (5) (6) Remarque : µ est aussi noté par G et appelé module de Coulomb ou module d élasticité transversal 1.5 Dimensionnement d une poutre soumise à une traction simple Comme nous venons de le voir, en traction simple, seul l effort normal N est non nul, et N=- ( étant l effort de traction). En pratique, on détermine la contrainte utile ou admissible σ u à partir de la limite élastique σ e par une relation du type: σ u = σ e (7) α où α est un coefficient de sécurité (supérieur ou égal à un) qui doit tenir compte des différentes incertitudes inhérentes à un problème de R.D.M. On peut en général mettre ce coefficient α sous la forme d un produit de coefficients d incertitude, par exemple : α = α m. α e. α f (8) Avec : α m : coefficient pour couvrir l incertitude sur l homogénéité du matériau (1.2 pour un matériau laminé, 1.1 pour un matériau moulé,...)

11 α e : coefficient pour couvrir les incertitudes sur les caractéristiques mécaniques du matériau (1.2 si on a effectué un seul essai de traction, 1 si on a procédé selon les normes,...) α f : coefficient pour couvrir l incertitude sur les charges appliquées. Dans tous les cas (sauf en aéronautique) α est supérieur ou égal à 1.5. 1.5.1 Sollicitations constantes Deux cas peuvent se présenter 1.5.1.1 Section constante d aire S Dans ce cas on vérifie que la contrainte de traction en tout point de la poutre reste inférieure ou égale à la contrainte utile, soit: σ 11 = N S = S σ u (9) 1.5.1.2 Section variable Les contraintes ne sont plus réparties uniformément dans toutes les sections droites et on observe un phénomène de concentration de contraintes au voisinage des discontinuités géométriques. Dans ce cas on vérifie simultanément: { σ nom = N S σ u k σ nom σ e avec S = section réduite avec k coefficient de concentration de contraintes (10) Les coefficients de concentration de contraintes dépendent de la géométrie de la pièce et de la discontinuité ainsi que de la sollicitation. Les figures 5 et 6 présentent quelques exemples de coefficients de concentration de contraintes pour des poutres soumises à la traction, de sections rectangulaires ou circulaires. 1.5.2 Sollicitations variables Lorsque la sollicitation varie dans le temps, les organes soumis à ces efforts variables et répétés peuvent se rompre sans que la contrainte n ait dépassé la limite élastique du matériau. Ce phénomène est appelé phénomène de fatigue, et lorsqu il risque de se produire, en plus des vérifications classiques, on doit dimensionner les structures pour éviter ce phénomène. (voir cours sur la fatigue )

12 ig. 5 Coefficients de concentration de contraintes pour des poutres entaillées 2 Compression simple Les résultats précédents établis pour la traction s appliquent à la compression simple, moyennant toutefois certaines adaptations des signes et restrictions sur la forme des pièces: Dans les formules, il faut changer de signe pour σ 11 et les ɛ ij Une pièce longue risque de fléchir et rompre par flambement On notera par σ e la valeur absolue de la limite élastique en compression du matériau En pratique, pour le dimensionnement ou la vérification en compression On se protège d abord contre le phénomène de flambement en vérifiant que l effort de compression reste inférieur à la charge critique de flambement (Voir cours sur le flambement) En l absence de risque de flambement, les relations équivalentes à celles obtenues en traction restent applicables modulo les changements de signe et en remplaçant σ u parσ u =σ e /α (contrainte utile ou admissible en compression) avec α coefficient de sécurité

13 ig. 6 Coefficients de concentration de contraintes pour des trous et des raccordements 3 Cisaillement pur 3.1 Hypothèses Hypothèse 2 (Hypothèses-cisaillement pur) On posera les hypothèses suivantes: Au centre de gravité G de la section droite d abscisse x, les éléments de réduction vérifient: N = 0, T 0, M = 0, C = 0 Les charges sont supposées appliquées de sorte que seul l effort tranchant est différent de zéro. Ceci suppose que cet effort tranchant est localisé dans une section droite, sans possibilité d être accompagné d un moment de flexion. La notion de cisaillement pur se rapporte non pas à un corps mais à une section donnée d un corps. 3.2 Exemples Le cisaillement pur est tout à fait exceptionnel. Presque toujours, pour une section donnée, il est combiné avec d autres sollicitations. Le cas le plus fréquent est celui de la flexion simple pour lequel l effort tranchant est accompagné d un moment de flexion.

14 En pratique, on parle de cisaillement, lorsque les conditions de cisaillement pur sont approximativement remplies dans une section et que de ce fait la contrainte de cisaillement est la plus importante. Le meilleur exemple est celui de la cisaille, dont les deux couteaux permettent d appliquer l effort de cisaillement dans un plan défini, contenant la section cisaillée. On peut citer aussi les exemples de rivet liant deux tôles, de clavette, d axe d articulation,...(cf. ig.7, où les conditions de cisaillement sont remplies pour les sections notées S ) Couteau Sup. Tôle 1 S S Couteau Inf. Cisaille Rivet Tôle 2 S Clavette S Moyeu Arbre 2 Articulation Clavette ig. 7 Exemples de cisaillement 3.3 Essai de cisaillement Lors de l essai de cisaillement pur, les sections infiniment voisines ab et a b glissent en bloc l une par rapport à l autre. Donc on peut admettre que dans cette section cisaillée, la condition de cisaillement pur est approximativement remplie. Si on note par γ l angle de cisaillement (mam ), avec m la position initiale du point appartenant à la section cisaillée et m sa position finale ou position après déformation (cf. ig.8). Si on relève la courbe représentant T/S en fonction de l angle γ, on obtient un diagramme d allure semblable à celle de la traction pure (cf. ig.9). On remarque en particulier que le début de la courbe est rectiligne, ce qui traduit le fait que les efforts et les déformations sont directement proportionnels dans le

15 2T a 1 a b a m m 1 a m γ m m 1 dx ig. 8 Schéma de principe de l essai de cisaillement domaine élastique. Au delà de τ e (limite élastique en cisaillement du matériau), la relation contrainte-déformation n est plus linéaire ni réversible. Pour T/S>τ e, lorsqu on abaisse progressivement la valeur de T jusqu à zéro, on décrit une droite parallèle à celle du premier domaine élastique (domaine pour lequel 0 T/S τ e ). A T=0 une déformation résiduelle subsiste. Enfin pour T/S=τ R, il y a rupture de l éprouvette. Pour que cet essai s approche le plus des conditions requises pour le cisaillement pur, il faut respecter des conditions géométriques très strictes. Entre autres, il faut que les bras de leviers (dx sur le dessin) restent très petits sans générer de contacts parasites dans le montage d essai. Ces conditions sont très difficiles à respecter. Ceci fait que l essai de cisaillement pur ne peut être conduit avec la même précision et la même rigueur que l essai de traction. Il permet néanmoins de remarquer l analogie entre les deux essais et de définir comme, en traction, des caractéristiques du matériau explicitant son comportement en cisaillement. On remarque ainsi deux domaines de comportement: Le domaine élastique linéaire défini par 0 T/S τ e Le domine plastique défini par T/S=τ e Dans le domaine élastique, on relie la contrainte de cisaillement τ =T/S à l angle de cisaillement γ par τ = µγ = Gγ avec µ = G = E module de Coulomb ou deuxième 2(1+ν) coefficient de Lamé.

16 T/S τ R τ e β O γ ig. 9 Courbe de cisaillement pur Remarque : Supposons que l effort de cisaillement est appliqué selon l axe e y, l angle γ représente la variation de l angle droit initialement entre e x et e y. Si on note par σ xy =T/S la contrainte de cisaillement, la relation τ = µ γ = G γ s écrit σ xy = 2µ ɛ xy. Comme pour la traction, on peut généraliser le cisaillement par application de l effort de cisaillement selon les autres axes du repère. Ainsi la relation générale se met sous la forme σ ij = 2µ ɛ ij pour i différent de j. CONCLUSION: LOI DE COMPORTEMENT GLOBALE Pour un solide élastique linéaire, la loi de comportement se généralise sous la forme suivante : σ ij = 2µ ɛ ij + λ(ɛ 11 + ɛ 22 + ɛ 33 ) δ ij avec δ ij = 0 si i j et δ ij = 1 si i = j Cette loi est appelée loi de Hooke généralisée.