Gaz parfait : Etude de la loi de Boyle - Mariotte ENONCE : Pressiomètre Seringue à piston vissant On utilise un échantillon d air emprisonné dans une seringue graduée en cm 3, le volume maximal étant 60 cm 3. Un tuyau en plastique relie la seringue à un pressiomètre indiquant la pression en hpa. A l aide d un système de visse montée sur la seringue on fait varier le volume d air contenu dans la seringue. On considère que le volume d air contenu dans le tuyau (2 cm 3 ) est négligeable et on se limite à mesurer des pressions ne dépassant pas 2000 hpa. On réalise trois séries de mesures à la température de 21 C pour trois volumes initiaux V i différents : V 1 = 20 cm 3, V 2 = 35 cm 3, V 3 = 60 cm 3 correspondant chacun à la pression atmosphérique. On obtient le tableau de valeurs suivant : V(cm 3 ) 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 1 / V (cm -3 ) 0,1 0,067 0,05 0,02 0,018 0,017 V 1 =20 P(hPa) 1860 1362 1052 832 703 600 529 471 425 390 357 V 2 =35 P(hPa) / /////// ///////// 1733 1422 1196 1030 907 805 724 659 603 V 3 =60 P(hPa) ///////// ///////// ///////// ///////// 1963 1700 1500 1342 1217 1106 1022 1) Compléter dans le tableau ci-dessus, la ligne 1/V donnant l inverse du volume à 0,001 près. 2) D après ce tableau de valeurs que peut-on dire de la valeur de la pression P obtenue comparée à la pression atmosphérique (environ 1000 hpa) lorsque le volume V est plus petit que le volume initial V i? 1
3) A l aide de l informatique ou d une calculatrice tracer l allure des trois courbes P = f( 1/V) donnant la pression en fonction de l inverse du volume. Que peut-ton constater pour ces trois courbes? 4) Déterminer les équations des trois droites obtenues dans la question 3). On pourra s aider d une calculatrice pour obtenir les coefficients des droites à l aide d une régression linéaire. 5) On admet que la régression obtenue pour une nouvelle quatrième série de mesures avec un volume initial V 4 est donnée par l équation : P = a / V avec a = 50 000 hp cm 3 Déterminer le volume V 4 (On considérera que P = P 0 = 1 000 hpa pour le volume initial V 4 ). Correction à l aide de la Graph 25 + 1) Tableau de valeurs Pour compléter le tableau de valeurs f(v)= 1/V on va utiliser l application TABLE. Appuyer sur et à l aide du bouton directionnel sélectionner l application TABLE et faire. Dans le cas où des fonctions sont déjà présentes, il faut les effacer une à une en utilisant la touche ( DEL) et puis (YES), et se déplacer à l aide du bouton directionnel. 2
Lorsqu il n y a plus de fonctions enregistrées, on va saisir la fonction f. Utiliser la touche pour la variable X, entrer la formule de calcul : Y1 = 1/X et faire. On va, maintenant, calculer les valeurs de la fonction f pour des valeurs de X comprises entre 10 et 60 cm 3 avec un pas de 5 cm 3. Sélectionner la touche ( RANG) et entrer les données : Strt : 10, End : 60, ptch : 5. Puis, appuyer sur la touche. Sélectionner alors la touche (TABL) Il apparaît ainsi un tableau à 2 colonnes. La colonne X correspond aux valeurs du volume V en cm 3. La colonne Y1 correspond aux valeurs de f(v)=1/v pour chaque valeur de V. A l aide du bouton directionnel dérouler toutes les valeurs vers le bas jusqu à atteindre la valeur 45 cm 3 pour compléter le tableau de valeurs. 3
Tableau de valeurs : V(cm 3 ) 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 1 / V (cm -3 ) 0,1 0,067 0,05 0,04 0,033 0,029 0,025 0,022 0,02 0,018 0,017 V 1 =20 P(hPa) 1860 1362 1052 832 703 600 529 471 425 390 357 V 2 =35 P(hPa) / /////// ///////// 1733 1422 1196 1030 907 805 724 659 603 V 3 =60 P(hPa) ///////// ///////// ///////// ///////// 1963 1700 1500 1342 1217 1106 1022 2) A l aide du tableau de valeurs on constate que si V < V i alors P > P 0 la pression obtenue est supérieure à la pression atmosphérique P 0 car l air contenu dans la seringue est comprimé ( le volume de l air étant inférieur au volume initial). 3) Pour tracer les trois courbes P = f(1/v) on va utiliser le menu STAT Appuyer sur et à l aide du bouton directionnel sélectionner l application STAT et faire. Nettoyage des listes Dans le cas où des valeurs sont déjà présentes dans le tableau, il faut d abord effacer les valeurs contenues dans List 1 jusqu à la List 6 ( 6 colonnes) Pour cela à l aide de la touche faire apparaître DEL-A, cliquer alors sur ( DEL-A ) et confirmer (YES). 4
Se placer alors à l aide de mêmes opérations., si nécessaire, sur les autres colonnes à effacer et effectuer les Saisie des données Avec afficher GRPH et saisir dans List 1 en colonne les 11 valeurs de 1/V du tableau de valeurs. Après chaque saisie faire pour enregistrer la valeur et passer à la ligne suivante. Se déplacer avec et saisir également la List 2 en prenant les valeurs de P pour V 1. Puis, saisir dans la List 3 les 9 valeurs de 1/V à partir de V = 20 cm 3 et dans la List 4 les 9 valeurs de P pour V 2 et enfin dans la List 4 les 7 valeurs de 1/V à partir de V = 30 cm 3 et les valeurs de P pour V 3. Tracé des courbes Sélectionner alors (GRPH ) puis pour définir GPH1 (SET) Se déplacer à l aide de sur la ligne G-Type et choisir (xy) 5
Puis descendre sur XList pour choisir ( List1 ) et ensuite sur YList pour choisir ( List2 ) et faire après avoir vérifié que la ligne Freq est bien à 1 sinon se positionner et faire (1 ) Sélectionner (GRPH ) et appuyer sur pour vérifier que S-Wind est sur Auto Sinon cliquer sur ( Auto ) et faire Puis sélectionner (GRPH ) et (SET)puis (GPH2) pour afficher Statgraph 2 Se déplacer à l aide de sur la ligne G-Type et choisir (xy) Puis descendre sur XList pour choisir ( List3 ) et ensuite sur YList pour choisir (List4 ) et faire et faire la même chose pour GPH3 avec List 5 et List 6. Ensuite, faire (GRPH ) et (SEL)puis (On) pour sélectionner GRPH1 6
Se déplacer à l aide de sur la 2 e ligne et faire également (On) et également sur la 3 e ligne (On). Enfin, sélectionner (DRAW ) pour tracer les 3 courbes en même temps. Les 3 courbes ont pour allures des segments de droites. 4) Pour établir les équations des droites nous allons utiliser la régression linéaire à partir des courbes affichées sur l écran on va sélectionner (X). L écran affiche alors le graphe sur lequel on veut faire la régression en commençant par StatGraph1. Si on sélectionne on obtient la régression sur GRAPH 1 La calculatrice affiche alors les coefficients a et b de la régression : P = a X + b = a(1/v) + b Ainsi que le coefficient de la régression r. Si on sélectionne alors (DRAW ) alors les 3 courbes réapparaissent. Il suffit alors d utiliser pour afficher StatGraph2 et effectuer à nouveau une régression. 7
Puis, on effectue la dernière régression en affichant StatGraph 3. On obtient : P = 18457 / V + 73,6907 avec r 1 = 0,99736 pour le cas où V 1 = 20 cm 3 P = 35064,1 / V + 23,6335 avec r 2 = 0,99966 pour le cas où V 2 = 35 cm 3 P = 56999,3 /V + 71,7302 avec r 3 = 0,99894 pour le cas où V 3 = 60 cm 3 On constate que tous les coefficients de corrélation sont proches de 1 ce qui signifie que pour chaque courbe les points sont bien alignés. Les coefficients b sont relativement faibles comparés aux termes respectifs en a/v. On peut considérer qu ils sont donc pratiquement négligeables pour des valeurs de V pas trop élevées. Dans les trois cas on peut considérer avec une bonne approximation que les 3 courbes sont linéaires de la forme : P = a X = a / V On obtient donc le résultat de la loi de Boyle Mariotte : PV = a pour un gaz parfait, le nombre a étant une constante dépendante des conditions initiales ( V i le volume initial et la température ambiante, ici 21 C ). L air peut, en effet, être considéré avec une bonne approximation comme un gaz parfait. Il est à noter que si le volume initial V i devenait très faible, il faudrait alors tenir compte du volume du tuyau de raccord au pressiomètre (volume d air de 2 cm 3 ) qui a été négligé dans notre raisonnement. 5) Il s agit d une simple application numérique, on a pour le volume initial V 4 la relation : P 0 V 4 = a = 50 000 hp cm 3 avec ici la pression atmosphérique P 0 = 1000 hpa Soit : 1000 V 4 = 50 000 ce qui nous donne évidemment : V 4 = 50 cm 3. 8