TS 2 DS Electrostatique et magnétostatique 10 février 2018 Partie A Charges électriques dans un cumulonimbus Concours DEUG 2016 DOCUMENT 1 (d après le site Web «Wikipédia») http://fr.wikipedia.org/wiki/nuage En météorologie, un nuage est une masse visible constituée d une grande quantité de gouttelettes d eau (parfois de cristaux de glace associés à des aérosols chimiques ou des minéraux) en suspension dans l atmosphère au-dessus de la surface de la planète. La formation du nuage orageux (ou cumulonimbus) (figure A.1) est favorisée par des conditions chaudes et humides à la surface du sol, mais plus froides et sèches en altitude. Ce nuage est «bourré» de charges électriques avec une répartition bien spécifique. Selon un processus complexe, les charges positives se concentrent plutôt au sommet du nuage et les charges négatives à la base. Au voisinage du sol, sous le cumulonimbus, l atmosphère se charge positivement par influence. Seul le cumulonimbus est générateur d orages Cliché : Simo Räsänen (Wikipédia) Figure A.1 l s agit, dans cet exercice, de modéliser la répartition des charges électriques positives (+) et négatives (-) au sein du cumulonimbus (figure A.2) et d envisager l apparition de la foudre. L espace est rapporté, en coordonnées cartésiennes, à un repère orthonormé direct (Ox, Oy, O) de base (u x, u y, u ). Hypothèses de travail : Le nuage est un cylindre d axe vertical (vecteur u ), de surface de base S et de hauteur H = 3 2. À l intérieur du cumulonimbus (2 < < 3), la densité volumique de charges () est une fonction affine de l altitude : () = ρ m [2 (2 + 3)], avec m constante positive. H
La densité volumique 0 > 0 de charges au voisinage du sol, dans l épaisseur 0< < 1, est uniforme. Les effets de bord sont négligés et toutes les grandeurs envisagées sont unidimensionnelles et ne dépendent que de l altitude. l est admis qu en tout point M de l espace, le champ électrique peut s écrire sous la forme E(M) = E() u. De plus, puisque les distributions de charges sont volumiques, le champ électrique est continu. Le champ électrique E( = 0) et le potentiel V( = 0) sont supposés nuls au ras du sol. La permittivité diélectrique, considérée uniforme et constante dans toute l atmosphère, vaut 0. Données numériques 0= 8,9 10 12 F m 1. Des mesures donnent : E(1) = + 5,0 10 4 V m 1 à l altitude 1 ; E ( 2+ 3 2 ) = 2,5 105 V m 1 valeur maximale du champ (en valeur absolue), au centre du nuage ; 1 = 2,5 10 2 m ; 2 = 1,0 10 3 m ; 3 = 1,1 10 4 m ; S = 2,0 10 7 m 2. Relations mathématiques en coordonnées cartésiennes : Soit un champ vectoriel a : Soit un champ scalaire U : grad (U) = a = ax u x + ay u y + a u div(a ) = U x u x + U y u y + U u a x x + a y y + a. Champ et potentiel à l intérieur et à proximité du nuage 1. Rappeler l équation de Maxwell-Gauss 2. Déterminer, en fonction des données de l énoncé, le champ électrique E() : a) dans l espace chargé, défini par 0 1 ; b) dans l espace non chargé sous le nuage, c est-à-dire pour 1 < < 2 ; c) à l intérieur du cumulonimbus, c est-à-dire pour 2 3. 3. Tracer l allure de la courbe représentative de la fonction E() pour [0 ; 3]. 4. Application numérique : m = 1,0 10 9 C m 3. Calculer : a) la densité volumique de charge 0 ; b) la charge totale Q0 contenue sous le nuage, entre = 0 et = 1 ; c) la charge totale négative Q portée par la moitié inférieure du cumulonimbus. 5. La foudre est un phénomène naturel de décharge électrique qui se produit lorsque la différence de potentiel, entre deux nuages d orage voisins ou entre un nuage et la terre, engendre un champ électrostatique (électrique) égal ou supérieur, en valeur absolue, à la valeur Ed = 10 6 V m 1 dans de l air humide. Dans ces conditions, le champ, qualifié de champ disruptif, est responsable de l ionisation des molécules d air environnantes et de la formation d un milieu conducteur propice aux déplacements des charges électriques, donc de l apparition de la foudre. Y a-t-il, dans l espace considéré depuis le début de l exercice, des ones où le champ électrique est disruptif? 6. a) Rappeler la relation locale entre le champ électrique E et le potentiel V b) Sachant que le potentiel est nul au sol par convention, déterminer les expressions de V() entre la terre et le nuage, c est-à-dire : - dans l espace chargé, défini par 0 1; - dans la one dépourvue de charges, si 1 < < 2. 7. Application numérique : calculer la différence de potentiel U = V(2) V( = 0) entre la base du nuage ( = 2) et le sol ( = 0).
Partie B LA FOUDRE Relations mathématiques en coordonnées cylindriques : Soit un champ vectoriel a : a = ar u r + aθ u θ + a u 1 rot (a ) = ( r Soit un champ scalaire U : grad (U) = a a - a ) u r + ( r U 1 U U ur + uθ + r r - u a r 1 ) u θ + [ r (ra r ) - a r ] u Lors d un coup de foudre, l air est ionisé dans un canal conduisant du sol au nuage orageux. On assimile l éclair à un fil rectiligne infini, d axe O et de rayon a, parcouru par un courant d intensité (t) uniformément réparti dans une section droite et l on se place dans l approximation des régimes quasi stationnaires. Un point M au voisinage de l éclair sera repéré par ses coordonnées cylindriques (r,, ). 1. Placer sur un schéma l éclair, la base locale cylindrique en M (u r, u θ, u ), si l on convient de choisir O vertical ascendant. 2. Sachant que l activité électrique orageuse a pour effet de recharger la Terre négativement, déterminer le sens du courant (t) dans l éclair. 3. On s intéresse à l expression du champ magnétique créé par l éclair, toujours modélisé par un fil infini de rayon a. a) Montrer que ce champ est de la forme B (M, t) = B(r, t) u θ b) Montrer, par des arguments de symétrie, que le champ B est nul en un point de l axe O. c) Enoncer le théorème d Ampère dans l approximation de régimes quasi permanents d) Ecrire l équation de Maxwell-Ampère dans l approximation des régimes quasi permanents e) Par la méthode de votre choix, déterminer le champ magnétique créé par l éclair en tout point de l espace (à l intérieur et en dehors du cylindre). 4. Par temps orageux, il peut être dangereux de chercher à s abriter sous un arbre. On modélise l éclair traversant l arbre par un fil rectiligne vertical semi-infini, parcouru par un courant électrique ascendant d intensité = 15 ka (voir figure suivante). Cette demi-droite prend fin au niveau du sol, où l on suppose que la densité de courant est radiale, de la forme j = j(r)e r, expression dans laquelle e r est le vecteur unitaire radial des coordonnées sphériques. L étude est menée en régime stationnaire et l on note = 1 S.m -1 la conductivité électrique du sol.
a) Montrer que j(r) = - 2πr² b) Rappeler l expression de la loi d Ohm locale. En déduire le champ électrique E = E(r)e r dans le sol, puis montrer que le potentiel vaut V(r) = - 2πγr, en supposant V nul à l infini. c) Une vache se trouve à la distance moyenne d de l arbre et la distance entre ses deux pattes avant et arrière est p (voir figure). Exprimer, en fonction de p et d, les potentiels au niveau des pattes avant et arrière de la vache. En supposant d 2 >> (p/2) 2, montrer que la différence de potentiel Up, ou tension de pas, est de l ordre de Up p 2πγd² d) Soit R = 2,5 k la résistance entre les pattes avant et arrière de la vache, distantes de p = 1,5 m. A quelle distance minimale dm du point d impact doit-elle se trouver pour que son corps soit traversé par un courant d intensité inférieure à imax = 25 ma? On donnera l expression de dm en fonction de, imax, p, R et. Evaluer numériquement dm. e) Expliquer pourquoi cette tension de pas est plus dangereuse pour une vache que pour l homme.
CORRGE DS 10 F2VRER 2018 Partie A Charges électriques dans un cumulonimbus 1. équation de Maxwell-Gauss div(e ) = ρ E(M) = E() u 2.a) 0 1 soit = ρ densité uniforme = ρ 0 E() E(0) = ρ 0 ( 0) E() = ρ 0 car l énoncé indique E(0) = 0 1 2 pas de charges = 0 E() = cte = E(1) = ρ 0 1 car l énoncé indique E fct continue de 2 3 3.courbe () = ρ m [2 (2 + 3)] H = ρ m H [2 ( 2 + 3 )] 4.a) E(1) 0 / 1 = 1,8 10-9 C/m 3 b) Q0 =S1 = 9 C (Z 2 + 3 )/2 ρ m H E() E(2) = ρ m H [² - 2² ( 2 + 3 )( 2)] E() = E(2) + ρ m H ( 2) ( 3) c) - Q = [2 ( 2 + 3 )] S =. = - ρ m S H = - 50 C 2 4 5. l'énoncé indique que la valeur maximale (en valeur absolue) du champ électrique est atteinte au milieu du nuage et vaut 2,5 10 5 V m 1, valeur inférieure au champ disruptif Ed = 10 6 V m 1 : il n y a pas de one où le champ électrique est disruptif. 6.a) E = - grad (V) = - dv u 6.b) 0 1 - dv = ρ 0 V() V(0) = - ρ 0 (² - 0²) /2 V() = - ρ 0 2 ² car l énoncé indique V(0) = 0 1 2 - dv = ρ 0 1 V() - V(1) = - ρ 0 1 ( - 1) l énoncé indique E fct continue de V() = - ρ 0 2 1² - ρ 0 1 ( - 1) = ρ 0 1 ( 1 /2 )
Partie B LA FOUDRE 1. 2. (t) va dans le sens ascendant, sens opposé par convention du mouvement des charges négatives. 3. a) B est un pseudovecteur donc il est perpendiculaire au plan de symétrie des courants (M,u r, u ) donc B (M, t) = B(r, θ,, t) u θ. B ne dépend pas de par invariance de la distribution de courants lors de la translation de M le long du cylindre (infini), ni de par symétrie cylindrique donc B (M, t) = B(r, t) u θ. 3. b) soit M un point de l axe O : tous les plans contenant O sont des plans de symétrie des courants, B (M) est orthogonal à tous ces plans : il est nul. 3.c) Th d Ampère 3.d) équation de Maxwell-Ampère 3. e) 0 r a j = (rb) = µ0 r πa² u rot (B ) = µ0 j r πa² r B(r) 0 B(0) = µ0 πa² soit 1 (rb) r r u = µ0 j (r² - 0²)/2 B(r) = µ0 r 2πa² a r (rb) r j = 0 = 0 r B(r) = cte = a B(a) = a µ0 a 2πa² = µ0 2π B(r) = cte = µ0 2πr 4. a) On sait que = j. ds = j(r)e S S r. ds ( u r ) (pour respecter le sens du courant) On prend comme surface une demi-sphère de rayon r : = - j(r) 2r 2 d où j(r) = - / 2 r 2 b) Loi d Ohm locale : j = γ E. D où E (r) = ( /2πγr 2 )u r Or E = grad V = (dv/dr) u r d où V(r) = - / r + cte (avec cte = 0 car V est nul à l infini) c) En utilisant le résultat précédent : Vavant = - / ((d-p/2) ) et Varrière = - / ((d+p/2)) Up = Varrière - Vavant = p /( (d 2 p 2 /4)) p / ( d 2 ) d) On a Up = R i. i < imax donc d > dm = p /(2πγ R i max ) A.N. dm = 7,6 m e) p est plus petit pour l homme que pour la vache donc la tension de pas est moins dangereuse.