DS du 13 décembre 2010 : Sujet et corrigé Exercice 1: f est une fonction dont le tableau de variation est le suivant : x -3-2 0 1 4 f x -2 0-1 1 Pour chacune des affirmations suivantes, répondez par vrai, faux, ou "on ne peut pas savoir", en justifiant votre réponse. a) f 2,5f 2 b) f x 2 pour tout x de [ 3; 4] c) f 1,5f 3 d) f 2,5f 0,5 e) f 2,5f 3 a) f 2,5f 2:........................ VRAI, en effet la fonction f est strictement croissante sur [ 3; 2], donc aussi sur [ 2,5 ; 2]. 0,5 b) f x 2 pour tout x de [ 3; 4]:... VRAI, en effet -2 est le minimum de f sur [ 3; 4], il est atteint pour x= 3. c) f 1,5f 3:.............................. FAUX, en effet la fonction f est décroissante sur [1 ; 4], donc aussi sur [1,5 ; 3] et on a donc : f 1,5f 3. d) f 2,5f 0,5:........................ On ne peut pas savoir, en effet d'après le tableau de variations, on peut seulement déduire que d'une part : 2f 2,50 et que d'autre part : 1f 0,51 e) f 2,5f 3:........................... VRAI, en effet on remarque que : f 2,500,5f 3 Exercice 2 : Soit f la fonction définie sur R par : f x =9 x2 2. On note C f sa représentation graphique dans le plan. 1) Développer et réduire f x, puis factoriser f(x). 2) Représenter graphiquement f sur votre calculatrice. 3) Lire graphiquement les coordonnées du point d'intersection de C f avec l'axe des ordonnées, puis les retrouver par le calcul. 4) Lire graphiquement les coordonnées des points d'intersection de C f avec l'axe des abscisses puis les retrouver par le calcul. 5) Justifier que tous les points de C f ont une ordonnée inférieure ou égale à 9. Bonus : 6) Justifier que tous les points de C f situés en dessous de l'axe des abscisses ont une abscisse supérieure à 1 ou inférieure à -5. 1) Forme développée et réduite de f : Pour tout réel x on a les égalités suivantes : f x =9 x 2 2 =9 x 2 4 x4= x 2 4 x5 Forme factorisée de f : Pour tout réel x : f x =9 x 2 2 =3 2 x2 2 =3 x 23x2= x1x5 2) Représentation de f sur la calculatrice : (Il ne fallait rien marquer sur la copie...!!) 3) Intersection de C f avec l'axe des ordonnées :
En utilisant par exemple la fonction trace du solveur graphique (touche G-solve) on obtient le graphique de droite, on en déduit que l'intersection de C f avec l'axe des ordonnées est le point de coordonnées (0 ; 5) Pour retrouver ce résultat par le calcul, il suffit de calculer f 0, et en prenant la forme développée et réduite de la question 1), le résultat est immédiat. 4) Intersection de C f avec l'axe des abscisses : En utilisant la fonction ROOT du menu G-solve on obtient les affichages ci contre. On en déduit que les points d'intersection de C f ont pour coordonnées : (-5 ; 0) d'une part et (1 ; 0) d'autre part. Retrouver le résultat par le calcul signifie résoudre l'équation f x =0. Pour cela, on utilise la forme factorisée de f obtenue à la question 1). On a alors l'équivalence : f x =0 x1x5=0 D'après la règle du produit nul on a donc : Soit x1=0 x=1 soit x 5=0 x= 5 Les points d'intersection de C f avec l'axe des abscisses ont donc bien pour coordonnées (-5 ; 0) et (1 ; 0). 5) Montrons que tous le points de C f ont une ordonnée inférieur ou égale à 9 : Pour cela on compare f x et 9. Une méthode consiste alors à calculer f x 9 et à montrer que cette quantité est négative. Or en prenant la forme de départ donnée pour f(x), il vient : f x 9=9 x2 2 9= x2 2. Un carré étant un nombre positif, on a bien que pour tout réel x, f x 9 0, c'est à dire que f x 9. Bonus : 6) Déterminons les abscisses des points de C f situés en dessous de l'axe des abscisses : Cela revient à résoudre l'inéquation f x 0. On choisit alors la forme factorisée de f, on se ramène donc à résoudre : x1x50. Or d'une part : x1=0 x=1 et d'autre part : x5=0 x= 5 En utilisant alors le sens de variation des fonctions affine (strictement croissante si le coefficient directeur est positif et strictement décroissante si le coefficient directeur est négatif), on obtient le tableau : x -5 1 x1 + + 0 - x5-0 + + f x - 0 + 0 - La courbe de f est donc située en dessous de l'axe des abscisses pour x 5 ou pour x1. Exercice 3 : On considère la fonction f définie sur I = [-2 ; 4] dont la représentation graphique C f dans un repère orthogonal est donnée ci-contre. Le graphique est à compléter au fur et à mesure des questions. On donne le tableau de valeurs ci-dessous : x -2-1,83-1,64-1 0 1 2 3 3,64 3,83 4 f(x) 16 7 0-9 0 7 0-9 0 7 16 1) Donner les images de -2 ; 0 ; 2 et 4 par f. 2) Donner le(s) antécédents(s) de -9 puis de 7 par f. 3) Dresser le tableau de variations de la fonction f sur I. 4) La fonction f admet-elle, sur I, un minimum ou/et un maximum? Pour quelles valeurs sont-ils atteints? 5) Comment choisir le réel m pour que l'équation f(x) = m admette 4 solutions.
6) Donner le signe de f(x) en fonction des valeurs de x. 7) Résoudre graphiquement : f x =0 puis 9f x 7. 8) Construire la représentation graphique de la fonction g définie sur I par g x=2 x1. 9) Résoudre graphiquement f x g x. 1) Images de (-2) ; 0 ; 2 et 4 par f : D'après le tableau de valeurs, les images de (-2) ; 0 ; 2 et 4 sont respectivement : 16 ; 0 ; 0 et 16 2) Antécédents de (-9) et de 7 : D'après la représentation graphique de f : - les antécédents de (-9) sont -1 et 3. - 7 a trois antécédents dont on peut lire les valeurs dans le tableau : -1,83 ; 1 et 3,83 3) Tableau de variations de f : x -2-1 1 3 4 f 16-9 4) Extremum de f sur I : D'après le tableau ci-dessus : - le maximum de f sur I est 16, il est atteint pour x = -2 et pour x = 4. - le minimum de f sur I est -9, il est atteint pour x = -1 et pour x = 3. 5) Valeurs de m pour que l'équation f(x) = m admette quatre solutions : L'équation f(x) = m a quatre solution lorsque la courbe C f coupe exactement quatre fois la droite d'équation y = m, c'est à dire pour m appartenant à l'intervalle ] -9 ; 7 [. 6) Signe de f(x) : Déterminer le signe de f revient graphiquement à trouver les points de C f situés : - au dessus de l'axe des abscisses f x 0 - en dessous de l'axe des abscisses f x 0 - à l'intersection avec l'axe des abscisses f x =0 On trouve alors (en comparant la courbe et le tableau de valeurs de f) : f x 0 pour x [ 2; 1,64[ ]0; 2[ ]3,64 ; 4] f x =0 pour x { 1,64 ; 0 ;2 ; 3,64} f x 0 pour x ] 1,64 ; 0[ ]2 ;3,64[ 7) Résolution graphique de f(x) = 0 : D'après la question précédente, f x =0 pour x { 1,64 ; 0; 2 ;3,64} Résolution graphique de -9 < f(x) < 7 : On cherche les point de C f ayant une ordonnée strictement comprise entre -9 et 7. Les solutions sont les abscisses de ces points. Par lecture graphique, et en utilisant le tableau de valeurs on trouve que : S=] 1,83; 1[ ] 1; 1[ ]1; 3[ ]3 ;3,83[ 8) Construction de la représentation graphique de la fonction g : La fonction g est une fonction affine, sa représentation graphique est donc une droite. Comme g x=2 x1, l'ordonnée à l'origine est 1, la représentation graphique de g passe donc par le point de coordonnées (0 ; 1). De plus g 4=2 41=9, la représentation graphique de g passe donc aussi par le point de coordonnées (4 ; 9). On obtient donc le graphique ci contre : 7-9 16
9) Résolution graphique de f(x) > g(x) : On cherche les point de C f situés strictement au dessus des point de C g. Les solutions sont les abscisses de ces points. Graphiquement on trouve : S=[ 2; 1,6[ ]0,1;1,6[ ]3,9 ; 4]. Exercice 4 : Dans une station balnéaire, trois sociétés de location de voitures proposent aux touristes les tarifs suivants : - Société S 1 : un forfait de 23 et 0,40 par kilomètre parcouru. - Société S 2 : un forfait de 66, les 72 premiers kilomètres gratuits et 0,30 par kilomètre au-delà de 70 km. - Société S 3 : 0,60 par kilomètre parcouru. 1) Pour une personne qui aura parcouru x kilomètres, calculer : a) le prix f 1 x qu'elle devra acquitter à la société S 1 b) le prix f 2 x qu'elle devra acquitter à la société S 2 (distinguer les cas ( x 70 et x70 ) c) le prix f 3 x qu'elle devra acquitter à la société S 3 2) a) Dans un repère orthogonal (unités : en abscisse 1 cm pour 20km, en ordonnée 1 cm pour 5 ), construire les représentations graphiques de f 1,f 2 et f 3. b) Déterminer graphiquement, puis par le calcul, le tarif le plus avantageux selon le nombre de kilomètres parcourus. 1) Calcul de f 1(x) : La société S 1 propose une formule avec un forfait de 23 et 0,40 le kilomètre parcouru, le coût pour une personne parcourant x km est donc : f 1 x =0,4 x23. Calcul de f 2(x) : La société S 2 propose une formule avec un forfait de 66, 70 km gratuit et 0,30 le kilomètre parcouru au-delà de 70km. - Le coût pour une personne parcourant x km, avec x 70 est donc : f 2 x=66 - Si x70 la fonction f 2 est affine de coefficient directeur 0,3. Donc f 2 x est de la forme : f 2 x=0,3 xp. (1) De plus sa représentation graphique passe par le point de coordonnées (70 ; 66), donc f 2 70=66. Or, d'après (1), f 2 70=0,3 70p=21p Donc : 21p=66 et donc p=66 21=45 Finalement, si x70, f 2 x=0,3 x45. Calcul de f 3(x) : La société S 3 propose une formule à 0,60 le kilomètre parcouru. Le coût pour une personne parcourant x km est donc : f 3 x =0,6 x. 2 a) Voir sur la page ci-après. b) Détermination du tarif le plus avantageux selon le nombre de kilomètre parcouru : 1] En utilisant le graphique : On cherche quelle est la courbe de tarif située sous les deux autres pour une abscisse donnée. Par lecture graphique, on trouve que : - Si x 115, le tarif le plus avantageux est celui de la société S 3. - Si 115x 220, le tarif le plus avantageux est celui de la société S 1. - Si x220, le tarif le plus avantageux est celui de la société S 2. 2] Par le calcul : Comparaison de f 1 et de f 2 sur [0 ; 70] : f 1 70=0,4 7023=51 donc f 1 7066 Or la fonction f 1 est strictement croissante (son coefficient directeur est strictement positif), Donc f 1 est strictement inférieure à f 2 sur [0 ; 70]. On montre de même que f 3 est strictement inférieure à f 2 sur [0 ; 70].
Comparaison de f 1 et de f 2 si x > 70 : Pour comparer ces deux fonctions on peut étudier le signe de leur différence g 1 2 : Si x70, g 1 2 x =f 2 x f 1 x =0,3 x45 0,4 x23= 0,1 x22 donc : g 1 2 x =0 x= 22 0,1 =220 On a donc le tableau de signes : x 220 g 1 2 x + 0 - Donc si 70x220, g 1 2 x0, c'est à dire que f 1 x f 2 x. Avec ce qui a été démontré plus haut, on en déduit que la société S 1 propose un tarif plus avantageux que celui de la société S 2 pour une distance parcourue comprise entre 0 et 220 km. Au delà, le tarif de la société S 2 devient plus intéressant. On compare donc maintenant les tarifs de la société S 1 et de la société S 3 : On étudie donc le signe de la fonction g 1 3 définie par g 1 3 x =f 3 x f 1 x: Expression de g 1 3 x : g 1 3 x =0,6 x 0,4 x23=0,2 x 23 donc : g 1 3 x =0 x= 23 0,2 =115 On a donc le tableau de signes : x 115 g 1 3 x - 0 + Donc si 0x 115, g 1 3 x 0, c'est à dire que f 3 x f 1 x. La société S 3, est donc plus intéressante que la société S 1 pour une distance parcourue comprise entre 0 et 115 km. Au delà, la société S 1 est plus intéressante que la société S 3. Conclusion : Si la distance parcourue est inférieure à 115km, le tarif le plus avantageux est celui de la société S 3. Si la distance parcourue est comprise entre 115km et 220km, le tarif le plus avantageux est celui de la société S 1. Au delà de 220km, le meilleur tarif est celui de la société S 2.