Chapitre 4 Généralités sur les fonctions Activité n travaille sur les nombres entiers positifs et on considère le programme de calcul suivant: Choisir un nombre entier positif Multiplier par 3 Ajouter Élever au carré Soustraire 4 Multiplier par Résultat du programme de calcul Programme de calcul 0 5 n Compléter les trois colonnes.. n a ainsi défini la fonction g qui, à l'entier naturel n associe le nombre g (n) =... Quel est le résultat du programme de calcul lorsqu'on introduit le nombre 5? 040 / 570 / 8 n ² + 4 n / 440 Activité Un appareil a permis de relever la température, de façon continue, de 6 heures à heures pendant la même journée. Partie A a) Donner un titre utilisant le mot fonction. b) Quel est le nom de l'axe sur lequel on lit les heures? Axe des abscisses c) Quel est le nom de l'axe sur lequel on lit les températures? Axe des ordonnées a) Lire la température à :, à 8 et à 7 heures. 3 / - 3 / 6 b) Quelle est l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse? d'abscisse 8? d'abscisse 7? 3a) À quelle(s) heure(s) la température est-elle de : 3 C? C? 7 C? h & 9 h / 6 h ; 8 h & h / Ø b) Quelle(s) est (sont) la (les) abscisse(s) des points de la courbe d'ordonnée 3? d'ordonnée? d'ordonnée 7? 4) Sur quelle(s) plage(s) horaire(s) la température est-elle: croissante? décroissante? [8 ; 7] / [6 ; 8] & [7 ; ] 5) Donner les températures extrêmes. - 3 / 6 6) Sur quelle(s) plage(s) horaire(s) la température est-elle: positive? négative? [0 ; 0]
Partie B n note f la fonction définie par le graphique. ) Lire les images par f de, de 8, de 7. ) Lire les antécédents par f de 3, de, de 7. 3) Compléter : f () = 3 ; f (8) = 3 ; f (7) = 6. 4) Résoudre les équations suivantes: * f (x) = 3 S = { ;9} * f (x) = S = {6 ; 9 ; } * f (x) = 7 S = Ø 5) Résoudre les inéquations suivantes: * f (x) 6 S = [6 ; ] * f (x) 3 S = [6 ; ] * f (x) 0 S = [6 ; 0] U [0 ; ] * f (x) 0 S = [0 ; 0] I Qu est ce qu une fonction? Une fonction est un procédé de calcul qui permet d associer à un nombre au plus un nombre. Exemples : a) La fonction g de l activité qui, à un nombre n, associe le résultat d un programme de calcul est g (n) = 8 n ² + 4 n. n a : g (5) = 8 5 ² + 4 5 = 570 et g (5) = 8 5 ² + 4 5 = 440. b) Soit f la fonction qui multiplie par 3 et retranche 4. Si le nombre de départ est 5, alors 3 5 4 = est le nombre d arrivée. n note f : 5 ou f (5) =. ) Vocabulaire et notations Définition : n appelle ensemble de définition d une fonction l ensemble des nombres qui ont une image par cette fonction. n le note D f pour la fonction f. Exemples : D P = [0 ; + [; D f = R. Exercice Déterminer, pour chaque fonction, son ensemble de définition : ) f ( x) x 3 ) g ( x ) x 4 3) h( x) x 4 x 3 ) D f = IR { 3} // ) D g = [4 ; + [ // 3) D h = [4 ; + [ * Pour déterminer l ensemble de définition d une fonction : Si l expression de f présente un quotient, alors x appartient à D f si x n annule pas le dénominateur. Si l expression de f présente une racine carrée, alors x appartient à D f si l expression sous la racine carrée est positive. Ex : D x 3 5 3 D ; x 5 Exercice Déterminer, pour chaque fonction, son ensemble de définition : ) f ( x) 4 5x ) g ( x ) 7 3 x 3) h( x) x 4 5x ) D f = IR {4/5} // ) D g = ] ; 7/3[ // 3) D h = [ 4 ; + [ {/5} Définition : Définir une fonction c est : - se donner l ensemble de définition - à tout nombre x de D (appelé variable), associer un unique réel noté f(x) et appelé image de x par f. Définition 3 : Image, antécédent Soient f une fonction et un nombre x appartenant à l ensemble de définition de f L image de x par la fonction f est le nombre noté f (x).
Le nombre x est un antécédent de f (x). Exercice 3 Par une fonction h, on a h : 5. Recopier et compléter : * 5 est l image de par h. * est l antécédent de 5 par h. * a pour image 5 par h. * 5 a pour antécédent par h. Exemples : f (5) = signifie que est l image de 5 par f ou que 5 est un antécédent de par f. g (3) = ; g (4) = signifie que : est l image de 3 et de 4 par la fonction g ou que : 3 et 4 sont des antécédents de par la fonction g. f (a) = b signifie que b est l image de a par f ou que a est un antécédent de b par f. Exercice 4 Le graphique ci-contre représente l évolution d une population de bactéries (en milliers) sur un intervalle de temps donné. ) Préciser, dans cette situation, la variable et la grandeur étudiée dépendant de cette variable. ) Expliquer pourquoi on définit bien une fonction. 3) Quel est l ensemble de définition de cette fonction? ) variable : temps ; grandeur : évolution de la population de bactéries // ) À chaque durée ne correspond qu une population (ie : à un seul antécédent correspond au plus une image. // 3) D = [0 ; 6] Exercice 5 À la taille en cm de chacune des 5 personnes d un groupe, on associe son poids en kg. Peut-on définir ainsi une fonction? Justifier. Taille 73 75 78 78 76 Poids 65 69 78 69 7 Non, car valeurs de taille et de poids sont identiques, excluant de pouvoir faire correspondre à un antécédent au plus une image ATTENTIN : * Un nombre possède au plus une image par une fonction (soit aucune, soit une). * Un nombre peut avoir plusieurs antécédents par une fonction. Schématiquement, on a : nombre x appartenant à l ensemble de définition f (x) : image de x par la fonction f. de la fonction >>>>>>> 5 p 46 (a) y = 5/x // b) IR*) II Quels sont les différents procédés permettant de décrire une fonction? ) Fonction décrite par son expression algébrique Définition 4 : n appelle expression algébrique d une fonction f, l expression littérale permettant de calculer l image f (x) d un nombre quelconque x appartenant à l ensemble de définition de f. Remarque : C est le cas de grandeurs définies par une formule (aire, périmètre, ). Conséquence : Comment calculer l image d un nombre par une fonction dont on connait l expression algébrique? Exemple : Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 3 x ² 4 x + 4. Calculer f () = 8 et f ( ) = 4.
Bilan : Pour calculer l image d un nombre donné par une fonction, on remplace x par ce nombre dans l expression algébrique de f. >>>>>>> 7 p 46 (a) // b) 48 // c) oui car (t )² = 4/3 est impossible // d) t = // e) (t ) ² = 4 t = 3 ou ) Exercice 6 Soit f la fonction définie sur I = ] ; + [ par f (x) =. ) Expliquer pourquoi f est une fonction définie sur l intervalle I donné. ) Calculer les images par f des réels : a) 8 b) c) + 3. 3) Le nombre 0 a-t-il un antécédent par f? Le nombre a-t-il un antécédent par f? ) Sur I, x 0, et comme division de par un réel différent de 0, f est définie. // a) f (8) = /7 // b) f (3/) = 4 // c) f ( + 3) = 3/3 // 3) n cherche x tel que f (x) = 0. Comme N (x) = 0, ceci est impossible et 0 n a pas d antécédent par f ; De même, f(x) = x = x = 3. Donc 3 est l antécédent de par f. Exercice 7 Soit g la fonction définie sur I = R par g (x) = 3 x ². ) Expliquer pourquoi g est une fonction définie sur l intervalle I donné. ) Calculer les images par g des réels : a) 4 b) c) + 5. 3) Le nombre 4 a-t-il un antécédent par g? Le nombre a-t-il un antécédent par g? ) Sur I, comme fonction polynomiale, g est définie. // a) g (5) = 46 // b) g (5/) = 55/4 // c) g ( + 5) = 5 + 5 // 3) n cherche x tel que g (x) = 3 x ² = < 0 ce qui est impossible. Donc il n y a pas d antécédent de 4; // g(x) = x² = x = ±. Donc et - sont les antécédents de par g. ) Fonction décrite par un tableau de valeurs Définition 5 : Un tableau de valeurs d une fonction donne les images de certains nombres par la fonction f. Exemple : Soit f la fonction qui donne la pression atmosphérique P en hectopascal (hpa) en fonction de l altitude h en mètres. Ainsi f (000) = 795. Altitude en m 0 000 000 3000 4000 5000 6000 7000 Pression P en hpa 03 898 795 70 63 540 47 40 >>>>>>>> 3 p 47 (x + x 3 = 0 x = ou x = 3) 3) Fonction décrite par sa représentation graphique Définition 6 : Soit f une fonction ont l ensemble de définition est D. Dans un repère (, I, J), la courbe représentative de la fonction f est l ensemble de tous les points de coordonnées (x, f (x)) ou x décrit l ensemble de définition D de la fonction. n notera C la courbe représentative de la fonction f. L équation de cette courbe est y = f (x). Propriété : Dire qu un point M (x ; y) appartient à la courbe représentative d une fonction f signifie que y = f (x) et x D où D est l ensemble de définition de f. Autrement dit : Un point appartient à la courbe représentative d une fonction f si et seulement si son ordonnée est égale à l image de son abscisse par f. Exercice 8 G est la fonction définie sur ] ; + [ par G (x) =. Dans un repère, C est la représentation graphique de G. ) Déterminer les coordonnées des points d intersection C de avec : a) L axe des abscisses ; b) L axe des ordonnées. ) Existe-t-il des points de C qui ont pour ordonnée?
a) Il a pour coordonnées (0 ; G (0)) = (0 ; 3). // b) Ce point a pour ordonnée 0. Il faut donc résoudre G(x) = 0 x 3 = 0 x = 3/. Donc le point cherché a pour coordonnées (3/ ; 0). // ) n résout G (x) = x 3 = x + & x x = 4. Il n existe qu un point de C qui a pour ordonnée : A (4 ; ). Conséquences : Comment déterminer graphiquement l image d un nombre par une fonction? Pour déterminer graphiquement l image d un nombre donné, par une fonction, il faut lire l ordonnée du point de la courbe qui a pour abscisse le nombre donné. Comment déterminer graphiquement l antécédent d un nombre par une fonction? Pour déterminer graphiquement le (ou les) antécédent(s) d un nombre donné, par une fonction, il faut lire la (ou les) abscisses du ou des points de la courbe dont l ordonné est le nombre donné. >>>>>>>, 6 p 47 ( : a) ; A ; D // b) ; A ; D ; E mais 3,7 &,4 ** 6 : a) S = {3} // b) S = {± } // c) S = { 3: 0} // d) S = { 4} e) S = Ø) Exercice 9 Soit f la fonction définie sur l intervalle [, 6] par f (x) = x ² 4 x. a) n construit un tableau de valeurs : x,5 0 0,5,5 3 4 5 6 f (x) 8,5 5 0,75 3 3,75 4 3 0 5 b) Dans un repère (, I,J), après avoir choisi convenablement l unité, on place les points dont les coordonnées sont données dans le tableau et on trace la courbe.
y 8 7 6 5 4 3-0 3 4 5 6 x - - -3-4 Exercice 0 n donne les courbes représentatives des fonctions f et g définies sur ℝ par f (x) = x ² + x 5 et g (x) = x ² + 7. ) Lire graphiquement: a) f ( 4,5) 6,5 b) f ( ) ) Résoudre graphiquement les équations : a) f (x) = 6 ; S = { } b) f (x) = 4 ; d) g (x) = 7 ; S= {0} e) g (x) = 5 ; S = {± 3,5} c) f () 5 S = { 4, ;,} f) g (x) = 0 ; d) g ( ) 3 e) g(0) f) g(3) 7 c) f (x) = 0 ; S = {5} S = {±,7} g) f (x) = g (x). S = { 3; }. y 7 Cf 6 5 4 3-8 -7-6 -5-4 -3 - - 0 3 4 - - -3-4 -5-6 -7 Cg 5 6 7 8 x
Exercice type n donne ci-dessous la représentation graphique d une fonction f ainsi que la représentation graphique d une fonction affine g. ) Résoudre graphiquement sur [ ; 4] les inéquations : a) f (x) 3 ; b) g (x) ; c) g (x) < 4 ; d) f (x) 0 ; a) Par lecture graphique donner l expression de g (x) en fonction de x. b) En utilisant cette expression résoudre dans R l inéquation : g (x) >. e) f (x) g (x) a) S = [0 ; ] // b) S = [ ; ] // c) S = ] ; 4] // d) S = [ ; ] U [3 ; 4] // e) S = [ ; 3] // a) g (x) = x + 3 // b) S = ] ; [ III Résolution graphique d inéquation n a représenté les courbe C f et C g représentant deux fonctions f et g définies sur l intervalle [ 4 ; 4]. C f C f - -3 y = b C g Résoudre l inéquation f (x) > b revient à chercher les nombres qui ont une image supérieure à b. Graphiquement, cela revient à chercher l abscisse des points de la courbe C f situés «au dessus» de la droite d équation y = b. Ici, on a : S = [ 4 ; [ ] ; 4]. Résoudre l inéquation f (x) > g (x) revient à chercher les nombres dont l image par f est supérieure à l image par g. Graphiquement, cela revient à chercher l abscisse des points pour lesquels la courbe C f est au dessus la courbe C g. Ici, on a : S = [ 4 ; 3[ ] ; 4].
Rem : * n en déduit de même que les solutions de f (x) < b (resp : f (x) < g (x)) sont les abscisses des points pour lesquels C f est située en dessous de la droite d équation y = b (resp : C g). * n résout de même les inéquations f (x) b, f (x) b, f (x) g (x) et f (x) g (x). * Les solutions d une inéquation se donnent sous la forme d un intervalle ou d une réunion d intervalles. Exercice n a tracé dans quatre repères les courbes C f, C g, C h et C k qui représentent les fonctions f, g, h et k définies sur [ 4 ; 4]. C g C h C f a) Résoudre graphiquement les inéquations : f (x) 3 g (x) h (x) < 3 k (x) > 4 b) Résoudre graphiquement les équations : f (x) < g (x) 4 h (x) > k (x) a) S = [ ; 3] // S = [ 3 ; 3] // S = ] 3 ; 4] // S = ] 4 ; 3[ U]0 ; 4] // b) S = [ 4 ; 3[ U]3 ; 4] // S = [ 4; ] U [0; 4] // S = [ 4; [ U ] ; [ U ]3; 4] S = [ 4 ; 3] U [ ; ] U {3} Exercice n a tracé dans le même repère les courbes C f, C g et C h qui représentent les fonctions f, g et h, définies sur l intervalle [ 8 ; 8] C k a) Résoudre graphiquement l équation f (x) = g (x). C f b) Résoudre graphiquement l équation f (x) = h (x). c) Résoudre graphiquement l équation g (x) = h (x). C g d) Résoudre graphiquement l inéquation f (x) g (x). e) Résoudre graphiquement l inéquation f (x) < h (x). f) Résoudre graphiquement l inéquation g (x) > h (x). C h a) S = { 7 ; 5 ; 3 ; 6} // b) S = { 7 ; 5 ; 6} // c) S = { 7 ; 5 ; ; 0 ; 6} // d) S = [ 8 ; 7] U [ 5 ; 3] U [6 ; 8] // e) S = ] 7; 5[ U ]6; 8] f) S = [ 8 ; 7[ U ] 5 ; [ U ]0 ; 6[ >>>>>> 0, 3 p 67 (0 : b) S = {0 ; 4} // c) S = [ ; 0 [ ] 4 ; 6] ** 3 : b) f (x) = g (x) ( x)(x 9) = 0 S = { 3; ; 3} c) S = [ 3 ; ] [ 3 ; 4])
Activité 3 n considère un terrain ABCD carré de côté mètres. n enlève à ce terrain un triangle AEF tel que la mesure AE est égale à la mesure DF. n note x la mesure commune de ces deux segments en mètres. n souhaite étudier selon les valeurs de x l aire restante. ) Dans quel intervalle doit se situer la valeur de x? ) Calculer AF en fonction de x, puis l aire du triangle AEF en fonction de x. 3) Déterminer l aire A(x) du terrain après avoir enlevé le triangle AEF. 4) Compléter le tableau ci-dessous donnant les valeurs de A(x) en fonction de x. x 0 3 4 5 6 7 8 9 A(x) 0 5) Dans un repère adapté construire la représentation graphique de la fonction x A (x). 6) Estimer pour quelles valeurs de x, l aire diminue lorsque x augmente. n dira que : Sur l intervalle la fonction x A (x) est Sur l intervalle 7) À l aide du graphique, déterminer pour quelles valeurs de x on a A (x) 30. ) [0 ; ] // ) AF = x => A AEF = x x ² // 3) A BCDFE = x ² x + 44 // 4) A (x) = 44; 33; 4; 7; ; 09; 08; 09; ; 7; 4; 33; 44 6) A (x) diminue si x [0 ; 6] Sur l intervalle [0 ; 6], la fonction x A (x) est décroissante & Sur l intervalle [6 ; ] ], la fonction x A (x) est croissante. 7) S = [0 ;,3] U [0,7 ; ] IV Variations ) Sens de variation la fonction x A (x) est n considère une fonction f définie sur D. Soit I un intervalle de D. La fonction f est croissante sur I signifie que pour tous réels a et b de I : f(b) f(a) Si a b, alors f (a) f (b). b Rem : * Pour une fonction croissante, les images et les antécédents sont rangés dans le même ordre. * Graphiquement, f est croissante sur I si sa courbe représentative «monte» quand x I. La fonction f est décroissante sur I signifie que pour tous réels a et b de I : f(a) Si a b, alors f (a) f (b). f(b) a b Rem : * Pour une fonction décroissante, les images et les antécédents sont rangés en ordre contraire. * Graphiquement, f est décroissante sur I si sa courbe représentative «descend» quand x I. ) Tableau de variation Donner les variations d une fonction signifie préciser les intervalles sur lesquels la fonction est croissante, puis sur lesquels la fonction est décroissante. n résume le sens de variation de la fonction dans un tableau de variation.
Ex : Considérons la fonction f décrite par sa représentation graphique. f est croissante sur [ 3 : ] et sur [5 ; 7] et décroissante sur [ 5 ; 3] et sur [ ; 5]. Le tableau de variation de f est : x 5 3 5 7 4 4 0 f (x) >>>>>>,, 4 p 66 ( : a) croissante sur [ ; ] et décroissante sur [ 3 ; ] et [ ; 3] // b) croissante sur [ 4 ; ] et [0 ; ] et décroissante sinon ** : a) croissante sur [ ; 3] // b) décroissante sur [ 5 ; 4] et [ ; 0] et croissante sur [ 4 ; ] et [0 ; ] ** 4 : a) < et comme h est croissante sur [ ; 0], h ( ) < h ( ) // b) /3 < 3/ et h décroissante sur [0 ; 3] => h (/3) > h (3/) // c) 3,6 < 3,7 et croissance de h sur [3 ; 4] => h (3,6) < h (3,7) // d) idem pour 7/ < 4 => h (7/) < h (4)) Exercice 3 Dresser le tableau de variation de chaque fonction : C g C h C f C k x -4 4 x -4 4 x -4 4 x -4 4 f (x) g h k Rem : n peut aussi se servir des définitions pour montrer les variations d une fonction. Technique : ) n choisit a < b sur un intervalle I. ) n étudie le signe de f (b) f (a) 3) Si f (b) f (a) est positif, alors f (a) < f (b) donc f est croissante sur I. Si f (b) f (a) est négatif, alors f (a) > f (b) donc f est décroissante sur I. Ex : Montrons que la fonction f définie sur R par f (x) = x + 3 est croissante sur R. Si a < b, alors a < b => a + 3 < b + 3 => f (a) < f (b). Exercice 4 : Montrer que la fonction carrée est croissante sur R. Exercice 5 : Montrer que f (x) = est décroissante sur ] ; 0[.
3) Extremum Le maximum d une fonction f sur un intervalle I est la plus grande des images f (x) pour x appartenant à I. Algébriquement, dire que f atteint son maximum en a sur I signifie que pour tout réel x de I, f (x) f (a). Le minimum d une fonction f sur un intervalle I est la plus petite des images f (x) pour x appartenant à I. Algébriquement, dire que f atteint son minimum en a sur I signifie que pour tout réel x de I, f (x) f (a). Ex : Dans le cas précédent, est le minimum de f atteint en x = 5 et 4 est son maximum atteints en x = 5 et x =. >>>>> 5, 7, 8 p 66 (5 : b) f ( 3,9) > f ( 3) ; on ne peut pas comparer f () et f(3,5). ** 6 : a) ; b) ; c) ; a) ; b) 0 ; c) 0 ** 8 : a) f( 3) = 3 ; f( ) = // b) f() = ; f( ) = // c) f() = ; f( ) = ) >>>>> 46, 47 p 74 (46 : a) f( ) = 5 > f () = // b) x ² 0 x + = f (0) // c) f ( 3) = f (3) = 0 ** 47 : a) f est croissante. // a) positifs. b) f (u) f (v) = u + u v v = (u v)(u + v) + (u v) // c) u + v + > 0 // d) Si u v, u v 0 => f (u) f (v) 0 // e) u v => f (u) f (v).)