MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ. Ce polycopié conforme au programme 2012, regroupe des documents distribués aux élèves en cours d année.

MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ Ce polycopié conforme au programme 01, regroupe des documents distribués aux élèves en cours d année. CERTAINS CHAPITRES DU PROGRAMME NE SONT PAS TRAITÉS Année 013-014

Année 013-014 T le ES A. YALLOUZ (MATH@ES)

TABLE DES MATIÈRES I ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE 5 1 Compléments sur les suites 6 I Suites géométriques......................................... 7 II Limite d une suite........................................... 9 III Suites arithmético-géométriques................................... 1 Exercices.................................................. 15 Dérivation, continuité et convexité 1 I Dérivées............................................... II Continuité et équation......................................... 5 III Continuité et équation......................................... 6 IV Convexité............................................... 7 Exercices.................................................. 30 3 Fonction exponentielle 35 Activités : Introduction........................................... 36 I Fonctions exponentielles de base q.................................. 38 II La fonction exponentielle....................................... 39 III Exponentielle d une fonction : exp(u)................................. 43 Exercices.................................................. 44 4 FONCTION LOGARITHME 50 I Fonction logarithme népérien..................................... 51 II Propriétés algébriques........................................ 51 III Étude de la fonction logarithme népérien............................... 5 IV Complément : fonctions exponentielles de base q>0........................ 54 Exercices.................................................. 55 5 PROBABILITÉS DISCRÈTES 65 I Probabilités conditionnelles...................................... 66 II Formule des probabilités totales................................... 67 III Représentation sous forme d un arbre pondéré............................ 68 IV Évènements indépendants...................................... 69 Exercices.................................................. 7 II ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ 80 1 MATRICES 81 Activités : Introduction........................................... 8 I Définitions............................................... 83 II Matrices et opérations........................................ 84 A. YALLOUZ (MATH@ES) 3

Année 013-014 TABLE DES MATIÈRES T le ES III Matrices carrées........................................... 87 Exercices.................................................. 93 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES 99 Activités : Introduction........................................... 100 I Graphes premières définitions.................................... 100 II Chaînes, cycles ; connexité...................................... 107 III Graphes étiquetés et automates................................... 111 Exercices.................................................. 11 3 GRAPHES PONDÉRÉ ET PLUS COURT CHEMIN 118 I Graphe pondéré........................................... 119 II Algorithme de Dijkstra......................................... 10 Exercices.................................................. 1 4 GRAPHES PROBABILISTES 18 Activité................................................... 19 I Définitions............................................... 130 II Évolution d un état au cours du temps................................ 131 Exercices.................................................. 134 Annexe 14 Contrôles 143 Contrôle du 8 septembre 013...................................... 144 Contrôle du 15 octobre 013........................................ 147 Contrôle du 6 novembre 013....................................... 150 Contrôle du 11 janvier 014........................................ 151 Contrôle du 08 février 014........................................ 153 Contrôle du 08 mars 014......................................... 155 Bac blanc du 08 avril 014......................................... 158 Contrôle du 10 mai 014.......................................... 16 A. YALLOUZ (MATH@ES) 4

PREMIÈRE PARTIE ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE A. YALLOUZ (MATH@ES) 5

Chapitre 1 COMPLÉMENTS SUR LES SUITES I Suites géométriques....................................... 7 1 Définition......................................... 7 Propriété 1........................................ 7 3 Propriété........................................ 8 4 Monotonie........................................ 8 5 Somme de termes consécutifs.............................. 8 II Limite d une suite........................................ 9 1 Limite infinie....................................... 9 Limite finie........................................ 10 3 Limites d une suite géométrique............................. 10 III Suites arithmético-géométriques................................ 1 1 Définition......................................... 1 Étudier une suite arithmético-géométrique........................ 1 Exercices................................................ 15 A. YALLOUZ (MATH@ES) 6

Année 013-014 COMPLÉMENTS SUR LES SUITES T le ES I SUITES GÉOMÉTRIQUES 1 DÉFINITION Dire qu une suite (u n ) est géométrique signifie qu il existe un nombre réel q non nul tel que, pour tout entier n, u n+1 = qu n Le réel q est appelé la raison de la suite géométrique. ÉVOLUTION EN POURCENTAGE Augmenter une grandeur de t% équivaut à multiplier sa valeur par 1+ t 100. Diminuer une grandeur de t% équivaut à multiplier sa valeur par 1 t 100. Chaque fois qu on est confronté à une situation d évolutions successives d une grandeur de t%, on peut définir une suite géométrique de raison 1+ t t (augmentation) ou 1 100 100 (diminution) EXEMPLES 1. Un capital de 000 C est placé au taux d intérêt composé de 1,5% par an. On note C n le capital disponible au bout de n années alors : ( C n+1 = 1+ 1,5 ) C n = 1,015 C n 100 Ainsi, la suite (C n ) est une suite géométrique de premier terme C 0 = 000 et de raison q=1,015.. Pour lutter contre la pollution, un groupe industriel décide de réduire progressivement sa quantité de rejets de 4% par an. En 01, la quantité de rejets était de 50 000 tonnes. On note r n la quantité de rejets l année 01+n d où : ( r n+1 = 1 4 ) r n = 0,96 r n 100 Ainsi, la suite (r n ) est une suite géométrique de premier terme r 0 = 50000 et de raison 0,96. PROPRIÉTÉ 1 Soit (u n ) une suite géométrique de raison q et de premier terme u 0 alors pour tout entier n, EXEMPLE u n = u 0 q n L objectif du groupe industriel est de réduire progressivement la quantité de rejets pour atteindre une quantité inférieure ou égale à 30 000 tonnes (soit une réduction de 40%). Cet objectif sera-t-il atteint au bout de 10 ans? Au bout de 10 ans, la quantité de rejets est de : r 10 = 50000 0,96 10 334 Avec un réduction de 4 % par an, en 0 l objectif du groupe industriel ne sera pas atteint. A. YALLOUZ (MATH@ES) 7

Lycée JANSON DE SAILLY Année 013-014 COMPLÉMENTS SUR LES SUITES T le ES 3 PROPRIÉTÉ Si(u n ) une suite géométrique de raison q alors pour tout entier n et pour tout entier p, u n = u p q n p 4 MONOTONIE Soit (u n ) une suite géométrique de raison q et de premier terme u 0 donc : u n+1 u n = u 0 q n+1 u 0 q n = u 0 q n (q 1) La monotonie de la suite dépend du signe de u 0, q n et (q 1) Si q<0 alors q n est positif pour n pair, négatif pour n impair donc la suite n est pas monotone. Si q>0 alors la suite est monotone, croissante ou décroissante selon le signe du produit u 0 (q 1). Si q>1 Si 0<q<1 Si u 0 > 0, alors la suite (u n ) est croissante Si u 0 < 0, alors la suite (u n ) est décroissante Si u 0 > 0, alors la suite (u n ) est décroissante Si u 0 < 0, alors la suite (u n ) est croissante u n 1 3 4 5 6 7 n u n 1 3 4 5 6 7 n u n 1 3 4 5 6 7 n u n 1 3 4 5 6 7 n Nous pouvons en déduire les deux théorèmes suivants THÉORÈME 1 Soit q un réel non nul. Si q<0 alors la suite (q n ) n est pas monotone. Si q>1 alors la suite (q n ) est strictement croissante. Si 0<q<1 alors la suite (q n ) est strictement décroissante. Si q=1 alors la suite (q n ) est constante. THÉORÈME Soit (u n ) une suite géométrique de raison q non nulle et de premier terme u 0 non nul Si q<0 alors la suite (u n ) n est pas monotone. Si q>0 et u 0 > 0 alors la suite (u n ) a le même sens de variation que la suite (q n ). Si q>0 et u 0 < 0 alors la suite (u n ) a le sens de variation contraire de celui de la suite (q n ). 5 SOMME DE TERMES CONSÉCUTIFS Soit (u n ) une suite géométrique de raison q 1 et de premier terme u 0 alors pour tout entier n, u 0 + u 1 + + u n = n i=0 ( 1 q n+1) u i = u 0 1 q A. YALLOUZ (MATH@ES) 8

Lycée JANSON DE SAILLY Année 013-014 COMPLÉMENTS SUR LES SUITES T le ES Cette formule peut se retenir de la façon suivante : La somme S de termes consécutifs d une suite géométrique de raison q 1 est : S=premier terme 1 qnombre de termes 1 q II LIMITE D UNE SUITE On étudie le comportement d une suite (u n ) quand n prend de grandes valeurs. 1 LIMITE INFINIE DÉFINITION On dit qu une suite (u n ) admet une limite égale à + quand n tend vers + si pour tout nombre réel A strictement positif, tous les termes de la suite sont supérieurs à A à partir d un certain rang p. On écrit : lim u n =+ n + Concrètement, une suite (u n ) tend vers + si u n est aussi grand que l on veut dès que n est suffisamment grand. INTERPRÉTATION GRAPHIQUE On a représenté ci-dessous une suite (u n ) ayant une limite égale à+ u n A p n Pour tout entier n p, u n > A. p est le seuil à partir duquel u n > A DÉFINITION On dit qu une suite (u n ) admet une limite égale à quand n tend vers + si pour tout nombre réel A strictement négatif, tous les termes de la suite sont inférieurs à A à partir d un certain rang p. On écrit : lim u n = n + A. YALLOUZ (MATH@ES) 9

Lycée JANSON DE SAILLY Année 013-014 COMPLÉMENTS SUR LES SUITES T le ES LIMITE FINIE DÉFINITION Soit (u n ) une suite définie sur N et l un réel. 1. Dire que la suite (u n ) admet pour limite le réel l signifie que tout intervalle ouvert de la forme ]l r;l+r[ contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang p. On écrit : lim u n =l n +. Une suite qui admet pour limite un réel l est dite convergente. Autrement dit, une suite (u n ) est convergente vers un réel l si tous les termes de la suite à partir d un certain rang p peuvent être aussi proches que voulu del. INTERPRÉTATION GRAPHIQUE Si on représente la suite convergente par un nuage de points dans un repère, à partir d un certain rang p, tous les points sont dans la bande délimitée par les droites d équation y=l r et y=l+r. u n l+r l l r Le rang p est le seuil à partir duquel «u n est à une distance de l inférieure à r» p n PROPRIÉTÉ La suite (u n ) converge vers un réel l si, et seulement si, la suite (u n ) l est convergente vers un 0. REMARQUE Une suite peut ne pas admettre de limite. Par exemple la suite de terme général ( 1) n prend alternativement les valeurs 1 et 1. Elle n admet pas de limite. 3 LIMITES D UNE SUITE GÉOMÉTRIQUE THÉORÈME (admis) Soit q un réel strictement positif : Si 0<q<1 alors la suite géométrique de terme général q n converge vers 0 : lim n + qn = 0. Si q=1 alors la suite géométrique de terme général q n est constante et sa limite est 1. Si q>1 alors la suite géométrique de terme général q n a pour limite + : lim n + qn =+. A. YALLOUZ (MATH@ES) 10

Année 013-014 COMPLÉMENTS SUR LES SUITES T le ES COROLLAIRE Soit (u n ) une suite géométrique de premier terme u 0 non nul et de raison q strictement positive. Si 0<q<1 alors la suite (u n ) converge et lim n + u n = 0. Si q=1 alors la suite (u n ) est constante et égale à u 0. Si q>1 alors la suite (u n ) admet une limite infinie avec : lim u n = si u 0 < 0 et lim u n =+ si u 0 > 0 n + n + RECHERCHE D UN SEUIL À L AIDE D UN ALGORITHME EXEMPLE 1 Soit (r n ) la suite géométrique de raison 0,96 et de premier terme r 0 = 50000 Comme 0<0,96<1 la suite (r n ) est décroissante et converge vers 0 : lim n + 50000 0,96n = 0. L algorithme suivant permet d obtenir le seuil à partir duquel le terme général de la suite est inférieur à 30 000. C est à dire déterminer le plus petit entier p tel que pour tout entier n p, 50000 0,96 n 30000 INITIALISATION : A=50000 ; I = 0; TRAITEMENT : TANT_QUE A > 30000 FAIRE I prend la valeur I+ 1 ; A prend la valeur 0,96 A ; FIN TANT_QUE SORTIE : Afficher I PROGRAMME TEXAS CASIO PROGRAM : SEUIL ===== SEUIL ===== : 50000 A 50000 A : 0 I 0 I : While A > 30000 While A > 30000 : I + 1 I I + 1 I : 0.96*A A 0.96*A A : End WhileEnd : Disp I I Initialisation : A=50000 I = 0 Traitement : Tant que la condition A>30000 est vraie, on effectue la suite d instructions situées à l intérieur de la boucle "TANT_ QUE" et "FIN TANT_ QUE" A > 30 000? VRAI VRAI VRAI VRAI FAUX I = 1 A=48000 I = A=46080 I = 13 A= 9410,... SORTIE BOUCLE TANT QUE Sortie : La calculatrice affiche 13. Donc pour tout entier n 13, 50000 0,96 n 30000. EXEMPLE Soit (u n ) la suite géométrique de raison 1,015 et de premier terme u 0 = 000 1,015> 1 et u 0 > 0 donc la suite (u n ) est croissante et lim n + 000 1,015n =+. L algorithme suivant permet d obtenir le seuil à partir duquel le terme général de la suite est supérieur à 3 000. C est à dire déterminer le plus petit entier p tel que pour tout entier n p, 000 1,015 n > 3000 A. YALLOUZ (MATH@ES) 11

Année 013-014 COMPLÉMENTS SUR LES SUITES T le ES INITIALISATION : A=000 ; I = 0; TRAITEMENT : TANT_QUE A 3000 FAIRE I prend la valeur I+ 1 ; A prend la valeur 1,015 A ; FIN TANT_QUE SORTIE : Afficher I La calculatrice affiche 8. Donc pour tout entier n 8, 000 1,015 n > 3000. III SUITES ARITHMÉTICO-GÉOMÉTRIQUES 1 DÉFINITION Soit a et b deux réels. La suite (u n ) définie pour tout entier n, par la relation de récurrence u n+1 = au n + b et de terme initial u 0 est une suite arithmético-géométrique REMARQUE Si a=1 la suite est arithmétique. Si b=0 la suite est géométrique. Dans les autres cas, la suite n est ni arithmétique ni géométrique. ÉTUDIER UNE SUITE ARITHMÉTICO-GÉOMÉTRIQUE Soit a et b deux réels tels que a 1 et b 0. (u n ) la suite définie par u 0 et pour tout entier n, u n+1 = au n + b. REPRÉSENTATION GRAPHIQUE On trace la courbe représentative de la fonction affine f : x ax + b et la droite d équation y = x a<0 a>0 y y y=ax+b 1 y=ax+b 0 1 u 1 u 3 u 5 u 7 α u 8 u 6 u 4 u u 0 x 0 1 u 0 u 1 u u 3 u 4 u 5 u 6 α x Le graphique permet d obtenir un certain nombre de conjectures à propos de la monotonie ou de la convergence de la suite. UNE SUITE AUXILIAIRE Si une suite arithmético-géométrique définie par une relation de récurrence du type u n+1 = au n +b est convergente, alors sa limite est l unique solution de l équation ax+b=x. Soit x= b avec a 1. 1 a A. YALLOUZ (MATH@ES) 1 1

Année 013-014 COMPLÉMENTS SUR LES SUITES T le ES Soit (v n ) la suite définie pour tout entier n, par v n = u n b 1 a. Montrons que la suite (v n) est une suite géométrique. En effet, pour tout entier n, v n+1 = u n+1 b 1 a = au n + b b 1 a = au n ab ( 1 a = a u n b ) 1 a Ainsi, pour tout entier n, v n = a v n donc (v n ) est une suite géométrique de raison a. Par conséquent, pour tout entier n, v n = v 0 a n avec v 0 = u 0 b 1 a. On en déduit que pour tout entier n, u n = v 0 a n + b 1 a EXEMPLE Chloé dépose 1000 C sur un compte d épargne rémunéré au taux mensuel de 0,% et choisit d y ajouter à la fin de chaque mois la somme de 50 C. On note u n le montant, en euros, du capital acquis au bout de n mois. 1. Exprimer u n+1 en fonction de u n. Le coefficient multiplicateur associé à un taux d intérêt de 0,% est 1,00. Donc pour tout entier n, u n+1 = 1,00 u n + 50. Soit (v n ) la suite définie pour tout entier n, par v n = u n + 15000. Montrer que v n est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. Pour tout entier n, v n+1 = u n+1 + 15000 = 1,00 u n + 1550 = 1,00 (u n + 15000) = 1,00 v n Ainsi, (v n ) est une suite géométrique de raison 1,00 et de premier terme v 0 = 1000+15000 = 16000. 3. Exprimer u n en fonction de n. (v n ) est une suite géométrique de raison 1,00 et de premier terme v 0 = 16000 donc pour tout entier n, v n = 16000 1,00 n. Donc pour tout entier n, u n = 16000 1,00 n 15000. 4. Étude de la suite (u n ). a) Variation Pour tout entier n, u n = 16000 1,00 n 15000. Donc pour tout entier n, u n+1 u n = ( 16000 1,00 n+1 15000 ) (16000 1,00 n 15000) = 16000 1,00 n+1 16000 1,00 n = 16000 1,00 n (1,00 1) = 5 1,00 n D où u n+1 u n > 0. Par conséquent, la suite (u n ) est strictement croissante. b) Limite Comme 1,00 > 1, lim n + 1,00n =+ donc lim n + 16000 1,00n 15000=+. A. YALLOUZ (MATH@ES) 13

Année 013-014 COMPLÉMENTS SUR LES SUITES T le ES c) Combien de mois sont nécessaires pour que le montant du capital disponible dépasse 15000 C? On cherche à déterminer le plus petit entier n 0 tel que pour tout entier n n 0, u n > 15000. L algorithme suivant permet d obtenir le seuil à partir duquel le terme général de la suite (u n ) est supérieur à 15000. A=1000 ; I = 0; TANT_QUE A 15000 FAIRE I prend la valeur I+ 1 ; A prend la valeur 1,00 A+50 ; FIN TANT_QUE Afficher I La calculatrice affiche 53. Donc le capital disponible dépassera 15000 C au bout de 53 mois. A. YALLOUZ (MATH@ES) 14

Année 013-014 COMPLÉMENTS SUR LES SUITES T le ES EXERCICE 1 (u n ) est une suite arithmétique de raison a, déterminer l entier k, s il existe, dans chacun des cas suivants : 1. u 1 = 34, a=1,5 et u k = 1. u 10 = 64, u 5 = 14 et u k = 114. EXERCICE (u n ) est une suite géométrique de raison q strictement positive, déterminer l entier p dans chacun des cas suivants : 1. u 6 = 4, q= 1 et u p = 1 4. u 3 = 16, u 7 = 1 et u p = 1 8. EXERCICE 3 Soit (u n ) la suite définie par : u 0 = 16 et pour tout entier naturel n, u n+1 = 0,75 u n. 1. a) Quelle est la nature de la suite (u n )? b) Exprimer, pour tout entier naturel n, u n en fonction de n. c) Étudier la monotonie de la suite (u n ). d) On note S n la somme des n+1 premiers termes de la suite u n. Calculer S 4.. On a tracé ci-dessous dans un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction f définie pour tout réel x par f(x)=0,75x et la droite D d équation y=x. y D A1 M 1 1 0 1 u 1 u 0 x A. YALLOUZ (MATH@ES) 15

Année 013-014 COMPLÉMENTS SUR LES SUITES T le ES a) Construire sur le graphique les termes de la suite u, u 3,,u 11. b) Que peut-on conjecturer à propos de la limite de la suite (u n )? 3. À l aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier n tel que u n 0,1. 4. Montrer que pour tout entier n, S n = 64 ( 1 0,75 n+1). Vers quel réel tend S n quand n tend vers +? EXERCICE 4 Soit (u n ) la suite géométrique définie par : u 0 = 1 et pour tout entier naturel n, u n+1 = 8 5 u n. 1. a) Exprimer, pour tout entier naturel n, u n en fonction de n. b) Étudier le sens de variation de la suite (u n ).. a) Utiliser les droites d équations y=x et y=1,6x pour construire les huit premiers termes de la suite(u n ). y 1 0 1 x b) Que peut-on conjecturer à propos de la limite de la suite (u n )? 3. À l aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier n tel que u n 5000. 4. On note S la somme des n premiers termes de la suite u n. a) Montrer que pour tout entier n, S= 5(1,6n 1). 6 b) Vers quel réel tend S quand n tend vers +? A. YALLOUZ (MATH@ES) 16

Année 013-014 COMPLÉMENTS SUR LES SUITES T le ES EXERCICE 5 (D après sujet bac Antilles Guyane 013) 1. L algorithme ci-dessous permet de calculer les termes successifs d une suite que l on appellera (u n ). Entrée : Traitement : Sortie : Saisir la valeur de l entier naturel n Affecter à la variable u Pour i variant de 1 à n Affecter 1,5u à u Fin de Pour Afficher u Quelles valeurs affiche cet algorithme lorsque l on saisit n = 1, puis n = et enfin n = 3?. On considère la suite (u n ) définie par u 0 = et, pour tout entier naturel n, u n+1 = 1,5u n. a) Quelle est la nature de la suite (u n )? Préciser ses éléments caractéristiques. b) Pour tout entier naturel n, donner l expression du terme u n en fonction de n. 3. On considère la suite (S n ) définie pour tout entier naturel n par : S n = n k=0 a) Calculer les valeurs des termes S 0, S 1 et S. u k = u 0 + u 1 + u +...+u n. b) Quelles modifications doit-on faire à l algorithme précédent pour qu il affiche la valeur du terme S n pour un n donné? Écrire ce nouvel algorithme sur sa copie. c) Calculer le terme S n en fonction de l entier naturel n. d) En déduire la limite de la suite (S n ). EXERCICE 6 (D après sujet bac Polynésie 013) On considère la suite numérique (u n ) définie par : u 0 = 8 et, pour tout entier naturel n, u n+1 = 0,4u n + 3. 1. Calculer u 1 et u. On utilise un tableur pour calculer les premiers termes de cette suite. Une copie d écran sur laquelle les termes u 1 et u ont été effacés est donnée ci-dessous. A B 1 n u(n) 0 8 3 1 4 5 3 5,19 6 4 5,076 81 7 5 5,030 7 8 6 5,01 88 9 7 5,004 915 10 8 5,001 966 08 11 9 5,000 786 43 1 10 5,000 314 57 A. YALLOUZ (MATH@ES) 17

Année 013-014 COMPLÉMENTS SUR LES SUITES T le ES. Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule B3 de la feuille de calcul afin d obtenir les premiers termes de cette suite par recopie vers le bas? 3. En utilisant cette copie d écran, que peut-on conjecturer sur la limite de la suite (u n )? 4. On considère l algorithme suivant : Les variables sont l entier naturel N et le réel U. Initialisation : Affecter à N la valeur 0 Affecter à U la valeur 8 Traitement : TANT QUE U 5>0,01 Affecter à N la valeur N + 1 Affecter à U la valeur 0,4U+3 Fin TANT QUE Sortie : Afficher N Par rapport à la suite (u n ), quelle est la signification de l entier N affiché? 5. On considère la suite (v n ) définie pour tout entier naturel n, par v n = u n 5. a) Démontrer que la suite (v n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. b) Exprimer v n en fonction de n. c) Déterminer la limite de la suite (v n ). d) Le résultat précédent permet-il de valider la conjecture faite à la question 3? Pourquoi? EXERCICE 7 Soit (u n ) la suite définie par : u 0 = 5500 et pour tout entier naturel n, u n+1 = 0,68 u n + 3560. 1. a) Utiliser les droites d équations y = x et y = 0,68x + 3560 pour construire les quatre premiers termes de la suite (u n ). y 11000 10000 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 000 1000 1000 000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 1000 13000 x A. YALLOUZ (MATH@ES) 18

Année 013-014 COMPLÉMENTS SUR LES SUITES T le ES Conjecturer le sens de variation de la suite (u n ) ainsi que la limite de la suite (u n ). b) Quel est le rôle de l algorithme suivant? A=5500 ; k=0; TANT_QUE A < 11000 FAIRE k prend la valeur k+1 ; A prend la valeur 0,68 A+3560 ; FIN TANT_QUE SORTIES : Afficher k;. Soit (v n ) la suite définie pour tout entier naturel n, par v n = u n 1115. a) Démontrer que (v n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. b) Exprimer, pour tout entier naturel n, v n en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n, u n = 1115 565 0,68 n. c) La suite (u n ) est-elle convergente? EXERCICE 8 Une revue spécialisée est diffusée uniquement par abonnement. En 010, il y avait 40 mille abonnés à cette revue. Depuis cette date, on a remarqué que chaque année 85 % des abonnés renouvellent leur abonnement et 1 mille nouvelles personnes souscrivent un abonnement. On note a n le nombre de milliers d adhérents pour l année 010+n ; on a donc a 0 = 40. 1. Pour tout entier naturel n, exprimer a n+1 en fonction de a n.. On considère l algorithme suivant : Variables : n et S sont des entiers naturels A est un réel. Entrée : Demander à l utilisateur la valeur de S Initialisation : Affecter à n la valeur 0 Affecter à A la valeur 40 Traitement : Tant_que A S : Affecter à n la valeur n+1 Affecter à A la valeur 0,85 A+1 Fin Tant_que Sortie : Afficher n L utilisateur saisit en entrée le nombre S = 65. Recopier et compléter le tableau suivant autant que nécessaire en arrondissant les résultats au millième près. Quel nombre obtient-on en sortie? Interpréter ce résultat. n 0 1... A 40... Test A S Vrai... 3. Soit la suite (u n ) définie par u n = a n 80 pour tout n 0. a) Montrer que la suite (u n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. b) Démontrer que, pour tout entier naturel n, a n = 80 40 0,85 n. c) Selon ce modèle, le directeur de cette revue peut-il envisager de la diffuser à 90 mille exemplaires? A. YALLOUZ (MATH@ES) 19

Année 013-014 COMPLÉMENTS SUR LES SUITES T le ES EXERCICE 9 (D après sujet bac Amérique du Nord 013) La bibliothèque municipale étant devenue trop petite, une commune a décidé d ouvrir une médiathèque qui pourra contenir 100 000 ouvrages au total. Pour l ouverture prévue le 1 er janvier 013, la médiathèque dispose du stock de 35 000 ouvrages de l ancienne bibliothèque augmenté de 7 000 ouvrages supplémentaires neufs offerts par la commune. PARTIE A Chaque année, la bibliothécaire est chargée de supprimer 5 % des ouvrages, trop vieux ou abîmés, et d acheter 6 000 ouvrages neufs. On appelle u n le nombre, en milliers, d ouvrages disponibles le 1 er janvier de l année (013+n). On donne u 0 = 4. 1. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a u n+1 = u n 0,95+6.. On propose, ci-dessous, un algorithme, en langage naturel. Expliquer ce que permet de calculer cet algorithme. VARIABLES U, N INITIALISATION Mettre 4 dans U Mettre 0 dans N TRAITEMENT Tant que U < 100 U prend la valeur U 0,95+ 6 N prend la valeur N+ 1 Fin du Tant que SORTIE Afficher N 3. À l aide de votre calculatrice, déterminer le résultat obtenu grâce à cet algorithme. PARTIE B La commune doit finalement revoir ses dépenses à la baisse, elle ne pourra financer que 4 000 nouveaux ouvrages par an au lieu des 6 000 prévus. On appelle v n le nombre, en milliers, d ouvrages disponibles le 1 er janvier de l année (013+n). 1. Identifier et écrire la ligne qu il faut modifier dans l algorithme pour prendre en compte ce changement.. On considère la suite (w n ) définie, pour tout entier n, par w n = v n 80. Montrer que (w n ) est une suite géométrique de raison q=0,95 et préciser son premier terme w 0. 3. a) Exprimer, pour tout entier naturel n, w n en fonction de n. b) Déterminer la limite de (w n ). c) En déduire la limite de(v n ). Interpréter ce résultat. A. YALLOUZ (MATH@ES) 0

Chapitre DÉRIVATION, CONTINUITÉ ET CONVEXITÉ I Dérivées.............................................. 1 Tangente à une courbe.................................. Dérivées des fonctions de référence........................... 3 Dérivées et opérations.................................. 4 Dérivée et variations d une fonction........................... 3 II Continuité et équation...................................... 5 1 Notion de continuité................................... 5 Propriétés......................................... 5 III Continuité et équation...................................... 6 1 Théorème des valeurs intermédiaires........................... 6 Théorème de la valeur intermédiaire........................... 6 IV Convexité............................................. 7 1 Fonction convexe, fonction concave........................... 7 point d inflexion..................................... 8 Exercices................................................ 30 A. YALLOUZ (MATH@ES) 1

Lycée JANSON DE SAILLY Année 013-014 DÉRIVATION, CONTINUITÉ ET CONVEXITÉ T le ES I DÉRIVÉES 1 TANGENTE À UNE COURBE y Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en a où a est un réel de I, et C f sa courbe représentative dans un repère du plan. La droite passant par le point A(a; f(a)) de la courbe C f et de coefficient directeur f (a) est appelée la tangente à la courbe C f au point d abscisse a. f(a) j 0 i a x A Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en a où a est un réel de I, et C f sa courbe représentative dans un repère du plan. L équation réduite de la tangente à la courbe C f au point A d abscisse a est : y= f (a) (x a)+ f(a) DÉRIVÉES DES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE f définie sur... f(x) f (x) f dérivable sur... R k 0 R R ax+b a R R x n nx n 1 R pour n entier n R 1 x R 1 x n [0; + [ 1 x n x n+1 x 1 x R R pour n entier n 1 ]0; + [ 3 DÉRIVÉES ET OPÉRATIONS u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I : (u+v) = u + v (ku) = k u (uv) = u v+uv Si n est un entier non nul, (u n ) = nu n 1 u en particulier ( u ) = uu Si la fonction v ne s annule pas sur l intervalle I (si v(x) 0 sur I) ( ) 1 = v v v ( u u = v) v uv v A. YALLOUZ (MATH@ES)

Lycée JANSON DE SAILLY Année 013-014 DÉRIVATION, CONTINUITÉ ET CONVEXITÉ T le ES 4 DÉRIVÉE ET VARIATIONS D UNE FONCTION THÉORÈME 1 Soit f une fonction dérivable et monotone sur un intervalle I de R. Si f est constante sur I, alors pour tout réel x appartenant à I, f (x)= 0. Si f est croissante sur I, alors pour tout réel x appartenant à I, f (x) 0. Si f est décroissante sur I, alors pour tout réel x appartenant à I, f (x) 0. Le théorème suivant, permet de déterminer les variations d une fonction sur un intervalle suivant le signe de sa dérivée. THÉORÈME Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de R et f la dérivée de f sur I. Si f est nulle sur I, alors f est constante sur I. Si f est strictement positive sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s annule, alors f est strictement croissante sur I. Si f est strictement négative sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s annule, alors f est strictement décroissante sur I. THÉORÈME 3 Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I de R et x 0 un réel appartenant à I. 1. Si f admet un extremum local en x 0, alors f (x 0 )=0.. Si la dérivée f s annule en x 0 en changeant de signe, alors f admet un extremum local en x 0. x a x 0 b f (x) f(x) 0 + minimum x a x 0 b f (x) + f(x) 0 maximum REMARQUES 1. Dans la proposition. du théorème 3 l hypothèse en changeant de signe est importante. Considérons la fonction cube définie sur R par f(x)=x 3 qui a pour dérivée la fonction f définie sur R par f (x)=3x. f (0)=0 et pour tout réel x non nul, f (x)>0. La fonction cube est strictement croissante sur R et n admet pas d extremum en 0. y 0 x. Une fonction peut admettre un extremum local en x 0 sans être nécessairement dérivable. y Considérons la fonction valeur absolue { f définie sur R par f(x) = x. x si x 0 f est définie sur R par : f(x)= x si x<0. f admet un minimum f(0) = 0 or f n est pas dérivable en 0. 0 x A. YALLOUZ (MATH@ES) 3

Année 013-014 DÉRIVATION, CONTINUITÉ ET CONVEXITÉ T le ES EXEMPLE : ÉTUDE D UNE FONCTION Soit f la fonction définie sur R par f(x)=1 4x 3 x + 1. 1. Calculer f (x). Sur R f est dérivable comme somme et quotient de deux fonctions dérivables. f = 1 u v d où f = u v uv v. Avec pour tout réel x, Soit pour tout réel x, u(x)=4x 3 d où u (x)=4 v(x)=x + 1 d où v (x)=x f (x)= 4(x + 1) x(4x 3) (x + 1) = 4x + 4 8x + 6x (x + 1) = 4x 6x 4 (x + 1) Ainsi, f est la fonction définie sur R par f (x)= 4x 6x 4 (x + 1). Étudier les variations de la fonction f Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. Étudions le signe de f (x)= 4x 6x 4 (x + 1) : Pour tout réel x, (x + 1) > 0. Par conséquent, f (x) est du même signe que le polynôme du second degré 4x 6x 4 avec a=4, b= 6 et c= 4. Le discriminant du trinôme est =b 4ac Soit Comme >0, le trinôme admet deux racines : =( 6) 4 4 ( 4)=100 x 1 = b a et x = b+ a Soit x 1 = 6 10 8 Soit x = 6+10 8 = 1 = Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe de f (x) suivant les valeurs du réel x ansi que les variations de la fonction f : x 1 + f (x) + 0 0 + f(x) 5 0 A. YALLOUZ (MATH@ES) 4

Lycée JANSON DE SAILLY Année 013-014 DÉRIVATION, CONTINUITÉ ET CONVEXITÉ T le ES II CONTINUITÉ ET ÉQUATION 1 NOTION DE CONTINUITÉ Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R. Dire que f est continue sur I signifie que sa courbe représentative peut être tracée en un seul morceau (la courbe ne présente aucun saut, aucun trou). EXEMPLE ET CONTRE-EXEMPLE Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I. On note C f la courbe représentative de la fonction f et A le point de la courbe C f d abscisse a. Pour tout réel x de l intervalle I, on considère le point M de la courbe C f d abscisse x y y f(x) M f(x) M f(a) A f(a) A O x a x O x a x C f C f La fonction f est continue. Pour tout réel a de I, on peut rendre f(x) aussi proche que l on veut de f(a) pourvu que x soit suffisamment proche de a. La fonction f n est pas continue en a. La courbe C f présente un saut au point d abscisse a. Le point M n est pas proche du point A quand x est proche de a. PROPRIÉTÉS THÉORÈME (admis) Toute fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur cet intervalle. REMARQUE La réciproque du théorème est fausse : Une fonction peut être continue en un réel a sans être dérivable en ce réel. Par exemple la fonction valeur absolue f définie sur R par f(x) = x est contine en 0 mais n est pas dérivable en 0. y 0 x CONSÉQUENCES On admettra les deux propriétés suivantes : 1. Les fonctions de référence (affines, carré, cube, inverse, racine carrée) sont continues sur tout intervalle où elles sont définies.. Toute fonction construite algébriquement (somme, produit, inverse, quotient ou composée) à partir de fonctions de référence est continue sur tout intervalle où elle est définie. A. YALLOUZ (MATH@ES) 5

Lycée JANSON DE SAILLY Année 013-014 DÉRIVATION, CONTINUITÉ ET CONVEXITÉ T le ES III CONTINUITÉ ET ÉQUATION 1 THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIAIRES THÉORÈME (admis) Si f est une fonction définie sur un intervalle I et continue sur I alors elle vérifie la propriété suivante : quels que soient les réels a et b de l intervalle I, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l équation f(x) = k admet au moins une solution c appartenant à[a;b]. Ce théorème résulte du fait que l image d un intervalle de R par une fonction continue est un intervalle de R. f est continue sur I f n est pas continue sur I y y f(a) f(b) a k 0 x f(a) b a m k m f(b) 0 x b L image de l intervalle [a;b] est un intervalle. Tout réel k compris entre f(a) et f(b) est l image d au moins un élément de [a;b]. L image de l intervalle [a;b] n est pas un intervalle. Il existe des réels k compris entre f(a) et f(b) pour lesquels l équation f(x) = k n a pas de solution. THÉORÈME DE LA VALEUR INTERMÉDIAIRE COROLLAIRE Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et a, b deux réels appartenant à I, a<b. Si f est continue et strictement monotone sur [a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l équation f(x) = k admet une solution unique c appartenant à[a; b]. Démonstration Soit k un réel compris entre f(a) et f(b) 1. Existence Par hypothèse, f est continue sur [a; b] alors d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation f(x) = k admet au moins une solution c appartenant à[a; b].. Unicité Supposons que l équation f(x)=k admette deux solutions distinctes c 1 et c appartenant à[a;b] Par hypothèse, f est strictement monotone sur [a;b] alors c 1 c f (c 1 ) f (c ) Ce qui aboutit à une contradiction puisque f (c 1 )= f (c )=k Donc c 1 = c, ce qui prouve que l équation f(x)=k admet une solution unique dans [a;b] REMARQUES 1. Si f est continue et strictement monotone sur [a;b] et f(a) f(b)<0, alors l équation f(x)=0 admet une solution unique dans [a; b]. Le théorème s applique aussi lorsque f est continue et strictement monotone sur un intervalle de la forme [a;b[, ]a;b], ]a;b[,[a;+ [, ]a;+ [,] ;b] ou ] ;b[. A. YALLOUZ (MATH@ES) 6

Année 013-014 DÉRIVATION, CONTINUITÉ ET CONVEXITÉ T le ES IV CONVEXITÉ 1 FONCTION CONVEXE, FONCTION CONCAVE DÉFINITIONS Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et C f sa courbe représentative. Dire que la fonction f est convexe sur I signifie que la courbe C f est située entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes. Dire que la fonction f est concave sur I signifie que la courbe C f est située entièrement au-dessous de chacune de ses tangentes. EXEMPLES C f y y C f convexe convexe O x concave O x La fonction carré x x est convexe. La fonction inverse x 1 est concave sur] ;0[ et x convexe sur ]0; + [ REMARQUE Intuitivement, quels que soient les points A et B de la courbe C f Si le segment [AB] est au-dessus de la courbe alors f est convexe. Si le segment [AB] est au-dessous de la courbe alors f est concave. y y f(b) B f(b) B A f(a) A f(a) a O b x a O b x f est convexe. f est concave A. YALLOUZ (MATH@ES) 7

Année 013-014 DÉRIVATION, CONTINUITÉ ET CONVEXITÉ T le ES THÉORÈME (admis) Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. f est convexe sur I si, et seulement si, sa fonction dérivée f est croissante sur I. f est concave sur I si, et seulement si, sa fonction dérivée f est décroissante sur I. CONSÉQUENCE On note f la dérivée seconde de la fonction f, c est à dire la dérivée de la dérivée f. Si la dérivée seconde est positive alors la fonction f est convexe. Si la dérivée seconde est négative alors la fonction f est concave. EXEMPLE Soit f la fonction définie sur R par f(x)=x 5 5x 4. Sa dérivée est la fonction f définie sur R par f (x)=5x 4 0x 3. Sa dérivée seconde est la fonction f définie sur R par f (x)=0x 3 60x = 0x (x 3) Les variations de f se déduisent du signe de sa dérivée f. Notons que 0x 0 donc f (x) est du même signe que x 3. D où le tableau : x 3 + signe de f (x) 0 + variations de f convexité de f CONCAVE CONVEXE f est concave sur ] ; 3] et convexe sur [3; + [. POINT D INFLEXION DÉFINITION Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et C f sa courbe représentative. S il existe un point A de la courbe C f tel que la courbe traverse sa tangente en ce point, alors on dit que A est un point d inflexion. EXEMPLE La courbe représentative de la fonction cube définie sur R par f(x) = x 3 admet comme point d inflexion l origine O(0; 0) du repère. Soit C f la courbe représentative de la fonction cube. y La tangente au point O à la courbe C f est l axe des abscisses d équation y=0. Pour x 0, f(x) 0 donc la courbe C f est au dessous de la tangente en O sur ] ;0]. Pour x 0, f(x) 0 donc la courbe C f est au dessus de la tangente en O sur [0;+ [. La courbe C f traverse sa tangente en O donc O(0;0) est un point d inflexion. A. YALLOUZ (MATH@ES) 8 O x

Lycée JANSON DE SAILLY Année 013-014 DÉRIVATION, CONTINUITÉ ET CONVEXITÉ T le ES CONSÉQUENCES En un point d inflexion la courbe traverse sa tangente : cela signifie que la fonction change de convexité. Si la dérivée f change de sens de variation en a alors la courbe admet un point d inflexion d abscisse a. Si la dérivée seconde f s annule en changeant de signe en a alors la courbe admet un point d inflexion d abscisse a. EXEMPLE Soit f la fonction définie sur R par f(x)=x 5 5x 4 et C f sa courbe représentative. Sa dérivée est la fonction f définie sur R par f (x)=5x 4 0x 3. Sa dérivée seconde est la fonction f définie sur R par f (x)=0x (x 3). L équation f (x)=0 admet deux solutions x 1 = 0 et x = 3. Notons que 0x 0 donc f (x) est du même signe que x 3. Les variations de f se déduisent du signe de sa dérivée f. D où le tableau : x 0 3 + signe de f (x) 0 0 + variations de f En tenant compte des changements de variation de la dérivée f on en déduit que la courbe C f admet un seul point d inflexion, le point A(3; f(3)). En effet : f (0)=0mais, sur l intervalle ] ;3] f (x) 0 donc le point de la courbe C f d abscisse 0, n est pas un point d inflexion. (La fonction f est concave sur ] ; 3]). f s annule en 3 en changeant de signe donc le point A(3; 16) est un point d inflexion de la courbe C f. (La fonction f est concave sur ] ; 3] et convexe sur [3; + [). 400 y C f 300 La courbe ne traverse pas sa tangente en O. O n est pas un point d inflexion. 00 100 La courbe traverse sa tangente en A. A est un point d inflexion. -3 - -1 O 1 3 4 5 x -100-00 A -300 A. YALLOUZ (MATH@ES) 9

Année 013-014 DÉRIVATION, CONTINUITÉ ET CONVEXITÉ T le ES EXERCICE 1 Soit f la fonction définie sur l intervalle ]0;+ [ par f(x)=3x 14x 8 x. On note f sa fonction dérivée. 1. Montrer que f (x)= (x )( 3x 4x 4 ) x. Étudier les variations de la fonction f. EXERCICE La courbe C f ci-dessous représente une fonction f définie et dérivable sur R. On note f la fonction dérivée de la fonction f. On sait que : la courbe coupe l axe des ordonnées au point A et la tangente à la courbe au point A passe par le point de coordonnées ( ; 0) ; la courbe admet au point B d abscisse 1 une tangente parallèle à l axe des abscisses ; y 3 B A 1 C f -3 - -1 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 x -1 - -3-4 1. À partir du graphique et des renseignements fournis, déterminer f (0) et f (1).. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f. Déterminer laquelle. 4 4 - -1 0 1 3 4 5 6 3 3-1 - 1 1-3 -1 0 1 3 4 5 6 - -1 0-1 -1 1 3 4 5 6-4 -5 courbe C 1 courbe C courbe C 3 EXERCICE 3 Soit f une fonction dérivable sur chacun des intervalles où elle est définie. Le tableau des variations de la fonction f est donné ci-dessous : x 3 1 5 + + f(x) 1 1 A. YALLOUZ (MATH@ES) 30

Année 013-014 DÉRIVATION, CONTINUITÉ ET CONVEXITÉ T le ES 1. a) La fonction f est-elle continue sur ] 3; + [? b) Donner deux intervalles où f est continue mais pas monotone. c) Donner deux intervalles où f est continue et strictement monotone.. a) Déterminer le nombre de solutions de l équation f(x) = 0. b) L équation f(x) = 1 admet-elle une solution unique? 3. On note f la dérivée de la fonction f. Pour chacune des affirmations ci-dessous, dire si elle est vraie ou si elle est fausse. a) L équation f (x)= 0 n a pas de solution sur]5;+ [ b) f ( ) f (0) 0 c) f ( ) f (3) 0 EXERCICE 4 Dans chacun des cas suivants, tracer, dans un repère du plan, une courbe pouvant représenter une fonction f définie sur l intervalle [ ; 3] et vérifiant les informations données 1. f est continue et décroissante sur[ ; 3], et l équation f(x) = 1 admet une infinité de solutions dans[ ; 3].. f est continue sur [ ;3] n est pas monotone sur [ ;3], et l équation f(x)=0 admet une solution unique dans [ ;3]. 3. f est continue sur [ ;3] avec f( ) = 3, f(3) = 1 et l équation f(x) = 0 admet deux solutions dans [ ;3]. 4. f n est pas continue sur [ ;3] et pour tout réel k compris entre f( ) et f(3) l équation f(x) = k admet une solution unique dans [ ; 3]. EXERCICE 5 Soit f une fonction deux fois dérivable sur R. On note f sa dérivée et f sa dérivée seconde. La courbe représentative de la fonction dérivée notée C f est donnée ci dessous. La droite T est tangente à la courbe C f au point d abscisse 0. T y 1 C f -3 - -1 0 1 3 x -1 - -3 1. Par lecture graphique : a) Résoudre f (x)=0. b) Résoudre f (x)= 0. c) Déterminer f (0). A. YALLOUZ (MATH@ES) 31

Année 013-014 DÉRIVATION, CONTINUITÉ ET CONVEXITÉ T le ES. Une des quatre courbes C 1, C, C 3 et C 4 ci-dessous est la courbe représentative de la fonction f et une autre la courbe représentative de la dérivée seconde f. y 3 1-3 - -1 0 1 3 x C 3-1 y 1-3 - -1 0 1 3 x -1 y 1 C 1-3 - -1 0 1 3 x -3 a) Déterminer la courbe qui représente f et celle qui représente la dérivée seconde f. b) Déterminer les intervalles sur lesquels f est convexe ou concave. c) La courbe représentative de la fonction f admet-elle un point d inflexion? -1 - -3-4 y 1-1 - C -3 - -1 0 1 3 x C 4 EXERCICE 6 Soit f la fonction définie ] 1;+ [ par f(x) = 4x3 + 6x + 4x+1 (x+1) 4. On note f sa dérivée et f sa dérivée seconde. 1. a) Calculer f (x). b) Donner le tableau des variations de la fonction f. c) Déterminer le nombre de solutions de l équation f(x)= 1. À l aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie à 10 3 près, de chacune des solutions.. a) Étudier la convexité de la fonction f. b) La courbe représentative de la fonction f a-t-elle un point d inflexion? EXERCICE 7 Le tableau ci-dessous représente l évolution du taux d endettement brut des ménages en France de 001 à 011. (Le taux d endettement brut des ménages est défini comme les crédits au passif divisés par le revenu disponible brut des ménages.) Année 001 00 003 004 005 006 007 008 009 010 011 Rang de l année x i 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Taux d endettement y i 54,8 54,75 57,30 60,00 64,86 68,63 7,37 74,73 78,7 81,18 8,68 Source : Eurostat A. YALLOUZ (MATH@ES) 3

Année 013-014 DÉRIVATION, CONTINUITÉ ET CONVEXITÉ T le ES L évolution du taux d endettement brut des ménages est modélisée par la fonction f définie sur l intervalle [0;1] par : f(x)= 0,04x 3 + 0,69x 0,1x+53 où x est le nombre d années écoulées depuis 000. y 80 C f 75 70 65 60 55 50 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 x 1. a) Calculer f (x) et f (x). b) Déterminer les intervalles sur lesquels f est convexe ou concave. c) La courbe C f a-t-elle un point d inflexion?. a) Le rythme de croissance instantané du taux d endettement brut est assimilé à la dérivée de la fonction f. Au cours de quelle année, le rythme de croissance du taux d endettement brut a-t-il commencé à diminuer? b) Recopier et compléter le tableau suivant : Rang de l année x i 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Taux d endettement y i 54,8 54,75 57,30 60,00 64,86 68,63 7,37 74,73 78,7 81,18 8,68 % d évolution 0,87 4,66 c) Le résultat obtenu à la question.a est-il cohérent avec les données recueillies? EXERCICE 8 PARTIE A Soit f la fonction définie pour tout réel x par f(x)= x 3 7,5x + 0x+8. On note C f sa courbe représentative dans le plan. 1. On note f la dérivée de la fonction f. a) Calculer f (x) b) Étudier les variations de la fonction f.. a) Étudier la convexité de la fonction f. b) La courbe C f a-t-elle un point d inflexion? Si oui, déterminer ses coordonnées? PARTIE B La fonction f modélise sur l intervalle ]0; 6,5] le coût total de production exprimé en milliers d euros, où x désigne le nombre de milliers d articles fabriqués par une entreprise. La courbe représentative de la fonction coût total, sur l intervalle ]0; 6,5], est donnée en annexe ci-dessous : A. YALLOUZ (MATH@ES) 33

Année 013-014 DÉRIVATION, CONTINUITÉ ET CONVEXITÉ T le ES ANNEXE 90 y C f 80 70 60 50 40 30 0 10 0 0 1 3 4 5 6 x Le prix de vente d un article est fixé à 13,5 C. On suppose que toute la production est vendue. 1. Déterminer graphiquement, avec la précision permise par le graphique : a) l intervalle dans lequel doit se situer la production x pour que l entreprise réalise un bénéfice positif ; b) la production x 0 pour laquelle le bénéfice est maximal.. On considère la fonction B définie sur l intervalle ]0 ; 6,5] par B(x) = 13,5x f(x). a) Étudier les variations de la fonction B sur ]0 ; 6,5]. b) En déduire le nombre d articles qu il faut fabriquer et vendre pour obtenir un bénéfice maximal. Quel est le montant en euro, de ce bénéfice maximal? 3. Le coût marginal de fabrication pour une production de x milliers d articles est donné par f (x) où f est la dérivée de la fonction f. Vérifier que si le bénéfice est maximal alors le coût marginal est égal au prix de vente d un article. PARTIE C Le coût moyen de production C mesure le coût en euro par article produit. On considère la fonction C définie sur l intervalle ]0;6,5] par C(x)= f(x) x. 1. Soit A le point d abscisse a de la courbe C f. a) Montrer que le coefficient directeur de la droite (OA) est égal au coût moyen C(a) b) Conjecturer graphiquement, les variations de la fonction C. On désigne par C la dérivée de la fonction C. a) Montrer C (x)= (x 4)(x + 0,5x+) x. b) Étudier les variations de la fonction C. c) En déduire le prix de vente minimal, arrondi à l euro près, d un article pour que l entreprise ne travaille pas à perte? 3. Justifier que lorsque le coût moyen est minimal, alors le coût moyen est égal au coût marginal. A. YALLOUZ (MATH@ES) 34

Chapitre 3 FONCTION EXPONENTIELLE Activités : Introduction........................................ 36 I Fonctions exponentielles de base q............................... 38 1 Fonctions exponentielles x q x, avec q>0..................... 38 Sens de variation..................................... 39 3 Propriétés......................................... 39 II La fonction exponentielle.................................... 39 1 Définition......................................... 40 Dérivée de la fonction exponentielle........................... 40 3 Variation......................................... 41 4 Courbe représentative.................................. 41 III Exponentielle d une fonction : exp(u)............................. 43 1 Dérivée.......................................... 43 Variation......................................... 43 Exercices................................................ 44 A. YALLOUZ (MATH@ES) 35

Lycée JANSON DE SAILLY Année 013-014 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES CONSTRUCTION EXPÉRIMENTALE DE LA FONCTION f : x q x, AVEC q>0 Soit q>0 un réel strictement positif. (u n ) est la suite géométrique définie pour tout entier n par u n = q n. Comme(u n ) est une suite géométrique, pour tous entiers naturels m et p, on a : u m u p = q m q p = q m+p = u m+p On considère le nuage de points M i représentatif de la suite q n. ÉTAPE 1 : prolongement sur les négatifs. Sachant que que pour tout réel ( q>0 ) 1 n et pour tout entier n, q n =. q On complète le graphique à l aide de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 1 q. On définit ainsi, une fonction f telle que pour tout entier relatif n, f(n)=q n. Pour tous entiers relatifs m et p, f(m) f(p)=q m q p = q m+p = f(m+ p) ÉTAPE : prolongement par dichotomie. RAPPEL y q 6 q 5 = q 4 q 6 q 4 q 3 q 1 q 0 = 1 M 0 M 1 q M M3 q = 1 q -4-3 - -1 0 1 3 4 5 6 x Trois réels a, b et c sont, dans cet ordre trois termes consécutifs d une suite géométrique si, et seulement si, b est la moyenne géométrique de a et c (c est à dire : b= ac) Points d abscisses n + 0,5 avec n Z Au point d abscisse n+0,5= n+(n+1) on associe la moyenne géométrique des deux termes consécutifs : M 4 M 5 M 6 f (n+0,5)= f(n) f(n+1)= q n q n+1 y q 6 q 5,5 = q 5 q 6 q 5 = q 4 q 6 q 4 q 0 = 1 q,5 = q 3 q -4-3 - -1 0 1 3 4 5 6 x Pour tout entier relatif n : f (n+0,5)= q n q n+1 = q n+1 = q n q 0,5 = f(n) f(0,5) A. YALLOUZ (MATH@ES) 36

Lycée JANSON DE SAILLY Année 013-014 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES On obtient de nouveaux points en réitérant ce processus : Au point d abscisse n+0,5= n+(n+0,5) = n+0,5, on associe on associe le réel : f (n+0,5)= q n q n+0,5 = q n+0,5 = q n q 0,5 = f(n) f(0,5) Au point d abscisse n+0,75= (n+0,5)+(n+1) = n+1,5 on associe on associe le réel : f (n+0,75)= q n+0,5 q n+1 = q n+1,5 = q n q 0,75 = f(n) f(0,75) Plus généralement soient A(a;q a ) et B ( ( ) b;q b) deux points de la courbe C f, ce processus permet d obtenir a+b le point M ; q a q b appartenant à la courbe C f. q 0 = 1 y q 6 q 5,75 = q 5,5 q 6 q 5 = q 4 q 6 q 4,5 = q 4 q 5 q 4 q 3,5 = q 3,5 q 3-4 -3 - -1 0 1 3 4 5 6 x ( a+b f ) = ( q a q b = q a+b = q a b a ) q = f f La fonction f vérifie la relation f(x+y)= f(x) f(y). DES FONCTIONS «TRANSFORMANT LES SOMMES EN PRODUITS» Soit f une fonction continue vérifiant pour tous réels x et y : { f(x) 0 ( ) b f(x+y)= f(x) f(y) ( x 1. En écrivant que pour tout réel x, f(x)= f ) + x, montrer que pour tout réel x, f(x)>0.. Calculer f(0) 3. Démontrer que pour tout réel x, f( x)= 1 f(x) 4. On pose f(1)= q. a) Calculer f() et f(3). b) Calculer f( 1) et f( ). 5. Démontrer que la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n par u n = f(n) est une suite géométrique. ( ) 1 6. Soit n 0 un entier non nul. Montrer que f est la racine n-ième de q. n 7. Montrer que pour tout rationnel r= m ( m ) n avec m entier relatif et n entier non nul, f = q m n. n C f A. YALLOUZ (MATH@ES) 37

Année 013-014 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES I FONCTIONS EXPONENTIELLES DE BASE q 1 FONCTIONS EXPONENTIELLES x q x, AVEC q>0 DÉFINITION Soit q un réel strictement positif La fonction f définie pour tout réel x par f(x)=q x s appelle la fonction exponentielle de base q. Elle est dérivable sur R. EXEMPLE La fonction f définie pour tout réel x par f(x)=0,8 x est la fonction exponentielle de base 0,8. Une valeur approchée de l image de 5,3 est obtenue à la calculatrice en tapant la séquence : 0.8 (-5.3 ). RELATION FONCTIONNELLE La fonction exponentielle f de base q>0 transforme les sommes en produits. Pour tous réels x et y : Autrement dit, pour tous réels x et y : q x+y = q x q y. f(x+y)= f(x) f(y) CONSÉQUENCES Pour tout réel x, q x > 0. En effet, q x + x = q x q x soit q x = ( q x ) avec qx 0. Pour tous réels x et y, q x = 1 q x et qx y = qx q y. En effet, q x x = q x q x soit 1=q x q x donc q x 0 et q x = 1 q x. De plus, q x y = q x+( y) = q x q y = qx q y Pour tout réel x, q x = q x, et en particulier q 0,5 = q En effet, q x = ( q x ) et q x > 0. Pour tout réel x et tout entier relatif m,(q x ) m = q mx Propriété usuelle des exposants entiers relatifs. Pour tout entier naturel n>0, q 1 n est «la racine n-ième» de q Pour tout entier naturel n>0, comme 1 n n=1, alors q 1 n est le nombre tel que ( q 1 n) n = q A. YALLOUZ (MATH@ES) 38

Année 013-014 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES SENS DE VARIATION En continuité avec les suites numériques, on admet que le sens de variation de la fonction exponentielle de base q avec q>0 est le même que celui de la suite géométrique associée : Si 0<q<1, la fonction x q x est strictement décroissante sur R. Si q=1, la fonction x q x est constante sur R. Si q>1, la fonction x q x est strictement croissante sur R. CONSÉQUENCE Si q>0 et q 1, alors pour tous nombres réels a et b : q a = q b si, et seulement si, a=b. 3 PROPRIÉTÉS 0<q<1 q>1 La fonction exponentielle de base q est strictement décroissante sur R. lim x qx =+ et lim x + qx = 0 y La fonction exponentielle de base q est strictement croissante sur R. lim x qx = 0 et lim x + qx =+ y 1 q 0 1 x q 1 0 1 x La fonction est convexe sur R II LA FONCTION EXPONENTIELLE On admet que parmi toutes les fonctions exponentielles x q x il existe une seule fonction dont le nombre dérivé en 0 soit égal à 1. Autrement dit, il existe une seule valeur du réel q telle que la tangente au point A(0; 1) de lcourbe représentative de la fonction x q x a pour coefficient directeur 1. Cette valeur particulière du réel q est notée e. Le nombre e est un irrationnel une valeur approchée est : e,7188. A. YALLOUZ (MATH@ES) 39

Année 013-014 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES y y=e x 5 4 3 e y=x+1 1-3 - -1 0 1 3 x -1 1 DÉFINITION La fonction x e x s appelle la fonction exponentielle de base e ou plus simplement exponentielle. On la note exp exp : x e x CONSÉQUENCES La fonction exponentielle est définie pour tout réel x par exp(x)=e x exp(0)=e 0 = 1, exp(1)=e 1 = e, exp( 1)=e 1 = 1 e, exp(0,5)=e0,5 = e La fonction exponentielle est strictement positive sur R : pour tout nombre réel x, e x > 0 La fonction exponentielle est dérivable sur R et son nombre dérivé en 0 est 1 : exp (0)= 1 Pour tous réels x et y, et pour tout entier relatif m e x+y = e x e y, e x = 1 e x, ex y = ex e y, (ex ) m = e mx DÉRIVÉE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE La dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle. Pour tout nombre réel x, exp (x)=e x DÉMONSTRATION Pour tout réel x et pour tout réel h 0, exp(x+h) exp(x) h = ex+h e x h = ex e h e x h = e x eh 1 h Or exp e h 1 (0)= 1 : lim = 1. Donc h 0 h lim h 0 ex eh 1 = e x h A. YALLOUZ (MATH@ES) 40

Année 013-014 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES 3 VARIATION La fonction exponentielle est strictement croissante sur R DÉMONSTRATION La fonction exponentielle est dérivable sur R et est égale à sa dérivée. Or pour tout réel x, e x > 0. On en déduit que la fonction exponentielle est strictement croissante sur R. CONSÉQUENCES Pour tout réel x 0, 0<e x 1 Pour tout réel x 0, e x 1 Pour tous réels x et y, e x = e y x=y et e x < e y x<y EXEMPLES 1. Résoudre dans R l inéquation e 1 3x < e x 3 D où l ensemble solution S = ] 5 [ ;+. Résoudre dans R l inéquation e x 1 1 e 1 3x < e x+3 1 3x<x+3 5x< x> 5 D où l ensemble solution S=] ; 1] [1;+ [ e x 1 1 e x 1 e 0 x 1 0 4 COURBE REPRÉSENTATIVE CONVEXITÉ La fonction exponentielle est convexe sur R DÉMONSTRATION La fonction exponentielle est dérivable sur R et est égale à sa dérivée. Par conséquent, la dérivée seconde est exp (x)=e x donc exp (x)>0. LIMITES e>1 alors lim n + en =+. Par prolongement, lim x + ex =+. e n = 1 ( 1 n ( ) 1 n e e) n = d où lim n en = lim = 0. Par prolongement, lim n + e x ex = 0. lim x ex = 0 et lim x + ex =+ PROPRIÉTÉS 1. Équation de la tangente au point d abscisse 0 : y = x + 1. Équation de la tangente au point d abscisse 1 : y=exp (1) (x 1)+exp(1) Soit y=ex 3. La courbe représentative de la fonction exponentielle est située au dessus de la droite d équation y=x. ( Voir l exercice n o ) A. YALLOUZ (MATH@ES) 41

Année 013-014 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES y C exp 8 7 6 y=ex 5 4 3 e y=x+1 1-3 - -1 0 1 3 4 x -1 A. YALLOUZ (MATH@ES) 4

Année 013-014 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES III EXPONENTIELLE D UNE FONCTION : exp(u) On considère une fonction u définie sur un intervalle I. La composée de la fonction u suivie de la fonction exponentielle est la fonction f notée f = e u. EXEMPLES La fonction f définie pour tout réel x par f(x) = e 0,5x 3 est la composée de la fonction affine u définie sur R par u(x)=0,5x 3 suivie de la fonction exponentielle, f = e u. La fonction g définie pour tout réel x par g(x) = 0,5e x 3 est la composée la fonction exponentielle suivie de la fonction affine u définie sur R par u(x)=0,5x 3 1 DÉRIVÉE Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. La fonction e u est dérivable sur I et (e u ) = e u u EXEMPLES 1. Soit f la fonction définie pour tout réel x par f(x)=e x. Pour tout réel x, on pose u(x)= x. u est dérivable sur R et u (x)= 1. Donc f est dérivable sur R et f (x)= e x.. Soit f la fonction définie pour tout réel x par f(x)=e 0,5x x+1. Pour tout réel x, posons u(x)=0,5x x+1. u est dérivable sur R et u (x)=x. Donc f est dérivable sur R et f (x)=(x )e 0,5x x+1. VARIATION Les fonctions u et e u ont les mêmes variations sur tout intervalle I où u est définie. Démonstration Soient a < b deux réels de l intervalle I Si u est décroissante sur I alors u(b)<u(a) Or la fonction exponentielle est strictement croissante donc si u(b)<u(a) alors e u(b) < e u(a) Par conséquent, si u est décroissante sur I alors la fonction e u est décroissante sur I. Si u est croissante sur I alors u(a)<u(b) De la stricte croissance de la fonction exponentielle on en déduit que si u(a)<u(b) alors e u(a) < e u(b) Donc si u est croissante sur I alors la fonction e u est croissante sur I. REMARQUE Si u est dérivable sur I, alors la fonction f = e u est dérivable sur I et pour tout réel x I, f (x)=u (x)e u(x). Or pour tout réel x I, e u(x) > 0 donc f (x) est du même signe que u (x). A. YALLOUZ (MATH@ES) 43

Année 013-014 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES EXERCICE 1 Les réels suivants sont ils des entiers? A=8 1 3 ; B=3 3 5 ; C=7 3 ; D=36 3 4. EXERCICE Simplifier les expressions suivantes : A= 1,690,7 1,69 1, 1,69 1,4 ; B= EXERCICE 3 ( 0,8 3) 6 0,8 1,6 Soit f la fonction définie sur R par f(x)=,5 x 0,4 x. 1. Calculer f( 1), f(1), f( ) et f(). Quelle conjecture peut-on faire?. Montrer que pour tout réel x, f( x) = f(x) 0,8 3,4 ; C= 4x+0,5 +( x ) 16 x ; D=(1 0,36 x ) 0,6 4x. EXERCICE 4 On a tracé ci-dessous, les courbes représentatives de trois fonctions f, g et h définies sur R. C f y y C g y C h 5 5 5 4 4 4 3 3 3 1 1 1-3 - -1 0 1 3 x -3 - -1 0 1 x -3 - -1 0 1 x 1. Une seule de ces trois fonctions est une fonction exponentielle de base q. Laquelle est-ce?. Quelle est la valeur du réel q? EXERCICE 5 En janvier 005, le cours moyen d un lingot d or d un kg est de 10 363 C, contre 30 880 C en octobre 013. Calculer le pourcentage annuel moyen d évolution du cours du lingot d or entre ces deux dates. EXERCICE 6 (D après sujet bac Amérique du nord, 005) Les deux questions sont indépendantes. Les résultats seront arrondis à 10. Le gouvernement d un pays envisage de baisser un impôt de 30 % en cinq ans. 1. On suppose que le pourcentage de baisse est le même chaque année. Vérifier que ce pourcentage de baisse annuel est alors égal à environ 6,89 %.. La première année cet impôt baisse de 5 %, la deuxième année la baisse est de 1 % et la troisième année de 3 %. a) Quelle est la baisse, en pourcentage, de cet impôt au terme de ces trois premières années? b) Pour atteindre son objectif quel pourcentage annuel de baisse doit décider ce gouvernement, en supposant que ce pourcentage est le même sur les deux dernières années? A. YALLOUZ (MATH@ES) 44

Année 013-014 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES EXERCICE 7 Soit f une fonction dérivable en 0 telle que f (0)=1 et vérifiant pour tous réels x et y, f(x+y)= f(x) f(y). 1. Montrer que pour tout réel x, f(x) 0. En déduire que f(0)=1. f(x+h) f(x). a) Montrer que pour tout réel x et tout réel h non nul, = f(x) f(h) 1 h h b) En déduire que f est dérivable sur R et que pour tout réel x, f (x)= f(x). EXERCICE 8 Simplifier les écritures suivantes : A=(e x ) 1 e x ; B=(ex + e x ) (e x e x ) ; C=e (e x x 1e ) ( x ; D= ex+1 e x+ ) e 1 x ; E = e x 1. EXERCICE 9 Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes : 1. e x +x 1 = 1. e 3x+5 e 3 x = ex 1 3. e x e x 1=0 4. e 1 x e 5. e x e x 6. e x e x < 1 EXERCICE 10 Soit f la fonction définie sur R par f(x)=e x x. 1. Déterminer f (x).. Étudier les variations de f, en déduire que f admet un minimum. 3. Justifier que pour tout réel x on a : e x > x. EXERCICE 11 Soit f la fonction définie pour tout réel x par f(x)=e x + 1 e x. 1. On note f la dérivée de la fonction f. a) Calculer f (x). b) Donner le tableau de variations de f. c) En déduire que pour tout réel x, e x + e x.. On note f la dérivée seconde de la fonction f. a) Montrer que pour tout réel x, f (x)= f(x). b) Étudier la convexité de la fonction f. EXERCICE 1 Soit f la fonction définie sur R par f(x)= 4 1+e x. On a tracé ci-dessous, la courbe C f représentant la fonction f et les droites D 1 et D d équations respectives y= et y= A. YALLOUZ (MATH@ES) 45

Année 013-014 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES y D 1-4 -3 - -1 0 1 3 4 x -1 D 1 - C f 1. Étudier les positions relatives de la courbe C f avec les droites D 1 et D.. Étudier les variations de la fonction f. 3. Étudier la convexité de la fonction f. 4. La courbe C f admet-elle un point d inflexion? EXERCICE 13 (D après sujet bac France Métropolitaine, La Réunion 013) Une entreprise fabrique des poulies utilisées dans l industrie automobile. On suppose que toute la production est vendue. L entreprise peut fabriquer entre 0 et 3 600 poulies par semaine. On note x le nombre de milliers de poulies fabriquées et vendues en une semaine. (x varie donc dans l intervalle [0 ; 3,6]). Le bénéfice hebdomadaire est noté B(x), il est exprimé en milliers d euros. L objet de cet exercice est d étudier cette fonction B. Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l une de l autre. PARTIE A : ÉTUDE GRAPHIQUE On a représenté, en annexe, la fonction B dans un repère du plan. Chaque résultat sera donné à cent poulies près ou à cent euros près suivant les cas. Les traits utiles à la compréhension du raisonnement seront laissés sur le graphique et une réponse écrite sur la copie sera attendue pour chaque question posée. 1. Déterminer dans quel intervalle peut varier le nombre de poulies pour que le bénéfice soit supérieur ou égal à 13 000 euros.. Quel est le bénéfice maximum envisageable pour l entreprise? Pour quel nombre N de poulies fabriquées et vendues semble-t-il être réalisé? PARTIE B : ÉTUDE THÉORIQUE Le bénéfice hebdomadaire noté B(x), exprimé en milliers d euros vaut B(x)= 5+(4 x)e x. 1. a) On note B la fonction dérivée de la fonction B. Montrer que pour tout réel x de l intervalle I =[0 ; 3,6], on a : B (x)=(3 x)e x. b) Déterminer le signe de la fonction dérivée B sur l intervalle I. c) Dresser le tableau de variation de la fonction B sur l intervalle I. On indiquera les valeurs de la fonction B aux bornes de l intervalle.. a) Justifier que l équation B(x) = 13 admet deux solutions x 1 et x, l une dans l intervalle [0 ; 3] l autre dans l intervalle [3 ; 3,6]. b) À l aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée à 0,01 près de chacune des deux solutions. A. YALLOUZ (MATH@ES) 46

Année 013-014 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES ANNEXE 15 14 13 1 11 10 9 8 7 6 5 4 3 1-0, -1 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 1, 1,4 1,6 1,8,0,,4,6,8 3,0 3, 3,4 3,6 EXERCICE 14 Calculer les dérivées des fonctions suivantes : 1. f est définie sur R par f(x)=e x (e x ). f est définie sur R par f(x)= ex e 1 x 3. f est définie sur R par f(x)=e x e x x+1 ( x ) 4. f est définie sur R par f(x)= 1 e 0,5x EXERCICE 15 (D après sujet bac Nouvelle Calédonie 010) 1. Dans cette question aucune justification n est demandée, tous les tracés demandés seront effectués sur le repère orthonormal fourni en annexe qui sera rendu avec la copie. On souhaite tracer la courbe représentative C d une fonction f satisfaisant les conditions suivantes : La fonction f est définie et dérivable sur l intervalle [0 ; 6]. Le maximum de la fonction f est 5, il est atteint pour x=0. Le minimum de la fonction f est 1. La fonction f est dérivable sur l intervalle [0 ; 6]. On note f la fonction dérivée de f et on sait que f (0)= 3, f(6)=3 et f (6)=. A. YALLOUZ (MATH@ES) 47

Année 013-014 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES Le signe de la fonction dérivée f de f est donné par le tableau suivant : x 0 4 6 signe de f (x) 0 + a) Donner le tableau de variations de la fonction f. On fera figurer dans le tableau les images par f de 0, de 4 et de 6. b) Donner l équation de la tangente à la courbe C au point d abscisse 6. c) Tracer dans le repère fourni en annexe la courbe représentative d une fonction satisfaisant toutes les conditions ci-dessus. On placera les points d abscisses 0, 4, 6 et on tracera les tangentes à la courbe en ces points. y 6 ANNEXE 5 4 3 1. Dans cette question toute réponse doit être justifiée. -1 0 1 3 4 5 6 7 x -1 On considère la fonction g définie sur l intervalle [0 ; 6] par g(x)=e f(x). a) Déterminer le sens de variation de la fonction g sur l intervalle [0 ; 6]. Donner le tableau de variation de la fonction g. On précisera les valeurs de g(0), g(4) et g(6). b) Déterminer g (0). EXERCICE 16 Soit f la fonction définie pour tout réel x de l intervalle [0;+ [ par f(x)= x e 0,5x 1. On note f la dérivée de la fonction f. Calculer f (x).. Étudier les variations de la fonction f. 3. a) Montrer que l équation f(x) = 0 admet une solution unique α. b) On considère l algorithme suivant A. YALLOUZ (MATH@ES) 48

Année 013-014 FONCTION EXPONENTIELLE T le ES ENTRÉES : a=0 ; b=1 ; TRAITEMENT TANT_QUE b a>10 3 FAIRE m prend la valeur a+b ; SI f(a) f(m)<0 ALORS b prend la valeur m ; ALORS a prend la valeur m ; FIN SI FIN TANT_QUE SORTIES : Afficher a ; Afficher b; Les valeurs de sortie de cet algorithme sont a ; 0,759 et b 0,7539. Que signifie ce résultat? 4. Étudier la convexité de la fonction f. 5. Déterminer les coordonnées des points d inflexion de la courbe représentative de la fonction f. EXERCICE 17 (D après sujet bac Liban 013) PARTIE A On considère la fonction C définie sur l intervalle [5 ; 60] par C(x)= e0,1x + 0. x 1. On désigne par C la dérivée de la fonction C. Montrer que, pour tout x [5 ; 60], C (x)= 0,1xe0,1x e 0,1x 0 x.. On considère la fonction f définie sur [5 ; 60] par f(x)= 0,1xe 0,1x e 0,1x 0. a) Montrer que la fonction f est strictement croissante sur [5 ; 60]. b) Montrer que l équation f(x) = 0 possède une unique solution α dans [5 ; 60]. c) Donner un encadrement à l unité de α. d) En déduire le tableau de signes de f(x) sur [5 ; 60]. 3. En déduire le tableau de variations de C sur [5 ; 60]. 4. En utilisant le tableau de variations précédent, déterminer le nombre de solutions des équations suivantes : a) C(x)=. b) C(x)=5. PARTIE B Une entreprise fabrique chaque mois x vélos de course, avec x appartenant à l intervalle [5 ; 60]. Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d euros, pour une production de x vélos de course, est donné par la fonction C définie dans la partie A. Déterminer le nombre de vélos à produire pour que le coût de fabrication moyen soit minimal. A. YALLOUZ (MATH@ES) 49

Chapitre 4 FONCTION LOGARITHME I Fonction logarithme népérien.................................. 51 1 Définition......................................... 51 Conséquences....................................... 51 II Propriétés algébriques...................................... 51 1 Propriété fondamentale.................................. 51 Autres règles de calcul.................................. 5 III Étude de la fonction logarithme népérien........................... 5 1 Dérivée.......................................... 5 Variation......................................... 53 3 Courbe représentative.................................. 53 IV Complément : fonctions exponentielles de base q>0..................... 54 Exercices................................................ 55 A. YALLOUZ (MATH@ES) 50

Année 013-014 FONCTION LOGARITHME T le ES I FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN La fonction exponentielle est continue, strictement croissante et pour tout réel x, e x ]0;+ [. D après le théorème de la valeur intermédiaire, pour tout réel a > 0, l équation e x = a admet une unique solution, c est à dire que : pour tout réel a strictement positif, il existe un unique réel x tel que e x = a On peut définir une nouvelle fonction qui à tout réel strictement positif, associe son unique antécédent par la fonction exponentielle. 1 DÉFINITION La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction définie sur]0; + [ qui à tout réel x strictement positif, associe le réel y tel que e y = x. x>0 et y=ln(x) équivaut à x=e y REMARQUES On note lnx, au lieu de ln(x), le logarithme népérien de x, lorsqu il n y a pas d ambiguïté. e 0 = 1 donc ln(1)=0. e 1 = e donc ln(e)=1. Pour tout réel a>0, l équation e x = a a pour unique solution x=lna. CONSÉQUENCES 1. Pour tout réel x strictement positif, e ln x = x.. Pour tout réel x, ln(e x )=x. DÉMONSTRATION 1. Pour tout réel x>0, y=lnx e y = x donc e ln x = x.. Pour tout réel x, e x = y ln(y)= x soit ln(e x )=x. y y=e x On dit que la fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. e y=lnx Dans un repère orthonormé, leurs courbes représentatives sont symétriques par rapport à la droite D d équation y = x. 1 0 1 e x II PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES 1 PROPRIÉTÉ FONDAMENTALE Pour tous réels a et b strictement positifs : ln(a b)=ln(a)+ln(b) A. YALLOUZ (MATH@ES) 51

Année 013-014 FONCTION LOGARITHME T le ES DÉMONSTRATION Soient a > 0 et b > 0 deux réels strictement positifs, Par définition de la fonction ln : a=e lna, b=e ln b et a b=e ln(a b) D autre part, a b=e ln a e lnb = e lna+lnb D où e ln(a b) = e lna+lnb. Donc ln(a b)=lna+lnb. REMARQUES John Napier inventa en 1617 les logarithmes, du grec logos (rapport, raison) et arithmos (nombre), et une méthode de calcul transformant les multiplications en additions. La fonction exponentielle transforme une somme en produit, sa fonction réciproque, la fonction logarithme népérien transforme un produit en somme. AUTRES RÈGLES DE CALCUL Pour tous réels a et b strictement positifs et n entier relatif : ( ) 1 1. ln = lna a ( a. ln = lna lnb b) 3. ln(a n )=nlna 4. ln( a)= 1 lna DÉMONSTRATIONS 1. Soit a>0 alors 1 a > 0. Or a 1 a = 1 donc ( ln a 1 ) = ln1 lna+ln 1 a a = 0 ln 1 a = lna. Soit a>0 et b>0 ( ( a ln = ln a b) 1 ) = lna+ln 1 b b = lna lnb 3. Soient a>0 un réel strictement positif et n un entier relatif, e ln(an) = a n et e nln a = ( e lna) n = a n Donc e ln(an) = e nln a et par conséquent, ln(a n )=nlna. 4. Soit a>0 alors ( a) = a donc lna=ln ( a ) = ln a III ÉTUDE DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN 1 DÉRIVÉE La fonction logarithme népérien est dérivable sur]0;+ [ et pour tout réel x>0, ln (x)= 1 x. DÉMONSTRATION On admet que la fonction ln est dérivable sur ]0;+ [. Soit f la fonction définie sur ]0;+ [ par f(x)= e ln x. f est dérivable sur ]0;+ [ et pour tout réel x>0, f (x)=ln (x) e ln x = ln (x) x. Or pour tout réel x>0, f(x)=x d où f (x)=1 Ainsi pour tout réel x>0, ln (x) x=1 donc ln (x)= 1 x. A. YALLOUZ (MATH@ES) 5

Année 013-014 FONCTION LOGARITHME T le ES VARIATION La fonction logarithme népérien est continue et strictement croissante sur ]0; + [. DÉMONSTRATION La fonction ln est dérivable sur ]0;+ [ donc continue sur cet intervalle. La dérivée de la fonction ln est la fonction définie sur ]0;+ [ par ln (x)= 1 x. Or si x>0 alors, 1 x > 0. La dérivée de la fonction ln est strictement positive, donc la fonction ln est strictement croissante sur ]0;+ [. x 0 1 + ln(x) 0 CONSÉQUENCES On déduit de ce théorème les propriétés suivantes : Pour tous réels a et b strictement positifs : lna=lnb si, et seulement si, a=b lna>lnb si, et seulement si, a>b Puisque ln1=0 : Pour tout réel x strictement positif : lnx=0 si, et seulement si, x=1 lnx>0 si, et seulement si, x>1 lnx<0 si, et seulement si, 0<x<1 Comme la fonction logarithme népérien est continue, strictement croissante et que pour tout réel x > 0, ln x R alors, d après le théorème de la valeur intermédiaire : Pour tout réel k, l équation lnx=k admet dans l intervalle ]0;+ [ une unique solution x=e k. 3 COURBE REPRÉSENTATIVE Notons C ln la courbe représentative de de la fonction logarithme népérien. ln(1)=0 et ln(e)=1 donc les points A(1;0) et B(e;1) appartiennent à la courbe C ln. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe C ln au point A(1;0) est ln (1)=1. Donc la tangente à la courbe C ln au point A(1;0) a pour équation : y=x 1. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe C ln au point B(e;1) est ln (e)= 1 e. Donc la tangente à la courbe C ln au point B(e;1) a pour équation : y= 1 e (x e)+1 y= 1 e x La tangente à la courbe C ln au point d abscisse e passe par l origine du repère. Comme la fonction inverse est strictement décroissante sur l intervalle ]0;+ [, la dérivée de la fonction ln est strictement décroissante. Par conséquent, la fonction ln est concave sur ]0;+ [. A. YALLOUZ (MATH@ES) 53

Année 013-014 FONCTION LOGARITHME T le ES y C ln 1 O 1 e 3 4 5 6 7 x -1 - IV COMPLÉMENT : FONCTIONS EXPONENTIELLES DE BASE q > 0 Pour tout réel q réel strictement positif, e lnq = q. Soit q un réel strictement positif, pour tout réel x : q x = ( e lnq) x = e xln q Soit q un réel strictement positif. La fonction exponentielle de base q est la fonction f définie sur R par : f(x)=q x = e xln q CONSÉQUENCE Soit k un réel strictement positif. L équation q x = k avec q>0 s écrit e xln q = k. Ainsi, dans R, l équation q x = k x lnq=lnk x= lnk lnq EXEMPLE Une entreprise a chargé un centre d appel de démarcher des clients potentiels. On a constaté qu une personne contactée sur cinq accepte un rendez-vous avec un commercial. Ce centre d appel contacte n personnes successivement et de manière indépendante. Quel est le nombre minimal de personnes qu il faut démarcher pour que la probabilité qu au moins une des personnes contactées accepte un rendez-vous avec un commercial soit supérieure à 0,99? Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de personnes contactées qui acceptent un rendez-vous avec un commercial. La loi de probabilité de X est la loi binomiale de paramètres n et 0,. n est le plus petit entier tel que 1 0,8 n 0,99 0,8 n 0,01 p(x 1)=1 p(x = 0)=1 0,8 n 0,8 n 0,01 ln(0,8 n ) ln0,01 La fonction ln est strictement croissante n ln0,8 ln0,01 n ln0,01 0,6 Attention ln0,8<0! ln0,8 Il faut démarcher au moins 1 personnes pour que la probabilité qu au moins une des personnes contactées accepte un rendez-vous avec un commercial soit supérieure à 0,99. A. YALLOUZ (MATH@ES) 54

Année 013-014 FONCTION LOGARITHME T le ES EXERCICE 1 Simplifier l écriture des nombres suivants : ( ) 1 A=ln(16) 7ln()+4ln(3)+3ln 8 B=3ln(15) ln(5)+6ln 1 3 ln9 4ln 3 ln 1 3 ln3 C = 8ln( 3)+5ln(9) ln ( 9 3 ) D= E = ln( 3 1 ) + ln ( 3+1 ) F = ln36 ln3+ln ( 3+ ) ( 3 ) G=ln + ln H = ln 8 3ln ( ) 1 4 I = ln5 ln10 ( ) J = ln(1) ln(9) ( ) ln 1 ln + ln(64) 7 ( ) 1 5 EXERCICE Simplifier l écriture des nombres suivants : ( ) 1 A=ln ( e 3) + e ln ; B= lne ( ) 1 ln(e ) ln ; C = ln ( ) 4e ) ln e + ln( ; D= 3 e e ln3 EXERCICE 3 Résoudre dans R chaque équation, puis donner une valeur arrondie à 10 3 près des solutions : ln9 e 1. a) e x = 5 ; b) e x = 0, ; c) e x 1 3=0 ; d)(e x ) = 0,5 ; e) e x 4=0.. a) e 1 x = 3e x ; b) 3e x = e +3x ; c) 5e3x+1 e x = 4 ; d)(e x + 1) ( e +3x ) = 0. EXERCICE 4 Résoudre dans R les inéquations suivantes : a) 4e x+1 3 ; b) 3e x > 1 ; c) ( e x) 3 e x 0 ; 5e 3x d) e x 1 > ; e) 3ex 7e x + 0. EXERCICE 5 1. Résoudre dans ]0;+ [ chaque équation, puis donner une valeur arrondie à 10 3 près des solutions : a) lnx= 1 ; b) lnx+0,01=0 ; c) 3ln x=e 3 ; d) (lnx) = 1 ; e) ( e x ) (ln(x) )=0.. Résoudre dans ]0; + [ les inéquations suivantes : a) lnx ; b) lnx ; c) ln lnx>3 ; d) ln(3x) lnx<5 ; e)(lnx) + 3lnx 1 0. EXERCICE 6 Démontrer les propriétés suivantes : 1. Pour tout réel x>1, ln ( x + x ) = ln(x+)+ln(x 1) (. Pour tout réel x strictement positif, ln(x+1)=lnx+ln 1+ 1 ) x 3. Pour tout réel x appartenant à l intervalle ] ;[, ln x+ ln +x= 1 ln( 4 x ) A. YALLOUZ (MATH@ES) 55

Année 013-014 FONCTION LOGARITHME T le ES EXERCICE 7 Résoudre les équations suivantes après avoir précisé l ensemble des valeurs du réel x pour lesquelles l équation est définie. 1. ln(1 x)=ln(x+)+ ln3 3. ln(x )+ln(x+3)=ln(3x+). ln ( 1 x ) = ln(x 1) 4. ln x =ln(4 x) 1 lnx EXERCICE 8 Résoudre les inéquations suivantes après avoir précisé l ensemble des valeurs du réel x pour lesquelles l inéquation est définie. ( 1. ln(x ) ln(x+1). ln(3x+) ln x + 1 ) ( 3. ln 1+ ) lnx 4 x EXERCICE 9 1. Résoudre les équations suivantes : a) ln x+ = 1 ; x b) ln x 1 x+1 = 1 ; c) (lnx) + 3lnx=. Résoudre les inéquations suivantes : x a) ln x+1 1 ; b) ln(x+1) ln(x 1) 1 ; c) (lnx) lnx 6 EXERCICE 10 Dans chacun des cas suivants, déterminer le plus petit entier ( n solution de l inéquation : a) 1,05 n 1,5 ; b) 0,9 n 0,75 ; c) 1+ 3 ) n ; d) 0, ( 1 9 100 100 EXERCICE 11 ) n 1. Actuellement, le taux du livret A d épargne est égal à 1,5%. En supposant que ce taux reste inchangé sur le long terme, au bout de combien d années, un capital placé sur le livret A aura-t-il plus que doublé?. Un capital est placé à intérêts composés au taux annuel de 4%. Au bout de combien d années, ce capital aura-t-il augmenté d au moins 80%? 3. Le gouvernement d un pays envisage de baisser l impôt de % par an. Au bout de combien d années, l impôt aura-t-il baissé de 0%? 4. D une année sur l autre, un produit perd 5% de sa valeur. Au bout de combien d années ce produit aura-t-il a perdu plus de 40% de sa valeur initiale? 5. La population mondiale est passée à 6,9 milliards en 010. Avec un taux de croissance annuel de 1,14%, en quelle année la population mondiale dépassera-t-elle 9 milliards? EXERCICE 1 (D après sujet bac Liban 013) PARTIE A On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 10 et pour tout entier naturel n, u n+1 = 0,9u n + 1,. 1. On considère la suite (v n ) définie pour tout entier naturel n par v n = u n 1. a) Démontrer que la suite (v n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. b) Exprimer v n en fonction de n. c) En déduire que pour tout entier naturel n, u n = 1 0,9 n.. Déterminer la limite de la suite (v n ) et en déduire celle de la suite (u n ). A. YALLOUZ (MATH@ES) 56

Année 013-014 FONCTION LOGARITHME T le ES PARTIE B En 01, la ville de Bellecité compte 10 milliers d habitants. Les études démographiques sur les dernières années ont montré que chaque année : 10 % des habitants de la ville meurent ou déménagent dans une autre ville ; 100 personnes naissent ou emménagent dans cette ville. 1. Montrer que cette situation peut être modélisée par la suite (u n ) où u n désigne le nombre de milliers d habitants de la ville de Bellecité l année 01 + n.. Un institut statistique décide d utiliser un algorithme pour prévoir la population de la ville de Bellecité dans les années à venir. Recopier et compléter l algorithme ci-dessous pour qu il calcule la population de la ville de Bellecité l année 01+n. VARIABLES a,i,n. INITIALISATION Choisir n a prend la valeur 10 TRAITEMENT Pour i allant de 1 à n, a prend la valeur... SORTIE Afficher a 3. Résoudre l inéquation 1 0,9 n > 11,5. En donner une interprétation. EXERCICE 13 1. Soit a un réel tel que 0<a<1. Comparer lna et lna. ( ) ( ) a+1 b+1. Soient a et b deux réels strictement positifs, tels que a<b. Comparer ln et ln. a b ( ) a+b 3. Soient a et b deux réels strictement positifs, montrer que ln ln ab. EXERCICE 14 Dans chacun des cas suivants, calculer la dérivée f de la fonction f définie sur ]0;+ [ : a) f(x)=xln x x; b) f(x)= lnx lnx ; c) f(x)= x e x ; d) f(x)=(lnx) + ln(x) EXERCICE 15 (D après sujet bac Nouvelle Calédonie 013) On considère la fonction f définie sur l intervalle [1;10] par f(x)=x 14x+15+0ln x. 1. Montrer que pour tout nombre réel x de l intervalle [1;10] on a : f (x)= x 14x+0. x. Construire en le justifiant le tableau de variation de la fonction f sur l intervalle [1; 10]. 3. En déduire le nombre de solutions de l équation f(x) = 3 dans l intervalle [1; 10]. EXERCICE 16 Soit f la fonction définie sur ]0;+ [ par f(x)= 1 x + lnx. On note f la dérivée de la fonction f. 1. a) Calculer f (x). b) Étudier les variations de f. A. YALLOUZ (MATH@ES) 57

Année 013-014 FONCTION LOGARITHME T le ES. Étudier la convexité de la fonction f. EXERCICE 17 Soit f la fonction définie sur l intervalle ]0;+ [ par f(x)=ln(x) x et dont la courbe représentative C f est donnée ci-dessous. y 1 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 x -1 - -3-4 1. a) On note f la fonction dérivée de la fonction f. Calculer f (x). b) Donner le tableau des variations de f. On précisera la valeur exacte du maximum de f.. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C f au point d abscisse 1 et la tracer sur le graphique. 3. a) Donner le nombre de solutions de l équation f(x) = 0. b) Programmer l algorithme de dichotomie suivant ENTRÉES : Saisir un réel strictement positif non nul a ; Saisir un réel strictemenl positif non nul b(b > a) ; TRAITEMENT TANT_QUE b a>10 3 FAIRE m prend la valeur a+b ; SI f(a) f(m)<0 ALORS b prend la valeur m ; ALORS a prend la valeur m ; FIN SI FIN TANT_QUE SORTIES : Afficher a ; Afficher b; Déterminer un encadrement à 0,01 près de chacune des solutions de l équation f(x) = 0. 4. Application économique. Une entreprise produit sur commande un article. La production quotidienne peut varier de 10 à 100 articles. Le bénéfice réalisé par cette production est modélisé par la fonction f de la façon suivante : f(x) est le montant, exprimé en milliers d euros, du bénéfice réalisé par l entreprise pour une production de x dizaines d articles. A. YALLOUZ (MATH@ES) 58

Année 013-014 FONCTION LOGARITHME T le ES a) Combien d articles l entreprise doit-elle produire par jour pour réaliser un bénéfice maximum? Préciser alors ce bénéfice arrondi à l euro près. b) Combien d articles l entreprise doit-elle produire par jour pour ne pas travailler à perte? EXERCICE 18 (D après sujet bac Polynésie Septembre 01) Une entreprise fabrique un produit chimique. Elle peut en produire x mètres cube chaque jour ; on suppose que x appartient à l intervalle [1; 6]. Le coût total de production C T, exprimé en milliers d euros, est fonction de la quantité produite x : C T (x)= x + 4lnx+5,6 pour x [1;6]. 1. Vérifier que la fonction C T est strictement croissante sur l intervalle [1;6].. On note C M (x) le coût moyen de production en milliers d euros du mètre cube pour une production journalière de x mètres cube, avec x [1;6]. On rappelle que C M (x)= C T(x). x a) Écrire l expression de C M (x) en fonction de x. b) On admet que la fonction C M est dérivable sur l intervalle [1;6] et on appelle C M sa fonction dérivée. Calculer C M (x), et vérifier que C M (x)= x 3, 8lnx x pour tout x de l intervalle [1;6]. 3. Soit f la fonction définie sur l intervalle [1;6] par f(x)=x 3, 8lnx. a) On admet que f est dérivable sur [1 ; 6]. Étudier les variations de f sur [1;6]. b) Démontrer que l équation f(x) = 0 possède une solution unique α dans [;6] ; déterminer une valeur approchée par excès à 10 1 près de α. c) En déduire le signe de f(x) sur [1;6] (on ne demande pas de justification). 4. On prendra pour α la valeur approchée trouvée à la question 3. b. a) En utilisant les résultats de la question 3., étudier le sens de variation de la fonction C M sur [1;6]. Construire son tableau de variation (les valeurs dans le tableau seront arrondies au dixième). b) Quel est le coût moyen minimal de production du mètre cube de produit? 5. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Comment faut-il choisir le prix de vente du mètre cube de produit pour que l entreprise puisse faire des bénéfices quelle que soit la production choisie dans l intervalle donné? EXERCICE 19 Soit f la fonction définie sur ]0;+ [ par f(x)= lnx x. On note C f sa courbe représentative. 1. a) Montrer que f (x)= 1 lnx x 3 b) Étudier les variations de la fonction f.. Donner une équation de la tangente T à la courbe C f au point d abscisse 1. EXERCICE 0 Soit f la fonction définie pour tout réel x strictement positif par f(x)=x(x lnx+1) PARTIE A A. YALLOUZ (MATH@ES) 59

Lycée JANSON DE SAILLY Année 013-014 FONCTION LOGARITHME T le ES 1. Calculer f (x), où f est la dérivée de la fonction f.. Calculer f (x), où f est la dérivée seconde de la fonction f. 3. a) Étudier les variations de la fonction f. b) Préciser la convexité de la fonction f suivant les valeurs du réel x. 4. Montrer que la fonction f est strictement croissante. PARTIE B La courbe représentative de la fonction f, notée C f, est tracée ci-dessous, ainsi que la droite d tangente à la courbe C f au point A d abscisse. y C f 14 1 10 8 6 4 A d 0 1 3 4 5 x 1. La droite d passe-t-elle par l origine du repère?. a) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C f au point B d abscisse 1. b) Étudier les positions relatives de la courbe C f et de la droite T. EXERCICE 1 (D après sujet bac Nouvelle Calédonie 010) PARTIE A On considère la fonction g définie sur [1;+ [ par g(x)=lnx 1. 1. Étudier les variations de g sur [1;+ [.. Résoudre l équation g(x) = 0 dans [1; + [. 3. En déduire que g(x)>0 si et seulement si x> e. PARTIE B On considère la fonction f définie sur [1;+ [ par f(x)=x (ln x 1)+. 1. On appelle f la fonction dérivée de la fonction f sur l intervalle [1;+ [. a) Montrer que pour tout nombre réel x de l intervalle [1;+ [, f (x)=4xg(x). b) Étudier le signe de f (x) sur [1;+ [ et en déduire le tableau de variations de f sur [1;+ [.. a) Montrer que, dans l intervalle [; 3], l équation f(x) = 0 admet une solution unique notée α. b) Déterminer un encadrement d amplitude 10 de α. A. YALLOUZ (MATH@ES) 60

Année 013-014 FONCTION LOGARITHME T le ES EXERCICE La capacité mensuelle de production d un certain type d article d une entreprise est comprise entre 500 et 1 000 articles. On considère que le coût total de production, en milliers d euros, lorsque x milliers d articles sont fabriqués est modélisé par la fonction f définie pour tout réel x élément de l intervalle [0,5;1] par : f(x)=x + 8x+7 6xlnx PARTIE A 1. Calculer f (x), où f est la dérivée de la fonction f.. a) Calculer f (x), où f est la dérivée seconde de la fonction f. b) Préciser la convexité de la fonction coût total suivant la production x. Que se passe-t-il pour une production de 3 000 articles? L interpréter en termes de rythme de croissance. 3. Justifier que la fonction coût total est strictement croissante. PARTIE B Le coût moyen est le quotient du coût total par la quantité produite. On note g(x) le coût moyen de production. 1. a) Justifier que le coût moyen s exprime en euros par article fabriqué. b) Étudier les variations de la fonction g sur [0,5;1].. Le coût marginal est assimilé à la dérivée du coût total. (On rappelle que le coût marginal est dans les mêmes unités que le coût moyen) Vérifier que, lorsque le coût moyen est minimum, le coût marginal est égal au coût moyen. EXERCICE 3 PARTIE A Soit g la fonction définie sur ]0;+ [ par g(x)=1 x ln(x). 1. Calculer la dérivée de la fonction g et étudier son signe. En déduire les variations de la fonction g.. Calculer g(1). En déduire le signe de g(x) pour x appartenant à l intervalle ]0; + [. PARTIE B Soit f la fonction définie sur ]0;+ [ par f(x) = ln(x) x x + 1. On note C f sa courbe représentative dans un repère du plan. 1. a) Montrer que pour tout réel x appartenant à l intervalle ]0;+ [, f (x)= g(x) x. b) En déduire le signe de f (x) puis les variations de la fonction f.. Soit D la droite d équation y= x + 1. a) Calculer les coordonnées du point A, intersection de la droite D et de la courbe C f. b) Étudier les positions relatives de la droite D et de la courbe C f. EXERCICE 4 (D après sujet bac Antilles-Guyanne 007) La courbe C ci-dessous représente une fonction f définie et dérivable sur l intervalle I =]0;+ [. On note f la fonction dérivée de f sur l intervalle I. ( ) 1 La courbe C passe par les points A(1; 1) et B e ;0 et admet une tangente parallèle à(ox) au point A. A. YALLOUZ (MATH@ES) 61

Année 013-014 FONCTION LOGARITHME T le ES y 5 4 3 1 B 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x C -1 A - 1. En utilisant les données ci-dessus, déterminer sans justification : a) f(1) et f (1). b) les solutions de l inéquation f(x) 0 et les solutions de l inéquation f (x) 0.. On admet que, pour tout réel x de l intervalle I, f(x)= a+blnx où a et b sont deux nombres réels. x a) Exprimer f (x) en fonction des réels a et b. b) Utiliser les résultats de la question 1a. pour montrer que a = 1 et b = 1. c) Retrouver les résultats de la question 1c par le calcul. EXERCICE 5 On considère la fonction f définie et dérivable sur l intervalle ]0; + [ telle que pour tout réel x de cet intervalle f(x)=(1+lnx)( ln x) et dont la courbe représentative C f est donnée ci-dessous. y 1 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 x -1 - -3-4 1. a) Résoudre l équation f(x) = 0. Les valeurs exactes sont demandées. b) Montrer que le signe de f(x) est donné pour tout réel de l intervalle ]0; + [ par le tableau suivant : A. YALLOUZ (MATH@ES) 6

Année 013-014 FONCTION LOGARITHME T le ES x 0 1 e e + Signe de f(x) + 0 0. a) On note f la fonction dérivée de la fonction f. Calculer f (x) et vérifier que f (x)= 1 lnx pour tout x réel x de l intervalle ]0;+ [. b) Étudier les variations de f. On précisera la valeur exacte du maximum de f et la valeur exacte de x pour laquelle il est atteint. 3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C f au point d abscisse 1 et la tracer sur le graphique. 4. a) Donner le nombre de solutions de l équation f(x) =. b) Résoudre dans R l équation (1+X)( X)=. c) En déduire les solutions de l équation f(x) =. EXERCICE 6 (D après sujet bac Liban 010) PARTIE A On considère la fonction f, définie sur l intervalle ]0;0] par f(x)= ( 3e x ) lnx+10. 1. Calculer la valeur exacte de f ( e ), puis une valeur approchée à 0,01 près.. Montrer que, pour tout x de ]0;0], f (x)= lnx+ 3e x 1 où f désigne la dérivée de la fonction f. 3. On admet que la fonction dérivée f est strictement décroissante sur ]0;0] et que son tableau de variations est le suivant : x 0 e 0 f (x) + 0 f (0) a) À l aide du tableau de variations, donner le signe de f (x) pour x appartenant à l intervalle ]0;0]. b) Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l intervalle ]0; 0] et dresser son tableau de variations sur cet intervalle. c) Étudier la convexité de la fonction f. 4. a) Montrer que, sur l intervalle [0,6; 0,7], l équation f(x) = 0 possède une unique solution notée α. À la calculatrice, donner une valeur approchée de α à 0,001 près par excès. b) Démontrer que f(x) est négatif pour tout x ]0; α[ et que f(x) est positif pour tout x ]α; 0]. PARTIE B Une entreprise produit et vend chaque semaine x milliers de DVD, x appartenant à]0;0]. Le bénéfice réalisé est égal à f(x) milliers d euros où f est la fonction étudiée dans la partie A. En utilisant les résultats de la partie A : 1. déterminer le nombre minimal de DVD à fabriquer pour que le bénéfice soit positif ;. déterminer le nombre de DVD à produire pour que le bénéfice soit maximal ainsi que la valeur, à 10 euros près, de ce bénéfice maximal. A. YALLOUZ (MATH@ES) 63

Année 013-014 FONCTION LOGARITHME T le ES EXERCICE 7 (D après sujet bac Nouvelle Calédonie 009) PARTIE I : ÉTUDE D UNE FONCTION On considère la fonction f définie et dérivable sur l intervalle ]0; + [ telle que pour tout réel x de cet intervalle f(x)=5(1 lnx)(ln x ). 1. Résoudre l équation f(x) = 0. Les valeurs exactes sont demandées.. a) Déterminer le signe de l expression 5(1 X)(X ) suivant les valeurs du réel X. b) En déduire que le signe de f(x) est donné pour tout réel de l intervalle ]0;+ [ par le tableau suivant : x 0 e e + Signe de f(x) + 0 0 3. a) On note f la fonction dérivée de la fonction f. Calculer f (x) et montrer que f 5(3 ln x) (x)= pour tout x de l intervalle ]0;+ [. x b) En déduire les variations de f. On précisera la valeur exacte du maximum de f et la valeur exacte de x pour laquelle il est atteint. 4. Donner le nombre de solutions de l équation f(x) = 1 puis donner une valeur approchée arrondie à 0,01 près de ces solutions. PARTIE II : APPLICATION Une entreprise fabrique et revend des jouets. f(x) représente le résultat (bénéfice ou perte) en milliers d euros qu elle réalise lorsqu elle fabrique x centaines de jouets, pour x compris entre 1 et 10, f désignant la fonction étudiée dans la partie I. 1. Déterminer, à un jouet près, les quantités à produire pour ne pas travailler à perte. Interpréter concrètement le résultat de la question I.. Comment le lit-on sur le graphique?. Cette entreprise veut réaliser un bénéfice supérieur ou égal à 1000 euros. Combien de jouets doit-elle fabriquer? Justifier la réponse. A. YALLOUZ (MATH@ES) 64

Chapitre 5 PROBABILITÉS DISCRÈTES I Probabilités conditionnelles................................... 66 1 Définition......................................... 66 Formule des probabilités composées........................... 66 II Formule des probabilités totales................................ 67 1 Cas de deux évènements................................. 67 Partition.......................................... 67 3 Formule des probabilités totales............................. 67 III Représentation sous forme d un arbre pondéré........................ 68 IV Évènements indépendants.................................... 69 1 Indépendance de deux évènements............................ 69 Propriété......................................... 69 3 Loi binomiale....................................... 69 Exercices................................................ 7 A. YALLOUZ (MATH@ES) 65

Année 013-014 PROBABILITÉS DISCRÈTES T le ES I PROBABILITÉS CONDITIONNELLES La notion de probabilité conditionnelle intervient quand pendant le déroulement d une expérience aléatoire, une information est fournie modifiant ainsi la probabilité d un évènement. 1 DÉFINITION Soient A et B deux évènements d un même univers tel que p(a) 0. La probabilité conditionnelle de l évènement B sachant que l évènement A est réalisé se note p A (B) et on a : Remarque : Si p(b) 0 on définit de même p B (A)= p(a B). p(b) EXEMPLE p A (B)= p(a B) p(a) Une usine produit des articles en grande quantité, dont certains sont défectueux à cause de deux défauts possibles, un défaut de fabrication ou un défaut d emballage. Une étude statistique a permis de constater que 1% des articles sont défectueux, 6% des articles ont un défaut de fabrication et 8% des articles ont un défaut d emballage. Un article choisi au hasard présente un défaut d emballage. Quelle est la probabilité qu il ait aussi un défaut de fabrication? Notons : A l évènement : «Un article prélevé au hasard présente un défaut de fabrication» ; B l évènement : «Un article prélevé au hasard présente un défaut d emballage» ; Nous avons p(a B)= 0,1, p(a)=0,06 et p(b)=0,08. Or p(a B)= p(a)+ p(b) p(a B) d où p(a B)= 0,08+0,06 0,1=0,0 Donc p B (A)= 0,0 0,08 = 0,5 La probabilité qu un article ayant un défaut d emballage ait aussi un défaut de fabrication est égale à 0,5. FORMULE DES PROBABILITÉS COMPOSÉES La relation définissant la probabilité conditionnelle peut s écrire de la manière suivante p(a B)= p A (B) p(a) Cette écriture s appelle la formule des probabilités composées Soient A et B deux évènements d un même univers tels que p(a) 0 et p(b) 0. Alors : EXEMPLE p(a B)= p A (B) p(a)= p B (A) p(b) 85 % d une population est vaccinée contre une maladie. On a constaté que % des individus vaccinés n ont pas été immunisés contre cette maladie. Quelle est la probabilité qu un individu soit vacciné et malade? Soit V l évènement : «Un individu est vacciné» et M l évènement : «Un individu est malade» ; Nous avons p(v)=0,85 et p V (M)=0,0. La probabilité que parmi cette population, une personne soit vaccinée et malade est : p(v M)=0,0 0,85=0,017 A. YALLOUZ (MATH@ES) 66

Année 013-014 PROBABILITÉS DISCRÈTES T le ES II FORMULE DES PROBABILITÉS TOTALES 1 CAS DE DEUX ÉVÈNEMENTS Si A est un évènement de Ω tel que p(a) 0 et p(a) 1, alors pour tout évènement B de Ω p(b)= p(a B)+ p(a B)= p A (B) p(a)+ p A (B) p(a) Preuve : Les évènements A B et A B sont incompatibles et B=(A B) ( A B ) d où p(b)= p(a B)+ p(a B) D après la formule des probabilités composées A B A B A A p(b)= p A (B) p(a)+ p A (B) p(a) PARTITION Soit n un entier supérieur ou égal à et {A 1,A,...,A n } un ensemble d évènements de probabilités non nulles d un même univers Ω. A 1, A,..., A n forment une partition de l univers Ω si, et seulement si, tout évènement élémentaire de Ω appartient à l un des évènements A i et à un seul. C est à dire si, et seulement si, 1. Pour tous entiers i et j tels que 1 i n, 1 j n et i j, A i A j =.. A 1 A A n = Ω. Remarques : Un évènement A de probabilité non nulle et son évènement contraire A forment une partition de Ω. Si les évènements A 1,A,,A n forment une partition de Ω alors n p(a i )= p(a 1 )+ p(a )+ + p(a n )=1 i=1 3 FORMULE DES PROBABILITÉS TOTALES Soit n un entier supérieur ou égal à si {A 1,A,...,A n } est une partition de Ω alors pour tout évènement B de Ω, p(b)= p(a 1 B)+ p(a B)+ + p(a n B) EXEMPLE Le parc informatique d une entreprise est constitué d ordinateurs de marques A, B ou C référencés au service de maintenance. 60% des ordinateurs sont de la marque A et parmi ceux-ci, 15 % sont des portables. 30 % des ordinateurs sont de la marque B et 0 % d entre eux sont des portables. Les autres ordinateurs sont de la marque C et 50 % d entre eux sont des portables. On consulte au hasard la fiche d un ordinateur, quelle est la probabilité que ce soit la fiche d un ordinateur portable? Notons S l évènement : «la fiche est celle d un ordinateur portable» Les évènements A, B et C forment une partition de l univers alors d après la formule des probabilités totales : p(s)= p(a S)+ p(b S)+ p(c S) = p A (S) p(a)+ p B (S) p(s)+ p C (S) p(s) = 0,15 0,6+0, 0,3+0,5 0,1= 0, La probabilité que ce soit la fiche d un ordinateur portable est 0,. A. YALLOUZ (MATH@ES) 67

Année 013-014 PROBABILITÉS DISCRÈTES T le ES III REPRÉSENTATION SOUS FORME D UN ARBRE PONDÉRÉ Une expérience aléatoire peut être schématisée par un arbre pondéré dont chaque branche est affecté d un poids qui est une probabilité. A p A (R) R p(a) p A (R) R p(b) B p B (S) S p B (S) S p(c) C p C (T) T p C (T) T La racine de l arbre est l univers Ω Les évènements qui se trouvent aux extremités des branches issues d un même nœud forment une partition de l évènement situé à ce nœud. Par exemple, {A,B,C} est une partition de l univers Ω et {S,S} est une partition de l évènement B. Un chemin complet qui conduit à un sommet final, représente l intersection des évènements qui le composent. Par exemple, le chemin dont l extrémité est R représente l évènement A R. Le poids d une branche primaire est la probabilité de l évènement qui se trouve à son extrémité. Le poids d une branche secondaire est la probabilité conditionnelle de l évènement qui se trouve à son extrémité sachant que l évènement qui se trouve à son origine est réalisé. RÈGLES La somme des probabilités inscrites sur les branches issues d un même nœud est égale à 1. La probabilité d un chemin est le produit des probabilités figurant sur ses branches. La probabilité d un évènement est la somme des probabilités de tous les chemins menant à un sommet où apparaît cet évènement. A. YALLOUZ (MATH@ES) 68

Année 013-014 PROBABILITÉS DISCRÈTES T le ES PROBABILITÉS CONDITIONNELLES PROBABILITÉS COMPOSÉES PROBABILITÉS TOTALES p A (B) B p(a B)= p A (B) p(a) p(a) A p A (B)=1 p A (B) B p ( A B ) = p A (B) p(a) p(b)= p(a B)+ p ( A B ) p(a)=1 p(a) p A (B) B p ( A B ) = p A (B) p(a) p(b)= p ( A B ) + p ( A B ) A p A (B)=1 p A (B) B p ( A B ) = p A (B) p(a) IV ÉVÈNEMENTS INDÉPENDANTS 1 INDÉPENDANCE DE DEUX ÉVÈNEMENTS Dire que deux évènements évènements A et B sont indépendants signifie que : p(a B)= p(a) p(b) Dire que deux évènements sont indépendants signifie que la réalisation de l un ne modifie pas la réalisation de l évènement de l autre. PROPRIÉTÉ Si p(a) 0 et p(b) 0 on a les équivalences : A et B indépendants p B (A)= p(a) p A (B)= p(b) Preuve : Si p(a) 0, alors p(a B)= p(a) p A (B). Ainsi, A et B sont indépendants si, et seulement si, p(a) p(b)= p(a) p A (B) p(b)= p A (B) 3 LOI BINOMIALE SCHÉMA DE BERNOULLI Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ayant deux issues, l une appelée «succès» de probabilité p et l autre appelée «échec» de probabilité q=1 p. La répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes s appelle un schéma de Bernoulli. EXEMPLE On répète 3 fois une épreuve de Bernoulli successivement et de façon indépendante. La probabilité du succès est p(s)= p, la probabilité de l echec est p(s)=1 p=q. A. YALLOUZ (MATH@ES) 69

Année 013-014 PROBABILITÉS DISCRÈTES T le ES p S p q S S p q p q S S S S ISSUES S S S S S S S S S S S S q S p q S S p q p q S S S S S S S S S S S S S S S S L expérience comporte huit issues, chacune de ces issues pouvant être schématisée à l aide d un mot de trois lettres : {S S S ; S S S ; S S S ; S S S ; S S S ; S S S ; S S S ; S S S} COEFFICIENTS BINOMIAUX On répète successivement n épreuves de Bernoulli ( ) identiques et indépendantes. On appelle coefficient binomial et on note n k le nombre de chemins réalisant k succès parmi n épreuves de Bernoulli répétées. Dans l exemple précédent, il y a ( ) 3 = 3 chemins pour lesquels il y a deux succès LOI BINOMIALE Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de succès obtenus dans un schéma de Bernoulli à n épreuves où la probabilité du succès de chaque épreuve est p. La loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelée loi binomiale de paramètres n et p. Cette loi est notée B(n; p). Elle est définie par : ( ) n P(X = k)= p k (1 p) n k, pour tout entier k tel que 0 k n k Remarque : L évènement «obtenir au moins un succès» est l évènement contraire de l évènement F «obtenir n échecs consécutifs» d où P(X 1)=1 P(X = 0)=1 (1 p) n EXEMPLE La loi de probabilité de la loi binomiale B(4; p) de paramètres 4 et p (avec q = 1 p) est : A. YALLOUZ (MATH@ES) 70

Année 013-014 PROBABILITÉS DISCRÈTES T le ES k 0 1 3 4 P(X = k) q 4 4 p q 3 6 p q 4 p 3 q p 4 A. YALLOUZ (MATH@ES) 71

Année 013-014 PROBABILITÉS DISCRÈTES T le ES EXERCICE 1 Une maladie M affecte les bovins d un pays. On a mis au point un test pour détecter cette maladie. On estime que : 1 % des bovins ont la maladie M ; Quand un bovin est malade, le test est positif dans 95 % des cas ; 98 % des bêtes saines ne réagissent pas au test. On prend un animal de ce troupeau au hasard. 1. Quelle est la probabilité pour un animal d être malade et de réagir au test?. On prend un animal au hasard et on lui fait passer le test quelle est la probabilité pour que le test soit positif? 3. On veut déterminer la fiabilité de ce test. Calculer la probabilité : a) pour un animal d être malade si il réagit au test ; b) pour un animal d être sain si il ne réagit pas au test. EXERCICE Une maladie M affecte les bovins d un pays. On a mis au point un test pour détecter cette maladie. On estime que : 13,5 % des bovins d un troupeau sont malades et ont réagi au test ; 1,5 % des bovins du troupeau sont malades et n ont pas réagi au test ; 84,8 % des bêtes n ont pas réagi au test. On prend un animal de ce troupeau au hasard. 1. Calculer la probabilité que le test soit négatif sachant que l animal n est pas malade.. Calculer la probabilité que l animal ne soit pas malade sachant que le test est négatif. EXERCICE 3 Une maladie M affecte les bovins d un pays. On a mis au point un test pour détecter cette maladie. On estime que : 0 % des bovins d un troupeau sont malades ; 0,6 % des bovins du troupeau ont eu un test positif ; 1 % des bovins du troupeau sont malades et n ont pas réagi au test. On prend un animal de ce troupeau au hasard. 1. Calculer la probabilité que le test soit négatif sachant que l animal n est pas malade.. Calculer la probabilité que l animal ne soit pas malade sachant que le test est négatif. EXERCICE 4 D après une étude de la direction du tourisme concernant l ensemble des résidents Français : Est défini comme "voyage", tout départ du domicile, retour à celui-ci avec au moins une nuit passée en dehors. Ces voyages se décomposent en "séjours" de deux sortes : Séjours courts définis par le fait d avoir passé entre une nuit et trois nuits en lieu fixe ; Séjours longs définis par le fait d avoir passé au moins quatre nuits en lieu fixe. Le mode d hébergement d un séjour peut être marchand (hôtel, camping, gîte etc...) ou non marchand. On considère que sur l ensemble des résidents Français qui ont effectué au moins un voyage : Les séjours courts représentent 55% de l ensemble des séjours ; A. YALLOUZ (MATH@ES) 7

Année 013-014 PROBABILITÉS DISCRÈTES T le ES 43% des séjours longs se font en hébergement marchand ; 36,4% de l ensemble des séjours se font en hébergement marchand. On interroge au hasard, un résident Français ayant effectué un voyage et on note : L : «l évènement la personne a fait un séjour long» ; M : l évènement «le mode d hébergement du séjour est marchand» ; 1. Calculer la probabilité que la personne interrogée ait effectué un séjour long.. Représenter la situation par un arbre pondéré. 3. a) Calculer la probabilité que la personne interrogée ait effectué un séjour long en hébergement marchand. b) En déduire la probabilité que la personne interrogée ait effectué un séjour court en hébergement marchand. 4. Un résident Français effectue un séjour court, quelle est la probabilité qu il choisisse un hébergement marchand? 5. On interroge au hasard, un résident Français ayant choisi un hébergement non marchand au cours de son séjour. Quelle est la probabilité que le séjour de cette personne soit un séjour long? EXERCICE 5 Une entreprise fabrique un article dans deux unités de production notées A et B. L unité A, assure 60% de la production. On a constaté que : 3% des pièces provenant de l unité A présentent un défaut de fabrication ; 8% des pièces provenant de l unité B présentent un défaut de fabrication. 1. On prélève un article au hasard, et on note : A l évènement «la pièce provient de l unité A» ; B l évènement «la pièce provient de l unité B» ; D l évènement «la pièce présente un défaut», D l évènement contraire. a) Calculer la probabilité qu un article présente un défaut et provienne de l unité A. b) Montrer que la probabilité qu un article présente un défaut est égale à 0,05.. L entreprise envisage de mettre en place un test de contrôle de ces articles avant leur mise en vente. Ce contrôle détecte et élimine 8% des articles défectueux, mais il élimine également à tort 4% des articles non défectueux. Les articles non éliminés sont alors mis en vente. On prend au hasard un article fabriqué et on note V l évènement «l article est mis en vente». a) Calculer p(v D) et p ( V D ). En déduire que la probabilité qu un article fabriqué soit mis en vente après contrôle est 0,91. b) L entreprise souhaite qu il y ait moins de 1% des articles vendus défectueux. Ce contrôle permet-il d atteindre cet objectif? EXERCICE 6 Un atelier produit des pièces, dont certaines sont défectueuses à cause de deux défauts possibles, le défaut A et le défaut B, à l exclusion de tout autre défaut. On a constaté que, parmi les pièces produites, 8 % ont le défaut A, 7 % ont le défaut B, et 10 % ont les deux défauts. 1. On choisit au hasard une des pièces produites. Quelle est la probabilité de tomber sur une pièce défectueuse?. On admet que 80 % des pièces qui n ont qu un seul des deux défauts sont réparables, et que 40 % des pièces qui ont les deux défauts sont réparables. On choisit une pièce au hasard et on note : A. YALLOUZ (MATH@ES) 73

Année 013-014 PROBABILITÉS DISCRÈTES T le ES D 1 l évènement : " La pièce a un seul défaut " ; D l évènement : " La pièce a deux défauts" ; R l évènement : " La pièce est réparable ". a) Montrer que la probabilité de l évènement : " La pièce choisie est réparable " est p(r) = 0,3. b) Sachant que la pièce choisie est réparable, déterminer la probabilité qu elle n ait qu un seul défaut. 3. On choisit au hasard successivement cinq pièces. On suppose que le nombre de pièces est suffisamment important pour que ces tirages s effectuent dans des conditions identiques et de manière indépendante. Calculer la probabilité pour que, sur les 5 pièces choisies, au moins trois pièces soient réparables. EXERCICE 7 PARTIE A Soit (u n ) la suite définie par : u 1 = 0, et pour tout entier naturel n 1, u n+1 = 0,8 u n + 0,. 1. a) Dans le plan muni d un repère orthogonal, utiliser les droites d équations y=x et y = 0,8x+0, pour construire les quatre premiers termes de la suite (u n ). b) Conjecturer le sens de variation de la suite (u n ) ainsi que la limite de la suite (u n ).. On considère la suite (v n ) définie pour tout entier naturel n 1, par v n = u n 1. Démontrer que (v n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 3. a) Exprimer, pour tout entier naturel n 1, u n en fonction de n. b) Étudier le sens de variation de la suite (u n ). c) À l aide d un algorithme, déterminer le plus petit entier n tel que u n 0,99 PARTIE B Une entreprise a chargé un centre d appel de démarcher des clients potentiels. On a constaté qu une personne contactée sur cinq accepte un rendez-vous avec un commercial. Le centre d appel contacte n personnes successivement et de manière indépendante. On note p n la probabilité qu au moins une des n personnes contactées accepte un rendez-vous. 1. Dans le cas où n = 5, calculer la probabilité qu aucune des cinq personnes contactées n accepte un rendezvous, puis en déduire p 5.. Quel est le nombre minimal de personnes qu il faut démarcher pour que la probabilité qu au moins une des personnes contactées accepte un rendez-vous soit supérieure à 0,99? EXERCICE 8 (D après sujet bac Antilles, Guyane 013) Dans un magasin spécialisé en électroménager et multimédia, le responsable du rayon informatique fait le bilan sur les ventes d ordinateurs portables, de tablettes, et d ordinateurs fixes. Pour ces trois types de produit, le rayon informatique propose une extension de garantie. Le responsable constate que 8 % des acheteurs ont opté pour une tablette, et 48 % pour un ordinateur portable. Dans cet exercice, on suppose que chaque acheteur achète un unique produit entre tablette, ordinateur portable, ordinateur fixe, et qu il peut souscrire ou non une extension de garantie. Parmi les acheteurs ayant acquis une tablette, 5 % ont souscrit une extension de garantie et, parmi ceux ayant acquis un ordinateur fixe, 1,5 % ont souscrit une extension de garantie. On choisit au hasard un de ces acheteurs. On note : T l évènement «l acheteur a choisi une tablette» ; M l évènement «l acheteur a choisi un ordinateur portable» ; F l évènement «l acheteur a choisi un ordinateur fixe» ; A. YALLOUZ (MATH@ES) 74

Année 013-014 PROBABILITÉS DISCRÈTES T le ES G l évènement «l acheteur a souscrit une extension de garantie». On note aussi F, M, T, G les évènements contraires. 1. Construire un arbre pondéré en indiquant les données de l énoncé.. Calculer P(F) la probabilité de l évènement F, puis P(F G). 3. On sait de plus que 1 % des acheteurs ont choisi un ordinateur portable avec une extension de garantie. Déterminer la probabilité qu un acheteur ayant acquis un ordinateur portable souscrive une extension de garantie. 4. Montrer que P(G) = 0,164. 5. Pour tous les appareils, l extension de garantie est d un montant de 50 euros. Quelle recette complémentaire peut espérer le responsable du rayon lorsque 1 000 appareils seront vendus? EXERCICE 9 (D après sujet bac Centres Étrangers 013) Une association de consommateurs a fait une enquête sur des ventes de sacs de pommes. On sait que : 15% des sacs sont vendus directement dans l exploitation agricole et le reste est vendu dans des supermarchés. Parmi les sacs vendus directement dans l exploitation agricole, 80% contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu un seul type de pommes. Parmi les sacs vendus dans des supermarchés, l0% contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu un seul type de pommes. On désigne par E l évènement «les sacs de pommes sont vendus sur l exploitation» et par V l évènement «les sacs contiennent des pommes de variétés différentes». L évènement contraire de l évènement A sera noté A. On achète de façon aléatoire un sac de pommes. 1. Traduire les trois données de l énoncé en termes de probabilités.. Construire un arbre pondéré traduisant cette situation. 3. Définir par une phrase l évènement E V puis calculer sa probabilité. 4. Montrer que la probabilité que le sac acheté contienne des pommes de variétés différentes est égale à 0,05. 5. Le sac acheté contient des pommes d une seule variété. Calculer la probabilité qu il ait été acheté directement sur l exploitation agricole, arrondir le résultat à 0,001 près. 6. Des producteurs, interrogés lors de l enquête, disposent ensemble de 45 000 sacs. Chaque sac, qu il contienne un seul type de pommes ou des pommes de variétés différentes, est vendu 0,80 euro sur l exploitation agricole et 3,40 euros dans des supermarchés. Calculer le montant total des ventes qu ils peuvent prévoir. EXERCICE 10 (D après sujet bac Liban 013) Un propriétaire d une salle louant des terrains de squash s interroge sur le taux d occupation de ses terrains. Sachant que la location d un terrain dure une heure, il a classé les heures en deux catégories : les heures pleines (soir et week-end) et les heures creuses (le reste de la semaine). Dans le cadre de cette répartition, 70 % des heures sont creuses. Une étude statistique sur une semaine lui a permis de s apercevoir que : lorsque l heure est creuse, 0 % des terrains sont occupés ; lorsque l heure est pleine, 90 % des terrains sont occupés. On choisit un terrain de la salle au hasard. On notera les évènements : A. YALLOUZ (MATH@ES) 75

Année 013-014 PROBABILITÉS DISCRÈTES T le ES C : «l heure est creuse» T : «le terrain est occupé» 1. Représenter cette situation par un arbre de probabilités.. Déterminer la probabilité que le terrain soit occupé et que l heure soit creuse. 3. Déterminer la probabilité que le terrain soit occupé. 4. Montrer que la probabilité que l heure soit pleine, sachant que le terrain est occupé, est égale à 7 41. Dans le but d inciter ses clients à venir hors des heures de grande fréquentation, le propriétaire a instauré, pour la location d un terrain, des tarifs différenciés : 10 C pour une heure pleine, 6 C pour une heure creuse. On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur la recette en euros obtenue grâce à la location d un terrain de la salle, choisi au hasard. Ainsi, X prend 3 valeurs : 10 lorsque le terrain est occupé et loué en heure pleine, 6 lorsque le terrain est occupé et loué en heure creuse, 0 lorsque le terrain n est pas occupé. 5. Construire le tableau décrivant la loi de probabilité de X. 6. Déterminer l espérance de X. 7. La salle comporte 10 terrains et est ouverte 70 heures par semaine. Calculer la recette hebdomadaire moyenne de la salle. EXERCICE 11 (D après sujet bac Polynésie 013) Une agence de voyage propose des formules week-end à Londres au départ de Paris pour lesquelles le transport et l hôtel sont compris. Les clients doivent choisir entre les deux formules : «avion + hôtel» ou «train + hôtel» et peuvent compléter ou non leur formule par une option «visites guidées». Une étude a produit les données suivantes : 40% des clients optent pour la formule «avion + hôtel» et les autres pour la formule «train + hôtel» ; parmi les clients ayant choisi la formule «train + hôtel», 50% choisissent aussi l option «visites guidées» ; 1% des clients ont choisi la formule «avion + hôtel» et l option «visites guidées». On interroge au hasard un client de l agence ayant souscrit à une formule week-end à Londres. On note : A l événement : le client interrogé a choisi la formule «avion + hôtel» ; T l événement : le client interrogé a choisi la formule «train + hôtel» ; V l événement : le client interrogé a choisi l option «visites guidées». 1. a) Quelle est la probabilité de l événement : le client interrogé a choisi la formule «avion + hôtel» et l option «visites guidées»? b) Calculer la probabilité P A (V). c) Représenter cette situation à l aide d un arbre pondéré.. a) Montrer que la probabilité pour que le client interrogé ait choisi l option «visites guidées» est égale à 0,4. b) Calculer la probabilité pour que le client interrogé ait pris l avion sachant qu il n a pas choisi l option «visites guidées». Arrondir le résultat au millième. 3. L agence pratique les prix (par personne) suivants : A. YALLOUZ (MATH@ES) 76

Année 013-014 PROBABILITÉS DISCRÈTES T le ES Formule «avion + hôtel» : 390 C Formule «train + hôtel» : 510 C Option «visites guidées» : 100 C Quel montant du chiffre d affaires l agence de voyage peut-elle espérer obtenir avec 50 clients qui choisissent un week-end à Londres? EXERCICE 1 (D après sujet bac Asie 013) Le tableau ci-dessous donne la répartition des élèves de terminale de séries générales selon la série et le sexe, à la rentrée 010. Filles Garçons Littéraire (L) 40 87 11 080 Sciences économiques et sociales (ES) 63 47 40 506 Scientifique (S) 71 765 87 031 Total 176 109 138 617 On choisit au hasard un élève de terminale de série générale. On note : F : l évènement «L élève choisi est une fille». G : l évènement «L élève choisi est un garçon». L : l évènement «L élève choisi est en série Littéraire». Source : Ministère de l Éducation nationale, DEPP ES : l évènement «L élève choisi est en série Sciences Économiques et Sociales». S : l évènement «L élève choisi est en série Scientifique». 1. En utilisant les effectifs inscrits dans le tableau : a) Sachant qu on interroge un garçon, calculer la probabilité qu il soit en série Littéraire. b) Calculer p(s).. Recopier et compléter l arbre de probabilité ci-dessous : 0,56 F 0,3 0,36 L ES S L G 0,9 ES S 3. En utilisant l arbre complété et les propriétés des probabilités : a) Montrer que la probabilité, arrondie au centième, que l élève choisi soit un élève de la série Sciences Économiques et Sociales est égale à 0,33. b) Calculer p ES (F). 4. On choisit successivement et au hasard 10 élèves de terminale de série générale. On admet que le nombre de lycéens est suffisamment grand pour que ces choix soient assimilés à des tirages indépendants avec remise. Calculer la probabilité de choisir exactement trois élèves de la série ES. A. YALLOUZ (MATH@ES) 77

Année 013-014 PROBABILITÉS DISCRÈTES T le ES EXERCICE 13 (D après sujet bac France métropolitaine La Réunion Septembre 013) Un opérateur de téléphonie mobile organise une campagne de démarchage par téléphone pour proposer la souscription d un nouveau forfait à sa clientèle, composée à 65 % d hommes. Des études préalables ont montré que 30 % des hommes contactés écoutent les explications, les autres raccrochant aussitôt (ou se déclarant immédiatement non intéressés). Parmi les femmes, 60 % écoutent les explications. On admet que ces proportions restent stables. PARTIE A On choisit au hasard une personne dans le fichier clients. Chaque personne a la même probabilité d être choisie. On note H l évènement «la personne choisie est un homme», F l évènement «la personne choisie est une femme», E l évènement «la personne choisie écoute les explications du démarcheur» et E l évènement contraire de E. 1. Recopier et compléter l arbre de probabilité proposé ci-dessous : 0,65 H...... 0,6... E F... E. a) Traduire par une phrase l évènement E F et calculer sa probabilité. b) Montrer que la probabilité que la personne choisie écoute les explications du démarcheur est égale à 0,405. c) Le démarcheur s adresse à une personne qui l écoute. Quelle est la probabilité que ce soit un homme? (On donnera le résultat arrondi au centième.) E E PARTIE B Les relevés réalisés au cours de ces premières journées permettent également de constater que 1 % des personnes interrogées souscrivent à ce nouveau forfait. Chaque employé de l opérateur effectue 60 appels par jour. On suppose le fichier suffisamment important pour que les choix soient considérés réalisés de façon indépendante et dans des conditions identiques. On note X la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de souscriptions réalisées par un employé donné un jour donné. 1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.. Déterminer la probabilité que l employé obtienne 5 souscriptions un jour donné. (On arrondira le résultat au centième). 3. Déterminer la probabilité que l employé obtienne au moins une souscription un jour donné. (On donnera une valeur arrondie au dix millième). EXERCICE 14 (D après sujet bac Pondichéry 013) Une enquête a été réalisée auprès des élèves d un lycée afin de connaître leur point de vue sur la durée de la pause du midi ainsi que sur les rythmes scolaires. L enquête révèle que 55 % des élèves sont favorables à une pause plus longue le midi et parmi ceux qui souhaitent une pause plus longue, 95 % sont pour une répartition des cours plus étalée sur l année scolaire. Parmi ceux qui ne veulent pas de pause plus longue le midi, seulement 10 % sont pour une répartition des cours plus étalée sur l année scolaire. On choisit un élève au hasard dans le lycée. On considère les évènements suivants : A. YALLOUZ (MATH@ES) 78

Année 013-014 PROBABILITÉS DISCRÈTES T le ES L : l élève choisi est favorable à une pause plus longue le midi ; C : l élève choisi souhaite une répartition des cours plus étalée sur l année scolaire. 1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.. Calculer P(L C) la probabilité de l évènement L C. 3. Montrer que P(C) = 0,5675. 4. Calculer P C (L), la probabilité de l évènement L sachant l évènement C réalisé. En donner une valeur arrondie à 10 4. 5. On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de l établissement. Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre d élèves favorables à une répartition des cours plus étalée sur l année scolaire. Le nombre d élèves étant suffisamment grand, on considère que X suit une loi binomiale. a) Préciser les paramètres de cette loi binomiale. b) Calculer la probabilité qu aucun des quatre élèves interrogés ne soit favorable à une répartition des cours plus étalée sur l année scolaire. En donner une valeur arrondie à 10 4. c) Calculer la probabilité qu exactement deux élèves soient favorables à une répartition des cours plus étalée sur l année scolaire. A. YALLOUZ (MATH@ES) 79

DEUXIÈME PARTIE ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ A. YALLOUZ (MATH@ES) 80

Chapitre 1 MATRICES Activités : Introduction........................................ 8 I Définitions............................................ 83 1 Matrice.......................................... 83 cas particuliers...................................... 83 3 Égalité de deux matrices................................. 83 II Matrices et opérations...................................... 84 1 Transposée d une matrice................................ 84 Addition de matrices................................... 84 3 Multiplication par un réel................................. 84 4 Produit de matrices.................................... 85 5 Propriétés......................................... 87 III Matrices carrées......................................... 87 1 Matrice identité...................................... 87 Puissances d une matrice carré.............................. 88 3 Inverse d une matrice carrée............................... 88 4 Application aux systèmes linéaires............................ 89 5 Compléments....................................... 89 Exercices................................................ 93 A. YALLOUZ (MATH@ES) 81

Année 013-014 MATRICES T le ES ACTIVITÉ 1 Une entreprise fabrique deux types de produits notés A et B. Ces produits sont fabriqués sur trois sites de production S1, S et S3. En septembre 01 : le site S1 a fabriqué 50 milliers d articles A et 70 milliers d articles B ; le site S a fabriqué 40 milliers d articles A et 90 milliers d articles B ; le site S3 a fabriqué 10 milliers d articles B ; ( ) 50 40 0 On représente la production du mois de septembre à l aide de la matrice P 0 =. 70 90 10 ( ) 60 50 0 La production du mois d octobre 01 est donnée par la matrice P 1 =. 70 90 10 PARTIE A 1. Déterminer la matrice T 1 représentant la production totale des mois de septembre et octobre pour chaque site.. En novembre 01, pour faire face à la demande, la direction décide d augmenter de 10% la production du mois d octobre de chaque article, dans chaque site. Déterminer la matrice P représentant la production de novembre 01. PARTIE B 1. Le coût de la main d œuvre est le même pour chaque article fabriqué, mais il diffère selon le site de production. Pour S1 le coût de la main d œuvre est de 5 C ; pour S, il est de 8 C ; pour S3, il est de 30 C. a) Calculer le coût de la main d œuvre, en octobre 01, pour la fabrication des articles A. b) Représenter le coût de la main d œuvre par un vecteur-colonne C. c) En considérant les matrices P 1 et C, déterminer la matrice M 1 représentant le coût de la main d œuvre pour la fabrication en octobre 01 des articles A et des articles B.. Le prix de la matière première nécessaire à la fabrication de chaque article est de 18 C pour un article A et C pour un article B. a) Représenter le coût de la matière première par un vecteur-ligne L. b) En considérant les matrices L et P 1, déterminer la matrice A 1 représentant le montant des achats de matière première nécessaire à la fabrication des articles en octobre 01 pour chacun des trois sites. PARTIE C 1. 0% des articles A et 40 % des articles B sont destinés à l exportation. a) Calculer le produit matriciel suivant : ( ) ( ) 0, 0,4 60 50 0 0,8 0,6 70 90 10 b) Donner une interprétation du produit : ( ) ( ) 1 0, 0,4 60 50 0 1 0,8 0,6 70 90 10 1. Le prix de vente d un article A est de 56 C et celui d un article B est de 6 C. À l aide d un calcul matriciel, déterminer le chiffre d affaire réalisé par cette entreprise en octobre 01, en supposant que toute la production a été vendue. A. YALLOUZ (MATH@ES) 8

Année 013-014 MATRICES T le ES I DÉFINITIONS 1 MATRICE On appelle matrice de dimension m n (ou d ordre m n) un tableau de m lignes et n colonnes de nombres réels. On note a i, j l élément de la matrice situé à l intersection de la i-ième ligne et de la j-ième colonne. Une matrice A est représentée entre deux parenthèses ou deux crochets a 1,1 a 1, j a 1,n a 1,1 a 1, j a 1,n.................. A= a i,1 a i, j a i,n ou A= a i,1 a i, j a i,n.................. a m,1 a m, j a m,n a m,1 a m, j a m,n EXEMPLE ( ) 60 50 0 La matrice P = est une matrice d ordre 3, le coefficient a,3 de la matrice P est a,3 = 10. 70 90 10 CAS PARTICULIERS MATRICE CARRÉE Une matrice ayant le même nombre n de lignes et de colonnes est une matrice carrée d ordre n. EXEMPLE 1 1 La matrice M = 0 1 0 est une matrice carrée de dimension 3. 3 1 VECTEUR LIGNE Une matrice formée d une seule ligne et de n colonnes est une matrice ligne ou vecteur ligne. EXEMPLE La matrice A= ( ) 60 50 0 est une matrice ligne de dimension 1 3. VECTEUR COLONNE Une matrice formée de m lignes et d une seule colonne est une matrice colonne ou vecteur colonne. EXEMPLE 5 La matrice C = 8 est une matrice colonne de dimension 3 1. 30 3 ÉGALITÉ DE DEUX MATRICES Deux matrices A et B sont égales si, et seulement si, elles ont même dimension et que tous leurs éléments situés à la même place sont égaux. EXEMPLE A. YALLOUZ (MATH@ES) 83

Année 013-014 MATRICES T le ES ( ) ( ) 5 a 3 5 1 3 Dire que les matrices A= et B= sont égales signifie que 1 3 0 1 3 b+ { a=1 b+=0 { a=1 b= II MATRICES ET OPÉRATIONS 1 TRANSPOSÉE D UNE MATRICE La transposée t A (aussi notée A T ) d une matrice A de dimension m n est la matrice de dimension n m obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A. EXEMPLE La transposée de la matrice P = dimension 3. ( ) 60 50 0 70 90 10 60 70 de dimension 3 est la matrice t P = 50 90 de 0 10 ADDITION DE MATRICES La somme de deux matrices A et B de même dimension est la matrice notée A+B obtenue en ajoutant les éléments de A et ceux de B situés à la même place. Si A=(a i, j ) 1 i m et B=(b i, j ) 1 i m sont deux matrices d ordre m n alors 1 j n 1 j n A+B=(a i, j + b i, j ) 1 i m 1 j n EXEMPLE ( ) ( ) 50 40 0 60 50 0 Soient les matrices P 0 = et P 1 = : 70 90 10 70 90 10 ( ) ( ) 50+60 40+50 0+0 110 90 0 P 0 + P 1 = = 70+70 90+90 10+10 140 180 40 PROPRIÉTÉS Si A, B et C sont des matrices de même dimension alors : A+B=B+A. A+(B+C)=(A+B)+C 3 MULTIPLICATION PAR UN RÉEL Le produit d une matrice A par un réel k est la matrice ka obtenue en multipliant chaque élément de A par le réel k. Si A=(a i, j ) 1 i m est une matrice d ordre m n alors pour tout réel k 1 j n ka=(ka i, j ) 1 i m 1 j n EXEMPLE A. YALLOUZ (MATH@ES) 84

Année 013-014 MATRICES T le ES ( ) 60 50 0 Si P= alors : 70 90 10 ( ) ( ) 1,1 60 1,1 50 1,1 0 66 55 0 1,1 P= = 1,1 70 1,1 90 1,1 10 77 99 13 PROPRIÉTÉ Soient A et B deux matrices de même dimension et k un réel on a : k(a+b)=ka+kb 4 PRODUIT DE MATRICES MULTIPLICATION D UNE MATRICE LIGNE PAR UNE MATRICE COLONNE Soient A une matrice ligne de dimension 1 n et B une matrice colonne de dimension n 1. Le produit A B de ces deux matrices est : b 1 ). (a 1 a i a n b i =(a 1 b 1 + +a i b i + +a n b n ). b n Le produit A B de ces deux matrices est la matrice de dimension 1 1 qui n a qu un seul élément. EXEMPLE ( ) 5 60 50 0 8 =(60 5+50 8+0 30)=(900) 30 PRODUIT DE DEUX MATRICES Si A=(a i,k ) 1 i m 1 k n le produit C=A B= est une matrice de dimension m n et si B= ( b k, j )1 k n est une matrice de dimension n p, ( n k=1a i,k b k, j ) 1 i m 1 j p 1 j p est une matrice de dimension m p. Chaque élément c i, j de la matrice C est le produit de la matrice constituée de la i-ième ligne de la matrice A par la matrice constituée de la j-ième colonne de la matrice B ( 1 i met 1 j p). En pratique, il est commode de disposer les deux matrices de la façon suivante pour effectuer le produit : A. YALLOUZ (MATH@ES) 85

Année 013-014 MATRICES T le ES a i,1 b 1, j a i,k b k, j B : n lignes p colonnes b 1,1 b 1, j b 1,p......... b k,1 b k, j b k,p......... b n,1 b n, j b n,p + + + a 1,1 a 1,k a 1,n......... a i,1 a i,k a i,n......... a m,1 a m,k a m,n A : m lignes n colonnes a i,n b n, j c 1,1 c 1,k c 1,p......... c i,1 c i, j c i,p......... c m,1 c m, j c m,p C=A B : m lignes p colonnes EXEMPLE ( ) ( ) 0, 0,4 60 50 0 Soient les deux matrices A = et B= 0,8 0,6 70 90 10 La matrice A est d ordre et la matrice B est d ordre 3. Le produit C = A B est une matrice d ordre 3 : [ ] [ ] 60 [ ] L élément c 1,1 de la matrice C s obtient en effectuant le produit 0, 0,4 = 0, 60+0,4 70 70 [ ] [ ] 50 [ ] L élément c 1, de la matrice C s obtient en effectuant le produit 0, 0,4 = 0, 50+0,4 90 90 [ ] [ ] 0 [ ] L élément c 1,3 de la matrice C s obtient en effectuant le produit 0, 0,4 = 0, 0+0,4 10 10 L élément c,1 de la matrice C s obtient en effectuant le produit L élément c, de la matrice C s obtient en effectuant le produit [ ] 0,8 0,6 [ ] 0,8 0,6 [ [ ] L élément c,3 de la matrice C s obtient en effectuant le produit 0,8 0,6 Soit en définitive : [ ] 60 70 [ ] 50 90 ] 0 10 ( ) ( ) ( ) 0, 0,4 60 50 0 40 46 48 C = = 0,8 0,6 70 90 10 90 94 7 [ ] = 0,8 60+0,6 70 [ ] = 0,8 50+0,6 90 [ ] = 0,8 0+0,6 10 REMARQUE Le nombre de colonnes de la matrice B est différent du nombre de lignes de la matrice A donc le produit B A n est pas défini! A. YALLOUZ (MATH@ES) 86

Année 013-014 MATRICES T le ES 5 PROPRIÉTÉS Soient A, B et C trois matrices telles que les sommes et les produits ci-dessous sont définis : A (B C)=(A B) C. A (B+C)=A B+A C. (A+B) C=A C+B C. REMARQUES En général A B B A il faut faire attention à l ordre dans lequel on effectue les calculs. EXEMPLE 3 ( ) 1 0 0 1 1 1 = 0 1 1 1 3 3 1 1 0 1 1 et ( ) 3 ( ) 1 1 1 1 = 1 3 3 3 4 1 1 A C=B C ne signifie pas que A=B. EXEMPLE ( ) 1 3 ( ) 3 1 0 1 5 = 4 7 1 0 1 et ( ) 1 3 ( ) 3 4 0 1 5 = 1 3 6 1 0 1 A B=0 ne signifie pas que A=0 ou B=0. EXEMPLE ( ) 1 1 0 0 0 4 3 3 = 0 0 0 6 3 3 5 6 5 0 0 0 III MATRICES CARRÉES 1 MATRICE IDENTITÉ MATRICE DIAGONALE Une matrice carrée dont tous les coefficients sont nuls, sauf éventuellement les coefficients de la diagonale, est appelée matrice diagonale. EXEMPLES 1 0 0 0 0 1 La matrice A = 0 5 0 est une matrice diagonale. La matrice B= 0 5 0 n est pas une matrice 0 0 0 1 0 0 diagonale. DÉFINITION La matrice diagonale d ordre n dont tous les coefficients sur la diagonale sont égaux à 1 est appelée matrice identité d ordre n, on la note I n. EXEMPLES A. YALLOUZ (MATH@ES) 87

Année 013-014 MATRICES T le ES ( ) 1 0 I = 0 1 1 0 0 0 1 0 0 I 3 = 0 1 0 I 4 = 0 1 0 0 0 0 1 0. 0 0 1 0 0 0 1 PROPRIÉTÉ Soit A une matrice carrée d ordre n alors A I n = I n A=A, où I n est la matrice identité d ordre n. EXEMPLE 1 5 1 0 0 1 5 1 0 0 1 5 1 5 1 0 3 0 1 0 = 1 0 3 et 0 1 0 1 0 3 = 1 0 3 1 3 0 0 1 1 3 0 0 1 1 3 1 3 PUISSANCES D UNE MATRICE CARRÉ Soit A une matrice carré d ordre n et p un entier supérieur ou égal à 1. La puissance p-ième de la matrice A est la matrice carrée d ordre n obtenue en effectuant le produit de p matrices égales à A. A p = A A A } {{ } p fois Par convention A 0 = I n. EXEMPLE 3 1 Soit A= 5 1 4 : 1 1 3 1 3 1 6 4 A = A A= 5 1 4 5 1 4 = 14 8 1 1 1 1 4 6 4 3 1 4 0 0 A 3 = A A= 14 8 5 1 4 = 0 4 0 4 1 1 0 0 4 3 INVERSE D UNE MATRICE CARRÉE DÉFINITION Une matrice carrée A d ordre n est inversible, s il existe une matrice carrée B d ordre n telle que A B= B A= I n, où I n est la matrice identité d ordre n. La matrice inverse de A si elle existe, est unique et est notée A 1 EXEMPLE ( ) 4 La matrice A= est elle inversible? 3 1 ( )( ) ( ) 4 a b 1 0 Calculons a, b, c et d tel que =. a, b, c et d sont les solutions éventuelles du 3 1 c d 0 1 système : A. YALLOUZ (MATH@ES) 88

Année 013-014 MATRICES T le ES 4a c=1 a c= 1 a= 1 4b d = 0 3a+c=0 b= 1 3a+c=0 b d = 0 c= 3 3b+d = 1 3b+d = 1 d = ( ) 4 L inverse de la matrice A= est la matrice A 1 1 = 1 3 1 3 4 APPLICATION AUX SYSTÈMES LINÉAIRES a 1,1 x 1 + a 1, x + +a 1,n x n = b 1 a,1 x 1 + a, x + +a,n x n = b Un système linéaire à n équations et n inconnues :... a n,1 x 1 + a n, x + +a n,n x n = b n a 1,1 a 1,n peut s écrire sous la forme matricielle AX = B où A =..... est une matrice carrée d ordre n, a n,1 a n,n x 1 b 1 X =. et B=. sont des matrices colonnes de dimension n 1. x n b n Si la matrice A est inversible, alors le système admet une unique solution donnée par X = A 1 B. EXEMPLE x 3y+z=6 Soit le système x y+3z=. 4x+3y 6z=1 1 3 1 x 6 Posons A= 1 3, X = y et B= 4 3 6 z 1 Alors le système peut s écrire sous la forme matricielle AX = B 3 15 8 La matrice A est inversible et A 1 = 0 1 on en déduit que 9 5 AX = B A 1 AX = A 1 B X = A 1 B Soit x 3 15 8 6 4 y = 0 1 = 3 z 9 5 1 1 On obtient ainsi, l unique solution du système x= 4 ; y= 3 et z=1. 5 COMPLÉMENTS Les deux méthodes suivantes sont hors programme et données à titre indicatif A. YALLOUZ (MATH@ES) 89

Année 013-014 MATRICES T le ES RÉSOLUTION DE SYSTÈMES LINÉAIRES À L AIDE DE LA MATRICE AUGMENTÉE La méthode de base pour résoudre un système d équations linéaires est de remplacer le système par un autre, plus simple, ayant le même ensemble de solutions. Ceci se fait par une succession d opérations, appelées opérations élémentaires : multiplier une équation par un réel non nul ; permuter deux équations ; ajouter un multiple d une équation à une autre équation. a 1,1 x 1 + a 1, x + +a 1,n x n = b 1 a,1 x 1 + a, x + +a,n x n = b Soit un système linéaire à n équations et n inconnues :... a n,1 x 1 + a n, x + +a n,n x n = b n a 1,1 a 1, a 1,n b 1 a La matrice augmentée associée au système est la matrice (A B)=,1 a, a,n b....... a n,1 a n, a n,n b n Les opérations élémentaires appliquées à un système d équations linéaires correspondent à des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice augmentée. Ces opérations sont les suivantes : multiplier une ligne par un réel non nul ; permuter deux lignes ; ajouter un multiple d une ligne à une autre ligne. EXEMPLE x 3y+z=6 Utilisons les opérations élémentaires pour résoudre le système x y+3z= 4x+3y 6z=1 La matrice augmentée associée au système est la matrice 1 3 1 6 1 3 4 3 6 1. 1. Obtenir 0 à la place du terme a,1 par une combinaison linéaire utilisant uniquement la ligne et la ligne 1. Obtenir 0 à la place du terme a 3,1 par une combinaison linéaire utilisant uniquement la ligne 3 et la ligne 1. 1 0 0 L L L 1 L 3 L 3 + 4L 1 1 3 1 6 0 5 1 14 0 9 5. Obtenir 1 à la place du terme a, 1 0 1 0 L 1 5 L 1 3 1 6 1 0 1 14 5 5 0 9 5 A. YALLOUZ (MATH@ES) 90

Année 013-014 MATRICES T le ES 3. Obtenir 0 à la place du terme a 1, par une combinaison linéaire utilisant uniquement la ligne 1 et la ligne. Obtenir 0 à la place du terme a 3, par une combinaison linéaire utilisant uniquement la ligne 3 et la ligne. 8 1 0 L 1 L 1 + 3L 1 0 1 5 5 0 1 1 0 1 14 5 5 0 0 L 3 L 3 + 9L 0 0 1 1 5 5 4. Obtenir 1 à la place du terme a 3,3 1 0 0 1 0 0 1 L 3 5L 3 8 1 0 1 5 5 1 0 1 14 5 5 0 0 1 1 5. Obtenir 0 à la place du terme a 1,3 par une combinaison linéaire utilisant uniquement la ligne 1 et la ligne 3. Obtenir 0 à la place du terme a,3 par une combinaison linéaire utilisant uniquement la ligne et la ligne 3. 1 0 0 L 1 8 5 L 3 1 0 0 4 0 1 0 L 1 0 0 1 5 L 3 0 1 0 3 0 0 1 1 Cette matrice augmentée correspond au système x = 4 y = 3 z=1 On obtient l unique solution du système x= 4 ; y= 3 et z=1. DÉTERMINER L INVERSE D UNE MATRICE Soit A une matrice carrée d ordre n. Pour déterminer l inverse, si elle existe, de la matrice A on applique la méthode précédente à la matrice augmentée (A I n ). Si la matrice A est inversible, à l aide des opérations élémentaires on transforme la matrice augmentée (A I n ) pour obtenir la matrice ( I n A 1) EXEMPLE 0 1 3 Soit la matrice A= 1 6. La matrice augmentée est la matrice 3 1 8 0 1 3 1 0 0 1 6 0 1 0 3 1 8 0 0 1 1. Permuter, s il le faut, la première ligne avec une autre, pour que l élément de la première ligne et de la première colonne soit non nul. L 1 L 1 6 0 1 0 L L 1 0 1 3 1 0 0 3 1 8 0 0 1 A. YALLOUZ (MATH@ES) 91

Année 013-014 MATRICES T le ES. Obtenir 1 à la place du terme a 1,1 L 1 1 L 1 1 1 3 0 1 0 0 1 3 1 0 0 3 1 8 0 0 1 3. Obtenir 0 à la place du terme a 3,1 par une combinaison linéaire utilisant uniquement la ligne 3 et la ligne 1. 1 1 3 0 1 0 0 1 3 1 0 0 L 3 L 3 + L 1 0 1 1 0 3 1 4. Obtenir 1 à la place du terme a, L L 1 1 3 0 1 0 0 1 3 1 0 0 0 1 1 0 3 1 5. Obtenir 0 à la place du terme a 1, par une combinaison linéaire utilisant uniquement la ligne 1 et la ligne. Obtenir 0 à la place du terme a 3, par une combinaison linéaire utilisant uniquement la ligne 3 et la ligne. L 1 L 1 + 1 L 3 1 0 1 1 0 0 1 3 1 0 0 L 3 L 3 + 1 L 0 0 1 1 3 1 6. Obtenir 1 à la place du terme a 3,3 L 3 L 3 3 1 0 1 1 0 0 1 3 1 0 0 0 0 1 1 3 7. Obtenir 0 à la place du terme a 1,3 par une combinaison linéaire utilisant uniquement la ligne 1 et la ligne 3. Obtenir 0 à la place du terme a,3 par une combinaison linéaire utilisant uniquement la ligne et la ligne 3. L 1 L 1 3 L 3 1 0 0 5 3 L L + 3L 3 0 1 0 9 6 0 0 1 1 3 5 3 Ainsi, la matrice A est inversible et A 1 = 9 6. 1 3 A. YALLOUZ (MATH@ES) 9

Année 013-014 MATRICES T le ES EXERCICE 1 Une entreprise vend quatre types de produits notés P 1, P, P 3 et P 4. 7 1 5 15 La matrice des commandes de trois clients notés X, Y et Z est C= 13 0 1 5 les lignes étant relatives 7 13 8 aux clients et les colonnes aux produits. 1 1. Effectuer le produit C 1 1 et interpréter le résultat. 1 ( ). Effectuer le produit 1 1 1 C et interpréter le résultat. 3. Les prix unitaires de chacun des quatre produits sont respectivement 45 C, 15 C, 0 C et 30 C. Calculer à l aide d un produit de deux matrices, le montant en euros de la commande de chacun des clients. EXERCICE Une usine fabrique deux articles A et B à partir de quatre composants différents C 1, C, C 3 et C 4. La fabrication de chacun des composants nécessite trois ressources X, Y et Z (par exemple travail, matières premières et énergie). Les deux tableaux suivants présentent les quantités de composants utilisées pour produire un article A et un article B et les quantités de ressources, exprimées dans la même unité, nécessaires à la fabrication de chaque composant. C 1 C C 3 C 4 A 3 1 B 4 3 0 X Y Z C 1 10 15 3 C 15 18 8 C 3 1 6 C 4 4 11 1. À l aide d un produit de matrices, calculer les quantités de chaque ressource intervenant dans la fabrication de chaque article.. À l aide d un produit de matrices, calculer les quantités de ressources nécessaires à la production de 1 300 articles A et 800 articles B. EXERCICE 3 Une entreprise fabrique deux types de produits notés A et B : la fabrication d un article A nécessite 6 unités de matières premières, 4 unités de main d œuvre et 1 unité d énergie ; la fabrication d un article B nécessite 9 unités de matières premières, 3 unités de main d œuvre et unités d énergie. ( ) 1. On note C = 40 0 80 la matrice ligne des coûts unitaires, en euros, des trois facteurs de production (matières premières, main d œuvre et énergie). ) Calculer sous forme d un produit de matrices, la matrice ligne P= (p A p B des prix de revient des produits A et B.. Le bénéfice est égal à 0% du prix de revient sur le produit A et à 5% du prix de revient sur le produit B. A. YALLOUZ (MATH@ES) 93

Année 013-014 MATRICES T le ES ) a) Déterminer les éléments de la matrice carrée M telle que la matrice ligne V = (v A v B des prix de vente de chaque article soit égale au produit des deux matrices P et M. b) Calculer V. 3. L entreprise reçoit une commande de 100 produits A et 80 produits B. Calculer à l aide d un produit de deux matrices, le montant total en euros de la commande. EXERCICE 4 Pour la fabrication de deux produits A et B, on distingue quatre facteurs techniques de production : des unités de matières premières, des unités de conditionnement, des unités de main d œuvre et des unités d énergie. Le tableau suivant indique les quantités d unités de ces facteurs nécessaires à la production d une unité de produit A et à celle d une unité de produit B ainsi que la valeur estimée du coût de revient d une unité de chacun de ces facteurs. Facteurs techniques Produit A Produit B Coût de revient unitaire du facteur (en euros) Nombre d unités de matières premières 5 6 3 Nombre d unités de conditionnement 3 4 1 Nombre d unités de main d œuvre 4 3 4 Nombre d unités d énergie 1 La marge bénéficiaire sur chaque produit A et B est un pourcentage du coût total de production. Elle est égale à 30 % pour le produit A et à 35 % pour le produit B. On considère les matrices suivantes : ( ) 5 3 4 1 F= dont les éléments sont les quantités de facteurs de production nécessaires à la fabrication 6 4 3 des deux produits A et B. U dont les éléments sont les coûts unitaires des facteurs de production. C dont les éléments sont les coûts de production des deux produits A et B. V dont les éléments sont les prix de vente des deux produits A et B. 1. Déterminer les éléments de la matrice U de façon à ce que le produit des matrices F et U soit égal à la matrice C des coûts de production. Calculer la matrice C.. Déterminer les éléments de la matrice carrée M telle que la matrice V des prix de vente soit égale au produit des deux matrices M et C. Calculer V. 3. Un client commande 150 unités de produit A et 00 unités de produit B. Á l aide d un produit de matrices, calculer le montant total (en euros) de la commande. EXERCICE 5 Calculer les produits suivants : ( ) 3 5 ( ) 1 1 1 1 5 A= 3 B= 3 5 3 5 1 6 1 1 1 1 ( ) 1 1 1 3 5 4 3 1 1 1 4 C = 3 6 D= 3 0 3 1 1 5 1 1 14 19 3 1 3 1 1 A. YALLOUZ (MATH@ES) 94

Année 013-014 MATRICES T le ES EXERCICE 6 ( ) ( ) 1 0 a b Soit I = et M = où a et b sont deux réels non nuls. 0 1 b a Déterminer les éléments de la matrice J telle que M = ai + bj. EXERCICE 7 Soit (u n ) la suite définie par : u 0 = 50 et pour tout entier naturel n, u n+1 = 0,96 u n + 3. ( ) ( ) 1. On considère les matrices U 0 = 50 1, U n = u n 1. a) Déterminer la matrice carrée M telle que U n+1 = U n M b) Calculer U 1 et U. En déduire u 1 et u c) Montrer que si U p = U 0 M p alors U p+1 = U 0 M p+1 où p est un entier. ( ) d) Exprimer U n = u n 1 en fonction des matrices U 0 et M. Calculer u 6.. Soit (v n ) la suite définie pour tout entier naturel n, par v n = u n 75. a) Démontrer que (v n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. b) Exprimer, pour tout entier naturel n, u n en fonction de n. En déduire u 6. EXERCICE 8 ( a Soit T = 1 ) b où a et b sont deux réels. Calculer a et b pour que T = T 1. EXERCICE 9 1 Soit A la matrice A= 3 5 3 5 10 6 1. Déterminer la matrice M telle que A=M I 3.. Calculer M. 3. Développer le produit matriciel (M I 3 ). En déduire A. EXERCICE 10 ( ) 3 5 Soit A=. 3 1. Calculer A, en déduire l inverse de la matrice A.. Calculer A 3 et A 4. Quel est l inverse de la matrice A? EXERCICE 11 0 1 3 6 On considère les matrices P = 1 1 et A= 5 3 1 1 4 3 0 1 1 0 1. On note P 1 la matrice inverse de la matrice P. Vérifier que P 1 = 3 1 5 6. Déterminer la matrice D telle que A=P D P 1. A. YALLOUZ (MATH@ES) 95

Année 013-014 MATRICES T le ES 3. Calculer D, D 3 et D 4. 4. Calculer A, A 3 et A 4. EXERCICE 1 On considère la matrice A= 4 1 1 3 4 1 3 1. Calculer A et A 3.. En déduire A 6 puis A 3n où n est un entier naturel non nul. 3. Calculer l inverse de la matrice A 3. 4. a) Développer le produit (A I 3 ) ( A + AI 3 + I ) 3. b) En déduire l inverse de la matrice B=A I 3 EXERCICE 13 On considère les matrices P = 1 1 1 1 et D= 0 0 PARTIE A 1. Calculer D et D 3.. On note P 1 la matrice inverse de la matrice P. Vérifier que P 1 = 1 3 4 3 3. Soit A la matrice telle que A=P D P 1. Calculer A. 4. Montrer que A = P D P 1 et A 3 = P D 3 P 1. 3 3 PARTIE B On considère la suite (u n ) définie par u 0 =, u 1 = 1 et pour tout entier n, u n+ = 5 u n+1 u n. ( ) u n+1 1. Pour tout entier n, on pose V n = u n. a) Donner V 0 et V 1. b) Montrer que V n+1 = A V n. 1. On admet que pour tout entier n, V n = A n V 0 où A n = P D n P 1 et D n = 0. 0 n a) Calculer V 6. b) En déduire les valeurs de u 6 et u 7. EXERCICE 14 16 4 4 1 0 1 On considère les matrices A = 18 4 5 et P= 1 1. 30 8 7 1 1. Calculer la matrice B = AP.. Déterminer la matrice P 1. 3. On pose D=P 1 AP=P 1 B. Calculer D. A. YALLOUZ (MATH@ES) 96

Année 013-014 MATRICES T le ES 4. a) Exprimer A en fonction de D. b) Exprimer alors A puis A 3 en fonction de P, D, D 3 et P 1. 0 0 0 5. On admettra que, pour tout entier n strictement positif, on a A n = PD n P 1 et D n = 0 1 0. 0 0 4 n Déterminer les coefficients de A n en fonction de n. EXERCICE 15 Les 1500 salariés d une entreprise sont répartis dans trois services A, B et C. Pour rééquilibrer les effectifs des trois services, il a été décidé que : 10% des salariés du service B seront affectés au service C. 5% des salariés du service A seront affectés au service B et 15% au service C. Après cette restructuration, le nombre de salariés du service B a diminué de 15 personnes et 159 salariés ont été mutés dans le service C. On note x, y et z le nombre de salariés respectifs des trois services A, B et C avant la restructuration. Calculer les effectifs de chaque service après la restructuration. EXERCICE 16 Dans une entreprise de 60 personnes, le salaire moyen mensuel des employés est de 1500 C, celui des techniciens est de 600 C et celui des cadres de 400 C. La masse des salaires versés chaque mois par cette entreprise est de 114 000 C. Si on augmente de 6,4% le salaire des employés et de 4,5% celui des cadres et techniciens alors la masse des salaires mensuels augmente de 5,6%. Quel est l effectif de chaque catégorie de salariés de cette entreprise? EXERCICE 17 Soit P la parabole d équation y=ax + bx+c. La parabole P passe par le point A(1;) et coupe la droite d d équation y= x+3 en deux points d abscisses respectives 1 et. Déterminer l équation de la parabole P. EXERCICE 18 On se place dans le cas d une économie fermée à deux branches A et B. Une partie de la production de chaque branche ne sert pas directement à la consommation finale, chaque branche utilisant des consommations intermédiaires de production pour produire. On suppose que : La production d une unité de la branche A consomme 0,1 unité de production du secteur A et 0,4 unité de production du secteur B. La production d une unité de la branche B consomme 0,3 unité de production du secteur A et 0, unité de production du secteur B. ( ) ( ) 0,1 0,3 p A La matrice A = est appelée la matrice des coefficients techniques. X = est la matrice 0,4 0, p ( B ) production des productions totales exprimées en unité monétaire de chaque branche et D = demande des consommations finales exprimées en unité monétaire de chaque branche. On considère dans tout l exercice que X, A et D vérifient l égalité matricielle : X }{{} Production totale = AX }{{} Consommations intermédiaires + D }{{} Consommations finales d A d B est la matrice A. YALLOUZ (MATH@ES) 97

Année 013-014 MATRICES T le ES 1. On suppose dans cette question que la production totale p A de la branche A est de 400 unités monétaires et que la production totale p B de la branche B est de 500 unités monétaires. a) Déterminer les consommations intermédiaires de chacune des deux branches. b) Quelles sont les consommations finales de chacune des deux branches? ( ) 4 1 1 0 3. On note I = 0 1 la matrice identité d ordre. La matrice I A est inversible et(i A) 1 = a) Montrer que X =(I A) 1 D. ( ) 180 b) Si la demande des consommations finales en unité monétaire est D =, quelle doit être la production 70 de chaque branche pour satisfaire la demande des consommations finales? EXERCICE 19 Une économie fictive est structurée en trois secteurs A, B et C (par exemple Agriculture, Industrie et Services). Une partie de la production de chaque secteur ne sert pas directement à la consommation finale des consommateurs. En effet, chaque secteur utilise une part de la production des différents secteurs pour travailler, il s agit des consommations intermédiaires. On considère dans tout l exercice que : la production d une unité du secteur A consomme 0,1 unité de production du secteur A, 0, unités de production du secteur B et 0,1 unité de production du secteur C ; la production d une unité du secteur B consomme 0,3 unités de production du secteur A et 0,5 unités de production du secteur B et 0, unités de production du secteur C ; la production d une unité du secteur C consomme 0, unités de production du secteur B et 0, unités de production du secteur C ; la production totale de chaque secteur est la somme de toutes les consommations intermédiaires et de la consommation finale des consommateurs. 1. On suppose dans cette question que le vecteur colonne des productions totales de chacun des trois secteurs 150 est P= 300. 00 a) À l aide d un produit de matrices, calculer le vecteur colonne des consommations intermédiaires de chacun des trois secteurs. b) Quelles sont les consommations finales des consommateurs de chacun des trois secteurs?. On suppose dans cette question que la demande des consommations finales est de 81 unités du secteur A, 144 unités du secteur B et 108 unités du secteur C. Déterminer la production totale de chaque secteur pour satisfaire la demande des consommations finales? EXERCICE 0 1 1 3 Pour quelles valeurs du réel x, la matrice A= 4 6 est-elle inversible? EXERCICE 1 Le système suivant où m est un réel, a-t-il toujours une unique solution? 3 1 x x y+mz= x+y+5z= 1 4x 9y 0z=3 A. YALLOUZ (MATH@ES) 98 3 3.

Chapitre INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES Activités : Introduction........................................ 100 I Graphes premières définitions................................. 100 1 Définitions........................................ 100 Degré d un sommet.................................... 10 3 Représentation matricielle d un graphe......................... 103 4 Graphes isomorphes................................... 104 II Chaînes, cycles ; connexité................................... 107 1 Définitions........................................ 107 Chaînes de longueur donnée............................... 107 3 Connexité......................................... 108 4 Cycle eulérien...................................... 109 III Graphes étiquetés et automates................................. 111 1 Définitions........................................ 111 Automate......................................... 111 Exercices................................................ 11 A. YALLOUZ (MATH@ES) 99

Lycée JANSON DE SAILLY Année 013-014 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES ACTIVITÉ 1 M r et M me X assistent à une réunion. Il y a trois autres couples dans l assistance et plusieurs poignées de mains ont été échangées. Personne ne serre sa propre main et les époux ne se serrent pas la main. Deux personnes quelconques de l assemblée se serrent la main au plus une fois. M r X constate que les autres personnes ont échangé des poignées de mains en nombres tous distincts. Combien de poignées de mains M r et M me X ont-ils échangé avec les autres membres de la réunion? ACTIVITÉ On a un groupe de 0 personnes. Si deux personnes se connaissent, elles se serrent la main. Si deux personnes ne se connaissent pas, elles ne se serrent pas la main. Que pensez vous de la conjecture suivante : «on peut trouver dans le groupe deux personnes qui serrent le même nombre de mains»? ACTIVITÉ 3 Comment tracer cinq segments sur une feuille, de telle manière que chaque segment en coupe exactement trois autres? I GRAPHES PREMIÈRES DÉFINITIONS De manière générale, un graphe est un ensemble de sommets et d arêtes (ou arcs) reliant ces sommets. Il existe différents types de graphes, orientés ou non, ou autorisant plusieurs arcs entre deux sommets. Graphe G 1 Graphe G Graphe G 3 Graphe G 4 1 DÉFINITIONS Un graphe non orienté G =(S,A) est déterminé par la donnée de deux ensembles : un ensemble fini non vide S dont les éléments sont appelés sommets un ensemble A de paires de sommets appelées arêtes. Si S={x 1,x,,x n } est l ensemble des sommets d un graphe G, une arête a de l ensemble A s écrit a={x i,x j } où x i et x j sont les extrémités de a. Les sommets x i et x j sont alors adjacents dans le graphe G et on dit qu ils sont incidents avec l arête a. Lorsque les deux extrémités sont confondues (x i = x j ) l arête s appelle une boucle. Deux arêtes sont dites parallèles lorsqu elles ont mêmes extrémités. ORDRE D UN GRAPHE On appelle ordre d un graphe le nombre (n) de sommets de ce graphe. Par exemple : les graphes G 1 et G sont d ordre 4 ; le graphe G 3 est d ordre 5 et le graphe G 4 est d ordre 7. GRAPHE SIMPLE Un graphe est dit simple si deux sommets distincts sont joints par au plus une arête et s il est sans boucle. A. YALLOUZ (MATH@ES) 100

Lycée JANSON DE SAILLY Année 013-014 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES GRAPHE ORIENTÉ Un graphe peut être orienté une arête est alors appelée un arc. Un arc est défini par un couple ordonné (x i,x j ) de sommets. REMARQUE À tout graphe orienté, on peut associer un graphe simple. Par exemple sur un plan de ville où sont indiquées les rues en sens uniques, un piéton ne tiendra pas compte de l orientation pour se déplacer. Au graphe orienté on associe le graphe simple SOUS GRAPHE Il arrive que dans certains problèmes on ait besoin de considérer une partie d un graphe : G =(S,A ) est un sous-graphe de G=(S,A) si S est un sous ensemble de S et A un sous ensemble de A tel que les extrémités des arêtes de A sont des sommets de S. Si A est constitué de toutes les arêtes de A ayant pour extrémités les sommets de S alors on dit que G =(S,A ) est le sous-graphe engendré par S. EXEMPLE s 4 s 1 s s 5 s 6 s 3 Graphe G s 7 s 4 s 5 s 6 s 3 G 1 est un sous graphe de G s 7 s 4 s 5 s 6 s 3 G est le sous graphe de G engendré par {S 3,S 4,S 5,S 6,S 7 } s 7 GRAPHE COMPLET Un graphe complet K n est un graphe simple d ordre n 1 dont tous les sommets sont deux à deux adjacents. K 3 Deux représentations du K 4 K 5 A. YALLOUZ (MATH@ES) 101

Lycée JANSON DE SAILLY Année 013-014 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES DEGRÉ D UN SOMMET On appelle degré d un sommet le nombre d arêtes dont ce sommet est une extrémité (les boucles étant comptées deux fois). Ce degré vaut 0 si le sommet est isolé. EXEMPLE Dans le graphe ci-contre, les degrés des sommets sont : d(s 1 )= d(s )=4 d(s 3 )= d(s 4 )=3 d(s 5 )= d(s 6 )=1 d(s 7 )=0 s 4 s 1 s s 5 s 6 s 3 s 7 DEGRÉ D UN SOMMET DANS UN GRAPHE ORIENTÉ Soit s un sommet d un graphe orienté G. On note d + (s) le degré extérieur du sommet s, c est-à-dire le nombre d arcs ayant s comme extrémité initiale. On note d (s) le degré intérieur du sommet s, c est-à-dire le nombre d arcs ayant s comme extrémité finale. Le degré du sommet s est : EXEMPLE d(s)=d + (s)+d (s) Dans le graphe ci-contre, les degrés des sommets sont : d + (s 1 )= et d (s 1 )=1 d où d(s 1 )=3 d + (s )= et d (s )=3 d où d(s )=5 d + (s 3 )=1 et d (s 3 )=4 d où d(s 3 )=5 d + (s 4 )= et d (s 4 )=1 d où d(s 4 )=3 d + (s 5 )= et d (s 5 )=1 d où d(s 5 )=3 d + (s 6 )=1 et d (s 6 )=0 d où d(s 6 )=1 s 1 s s 5 s 4 s 3 s 6 REMARQUE Dans un graphe orienté, la somme des degrés extérieurs et la somme des degrés intérieurs sont égales au nombre d arcs. Si on note a le nombre d arcs d un graphe orienté alors d + (s)= d (s)= a. Par exemple si dans une réunion on échange des cadeaux, le nombre de cadeaux offerts est égal au nombre de cadeaux reçus, c est le nombre de cadeaux échangés. THÉORÈME La somme des degrés de tous les sommets d un graphe est égale à deux fois le nombre d arêtes de ce graphe ; c est donc un nombre pair. Démonstration Lorsqu on additionne les degrés des sommets, une arête est comptée deux fois, une fois pour chaque extrémité. A. YALLOUZ (MATH@ES) 10

Lycée JANSON DE SAILLY Année 013-014 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES COROLLAIRE Dans un graphe, le nombre de sommets impairs est un entier pair. Démonstration Soit p la somme des degrés des sommets pairs et m la somme des degrés des sommets impairs. m+ p est égal à la somme des degrés des sommets c est donc un nombre pair donc m est un nombre pair. Or une somme d entiers impairs est paire si, et seulement si, il y a un nombre pair de termes. On en déduit que le nombre de sommets impairs est un entier pair. PROPOSITION Dans un graphe simple d ordre n>1, il existe deux sommets distincts s i et s j ayant le même degré. Démonstration Soit G un graphe simple d ordre n>1. Le degré d un sommet s quelconque du graphe G est un entier d(s) tel que : 0 d(s) n 1. Supposons que les degrés des sommets soient différents. Les degrés des n sommets sont les entiers {0,1,,n 1} et il existe un sommet s i de degré 0 et un sommet s j de degré n 1. Or si d(s j )=n 1 cela signifie qu il est adjacent à tous les sommets du graphe et en particulier au sommet s i donc d(s i ) 1 Ce qui est en contradiction avec d(s i ) 0. 3 REPRÉSENTATION MATRICIELLE D UN GRAPHE Soit G=(S,A) un graphe d ordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n. La matrice d adjacence de G est égale à la matrice carrée M = (m i j ) de dimension n n où m i j est égal au nombre d arêtes d extrémités les sommets s i et s j. Dans le cas d un graphe orienté, m i j est égal au nombre d arcs ayant pour origine le sommet s i et pour extrémité finale le sommet s j. EXEMPLES 1.. s 1 s G 1 s 1 G s 3 s 4 s s 3 s 4 1 1 0 0 La matrice d adjacence du graphe orienté G 1 est M(G 1 )= 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 La matrice d adjacence du graphe simple G est M(G )= 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 REMARQUES 1. La matrice d adjacence d un graphe non orienté est symétrique. A. YALLOUZ (MATH@ES) 103

Lycée JANSON DE SAILLY Année 013-014 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES. La diagonale de la matrice d adjacence d un graphe simple ne comporte que des 0. 3. La demi somme de tous les coefficients de la matrice d adjacence d un graphe non orienté est égale au nombre d arêtes de ce graphe. 4. La somme de tous les coefficients de la matrice d adjacence d un graphe orienté est égale au nombre d arcs de ce graphe. La somme des coefficients de la ligne i est égale au nombre de successeurs du sommet s i. La somme des coefficients de la colonne i est égale au nombre de prédécesseurs du sommet s i. 4 GRAPHES ISOMORPHES Deux graphes isomorphes ont la même structure : peu importe la façon dont ils sont dessinés, il est possible de déplacer les sommets pour que l un soit la copie conforme de l autre. EXEMPLE Considérons les trois graphes ci-dessous : A B C Les trois graphes ont le même ordre (6), le même nombre d arêtes (9) et les sommets des trois graphes sont tous de degré 3. Or dans B il y a deux sous graphes complets d ordre 3 ce qui n est pas le cas pour les graphes A et C. Donc B n est pas isomorphe à A et C. Montrons que les graphes A et C sont isomorphes. a 3 a c 1 c 3 c 5 a 4 a 1 A a 5 a 6 C c c 4 c 6 Les sommets étant numérotés comme indiqué ci-dessus les deux graphes ont la même matrice d adjacence : 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 M A = M C = 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 A. YALLOUZ (MATH@ES) 104

Année 013-014 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES Donc A et C sont isomorphes. REMARQUES Le graphe B est planaire : on peut le dessiner sans que ses arêtes se croisent. Le graphe C (ou A) est un graphe biparti : il existe une partition de son ensemble S de sommets en deux sous-ensembles X et Y telle que chaque arête du graphe a une extrémité dans X et l autre dans Y. Ce n est pas un graphe planaire, il est impossible de le dessiner sans que ses arêtes se croisent. A. YALLOUZ (MATH@ES) 105

Année 013-014 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES ACTIVITÉ 1 Voici le plan de trois étages d un musée. À chaque étage, un visiteur se rend compte qu il peut choisir un itinéraire passant une seule fois par chaque pièce. Pour chacun des étages : Est-il possible de faire le tour de l étage en passant exactement une seule fois par chacune des portes? Dans ce cas, où faut-il placer les portes d entrée et de sortie de l étage pour que ce parcours reste possible? 1 er étage e étage 3 e étage ACTIVITÉ Voici un plan de la ville de Königsberg : C e d g A c D B a b f Est-il possible de se promener en ne passant qu une seule fois sur chacun des sept ponts? A. YALLOUZ (MATH@ES) 106

Lycée JANSON DE SAILLY Année 013-014 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES II CHAÎNES, CYCLES ; CONNEXITÉ Les graphes sont souvent utilisés pour modéliser des problèmes associés à des parcours ou à des successions d actions. Pour cela, on introduit la notion de chaîne. 1 DÉFINITIONS Soit G =(S,A) un graphe non orienté. Une chaîne est une liste finie et alternée de sommets et d arêtes, débutant et finissant par des sommets, telle que chaque arête est incidente avec les sommets qui l encadrent dans la liste. Le premier et le dernier élément de la liste sont les extrémités initiale et finale de la chaîne. Si le graphe est simple, on peut définir une chaîne par la liste de ses sommets ou de ses arêtes. 1. La longueur d une chaîne est égale au nombre d arêtes qui la composent.. Une chaîne dont toutes les arêtes sont distinctes est une chaîne simple. 3. Une chaîne dont tous les sommets (sauf peut-être les extrémités) sont distincts est une chaîne élémentaire. 4. Une chaîne est fermée si l origne et l extrémité finale de la chaîne sont confondues. 5. Une chaîne fermée est un cycle si elle est composées d arêtes toutes distinctes. REMARQUE Les défnitions précédentes, peuvent être transposées au cas des graphes orientés. On parlera de chaîne orientée ou chemin et de cycle orienté ou circuit. EXEMPLE Dans le graphe ci-contre : s La chaîne {s 0 ; s 1 ; s 0 ; s ; s 0 ; s 3 ; s 0 ; s 4 ; s 0 ; s 5 ; s 0 } est une chaîne fermée de longueur 10. La chaîne {s 1 ; s ; s 3 ; s 0 ; s 4 ; s 5 } est une chaîne élémentaire de longueur 5. s 3 s 0 s 1 La chaîne {s 1 ; s ; s 0 ; s 3 ; s 4 ; s 0 ; s 5 ; s 1 } est un cycle de longueur 7. s 4 s 5 CHAÎNES DE LONGUEUR DONNÉE NOMBRE DE CHAÎNES Soit G un graphe et M sa matrice d adjacence. Le nombre de chaînes de longueur n joignant le sommet i au sommet j est donné par le terme d indice i, j de la matrice M n. DISTANCE Soit G un graphe ; si x et y sont deux sommets de G, la distance de x à y notée d(x,y), est la longueur d une plus courte chaîne de G reliant x à y. REMARQUES La distance d un sommet à lui même est nulle. S il n existe pas de chaînes joignant deux sommets x et y, la distance de x à y est infinie. A. YALLOUZ (MATH@ES) 107

Lycée JANSON DE SAILLY Année 013-014 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES DIAMÈTRE On appelle diamètre d un graphe la plus grande des distances entre deux sommets du graphe. EXEMPLE 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 s 3 0 1 0 1 1 0 s 1 Soit M = la matrice d adjacence du graphe G ci-contre 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 s 4 s 5 On obtient les nombres de chaînes de longueurs données en calculant les matrices suivantes : 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 4 1 1 0 0 1 1 0 0 4 1 1 0 6 7 7 M 1 0 3 1 1 = M 3 0 4 6 6 = M 4 4 16 10 10 1 = 0 1 1 3 1 1 1 6 4 5 5 1 7 10 16 15 9 0 1 1 3 1 1 1 6 5 4 5 1 7 10 15 16 9 0 0 1 1 0 5 5 1 9 9 10 Il y a 3 chaînes fermées de longueur d origine le sommet s 3, 5 chaînes de longueur 3 entre les sommets s 4 et s 6 et chaînes de longueur 4 entre les sommets s 1 et s 6. 0 1 3 3 4 1 0 1 3 1 0 1 1 La matrice des distances entre les différents sommets est D=. 3 1 0 1 1 3 1 1 0 1 4 3 1 1 0 Le diamètre du graphe est 4. s s 6 3 CONNEXITÉ Un graphe G est connexe s il existe au moins une chaîne entre deux sommets quelconques G. Autrement dit : Un graphe est connexe si on peut atteindre n importe quel sommet à partir d un sommet quelconque en parcourant différentes arêtes ALGORITHME L algorithme suivant permet de déterminer tous les sommets qui peuvent être atteints à partir d un sommet. Soit G un graphe et x un sommet de G : Marquer provisoirement (au crayon) le sommet x ; TANT_QUE des sommets sont provisoirement marqués FAIRE choisir un sommet y provisoirement marqué; marquer provisoirement les sommets adjacents non marqués; marquer définitivement (à l encre) y; FIN TANT_QUE Si tous les sommets sont définitivement marqués alors le graphe est connexe, sinon on a obtenu la classe de connexité du sommet x. La figure suivante illustre cet algorithme sur un graphe A. YALLOUZ (MATH@ES) 108

Lycée JANSON DE SAILLY Année 013-014 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES s s 1 s 9 s s 1 s 9 s s 1 s 9 s s 1 s 9 s 3 s 8 s 3 s 8 s 3 s 8 s 3 s 8 s 4 s 5 s 6 s 7 s 4 s 5 s 6 s 7 s 4 s 5 s 6 Le graphe n est pas connexe, il n existe pas de chaîne entre les sommets s 1 et s. s 7 s 4 s 5 s 6 s 7 4 CYCLE EULÉRIEN DÉFINITION Un cycle eulérien (respectivement une chaîne eulérienne) dans un graphe G est un cycle (respectivement une chaîne) contenant chaque arête de G une et une seule fois. THÉORÈME 1 Un graphe connexe admet un cycle eulérien si, et seulement si, tous ses sommets ont un degré pair. Démonstration Si le graphe possède 0 ou 1 sommet, la preuve est triviale, nous supposerons donc que l ordre du graphe est supérieur ou égal à. Si le graphe connexe admet un cycle eulérien alors en chaque sommet le cycle eulérien «entrant» dans le sommet doit «ressortir» et comme les arêtes du cycle ne peuvent être utilisées qu une fois, chaque sommet est de degré pair. Réciproquement : Soit G un graphe connexe dont tous les sommets sont de degré pair. Comme G possède au moins deux sommets, tous les sommets de G sont de degré supérieur ou égal à. Ceci implique qu il existe au moins un cycle dans G. Formons un cycle C 1 dans G ( chaîne fermée dont toutes les arêtes sont distinctes ). Si C 1 contient toutes les arêtes du graphe alors G admet un cycle eulérien et le théorème est démontré. Dans le cas contraire, le sous graphe H de G défini par les arêtes non utilisées par C 1 a tous ses sommets de degré pair, le cycle contenant un nombre pair d arêtes incidentes pour chaque sommet. Comme G est connexe, H possède au moins un sommet commun avec le cycle C 1. Soit x i un tel sommet. Construisons alors, de la même manière que précédemment, un cycle C dans H à partir de x i. En insérant dans le cycle C 1 à partir du sommet x i le cycle C,on obtient un cycle C 1. Si ce cycle contient toutes les arêtes de G, C 1 est le cycle eulérien cherché. Sinon, on continue ce processus, qui se terminera car les sommets du graphe G sont en nombre fini. THÉORÈME Un graphe connexe possède une chaîne eulérienne si, et seulement si, le nombre de sommets de degré impair est égal à 0 ou. Si le nombre de sommets de degré impair est égal à, alors les deux sommets de degré impair sont les extrémités de la chaîne eulérienne Démonstration Soit G un graphe connexe. Si le nombre de sommets de degré impair est nul, alors le graphe G admet un cycle eulérien. Si le nombre de sommets de degré impair est égal à. Soit s i et s j les deux sommets de degré impair. Le graphe G obtenu en ajoutant l arête s i s j au graphe G est connexe et tous ses sommets sont de degré pair. G admet un cycle eulérien dont l origine est le sommet s i. Par conséquent G contient une chaîne eulérienne qui commence en s i et se termine en s j. A. YALLOUZ (MATH@ES) 109

Lycée JANSON DE SAILLY Année 013-014 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES ALGORITHME Les démonstrations précédentes permettent de construire une chaîne eulérienne dans un graphe connexe dont le nombre de sommets de degré impair est 0 ou. SI deux sommets sont de degré impair ALORS construire une chaîne simple C ayant pour extrémités ces deux sommets ; FIN SI SI tous les sommets sont de degré pair ALORS construire un cycle C à partir d un sommet quelconque ; FIN SI marquer les arêtes de C; TANT_QUE il reste des arêtes non marquées FAIRE choisir un sommet x de C; SI il existe un cycle d origine x ne contenant aucune des arêtes marquées ALORS marquer les arêtes du cycle d origine x; remplacer dans C le sommet x par le cycle d origine x; FIN SI FIN TANT_QUE EXEMPLE Le cycle{s 1 ; s 6 ; s 5 ; s 7 ; s 3 ; s 4 ; s ; s 1 } contient tous les sommets du graphe G ci-contre. Donc G est connexe. Il n y a que deux sommets de degré impair s 1 et s 5. Il existe une chaîne eulérienne commençant d extrémités s 1 et s 5. s 1 s 6 s 5 s 4 s 7 s s 3 ÉTAPE 1 Les deux sommets de degré impair sont s 1 et s 5 On construit une chaîne simple joignant ces deux sommets ; s 6 s 5 C={s 1 ; s ; s 6 ; s 3 ; s 4 ; s 5 } s 1 s 4 s 7 s s 3 ÉTAPE Le cycle simple c 1 ={s ; s 4 ; s 1 ; s 6 ; s 5 ; s } ne contient aucune des arêtes de la chaîne C. On fusionne la chaîne C avec le cycle c 1 en remplaçant le sommet s dans la chaîne C par le cycle c 1. s 1 s 6 s 5 s 4 s 7 C={s 1 ; s ; s 4 ; s 1 ; s 6 ; s 5 ; s ; s 6 ; s 3 ; s 4 ; s 5 } Il reste encore des arêtes non marquées, on recommence l étape s s 3 Le cycle c ={s 3 ; s 7 ; s 5 ; s 3 } ne contient aucune des arêtes de la chaîne C. On fusionne la chaîne C avec le cycle c en remplaçant le sommet s 3 dans la chaîne C par le cycle c. s 6 s 5 C ={s 1 ; s ; s 4 ; s 1 ; s 6 ; s 5 ; s ; s 6 ; s 3 ; s 7 ; s 5 ; s 3 ; s 4 ; s 5 } s 1 s 4 s 7 Toutes les arêtes sont marquées C est une chaîne eulérienne. s s 3 A. YALLOUZ (MATH@ES) 110

Année 013-014 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES III GRAPHES ÉTIQUETÉS ET AUTOMATES 1 DÉFINITIONS Un alphabet A est un ensemble fini de symboles dont les éléments sont appelés des lettres. Par exemple l alphabet binaire contient deux lettres {0,1} Un mot sur l alphabet A est une suite finie de lettres de A. Par exemple barbare, arbre et babbbar sont des mots sur l alphabet {a,b,e,r} Un graphe étiqueté est un graphe où chacune des arêtes est affectée d une lettre de l alphabet A. EXEMPLE Le graphe étiqueté ci-dessous, modélise le fonctionnement d un monte-charge équipé de deux boutons qui permettent de monter ou de descendre d un étage : + + + 1 0 1 + L alphabet est A={ ;+} Les états symbolisent les étages. Les étiquettes symbolisent les transitions entre les états (monter ou descendre d un étage) Le bouton est inactif au sous-sol et le bouton + est inactif au deuxième étage. AUTOMATE DÉFINITION Un automate est un graphe orienté étiqueté : les états sont les sommets et les transitions sont les arêtes étiquetées. L état initial est marqué par une flèche entrante ; un état final est, soit doublement cerclé (A. 1), soit marqué d une flèche sortante (A. ). a a a b 1 3 a b 1 3 b A. 1 A. b RECONNAISSANCE D UN MOT Un mot m est reconnu ou accepté par un automate s il existe un chemin étiqueté par le mot m menant de l état initial à un état final. Par exemple : l automate A.1 accepte les mots finissant par ab ; l automate A. accepte les mots commençant par ab. A. YALLOUZ (MATH@ES) 111

Lycée JANSON DE SAILLY Année 013-014 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES EXERCICE 1 Pour chacune des listes suivantes, déterminer s il existe un graphe simple admettant cette liste pour liste des degrés des sommets. S il existe un tel graphe, le dessiner, sinon expliquer pourquoi. 1. (,3,3,4,4,5). (1,1,1,3) 3. (1,1,,4,4) 4. (,3,3,4,5,6,7) EXERCICE 1. Quel est le nombre d arêtes du graphe simple G si la liste des degrés des sommets est (,,3,3,4)?. Dans un graphe simple d ordre n, quel est le nombre maximal d arêtes? EXERCICE 3 Un graphe est «planaire» si on peut le dessiner dans le plan sans que deux arêtes se croisent. Les graphes suivants sont-ils planaires? G 1 G G 3 G 4 EXERCICE 4 Les graphes simples suivants sont-ils isomorphes? 1. A et B. et C D 3. et E F A. YALLOUZ (MATH@ES) 11

Lycée JANSON DE SAILLY Année 013-014 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES EXERCICE 5 Trouver deux graphes d ordre 5 qui ne sont pas isomorphes et dont les degrés des sommets sont donnés par la liste (1,,,,3). EXERCICE 6 Un graphe G est biparti s il existe une partition de son ensemble S de sommets en deux sous-ensembles X et Y telle que chaque arête de G a une extrémité dans X et l autre dans Y. Parmi les graphes suivants lesquels sont bipartis? Graphe G Graphe H Graphe I Graphe J EXERCICE 7 a On considère le graphe ci-contre : 1. Combien y a-t-il de chaînes de longueur 3 ayant pour extrémités a et b?. Dénombrer toutes les chaînes élémentaires ayant pour extrémités a et f. 3. Quel est le diamètre du graphe? e d 4. Combien de cycles distincts possède-t-il? EXERCICE 8 b f c Pour chacun des graphes suivants, existe-t-il un cycle eulérien? une chaîne eulérienne? Graphe G Graphe H Graphe I EXERCICE 9 1. Dessiner le graphe simple d ordre 8 dont l ensemble des arêtes est : A={(1;),(1;3),(;3),(;4),(;7),(3;5),(3;6),(3;7),(4;5),(4;7),(5;6),(5;7),(6;7),(6;8),(7;8)}. Donner la matrice M associée à ce graphe. A. YALLOUZ (MATH@ES) 113

Lycée JANSON DE SAILLY Année 013-014 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES 3. Combien y a-t-il de chemins de longueur 3 permettant de se rendre du sommet 1 au sommet 8? Les donner tous. 4. Est-il possible de parcourir toutes les arêtes de ce graphe sans passer plus d une fois par la même arête? Si oui donner un parcours possible. 5. Existe-il un cycle passant une fois et une seule par toutes les arêtes du graphe? EXERCICE 10 1. Dessiner un graphe simple dont la liste des degrés des sommets est (6,6,,,,,,1,1) a) qui possède une chaîne eulérienne ; b) qui ne possède pas de chaîne eulérienne.. Est-il possible d avoir un graphe qui possède un cycle eulérien si la liste des degrés des sommets est (6,6,4,,,,)? EXERCICE 11 On considère des dominos dont les faces sont numérotées 0, 1,, 3 ou 4. 1. a) En excluant les dominos doubles, de combien de dominos dispose-t-on? b) Montrez que l on peut arranger ces dominos de façon à former une boucle fermée (en utilisant la règle habituelle de contact entre les dominos). c) Pourquoi n est-il pas nécessaire de considérer les dominos doubles?. Avec des dominos dont les faces sont numérotées de 0 à n, est-il toujours possible de les arranger de façon à former une boucle fermée? EXERCICE 1 On considère le graphe suivant : B C D A E H G F 1. Le graphe est-il connexe?. Le graphe admet-il des chaînes eulériennes? Si oui, en préciser une. 3. Justifier la non-existence d un cycle eulérien pour le graphe. Quelle arête peut-on alors ajouter à ce graphe pour obtenir un graphe contenant un cycle eulérien? 4. Soit M la matrice associée à ce graphe (les sommets sont pris dans l ordre alphabétique). 4 10 3 1 7 8 3 1 10 0 11 1 8 1 11 1 3 11 0 14 3 11 0 14 On donne M 3 = 1 1 14 1 1 14 7 8 3 1 4 10 3 1 8 1 11 1 10 0 11 1 3 11 0 14 3 11 0 14 1 1 14 1 1 14 A. YALLOUZ (MATH@ES) 114

Année 013-014 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES Déterminer le nombre de chaînes de longueur 3 partant du sommet G et aboutissant au sommet E. Citer alors toutes ces chaînes. EXERCICE 13 (D après sujet bac Polynésie 006) Une compagnie aérienne propose des vols directs entre certaines villes, notées A, B, C, D, E, F et G. Cela conduit au graphe G suivant, dont les sommets sont les villes et les arêtes représentent les liaisons aériennes : E D C F B 1. Le graphe G est-il complet? Quel est l ordre de G? G. En considérant les sommets dans l ordre alphabétique, construire la matrice M associée à G. 3. On donne : 6 945 9 94 8 764 8 764 9 358 3 766 5 786 9 94 14 345 1 636 1 636 13 390 5 486 8 310 8 764 1 636 11 178 11 177 11 807 4 89 7 369 M 8 = 8 764 1 636 11 177 11 178 11 807 4 89 7 369 9 358 13 390 11 807 11 807 1 634 5 095 7 807 3 766 5 486 4 89 4 89 5 095 116 3 181 5 786 8 310 7 369 7 369 7 807 3 181 4 890 Combien y a-t-il de chemins de longueurs 8 qui relient B à D? 4. a) Pourquoi est-il impossible pour un voyageur de construire un itinéraire qui utilise chaque liaison aérienne une et une seule fois? b) Montrer qu il est possible de construire un tel itinéraire en ajoutant une seule liaison qui n existe pas déjà et que l on précisera. EXERCICE 14 (D après sujet bac France Métropolitaine, La Réunion Septembre 007) A PARTIE I Le graphe suivant représente le plan d une ville. Les arêtes du graphe représentent ses avenues commerçantes et les sommets du graphe les carrefours de ces avenues. A B D C E 1. Donner l ordre de ce graphe, puis le degré de chacun de ses sommets.. Un piéton peut-il parcourir toutes ces avenues sans emprunter plusieurs fois la même avenue? Justifier votre réponse. A. YALLOUZ (MATH@ES) 115 F

Année 013-014 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES PARTIE II Dans le graphe suivant, on a indiqué le sens de circulation dans les différentes avenues. A B D C E F 1. Écrire la matrice M associée à ce graphe. (On rangera les sommets dans l ordre alphabétique).. Quel est le nombre de trajets de longueur reliant D à B? EXERCICE 15 (D après sujet bac Asie 013) Pour accéder à sa messagerie, Antoine a choisi un code qui doit être reconnu par le graphe étiqueté suivant, de sommets 1,, 3 et 4 : P N 1 S E 3 S 4 U C Une succession des lettres constitue un code possible si ces lettres se succèdent sur un chemin du graphe orienté ci-dessus, en partant du sommet 1 et en sortant au sommet 4. Les codes SES et SPPCES sont ainsi des codes possibles, contrairement aux codes SUN et SPEN. 1. Parmi les trois codes suivants, écrire sur votre copie le (ou les) code(s) reconnu(s) par le graphe. SUCCES SCENES SUSPENS. Recopier et compléter la matrice d adjacence A associée au graphe. On prendra les sommets dans l ordre 1--3-4. 0 1 0 0 A= 1 1 0 3. Quel est le nombre de codes de 4 lettres reconnus par le graphe? Quels sont ces codes? EXERCICE 16 On considère l automate G défini par le graphe suivant : A, E, R B B A R A, B, E, R 0 1 3 E, R B A, E A. YALLOUZ (MATH@ES) 116

Année 013-014 INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GRAPHES T le ES 1. Parmi les mots suivants, quels sont ceux qui sont reconnus par l automate. BARBARE BARBE BABAR BARBERA REBARRER ARBRE. Recopier et compléter la matrice d adjacence M associée au graphe. 3 1 0 0 M = 3. Quel est le nombre de mots de 4 lettres reconnus par l automate? Quels sont ces mots? 4. Caractériser les mots reconnus par l automate. EXERCICE 17 1. Construire un automate reconnaissant les puissances de 10.. Construire un automate sur l alphabet {0;1} reconnaissant les mots comportant un nombre pair de 1. EXERCICE 18 On considère l automate M défini par le graphe suivant : 0, 3, 6, 9 0, 3, 6, 9 1, 4, 7 e 0 e 1 1, 4,7, 5, 8, 5, 8, 5,8 1, 4, 7 e 0, 3, 6, 9 1. Parmi les mots suivants, quels sont ceux qui sont reconnus par l automate? 136 150 105 5106 1391 144. Comment caractériser l ensemble des mots accepté par M? POUR INFORMATION : Automate reconnaissant les entiers binaires qui sont des multiples de 3 0 1 1 0 s 0 s 1 s 1 0 A. YALLOUZ (MATH@ES) 117

Chapitre 3 GRAPHES PONDÉRÉ ET PLUS COURT CHEMIN I Graphe pondéré......................................... 119 1 Définition......................................... 119 Longueur d un chemin.................................. 119 II Algorithme de Dijkstra..................................... 10 Exercices................................................ 1 A. YALLOUZ (MATH@ES) 118

Lycée JANSON DE SAILLY Année 013-014 GRAPHES PONDÉRÉ ET PLUS COURT CHEMIN T le ES La recherche du meilleur itinéraire que ce soit en distance, en temps ou en coût d un point à un autre peut être modélisée par la recherche du plus court chemin dans un graphe. Dans ce paragraphe, on s intéresse à la recherche d un plus court chemin dans un graphe entre deux sommets donnés. I GRAPHE PONDÉRÉ 1 DÉFINITION On appelle graphe pondéré, un graphe (orienté ou non) dont les arêtes ont été affectées d un nombre appelé poids (ou coût). Par analogie avec la matrice d adjacence, on peut définir la matrice des poids P(a i, j ) du graphe, dont les coefficients a i, j correspondent aux poids des arêtes (ou des arcs dans le cas d un graphe orienté) : 0 si i= j a i, j = s il n existe pas d arêtes ( ou d arc) entre les sommets x i et x j p i j où p i j est le poids de l arête ( ou de l arc) entre les sommets x i et x j On utilise le symbole pour indiquer qu il n y a pas d arêtes entre deux sommets. EXEMPLE 11 8 A B D 1 3 7 E F 6 11 3 3 4 1 10 C Les sommets du graphe étant rangés dans l ordre alphabétique : 0 8 3 7 0 10 6 0 3 P= 11 0 3 4 1 0 1 11 0 LONGUEUR D UN CHEMIN Soit C(x,y) un chemin (ou une chaîne) dans un graphe pondéré G du sommet x vers le sommet y. La longueur de ce chemin est égale à la somme des poids de chacun arcs ( ou de chacune des arêtes) qui le constituent. REMARQUE Cette définition généralise la définition de la longueur d une chaîne dans un graphe non pondéré, il suffit d attribuer un poids égal à 1 à chaque arête du graphe. Dans l exemple précédent, la longueur du chemin AEBF est 17. Si on souhaite déterminer le plus court chemin du sommet A au sommet F, on peut essayer d énumérer tous les chemins ABF, AEBF, AEDF, ABCDF, AEBCDF et calculer leurs longueurs. Mais avec un graphe de taille plus importante, ceci risque de devenir rapidement impossible. Pour résoudre ce problème, on fait appel à des algorithmes. En terminale ES, on n étudie que le cas particulier où les poids de tous les arcs sont des réels positifs. A. YALLOUZ (MATH@ES) 119

Année 013-014 GRAPHES PONDÉRÉ ET PLUS COURT CHEMIN T le ES II ALGORITHME DE DIJKSTRA E. W. Dijkstra (1930-00) a proposé en 1959 un algorithme qui permet de calculer le plus court chemin entre un sommet particulier et tous les autres dans un graphe pondéré dont tous les poids sont positifs. L algorithme comporte une phase d initialisation. À chaque sommet on attribue un poids qui vaut 0 pour le sommet de départ et infini pour les autres sommets. Le traitement de l algorithme consiste à examiner les sommets les uns après les autres et à sélectionner le sommet x auquel on a affecté la plus petite distance du sommet de départ jusqu à x. On recommence tant qu il reste des sommets à sélectionner. Soit G un graphe connexe dont les arêtes sont pondérées par des nombres positifs. Notations : S la liste des sommets du graphe et s le sommet du graphe à partir duquel on veut déterminer les plus courts chemins aux autres sommets. l(x,y) le poids de l arête entre deux sommets x et y δ s (x) la longueur d un chemin du sommets s au sommet x V + (x) la liste des successeurs du sommet x p(x) le prédécesseur du sommet x X liste des sommets restant à traiter. E liste des sommets déjà traités. INITIALISATION : POUR_CHAQUE x S FAIRE δ s (x)= ; Poser δ s (s)=0; X = S; E = ; ; TRAITEMENT : TANT_QUE X FAIRE Choisir dans X le sommet x avec δ s (x) minimum; Retirer x dans X et l ajouter à E; POUR_CHAQUE y V + (x) X FAIRE SI δ s (y)>δ s (x)+l(x,y) ALORS poser δ s (y)=δ s (x)+l(x,y); p(y)=x ; FIN SI FIN POUR_CHAQUE FIN TANT_QUE // on examine tous les successeurs de x qui ne sont pas traités EXEMPLE Considérons le graphe suivant : A. YALLOUZ (MATH@ES) 10

1 Lycée JANSON DE SAILLY Année 013-014 GRAPHES PONDÉRÉ ET PLUS COURT CHEMIN T le ES 8 A B 7 3 4 10 11 E 11 F 6 1 3 D 3 C On souhaite déterminer le plus court chemin du sommet A au sommet F. A B C D E F Sommets sélectionnés 0 A(0) 8(A) (A) E(3) 7(E) 15(E) B(7) 9(B) 15(E) 17(B) C(9) 1(C) 17(B) D(1) 15(D) F(15) Initialisation ; δ(a)=0 A est sélectionné. B et E sont les successeurs de A qui ne sont pas traités ; 0+8< donc δ(b)=8 et p(b)=a ; 0+3< donc δ(e)=3 et p(e)=a ; δ min = 3, Le sommet E est sélectionné. B et D sont les successeurs de E qui ne sont pas traités ; 3+4< 8 donc δ(b)=7 et p(b)=e; 3+1< donc δ(d)=15 et p(d)=e; δ min = 7, Le sommet B est sélectionné. C et F sont les successeurs de B qui ne sont pas traités ; 9+< donc δ(c)=9 et p(c)=b ; 9+10< donc δ(f)=10 et p(f)=b ; δ min = 9, Le sommet C est sélectionné. D est le successeur de C qui n est pas traité ; 9+3< 15 donc δ(d)=1 et p(d)= C ; δ min = 1, Le sommet D est sélectionné. F est le successeur de D qui n est pas traité ; 1+3< 17 donc δ(f)=15 et p(f)=d ; Le sommet F est le dernier sommet traité. L algorithme de Dijkstra fournit les longueurs des plus courts chemins du sommet origine aux différents sommets. Pour déterminer le plus court chemin du sommet origine à un sommet x, il suffit de remonter la liste des prédécesseurs en partant de x. Ainsi, le plus court chemin de A à F est un chemin de longueur 15. Comme F D C B E A on obtient que le plus court chemin de A à F est A E B C D F. A. YALLOUZ (MATH@ES) 11

Lycée JANSON DE SAILLY Année 013-014 GRAPHES PONDÉRÉ ET PLUS COURT CHEMIN T le ES EXERCICE 1 Le graphe ci-dessous indique les différentes liaisons entre plusieurs lieux. Le long de chaque arête figure la distance en kilomètres séparant les différents lieux. En précisant la méthode utilisée, déterminer le plus court chemin possible pour aller de A à L. A 10 B C 5 D 8 3 5 1 3 E 6 F 3 G 10 H 1 4 6 8 9 3 I J k 3 L EXERCICE Exécuter l algorithme de Dijkstra sur le graphe suivant, à partir du sommet F, puis à partir du sommet A. A EXERCICE 3 On considère le graphe suivant : B 5 C 3 4 5 G D 6 13 19 7 F H 6 5 18 14 E D G C B E A F A. YALLOUZ (MATH@ES) 1

Année 013-014 GRAPHES PONDÉRÉ ET PLUS COURT CHEMIN T le ES 1. Existe-t-il des chaînes de longueur partant du sommet A et aboutissant au sommet C?. Le graphe admet-il des chaînes eulériennes? Si oui, en préciser une. 3. Le graphe pondéré ci-dessous, donne en minutes, les durées moyennes des parcours entre A et C en tenant compte des sens uniques. D 18 G 8 7 C B 19 7 6 7 38 8 E 19 11 A 10 F Un automobiliste doit se rendre de A à C. En utilisant un algorithme, déterminer le trajet le plus rapide pour aller de A à C. Le retour sera-t-il plus rapide que l aller? EXERCICE 4 Sur la carte ci-dessous, sont représentés sept pays avec leurs frontières. B A C D E F G Les questions 1, et 3 sont indépendantes. Toutes les réponses devront être justifiées. 1. On s intéresse aux frontières séparant ces pays : a) Traduire cette carte par un graphe dont les sommets sont les pays et où chaque arête représente une frontière entre deux pays. b) On appelle M la matrice associée à ce graphe, les sommets étant pris dans l ordre alphabétique. Une des trois matrices R, S ou T est la matrice M 3. Sans calculs, indiquer quelle est la matrice M 3. 4 3 3 1 1 8 1 9 1 7 4 11 4 1 3 1 1 4 3 1 1 3 1 8 9 1 11 4 7 4 3 1 3 3 0 9 9 6 11 6 4 6 1 3 1 R= 3 3 5 S= 1 1 11 1 1 4 1 T = 3 3 6 3 3 3 1 4 1 7 11 6 1 6 6 10 1 3 4 1 1 0 1 1 4 4 4 4 6 6 1 3 1 3 1 4 11 7 6 1 10 6 6 3 3 4 A. YALLOUZ (MATH@ES) 13

Année 013-014 GRAPHES PONDÉRÉ ET PLUS COURT CHEMIN T le ES c) Est-il possible, dans tous les cas, de se rendre d un pays à un autre en franchissant exactement trois frontières? d) Est-il possible de visiter tous les pays en franchissant une et une seule fois chacune des frontières?. Une personne désire se rendre en train d une ville située dans le pays A à une autre ville du pays F. Le graphe pondéré ci-dessous donne, en heures, les durées moyennes des liaisons ferroviaires existantes entre les différents pays en tenant compte des temps d attente entre deux correspondances. A 4 B 3 1 7 C 3 3 6 D 3 E 3 5 G 4 F En précisant la méthode utilisée, déterminer le trajet le plus court que cette personne devra utiliser pour son voyage. Combien de temps faut-il prévoir pour effectuer ce trajet? EXERCICE 5 Dans le graphe ci-dessous, les sommets représentent différentes zones de résidence ou d activités d un quartier. Une arête reliant deux de ces sommets indique l existence d une voie d accès principale entre deux lieux correspondants. A C E P G H B D F 1. Pour sa campagne électorale, un candidat souhaite parcourir toutes les voies d accès principales de ce quartier sans emprunter plusieurs fois la même voie. a) Montrer qu un tel parcours est possible. b) Un tel parcours est-il possible pour ce candidat en partant de sa permanence électorale située en P? si oui le donner, sinon proposer un parcours possible en partant d un autre endroit.. Un candidat aux élections municipales se trouve dans sa permanence située en zone P quand on lui rappelle qu il a un rendez-vous avec le responsable de l hôpital situé en zone H. a) Quel est le nombre minimal de voies d accès principales que ce candidat devra emprunter pour arriver à son rendez-vous? b) Le graphe pondéré ci-dessous donne, en minutes, les durées moyennes des trajets existants entre les différents lieux : A. YALLOUZ (MATH@ES) 14

Lycée JANSON DE SAILLY Année 013-014 GRAPHES PONDÉRÉ ET PLUS COURT CHEMIN T le ES A 7 C 11 E 4 11 10 9 3 P G 10 H 6 1 9 8 B 4 D 5 F En précisant la méthode utilisée, déterminer le plus court chemin que ce candidat devra emprunter pour arriver à son rendez-vous. Combien de temps faut-il prévoir pour effectuer ce trajet? EXERCICE 6 (D après sujet bac Antilles, Guyane 013) Un guide de randonnée en montagne décrit les itinéraires possibles autour d un pic rocheux. La description des itinéraires est donnée par le graphe ci-contre. Les sommets de ce graphe correspondent aux lieux remarquables. Les arêtes de ce graphe représentent les sentiers possibles entre ces lieux. Légende : 1 Départ Passerelle 4 9 3 Roche percée 4 Col des 3 vents 5 Pic rouge 6 Refuge 7 Col vert 8 Pont Napoléon 9 Cascade des anglais 10 Arrivée D 1 5 6 7 8 10 A 3 1. Donner un itinéraire allant de D à A passant par tous les sommets du graphe une seule fois mais n empruntant pas forcément tous les sentiers.. Existe-t-il un itinéraire allant de D à A utilisant tous les sentiers une seule fois? Justifier votre réponse. 3. On note M la matrice d adjacence associée à ce graphe, les sommets étant pris dans l ordre. On donne ci-contre M 5. a) Que représente le nombre 89 situé sur la deuxième ligne et la quatrième colonne? b) Déterminer le nombre d itinéraires allant de D à A empruntant 5 sentiers. Citer un tel itinéraire passant par le pic rouge. 56 78 75 8 59 57 54 40 6 31 78 88 95 89 96 57 50 65 48 30 75 95 68 68 77 68 46 73 5 3 8 89 68 6 98 49 9 79 67 13 M 5 = 59 96 77 98 50 8 80 40 4 46 57 57 68 49 8 36 5 68 49 16 54 50 46 9 80 5 10 73 60 5 40 65 73 79 40 68 73 3 14 48 6 48 5 67 4 49 60 14 6 39 31 30 3 13 46 16 5 48 39 A. YALLOUZ (MATH@ES) 15

Lycée JANSON DE SAILLY Année 013-014 GRAPHES PONDÉRÉ ET PLUS COURT CHEMIN T le ES 4 45 9 4. On a complété ci-contre le graphe décrivant les itinéraires avec les temps de parcours en minutes pour chacun des sentiers. Déterminer l itinéraire allant de D à A le plus court en temps. On fera apparaître la démarche en utilisant un algorithme. D 1 35 90 60 50 15 5 5 35 40 5 6 90 10 55 15 0 7 8 40 0 10 A 3 EXERCICE 7 (D après sujet bac Liban 013) Le graphe ci-dessous représente les autoroutes entre les principales villes du Sud de la France : Bordeaux (B), Clermont-Ferrand (C), Lyon (L), Marseille (M), Montpellier (P), Brive (R), Toulouse (T), Valence (V) et Biarritz (Z). C L B R V Z T P M Pour cette question, on justifiera chaque réponse. 1. a) Déterminer l ordre du graphe. b) Déterminer si le graphe est connexe. c) Déterminer si le graphe est complet.. Un touriste atterrit à l aéroport de Lyon et loue une voiture. Déterminer, en justifiant, s il pourra visiter toutes les villes en empruntant une et une seule fois chaque autoroute. 3. Il décide finalement d aller seulement de Lyon à Biarritz. On note N la matrice associée au graphe, les sommets étant rangés dans l ordre alphabétique : B, C, L, M, P, R, T, V, Z. Voici les matrices N et N 3 : A. YALLOUZ (MATH@ES) 16

Année 013-014 GRAPHES PONDÉRÉ ET PLUS COURT CHEMIN T le ES 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 N = 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 4 1 1 3 6 6 1 5 0 5 8 6 1 1 3 1 5 0 1 0 3 5 0 1 5 1 4 1 et N 3 = 3 8 1 5 1 8 7 1 6 6 0 1 8 3 6 1 3 1 8 8 4 1 6 1 1 5 4 7 3 1 1 5 3 0 1 1 6 1 a) En détaillant le calcul, déterminer le coefficient de la troisième ligne et dernière colonne de la matrice N 4. b) En donner une interprétation. 4. Sur les arêtes du graphe sont maintenant indiqués les prix des péages en euro. 11,50 C 10,70 L B 11,50 R 8,60 7,10 V 4,40 17,50 14,60 16,0 15,70 Z 19,60 T 19,60 P 9,40 M a) À l aide de l algorithme de Dijkstra, déterminer le chemin que doit prendre le touriste pour minimiser le coût des péages de Lyon à Biarritz. b) Déterminer le coût, en euro, de ce trajet. A. YALLOUZ (MATH@ES) 17

Chapitre 4 GRAPHES PROBABILISTES Activité................................................. 19 I Définitions............................................ 130 1 graphe probabiliste.................................... 130 matrice de transition................................... 130 3 état probabiliste...................................... 130 II Évolution d un état au cours du temps............................. 131 1 Propostion........................................ 131 Théorème......................................... 131 3 État stable......................................... 13 4 Propriété......................................... 13 Exercices................................................ 134 A. YALLOUZ (MATH@ES) 18

Année 013-014 GRAPHES PROBABILISTES T le ES ACTIVITÉ 1 Étude du marché du travail de la population (15-65 ans) d un pays fictif. En 014, 69% de la population occupe un emploi, 6% de la population est au chômage. Les transitions entre l emploi, le chômage et l inactivité sur le marché du travail de ce pays les années précédentes sont données, en pourcentage, dans le tableau suivant : Année n+1 Année n Emploi Chômage Inactif Emploi 90 3 7 Chômage 30 43 7 Inactif 14 7 79 Ce tableau synthétise les changements de situation entre deux années consécutives : 90% des personnes qui ont un emploi une année donnée occupent un emploi l année suivante. On interroge au hasard une personne de la population (15-64 ans). Soit n un entier naturel, on note : E n l évènement «Cette personne occupe un emploi l année 014+n» ; C n l évènement «Cette personne est au chômage l année 014+n» ; I n l évènement «Cette personne est inactive l année 014+n». e n, c n et i n les probabilités respectives P(E n ),P(C n ) et P(I n ). 1. Recopier et compléter l arbre pondéré qui traduit l évolution de la situation entre les années n et n + 1 E n 0,90 E n+1 C n+1 I n+1 C n E n+1 C n+1 I n+1 I n E n+1 C n+1. Calculer les probabilités e 1 et c 1. En déduire la probabilité i 1. 3. Calculer la probabilité c. I n+1 4. Exprimer les probabilités e n+1, c n+1 et i n+1 en fonction des probabilités e n, c n et i n. A. YALLOUZ (MATH@ES) 19

Année 013-014 GRAPHES PROBABILISTES T le ES I DÉFINITIONS 1 GRAPHE PROBABILISTE Un graphe probabiliste est un graphe orienté pondéré (sans arêtes parallèles) dans lequel la somme des poids des arêtes issues de chaque sommet est égale à 1. Les graphes probabilistes sont utilisés pour modéliser l évolution d un système pouvant changer aléatoirement d état : les sommets du graphe sont les états possibles du système ; le poids d une arête orientée issue du sommet i et d extrémité j est la probabilité conditionnelle de la réalisation de l évènement j à l étape n + 1 sachant que l évènement i est réalisé à l étape n. EXEMPLE Notons respectivement E, C et I les trois états emploi chômage et inactivité de l activité 1. Le graphe probabiliste associé est : 0,90 E 0,03 0,30 0,14 0,07 0,7 0,43 C I 0,79 0,07 MATRICE DE TRANSITION La matrice de transition associée à un graphe probabiliste d ordre k est la matrice carrée M = (m i, j ) d ordre k telle que, pour tous entiers i et j vérifiant 1 i k et 1 j k, m i, j est égal au poids de l arête orientée d origine le sommet i et d extrémité le sommet j si cette arête existe, et est égal à 0 sinon. Tous les coefficients sont positifs ou nuls, et pour chaque ligne la somme des coefficients est égale à 1. Cette matrice décrit le passage d un état au suivant. Le coefficient m i, j est la probabilité conditionnelle d être dans l état j à l instant n + 1 sachant que l on est dans l état i à l instant n. EXEMPLE La matrice de transition M du graphe précédent est : 0,90 0,03 0,07 M = 0,30 0,43 0,7 0,14 0,07 0,79 3 ÉTAT PROBABILISTE Un état probabiliste est une loi de probabilité sur l ensemble des états possibles. Cette loi est représentée par une matrice ligne telle que la somme des termes est égale à 1. EXEMPLE Dans l activité 1, en 014, 69% de la population occupe un emploi, 6% de la population est au chômage. Notons P 0 l état probabiliste de l année 014 : ( ) P 0 = 0,69 0,06 0,5 A. YALLOUZ (MATH@ES) 130

Année 013-014 GRAPHES PROBABILISTES T le ES II ÉVOLUTION D UN ÉTAT AU COURS DU TEMPS Étudions l évolution au ) cours du temps du système à trois états (emploi, chômage, inactif) de l activité 1 : Soit P n = (e n c n i n l état probabiliste du système l année n. D après la formule des probabilités totales, l année n + 1 : e n+1 = e n 0,90+c n 0,30+i n 0,14 c n+1 = e n 0,03+c n 0,43+i n 0,7 i n+1 = e n 0,14+c n 0,07+i n 0,79 L état probabiliste du système l année n+1 est : ( P n+1 = e n 0,90+c n 0,30+i n 0,14 e n 0,03+c n 0,43+i n 0,7 ) e n 0,14+c n 0,07+i n 0,79 ) 0,90 0,03 0,07 Soit P n+1 = (e n c n i n 0,30 0,43 0,7 0,14 0,07 0,79 1 PROPOSTION On considère un système qui peut se trouver dans k états 1,,,k avec une certaine probabilité et on étudie l évolution de ce système au cours du temps. ) Soit P n = (a 1 a k l état probabiliste du système à l instant n, M la matrice de transition et P n+1 l état probabiliste du système à l instant n+1. Alors, pour tout entier n, on a EXEMPLE Avec les données de l exemple précédent : P n+1 = P n M ( ) 0,90 0,03 0,07 P 1 = 0,69 0,06 0,5 0,30 0,43 0,7 = 0,14 0,07 0,79 En 015, 6,4% de la population devrait être au chômage. ( ) 0,674 0,064 0,6 THÉORÈME Si M est la matrice de transition d un graphe probabiliste d ordre p, si P 0 est la matrice ligne décrivant l état initial et P n l état probabiliste à l étape n, on a P n = P 0 M n EXEMPLE Calculons l état probabiliste prévisible en 00 : ( ) 0,90 0,03 0,07 P 6 = 0,69 0,06 0,5 0,30 0,43 0,7 0,14 0,07 0,79 6 ( ) 0,64 0,069 0,91 En supposant qu il n y ait pas de changement sur les transitions dans le marché du travail, en 00 d environ 6,9% de la population (15-65 ans) de ce pays serait au chômage. A. YALLOUZ (MATH@ES) 131

Année 013-014 GRAPHES PROBABILISTES T le ES 3 ÉTAT STABLE Un état stable d un graphe probabiliste de matrice de transition M est un état P tel que P=PM. EXEMPLE Déterminons ( l état) stable P du système emploi, chômage et inactivité sur le marché du travail. Soit P= e c i l état stable. Nous avons : ( ) ( ) 0,90 0,03 0,07 P=PM e c i = e c i 0,30 0,43 0,7 0,14 0,07 0,79 ( ) ( ) e c i = 0,9e+0,3c+0,14i 0,03e+0,43c+0,07i 0,07e+0,7c+0,79i Or P est un état probabiliste d où e+c+i=1. Par conséquent e, e et i sont solutions du système : 0,9e+0,3c+0,14i = e 0,1e+0,3c+0,14i = 0 0,03e+0,43c+0,07i = c 0,03e 0,57c+0,07i = 0 0,07e+0,7c+0,79i = i 0,07e+0,7c 0,1i = 0 L 3 = (L 1 + L ) e+c+i = 1 e+c+i = 1 0,1e+0,3c+0,14i = 0 0,03e 0,57c+0,07i = 0 e+c+i = 1 0,4c+0,4i = 0,1 0,6c 0,04i = 0,03 e+c+i = 1 e+c+i = 1 0,4c+0,4i = 0,1 0,8i = 0,4 e = 0,63 c = 0,07 i = 0,30 ( ) L état stable du système est P= 0,63 0,07 0,30. En supposant qu il n y ait pas de changement sur le marché du travail, sur le long terme environ 7% de la population (15-65 ans) serait au chômage. REMARQUE Le taux de chômage est le rapport entre le chômage et la population active (emploi+chômage) soit : 0,07 0,63+0,07 = 0,1 Sur le long terme, le taux du chômage se stabilise à 10% 4 PROPRIÉTÉ Pour tout graphe probabiliste d ordre, dont la matrice de transition M ne comporte pas de 0, l état P n converge vers un état stable P indépendant de l état initial P 0. A. YALLOUZ (MATH@ES) 13

Année 013-014 GRAPHES PROBABILISTES T le ES EXEMPLE En salle des professeurs, il y a deux photocopieuses qui fonctionnent indépendamment l une de l autre. Chaque photocopieuse en état de marche a une probabilité égale à 0, de tomber en panne pendant la journée. Dans le cas où une photocopieuse tombe en panne pendant la journée, elle est réparée en fin de journée et se retrouve donc en état de marche le lendemain. Supposons que l on ne puisse pas réparer plus d une photocopieuse chaque jour. On s intéresse au nombre de photocopieuses en panne en début de journée. Le graphe probabiliste est un graphe à deux états 0 ou 1 : 0,04 0,96 0 1 0, 0,8 dont la matrice de transition est ( ) M = 0,96 0,04 0,8 0, ( Soit P= a ) b l état stable du système. Nous avons : ( P=PM a ( a ) ( b = a ( ) ) 0,96 0,04 b 0,8 0, ) 0,04a+0,b ) ( b = 0,96a+0,8b Or P est un état probabiliste d où a+b=1. Par conséquent a et b sont solutions du système : 0,96a+0,8b = a 0,04a 0,8b = 0 0,04a+0,b = b 0,04a 0,8b = 0 a+b = 1 a+b = 1 { 0,04a 0,8b = 0 a+b = 1 a = 0 1 b = 1 1 L état stable du système est P= ( 0 1 ) 1. Quel que soit l état initial, au bout d un certain nombre jours, la 1 probabilité que chaque jour aucune photocopieuse ne soit en panne est égale à 0 1. A. YALLOUZ (MATH@ES) 133

Année 013-014 GRAPHES PROBABILISTES T le ES EXERCICE 1 Le tableau ci-dessous extrait d une étude de la Commission européenne, donne en pourcentage les transitions entre l emploi, le chômage et l inactivité sur le marché du travail dans l Union Européenne en fonction du genre : Année n+1 Hommes Femmes Année n Emploi Chômage Inactif Emploi Chômage Inactif Emploi 95 3 93 3 4 Chômage 31 58 11 8 56 16 Inactif 10 4 86 9 4 87 Calculer les probabilités selon son genre, pour une personne qui est en congé parental(inactif) d avoir un emploi un an plus tard et deux ans plus tard. EXERCICE Une chaîne de magasins de prêt à porter a adopté en fonction du succès ou de l échec d un type de vêtement mis en vente, la stratégie commerciale suivante : En cas de succès du modèle vendu on conserve le même modèle le mois suivant. Il a alors une probabilité 0,5 de se retrouver en situation d échec. En cas d échec on change de modèle le mois suivant en adoptant une politique commerciale plus agressive (prix plus ajusté, publicité etc). Il a alors une probabilité 0,6 de se retrouver en situation de succès. 1. Représenter la situation à l aide d un graphe probabiliste à deux états.. On suppose qu en cas de succès d un modèle, l entreprise gagne 1C par article et qu en cas d échec, elle perd 1,0C par article. a) En cas de succès d un modèle, quel est le gain moyen sur ce modèle un mois plus tard? b) Quel est le montant du gain moyen que cette entreprise peut espérer réaliser sur le long terme? EXERCICE 3 Un opérateur de téléphonie mobile propose à ses abonnés deux forfaits : une formule A qui donne droit à deux heures de communication mensuelle ; une formule B qui donne droit à un nombre illimité de communications mensuelles. On admet que d une année sur l autre, le nombre de clients de cet opérateur est stable et que : 0% des clients ayant choisi la formule B changent de formule ; 30% des clients ayant choisi la formule A changent de formule. En 010, 80% des clients de cet opérateur étaient abonnés à la formule A. 1. Représenter les données précédentes par un graphe probabiliste G de sommets A et B et donner sa matrice de transition. ). Pour un entier naturel n donné, on note P n = (a n b n avec a n + b n = 1, la matrice ligne décrivant l état ( ) probabiliste lors de l année 010+n. L état probabiliste initial est donc P 0 = 0,8 0,. a) Calculer la probabilité qu un client soit abonné à la formule A en 011. b) Montrer que, pour tout entier naturel n, a n+1 = 0,5a n + 0,. 3. On pose pour tout entier n, u n = a n 0,4. a) Démontrer que la suite (u n ) est une suite géométrique de raison 0,5. A. YALLOUZ (MATH@ES) 134

Année 013-014 GRAPHES PROBABILISTES T le ES b) Exprimer u n en fonction de n et en déduire que, pour tout entier naturel n : a n = 0,4 (1+0,5 n ) c) Déduire de ce qui précède, la limite de la suite (a n ). Donner une interprétation concrète de ce résultat. d) À partir de quelle année, la probabilité qu un client soit abonné à la formule A sera-t-elle inférieure à 0,401? EXERCICE 4 Un site internet comporte 6 pages, notées A, B, C, D, E, F reliées entre elles suivant le graphe ci-dessous. F A B C D E 1. Le responsable du site souhaite tester les liens de pages. En partant de la page A, est-il possible de trouver un parcours passant une seule fois par tous les liens de pages?. Le responsable du site souhaite que deux pages reliées aient des couleurs différentes. Quel est le nombre minimum de couleurs nécessaires? 3. Le graphe orienté ci-dessous indique les liens direct entre les pages du site. On considère que sur chaque page, les visiteurs choisissent uniformément et au hasard de rester sur la page ou de suivre un des liens. F A B C D ( 3 Vérifier que l état stable du système est P= 38 Interpréter ce résultat. E 3 19 9 38 4 19 3 19 ) 3 19 EXERCICE 5 Un industriel produit une boisson conditionnée sous deux emballages distincts A et B. Une étude effectuée auprès des consommateurs a permis d établir que d un mois sur l autre, 84% des consommateurs restent fidèles au conditionnement A contre 76% pour le conditionnement B. Au moment de l étude, les consommations des deux conditionnements sont égales. Pour tout entier naturel n, on note a n la probabilité ) qu un consommateur choisisse le conditionnement A le n-ième mois après l étude et P n = (a n b n la matrice ligne décrivant l état probabiliste le n-ième mois après A. YALLOUZ (MATH@ES) 135

Année 013-014 GRAPHES PROBABILISTES T le ES ( ) l étude. Ainsi, P 0 = 0,5 0,5. 1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.. a) Écrire la matrice de transition M de ce graphe en respectant l ordre alphabétique des sommets. ( ) b) Montrer que la matrice ligne P est égale à 0,564 0,436. ( ) 3. Soit P= a b la matrice correspondant à l état stable, c est à dire telle que P=P M. Déterminer les réels a et b. Interpréter ce résultat. 4. À l aide de la relation P n+1 = P n M, démontrer que, pour tout entier naturel n, a n+1 = 0,6a n + 0,4. 5. On considère la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n, par u n = a n 0,6. a) Démontrer que la suite (u n ) est une suite géométrique de raison 0,6. b) Exprimer u n en fonction de n et en déduire que a n = 0,1 0,6 n + 0,6. c) À partir de combien de mois après l étude, la probabilité qu un consommateur choisisse le conditionnement A est-elle supérieure à 0,595? EXERCICE 6 Un industriel décide de mettre sur le marché un nouveau produit. Afin de promouvoir celui-ci, il souhaite lancer une campagne hebdomadaire de publicité. Avant le lancement de cette campagne, on contrôle l impact de cette campagne auprès d un panel de consommateurs. On trouve ceux qui ont une opinion favorable (F), ceux qui sont neutres (N) et ceux qui ont une opinion négative (R). On a constaté que d une semaine sur l autre : 8% des consommateurs ayant un avis favorable adoptent une position neutre et 10% une opinion négative ; Parmi les consommateurs ayant une opinion neutre, 3% émettent un avis favorable et 10% un avis négatif ; 70% des consommateurs ayant un avis négatif ne changent pas d opinion et 16% adoptent un avis favorable. 1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets F, N et R.... 0,8 0,1. On note M la matrice de transition associée à ce graphe. Compléter M = 0,3... 0,1....... 0,7 3. L industriel décide de lancer la campagne publicitaire. ) Pour tout entier naturel n, l état probabiliste de la semaine n est défini par la matrice ligne P n = (a n b n c n, où a n désigne la probabilité qu un consommateur touché par la campagne soit favorable au produit la semaine n, b n la probabilité que ce consommateur soit neutre la semaine n et c n la probabilité que ce consommateur ait une opinion négative de ce produit la semaine n. ( ) La semaine du début de la campagne est notée semaine 0. On a P 0 = 0 1 0. ( a) Montrer que l état probabiliste une semaine après le début de la campagne est P 1 = 0,3 0,58 0,1 ). b) Déterminer l état probabiliste P 3. Interpréter ce résultat. c) Déterminer l état probabiliste stable du système. d) En ne prenant en compte que les opinions favorables, combien de semaines devrait durer la campagne publicitaire? EXERCICE 7 (D après sujet bac Amérique du Sud 013) Une étude est réalisée chaque hiver sur une population composée de personnes qui peuvent pratiquer le ski de piste ou le snowboard. L étude révèle que : A. YALLOUZ (MATH@ES) 136

Année 013-014 GRAPHES PROBABILISTES T le ES Si une personne pratique le ski de piste, alors la probabilité qu elle pratique le snowboard l hiver suivant est égale à 0,. Si une personne pratique le snowboard, alors la probabilité qu elle pratique le ski de piste l hiver suivant est égale à 0,3. On note S l état : «la personne pratique le ski de piste» et S l état : «la personne pratique le snowboard». On note également pour tout entier naturel n : p n la probabilité qu une personne pratique le ski de piste lors du n-ième hiver ; q n la probabilité qu une personne pratique le snowboard lors du n-ième hiver ; ) P n = (p n q n la matrice ligne donnant l état probabiliste du système lors du n-ième hiver. On suppose ( ) que la population initiale ne comporte que des personnes pratiquant le ski de piste, on a donc P 0 = 1 0. PARTIE A 1. Représenter la situation à l aide d un graphe probabiliste de sommets S et S.. a) Donner la matrice de transition M de ce graphe probabiliste. b) Calculer M. c) Déterminer l état probabiliste P. 3. Montrer que pour tout entier naturel n, on a p n+1 = 0,5p n + 0,3. 4. On considère l algorithme suivant : Variables : 1 J et N sont des entiers naturels p est un nombre réel Entrée : 3 Saisir N Initialisation : 4 p prend la valeur 1 Traitement : 5 Pour J allant de 1 à N 6 p prend la valeur... 7 Fin Pour Sortie : 8 Afficher p Recopier et compléter la ligne 6 de cet algorithme afin d obtenir la probabilité p N. PARTIE B On considère, pour tout entier naturel n, l évènement S n : «la personne pratique le ski de piste lors du n-ième hiver». La probabilité de l évènement S n est notée p(s n ). On a donc p n = p(s n ). On sait d après la partie A que pour tout entier naturel n, p n+1 = 0,5p n + 0,3. Soit la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n par u n = p n 0,6. 1. Démontrer que la suite (u n ) est une suite géométrique de raison 0,5 et préciser la valeur de u 0.. En déduire l expression de u n en fonction de n puis l expression de p n en fonction de n. 3. Déterminer la limite de la suite (p n ) et interpréter le résultat. A. YALLOUZ (MATH@ES) 137

Année 013-014 GRAPHES PROBABILISTES T le ES PARTIE C Une partie du domaine skiable est représentée par le graphe ci-dessous. Le sommet A représente le haut des pistes de ski et le sommet I en représente le bas. Les sommets B, C, D, E, F, G et H représentent des points de passages. Chacune des arêtes est pondérée par la distance, en centaine de mètres, entre deux sommets. B A 7 15 8 16 F 18 13 8 1 C 1 E 5 1 7 H 6 D 18 19 13 5 I 7 G Déterminer, à l aide de l algorithme de Dijkstra, la distance minimale permettant de relier le sommet A au sommet I. EXERCICE 8 (D après sujet bac Antilles, Guyane Septembre 013) Une entreprise de produits cosmétiques fait réaliser une étude marketing sur une population donnée. Cette étude montre que lors de la sortie d une nouvelle crème hydratante, la probabilité qu une cliente l achète lors de la première vente promotionnelle est de 0,. De plus, lorsqu une cliente a acheté une crème hydratante lors d une vente promotionnelle, la probabilité qu elle en achète à nouveau lors de la vente promotionnelle suivante est de 0,8. Lorsqu une cliente n a pas acheté de crème hydratante, la probabilité pour qu elle en achète à la vente promotionnelle suivante est de 0,3. n étant un entier naturel non nul, on note : a n la probabilité qu une cliente achète une crème hydratante lors de la n-ième vente promotionnelle. b n la probabilité qu une cliente n achète pas une crème hydratante lors de la n-ième vente promotionnelle. ) P n = (a n b n la matrice ligne traduisant l état probabiliste à la n-ième vente promotionnelle. 1. a) Déterminer P 1. b) Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets : V quand il y a achat ; V quand il n y a pas achat.. a) Écrire la matrice M de transition associée à ce graphe. b) Calculer P et P 3. D après ces résultats, quel est l effet de ces trois premières ventes promotionnelles? ( ) 3. Justifier qu il existe un état stable P = a b pour cette situation. Le déterminer. A. YALLOUZ (MATH@ES) 138

Année 013-014 GRAPHES PROBABILISTES T le ES 4. L étude marketing montre que certains produits ne sont jamais achetés simultanément. On représente les incompatibilités par le graphe suivant, où deux sommets reliés représentent deux produits qui ne sont jamais dans une même commande. Par exemple, les produits A et B, représentés par des sommets reliés, ne sont jamais dans une même commande. A B G H C D F E L entreprise souhaite répartir les produits dans des lots constitués de produits ne présentant aucune incompatibilité d achat. Combien de lots doit-elle prévoir au minimum? Justifier votre réponse à l aide d un algorithme et proposer une répartition des produits. EXERCICE 9 Dans une entreprise, la société de débit boisson CAFTHÉ installe deux machines : l une ne sert que du café et l autre ne sert que du thé. Chaque jour lors de la pause déjeuner, chaque employé de l entreprise choisit une boisson, et une seule : café ou thé. On suppose que le nombre total d employés de l entreprise reste constant au cours du temps. La société CAFTHÉ pense que la machine à café sera toujours la plus utilisée. Une enquête, effectuée sur plusieurs jours, auprès des employés pour connaitre leurs choix de boisson a montré que : 97 % des employés qui choisissent un café un jour donné prennent encore un café le lendemain. 98 % des employés qui choisissent un thé un jour donné prennent encore un thé le lendemain. On admet que cette tendance se poursuit les jours suivants. Le premier jour, 70 % des employés ont choisi un café. On note C l état «L employé choisit un café» et T l état «L employé choisit un thé». Pour tout entier naturel n non nul, on note : c n la probabilité de l évènement «un employé, pris au hasard, choisit un café le jour n» ; t n la probabilité de l évènement «un employé, pris au hasard, choisit un thé le jour n» ; ) P n la matrice (c n t n correspondant à l état probabiliste le jour n. 1. Traduire les données de l énoncé par un graphe probabiliste de sommets C et T.. Déterminer la matrice P 1 donnant l état probabiliste le premier jour. ( ) 0,97 0,03 3. La matrice de transition M de ce graphe, en considérant les sommets dans l ordre C et T est M=. 0,0 0,98 Déterminer la probabilité, arrondie au centième, qu un employé choisisse un thé le quatrième jour. ( ) 4. a) Montrer que l état stable est 0,4 0,6. A. YALLOUZ (MATH@ES) 139

Année 013-014 GRAPHES PROBABILISTES T le ES b) Est-ce que la société CAFTHÉ avait raison quant à l utilisation de la machine à café à long terme? 5. a) Exprimer P n+1 en fonction de P n. En déduire que pour tout entier n, on a c n+1 = 0,95 c n + 0,0. b) On considère l algorithme suivant : Variables : Entrée : A est un réel i et n sont des entiers naturels Saisir n Initialisation : Affecter à A la valeur 0,70 Traitement : Sortie : Pour i de 1 à n Affecter à A la valeur 0,95 A+0,0 Fin Pour Afficher A En faisant apparaître les différentes étapes, donner la valeur affichée par cet algorithme lorsque la valeur de n est égale à 3. Que permet de déterminer cet algorithme? EXERCICE 10 (D après sujet bac Polynésie 013) Les parties A et B sont indépendantes Alors qu une entreprise A possédait le monopole de l accès à internet des particuliers, une entreprise concurrente B est autorisée à s implanter. Lors de l ouverture au public en 010 des services du fournisseur d accès B, l entreprise A possède 90% du marché et l entreprise B possède le reste du marché. Dans cet exercice, on suppose que chaque année, chaque internaute est client d une seule entreprise A ou B. On observe à partir de 010 que chaque année, 15% des clients de l entreprise A deviennent des clients de l entreprise B, et 10% des clients de l entreprise B deviennent des clients de l entreprise A. Pour tout entier naturel n, on note a n la probabilité qu un internaute de ce pays, choisi au hasard, ait son accès à internet fourni par l entreprise A pour l année 010+n, et b n, la probabilité pour que son fournisseur d accès en 010+n soit l entreprise ) B. On note P n = (a n b n la matrice correspondant à l état probabiliste de l année 010+n et on a ainsi a 0 = 0,9 et b 0 = 0,1. PARTIE A 1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste.. a) Déterminer la matrice de transition M de ce graphe. ( ) b) Montrer qu en 013, l état probabiliste est environ 0,61 0,39. c) Déterminer l état stable P = ( a ) b de la répartition des clients des entreprises A et B. Interpréter le résultat. PARTIE B Lors d une campagne de marketing l entreprise B distribue un stylo ou un porte-clés ; il en coûte à l entreprise 0,80 C par stylo et 1,0 C par porte-clés distribué. À la fin de la journée l entreprise a distribué 550 objets et cela lui a coûté 540 C. On cherche le nombre s de stylos et le nombre c de porte-clés distribués. 1. Écrire un système traduisant cette situation. A. YALLOUZ (MATH@ES) 140

Lycée JANSON DE SAILLY Année 013-014 GRAPHES PROBABILISTES T le ES. Montrer que le système précédent est équivalent à R X = T où R= que l on précisera. 3. Résoudre le système à l aide de la calculatrice. Interpréter le résultat. ( 1 1 0,8 1, ) et X et T sont des matrices EXERCICE 11 (D après sujet bac Polynésie Septembre 013) Les parties A et B sont indépendantes PARTIE A Un club sportif organise une course d orientation. Sept postes de contrôles (appelés balises) sont prévus. Les sept balises notées B1 ; B ;... ; B7 sont représentées sur le graphe ci-contre. Les arêtes du graphe représentent les chemins possibles entre les balises et sur chaque arête est indiqué le temps de parcours estimé en minutes. 1. a) Le graphe est-il connexe? Justifier la réponse. B1 13 B4 B3 8 5 b) Existe-t-il un parcours qui permet de revenir à une balise de départ en passant une et une seule fois par tous les chemins? Justifier la réponse. c) Existe-t-il un parcours qui permet de relier deux balises différentes en passant une et une seule fois par tous les chemins?. Les organisateurs décident de situer le départ à la balise B1 et l arrivée à la balise B7. Chaque participant doit rallier la balise B7 en un minimum de temps. Ils ne sont pas tenus à emprunter tous les chemins. Quelle est la durée minimale du parcours possible et quel est ce parcours? Justifier votre réponse à l aide d un algorithme. B5 1 9 4 15 B 13 6 B6 5 B7 PARTIE B Depuis l année 011, ce club sportif propose à ses licenciés une assurance spécifique. La première année, 80 % des licenciés y ont adhéré. En 01, 70 % des licenciés ayant adhéré en 011 ont conservé cette assurance et 60 % de ceux n ayant pas adhéré en 011 ont adhéré en 01. En supposant que cette évolution se maintienne, le club sportif souhaite savoir quel pourcentage de licenciés adhèrera à cette assurance à plus long terme. On note : A «le licencié est assuré» B «le licencié n est pas assuré» Pour tout entier n non ) nul, l état probabiliste du nombre d assurés l année 011+n est défini par la matrice ligne P n = (x n y n où x n désigne la probabilité pour un licencié d être assuré l année 011+n. 1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.. Écrire la matrice de transition M de ce graphe en prenant les sommets A et B dans cet ordre. ( ) 3. En remarquant que P 0 = 0,8 0,, déterminer P 1. Interpréter ce résultat. 4. Le club sportif maintiendra son offre d assurance spécifique si le nombre d assurés reste supérieur à 55 %. L évolution prévue lui permet-elle d envisager le maintien de son offre à long terme? A. YALLOUZ (MATH@ES) 141

ANNEXE A. YALLOUZ (MATH@ES) 14

CONTRÔLES Contrôle du 8 septembre 013.................................... 144 Contrôle du 15 octobre 013..................................... 147 Contrôle du 6 novembre 013.................................... 150 Contrôle du 11 janvier 014...................................... 151 Contrôle du 08 février 014...................................... 153 Contrôle du 08 mars 014....................................... 155 Bac blanc du 08 avril 014...................................... 158 Contrôle du 10 mai 014....................................... 16 A. YALLOUZ (MATH@ES) 143

Lycée JANSON DE SAILLY Année 013-014 CONTRÔLE N O 1 T le ES EXERCICE 1 ( 4 points ) Les courbes C f, C g et C h sont les représentations graphiques de trois fonctions f, g et h définies et dérivables sur R. On note f, g et h les dérivées respectives des trois fonctions f, g et h. A Courbe C f y 5 4 3 1 B -4-3 - -1 0 1 3 4 x -1 - Courbe C g y 4 Courbe C 1 y 1-4 -3 - -1 0 1 3 4 x -1 - -3-4 -5-6 Courbe C y A 3 1 B 1-4 -3 - -1 0 1 3 4 x -1-4 -3 - -1 0 1 3 4 x -1 - -3 Courbe C h y 4 3 - -3-4 -5 Courbe C 3 y 5 4 A 1 3-4 -3 - -1 0 1 3 4 x B -1 - -3 1-4 -3 - -1 0 1 3 4 x -1-1. Par lecture graphique, déterminer f ( 1) et f ().. Les courbes C 1, C et C 3 sont les représentations graphiques des fonctions f, g et h. A. YALLOUZ (MATH@ES) 144

Année 013-014 CONTRÔLE N O 1 T le ES Associer à chacune des fonctions dérivées f, g et h sa courbe représentative. 3. Laquelle des trois fonctions f, g ou h a pour dérivée seconde la fonction k dont le signe en fonction du réel x est donné par le tableau ci-dessous? x + k(x) 0 + EXERCICE Soit f la fonction définie pour tout réel x appartenant à l intervalle ]0;+ [ par f(x)= x + x 1 x. On note C f sa courbe représentative dans le plan muni d un repère. ( 8 points ) 1. Déterminer les coordonnées des points d intersection éventuels de la courbe C f avec l axe des abscisses.. On note f la dérivée de la fonction f. a) Montrer que pour tout réel x appartenant à l intervalle ]0;+ [, f (x)= x x 3. b) Donner le tableau des variations de la fonction f. 3. a) Étudier la convexité de la fonction f. b) La courbe représentative de la fonction f a-t-elle un point d inflexion? 4. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Montrer que l équation f (x)= 1 admet une solution unique α dans l intervalle [1;]. À l aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie à 10 près, de α. EXERCICE 3 ( 8 points ) En 01, la population d une ville était de 40 000 habitants. Une étude portant sur l évolution démographique, a permis d établir que chaque année, 8 % des habitants quittent la ville et 4 000 nouvelles personnes emménagent. On note u n le nombre de milliers d habitants de cette ville l année 01+n ; on a donc u 0 = 40. 1. Selon ce modèle, à combien peut-on évaluer la population de cette ville en 013?. Justifier que pour tout entier naturel n, u n+1 = 0,9 u n + 4. 3. On considère l algorithme suivant : Initialisation : Affecter à N la valeur 0 Affecter à U la valeur 40 Traitement : Tant_que U 44 : Sortie : Affecter à N la valeur N+ 1 Affecter à U la valeur 0,9 U+ 4 Fin Tant_que Afficher N Recopier et compléter le tableau suivant autant que nécessaire en arrondissant les résultats au millième près. Quel nombre obtient-on en sortie de l algorithme? Interpréter ce résultat. N 0 1... U 40... Test U 44 Vrai... 4. On considère la suite (v n ) définie pour tout entier naturel n par v n = u n 50. A. YALLOUZ (MATH@ES) 145

Année 013-014 CONTRÔLE N O 1 T le ES a) Démontrer que la suite (v n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. b) Exprimer v n en fonction de n. En déduire que pour tout entier naturel n, u n = 50 10 0,9 n. 5. Étudier la monotonie de la suite u n. 6. Déterminer la limite de la suite (u n ). Interpréter ce résultat. A. YALLOUZ (MATH@ES) 146

Lycée JANSON DE SAILLY Année 013-014 CONTRÔLE N O T le ES EXERCICE 1 ( 5,5 points ) En raison de l évaporation, une piscine perd chaque semaine 3 % de son volume d eau. On remplit ce bassin avec 90 m 3 d eau et, pour compenser la perte due à l évaporation, on décide de rajouter chaque semaine,4 m 3 d eau dans le bassin. On note u n le nombre de m 3 d eau contenu dans ce bassin au bout de n semaines. On a donc u 0 = 90 et, pour tout entier n, u n+1 = 0,97 u n +,4. 1. On considère la suite (v n ) définie pour tout entier naturel n par v n = u n 80. a) Démontrer que la suite (v n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. b) Exprimer v n en fonction de n. En déduire que pour tout entier naturel n, u n = 80+10 0,97 n.. Étudier la monotonie de la suite u n. 3. Déterminer la limite de la suite (u n ). Interpréter ce résultat. EXERCICE ( 8 points ) Dans le plan muni d un repère orthogonal, on a tracé la courbe C f représentative de la fonction f définie et dérivable sur l intervalle ]0; 8] ainsi que les tangentes à la courbe aux points A(3,5; 104,75) et B(6; 16). La tangente en B à la courbe C f passe par l origine du repère. 00 y C f 180 160 140 10 100 A B 80 60 40 0 0 0 1 3 4 5 6 7 8 x On note f la fonction dérivée de la fonction f et f la dérivée seconde de la fonction f. PARTIE A À partir du graphique et des renseignements fournis : 1. Déterminer f (6) et f (3,5) ;. Sur quel intervalle la fonction f semble-t-elle convexe? concave? A. YALLOUZ (MATH@ES) 147

Année 013-014 CONTRÔLE N O T le ES PARTIE B La fonction f est définie pour tout réel x élément de l intervalle ]0;8] par f(x)=x 3 10,5x + 39x+54. 1. Calculer f (x) et f (x).. Étudier les variations de la fonction f. 3. Étudier la convexité de la fonction f. 4. Que représente le point A pour la courbe C f? PARTIE C Une entreprise produit et commercialise un article. Sa capacité de production mensuelle est limitée à 8 milliers d articles. La fonction f modélise sur l intervalle]0; 8] le coût total de production exprimé en milliers d euros, où x désigne le nombre de milliers d articles fabriqués. On note C M (x) le coût moyen de production exprimé en euros, par article fabriqué. C M est la fonction définie sur l intervalle ]0;8] par C M (x)=x 10,5x+39+ 54 x. On admet que la fonction C M est dérivable sur l intervalle ]0;8] et on appelle C sa fonction dérivée. 1. Calculer C (x), et vérifier que C (x)= (x 6)(x + 1,5x+9) x pour tout x de l intervalle ]0;8].. Étudier les variations de la fonction C M sur ]0;8]. 3. En dessous de quel prix de vente unitaire, l entreprise est-elle sûre de ne faire aucun bénéfice? EXERCICE 3 ( 6,5 points ) Une usine fabrique trois articles A, B et C. Chacun de ces trois articles est obtenu à partir de quatre produits différents P 1, P, P 3 et P 4. La fabrication de chacun des produits nécessite trois ressources : du travail (T) ; des matières premières (M) et de l énergie (E). Les deux tableaux suivants présentent les quantités de produits utilisés pour produire chaque article A, B ou C et les coûts des ressources, exprimés en euros, nécessaires à la fabrication de chaque produit. P 1 P P 3 P 4 A 3 1 B 4 3 0 C 0 5 3 10 15 3 3 1 1. On considère les matrices suivantes F = 4 3 0 et R= 1 8 4 1 4. 0 5 3 3 5 1 a) Calculer le produit P=F R. b) En déduire le coût de l énergie (E) nécessaire à la fabrication d un article B. 1. Calculer le produit U = P 1 et donner une interprétation du résultat. 1 ( ) 3. Calculer le produit V = 1 1 1 P et donner une interprétation du résultat. T M E P 1 10 15 3 P 1 8 P 3 4 1 4 P 4 3 5 1 A. YALLOUZ (MATH@ES) 148

Année 013-014 CONTRÔLE N O T le ES 4. À l aide d un produit de matrices, calculer le coût total de la production de quatre articles A, trois articles B et huit articles C. 5. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. À la fin d une journée, on a constaté que la dépense pour la fabrication de ces trois articles a été de 14 800 euros pour le travail (T) ; 18 000 euros pour les matières premières (M) et 4 400 euros pour l énergie (E). Déterminer le nombre d articles A, B et C qui ont été fabriqués au cours de cette journée. A. YALLOUZ (MATH@ES) 149

Année 013-014 CONTRÔLE N O 3 T le ES EXERCICE 1 ( 3 points ) Déterminer la fonction polynôme du second degré dont la courbe représentative est la parabole C f passant par les points A( 1; 3), B(3; 5) et C(4; 13) EXERCICE (,5 points ) Simplifier les expressions suivantes : A(x)= e x e 1 x ; B(x)=x+1 0,5 x 1 ; C(x)= 1 e x +(1 ex )(1 e x ). EXERCICE 3 ( 4 points ) Les deux questions suivantes sont indépendantes. 1. En raison de l évaporation, un bassin contenant 95 m 3 d eau perd chaque semaine 3 % de son volume d eau. Modéliser l évolution du volume d eau contenue dans le bassin à l aide d une fonction f de la forme f(x)=k q x Préciser les valeurs de k et de q, et donner le sens de variation de la fonction f.. En trois mois, le cours d une action a augmenté de 1%. Calculer le taux d évolution mensuel moyen du cours de cette action pendant les trois mois. (Donner le résultat arrondi à 0,01 % près) EXERCICE 4 ( 4 points ) Dans chacun des cas suivants, calculer la dérivée de la fonction f 1. f est définie sur ]0;+ [ par f(x)= ex + 1 x. f est définie sur R par f(x)=e x 1 e x 3. f est définie sur R par f(x)=e x x+1 EXERCICE 5 ( 6,5 points ) Soit f la fonction définie pour tout réel x par f(x)=(4 x) e 0,5x. On note f la fonction dérivée de la fonction f et f la dérivée seconde de la fonction f. 1. a) Montrer que pour tout nombre réel x, on a : f (x)=(x 4) e 0,5x. b) Étudier les variations de la fonction f.. Montrer que l équation f(x) = 1 admet une unique solution α dans l intervalle [0; ]. Donner une valeur arrondie à 10 près de α. 3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d abscisse 0. 4. a) Étudier la convexité de la fonction f. b) La courbe représentative de la fonction f a-t-elle un point d inflexion? Si oui, donner ses coordonnées. A. YALLOUZ (MATH@ES) 150

Année 013-014 CONTRÔLE N O 4 T le ES EXERCICE 1 ( 4 points ) 1. Le cours de l or est passé de 1 660 $ l once au 1 er janvier 013 à 1 14 $ l once au 31 décembre 013. Quel a été le pourcentage d évolution mensuel moyen du cours de l or en 013?. D une année sur l autre, un produit perd 6% de sa valeur. Au bout de combien d années ce produit aura-t-il perdu plus de 60% de sa valeur initiale? EXERCICE Soit f la fonction définie sur I =]0;+ [ par f(x)=1+ lnx x. Sa courbe représentative, notée C f, est tracée dans un repère orthonormé en annexe ci-dessous. ( 10 points ) 1. On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f. a) Montrer que pour tout réel x strictement positif, f (x)= 1 lnx x. b) Étudier le signe de la fonction dérivée f sur l intervalle I. c) Recopier et compléter le tableau des variations de f sur I. x 0 + signe de f (x) 0 variations de f 1. Montrer que l équation f(x) = 0 admet une solution unique α dans l intervalle ]0; + [. À l aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie à 10 près, de α. 3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C f au point A d abscisse 1. Tracer sur le graphique donné en annexe, la tangente T. 4. La dérivée seconde de la fonction f est la fonction f définie pour tout réel x strictement positif par Étudier la convexité de la fonction f. f (x)= ln x 3 x 3 y ANNEXE 1 C f 0 1 3 4 5 6 7 8 9 x -1 - -3-4 A. YALLOUZ (MATH@ES) 151

Année 013-014 CONTRÔLE N O 4 T le ES EXERCICE 3 ( 6 points ) Les parties A et B sont indépendantes. PARTIE A Une agence de tourisme a sélectionné neuf sites à visiter dans une agglomération. Le graphe suivant modélise une partie du plan de l agglomération. Les arêtes du graphe représentent les rues permettant un accès à un site (*) et les sommets du graphe les carrefours. B * * * * D * E * * * A * C 1. Quel est l ordre du graphe? Ce graphe est-il complet?. Combien y a-t-il de chaînes de longueur 3 commençant en C et finissant en D? 3. Est-il possible de visiter les neuf sites en n empruntant chaque rue qu une seule fois? si oui donner un exemple de parcours possible. PARTIE B On considère l automate G défini par le graphe étiqueté ci-dessous. Un mot reconnu par l automate est formé de lettres qui se succèdent sur un chemin du graphe orienté, en partant du sommet 0 et en sortant au sommet 3. a b b a c a 0 1 3 b c c a b c 1. Parmi les mots suivants, quels sont ceux qui sont reconnus par l automate. abc babac abacab cababab bacabac acabbacab. Recopier et compléter la matrice d adjacence M associée au graphe. 1 0 0 M = 1 1 3 3. a) Quel est le mot le plus court reconnu par l automate? b) Quel est le nombre de mots de 4 lettres reconnus par l automate? Quels sont ces mots? A. YALLOUZ (MATH@ES) 15

Année 013-014 CONTRÔLE N O 5 T le ES EXERCICE 1 ( 6 points ) Dans cet exercice, toutes les valeurs approchées des résultats demandés seront arrondies au dix millième. Une entreprise fabrique des articles en grande quantité. Une étude statistique a permis de constater que 9% des articles fabriqués sont défectueux. L entreprise décide alors de mettre en place un test de contrôle de qualité de ces articles. Ce contrôle détecte et élimine 9% des articles défectueux, mais il élimine également à tort % des articles non défectueux. Les articles non éliminés sont alors mis en vente. PARTIE A On prend au hasard un article fabriqué et on note : D l évènement «l article est défectueux» ; V l évènement «l article est déclaré bon pour la vente après le contrôle». 1. Construire un arbre pondéré rendant compte de cette situation.. Calculer la probabilité qu un article fabriqué ait un défaut et soit mis en vente. 3. Calculer la probabilité qu un article soit mis en vente après le contrôle. 4. Un article est déclaré bon pour la vente après le contrôle. Quelle est la probabilité qu il soit défectueux? PARTIE B On admet dans cette partie que 0,8 % des articles vendus sont défectueux. Pour satisfaire la commande d un client, on prélève au hasard 50 articles dans le stock. Le stock est suffisamment important pour que le prélèvement des articles soit assimilé à des tirages indépendants avec remise. On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 50 articles dans ce stock, associe le nombre d articles défectueux. 1. Déterminer la probabilité de trouver deux articles qui ont un défaut.. Déterminer la probabilité qu au moins deux articles ont un défaut. EXERCICE Soit f la fonction définie sur I =]0;+ [ par f(x)=x 3 ( ln(x) 5 ). 6 ( 9 points ) 1. La courbe représentative de la fonction f, notée C f, est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé. La droite T est la tangente à la courbe C f au point A d abscisse 1. y 1 10 8 6 4 0 1 3 x A - T -4 A. YALLOUZ (MATH@ES) 153

Année 013-014 CONTRÔLE N O 5 T le ES Par lecture graphique, que représente le point A pour la courbe C f?. On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f. ( a) Montrer que pour tout réel x strictement positif, f (x)=3x ln(x) 1 ). b) Étudier le signe de la fonction dérivée f sur l intervalle I. c) En déduire le tableau de variations de f sur l intervalle ]0; + [. 3. On note f la dérivée seconde de f sur ]0;+ [. On admet que, pour tout réel x strictement positif on a f (x)=6xln x Étudier la convexité de la fonction f. EXERCICE 3 D après sujet bac Centres Étrangers 013 ( 5 points ) Dans le graphe ci-dessous, les sommets représentent différentes zones de résidence ou d activités d une municipalité. Une arête reliant deux de ces sommets indique l existence d une voie d accès principale entre deux lieux correspondants. Les valeurs indiquent, en minutes, les durées moyennes des trajets entre les différents lieux via les transports en commun. B 4 D 8 16 0 8 1 C 1 4 G 4 1 0 8 A E 1. Donner, sans justifier, le degré de chacun des sommets (la réponse pourra être présentée sous forme de tableau où les sommets seront mis dans l ordre alphabétique).. a) Donner la matrice M associée au graphe (les sommets seront mis dans l ordre alphabétique). 7 8 5 5 5 3 7 8 1 13 1 8 5 8 1 1 15 13 13 5 b) On donne la matrice M 3 = 5 13 15 1 13 1 8 5 1 13 13 10 1 5 5 8 13 1 1 8 7 3 5 5 8 5 7 Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant A et F puis donner leur liste. 3. Pour sa campagne électorale, un candidat souhaite parcourir toutes les voies d accès principales de ce quartier sans emprunter plusieurs fois la même voie. Montrer qu un tel parcours est possible. 4. Ce même candidat se trouve à la mairie(a) quand on lui rappelle qu il a un rendez-vous avec le responsable de l hôpital situé en zone G. a) En utilisant l algorithme de Dijkstra, déterminer le chemin de durée minimale que ce candidat devra emprunter pour arriver à son rendez-vous. b) Combien de temps faut-il prévoir pour effectuer ce trajet? 4 F A. YALLOUZ (MATH@ES) 154

Année 013-014 CONTRÔLE N O 6 T le ES EXERCICE 1 Calculer la valeur exacte de chacune des intégrales suivantes : ( 6 points ) A= B= C= D= E = 1 6 1 ln 0 1 ( x 3x+1 ) dx ( x ) x 1 dx e x+1 dx e x (e x + 1) dx lnx x dx EXERCICE ( 6 points ) Les deux parties sont indépendantes PARTIE A 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 On considère le graphe de sommets A, B, C, D, E et F dont la matrice associée est M= 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1. Quel est le nombre d arêtes de ce graphe?. Ce graphe est-il complet? Ce graphe est-il connexe? 3. Ce graphe admet-il une chaîne eulérienne? Justifier la réponse. Si oui donner une telle chaîne. PARTIE B Après avoir chargé son camion à l entrepôt noté A, un livreur doit livrer cinq clients notés B, C, D, E et F. Le graphe ci-dessous, modélise le réseau routier en tenant compte des sens de circulation et des temps de parcours en minutes. A 3 3 B 4 E 15 16 8 8 D 16 19 18 18 C 7 F 6 1. Quel trajet permet de minimiser le temps de parcours pour effectuer les cinq livraisons?. Après avoir effectué ses livraisons, le livreur doit retourner l entrepôt. Quel trajet lui permet de minimiser son temps de parcours pour le retour? En ne tenant pas compte des arrêts nécessaires pour effectuer les livraisons, le trajet du retour est-il plus rapide que celui de l aller? A. YALLOUZ (MATH@ES) 155

Année 013-014 CONTRÔLE N O 6 T le ES EXERCICE 3 ( 8 points ) La courbe C f tracée ci-dessous est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur l intervalle ]0;+ [. La droite T est tangente à la courbe C f au point A(1;0) y T 1-1 0 1 3 4 5 6 7 x -1 A - -3 C f PARTIE A 1. On note f la dérivée de la fonction fonction f. Déterminer f (1).. Soit F la primitive de la fonction fonction f sur l intervalle ]0; + [ telle que F() = 0. a) Donner le tableau de variations de la fonction F. b) Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction F au point d abscisse. 3. Une des quatre courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f et une autre de la fonction F. Déterminer la courbe associée à la fonction f et celle qui est associée à la fonction F. y C 1 y C 3 3 1 1 0 1 3 4 5 6 x 0 1 3 4 5 6 x -1-1 - y C 3 - y C 4 3 1 0 1 3 4 5 6 x 1-1 - 0-1 1 3 4 5 6 x -3 PARTIE B - f est la fonction définie sur l intervalle ]0;+ [ par f(x)=5 x 4 x A. YALLOUZ (MATH@ES) 156

Année 013-014 CONTRÔLE N O 6 T le ES 1. Étudier le signe de la fonction f sur l intervalle ]0;+ [.. Calculer l aire, exprimée en unité d aire, du domaine délimité par la courbe C f, l axe des abscisses et les droites d équation x=1 et x=4. 3. Étudier la convexité d une primitive F de la fonction f. A. YALLOUZ (MATH@ES) 157

Lycée JANSON DE SAILLY Année 013-014 CONTRÔLE N O 7 T le ES EXERCICE 1 ( 5 points ) COMMUN À TOUS LES CANDIDATS La courbe C f tracée ci-dessous est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. La tangente T à la courbe C f au point A passe par le point de coordonnées (4;3). On note f la dérivée de la fonction fonction f et F une primitive de la fonction fonction f. C f y 3 T 1 A -5-4 -3 - -1 0 1 3 4 5 6 x -1 - -3 1. Déterminer f (3) et f (5).. Donner le tableau de variations de la fonction F. 3. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f et une autre celle de la fonction F. Déterminer la courbe associée à la fonction f et celle qui est associée à la fonction F. y y 1 C 1 4-3 - -1 0 1 3 4 5 x -1 - -3 - -1 0 1 3 4 5 x - C -3 y 4-4 -4-3 - -1 0 1 3 4 5 6 7 x - -4 C 3-6 4. La courbe représentative de la fonction F admet-elle des points d inflexion? 5. Donner une valeur approchée (en unité d aire) de l aire du domaine colorié A. YALLOUZ (MATH@ES) 158

Année 013-014 CONTRÔLE N O 7 T le ES EXERCICE ( 5 points ) COMMUN À TOUS LES CANDIDATS D après sujet bac Amérique du Sud 013 Dans un pays, suite à une élection, un institut de sondage publie chaque mois la cote de popularité du président (c est-à-dire le pourcentage de personnes ayant une opinion favorable à l action qu il mène). Ce sondage résulte d une enquête réalisée auprès d un échantillon de la population du pays. Les enquêtes réalisées révèlent que d un mois à l autre : 6 % des personnes qui étaient favorables ne le sont plus ; 4 % des personnes qui n étaient pas favorables le deviennent. On interroge au hasard une personne dans la population du pays et on note : F 0 l évènement «la personne interrogée a une opinion favorable dès l élection du président» de probabilité p 0 et F 0 son évènement contraire ; F 1 l évènement «la personne interrogée le 1 er mois a une opinion favorable» de probabilité p 1 et F 1 son évènement contraire. 1. a) Recopier et compléter l arbre pondéré suivant. F 1 p 0 F 0 F 1 0,04 F 1 b) Montrer que p 1 = 0,9p 0 + 0,04. F 0 F 1 Pour la suite de l exercice, on donne p 0 = 0,55 et on note, pour tout entier naturel n, F n l évènement «la personne interrogée le n-ième mois a une opinion favorable» et p n sa probabilité. On admet de plus, que pour tout entier naturel n, p n+1 = 0,9p n + 0,04.. On considère l algorithme suivant : Variables : Entrée : I et N sont des entiers naturels P est un nombre réel Saisir N Initialisation : P prend la valeur 0,55 Traitement : Sortie : Pour J allant de 1 à N P prend la valeur 0,9P + 0,04 Fin Pour Afficher P a) Écrire ce qu affiche cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur N = 1. b) Donner le rôle de cet algorithme. 3. On considère la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n par : u n = p n 0,4. a) Démontrer que la suite (u n ) est une suite géométrique de raison 0,9 et préciser la valeur de son premier terme u 0. b) En déduire l expression de u n en fonction de n puis l expression de p n en fonction de n. c) Déterminer la limite de la suite (p n ) et interpréter le résultat. 4. a) Résoudre dans l ensemble des entiers naturels l inéquation 0,15 0,9 n + 0,4 0,45. b) Interpréter le résultat trouvé. A. YALLOUZ (MATH@ES) 159

Année 013-014 CONTRÔLE N O 7 T le ES EXERCICE 3 ( 5 points ) CANDIDATS AYANT SUIVI L ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ On considère le graphe ci-dessous : D F G E B A C 1. On appelle M la matrice associée à ce graphe, les sommets étant pris dans l ordre alphabétique. Une des trois matrices R, S ou T est la matrice M 3. 4 3 3 4 1 8 1 9 1 7 4 11 4 1 3 4 1 4 3 1 1 3 1 8 9 1 11 4 7 4 3 1 3 3 0 9 9 6 11 6 4 6 1 3 1 R= 3 3 5 S= 1 1 11 1 1 4 1 T = 3 3 6 3 3 3 1 4 1 7 11 6 1 6 6 10 1 3 4 1 1 0 1 1 4 4 4 4 6 6 1 3 1 4 1 4 11 7 6 1 10 6 6 3 3 4 Sans calculer la matrice M 3, indiquer quelle est la matrice M 3 en justifiant votre choix.. Ce graphe est-il complet? Ce graphe est-il connexe? 3. Ce graphe admet-il une chaîne eulérienne? Justifier la réponse. Si oui donner une telle chaîne. 4. Un représentant, a modélisé à l aide du graphe ci-dessous le réseau routier reliant différents clients notés A, B, C, D, E, F et G. Les arêtes sont pondérés par les distances en kilomètre à parcourir. D 9 18 5 F 9 6 38 43 A 8 G Après avoir visité le client C, ce représentant souhaite se rendre chez le client D. 30 11 35 a) En précisant la méthode utilisée, déterminer le trajet le plus court (en kilomètres) pour aller de C à D. Préciser la longueur en kilomètres de ce trajet. b) Existe-t-il un parcours de même distance permettant à ce représentant de visiter tous ses clients? E 8 B 6 C A. YALLOUZ (MATH@ES) 160

Année 013-014 CONTRÔLE N O 7 T le ES EXERCICE 4 ( 5 points ) COMMUN À TOUS LES CANDIDATS D après sujet bac 013 Dans un laboratoire, des scientifiques ont étudié pendant 10 ans l effet de la pollution sur une population d insectes car ils craignaient l extinction de cette espèce. L étude a été effectuée sur un échantillon de 5 000 insectes. Les deux parties peuvent être traitées indépendamment l une de l autre. PARTIE A : Une étude a permis de montrer que la population d insectes diminue très rapidement lors des quatre premières années. La population peut être modélisée par la fonction f définie sur l intervalle [0 ; 4] par f(t) = 5e 0,5t, où t est le temps exprimé en années et f(t) le nombre de milliers d insectes. 1. Calculer le pourcentage de diminution du nombre d insectes la première année. Arrondir à 1 %.. a) Montrer que la fonction F définie sur l intervalle [0 ; 4] par F(t) = 50e 0,5t est une primitive de la fonction f sur l intervalle [0 ; 4]. b) Calculer la valeur exacte de 4 5e 0,5t dt. c) En déduire la population moyenne d insectes entre le début de la deuxième et le début de la quatrième année. PARTIE B : Après de longues recherches, un biologiste a mis au point un traitement pour essayer de sauver cette espèce. Ce traitement est administré aux insectes à partir de la quatrième année. L évolution de la population est alors modélisée par la fonction g définie sur l intervalle [4 ; 10] par : g(t)= 0e 0,1t +t 4,65. 1. On désigne par g la fonction dérivée de la fonction g. Montrer que pour tout réel t de l intervalle [4 ; 10], g (t)= 4te 0,1t + 1.. On admet que la fonction g est continue et strictement croissante sur l intervalle [4 ; 10]. Montrer que l équation g (t)=0 a une solution et une seule α dans l intervalle [4 ; 10]. Donner la valeur arrondie au dixième de α. 3. a) En déduire le signe de g (t) sur l intervalle [4 ; 10]. b) Donner le sens de variation de la fonction g sur l intervalle [4 ; 10]. c) Que peut-on supposer quant à l effet du traitement sur la population d insectes? A. YALLOUZ (MATH@ES) 161

Année 013-014 CONTRÔLE N O 8 T le ES EXERCICE 1 ( 7 points ) Une entreprise fabrique en grande quantité des tubes en aluminium. La longueur des tubes est exprimée en millimètres. Un tube est dit «conforme pour la longueur» lorsque celle-ci appartient à l intervalle [45 ; 55]. Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à 10 3 PARTIE A Dans cette partie, on considère que 5 % des tubes fabriqués ne sont pas conformes pour la longueur. On prélève au hasard 50 tubes dans le stock. Le stock est suffisamment important pour que l on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50 tubes. On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 50 tubes, associe le nombre de tubes qui ne sont pas conformes pour la longueur. 1. Calculer l espérance mathématique E(X) et l écart type σ(x) de la variable aléatoire X.. Calculer la probabilité P(X = ). Interpréter le résultat. 3. Calculer la probabilité que dans un tel prélèvement deux tubes au moins ne sont pas conformes pour la longueur. PARTIE B On désigne par Y la variable aléatoire qui, à chaque tube pris au hasard dans la production d une journée, associe sa longueur. On admet que la variable aléatoire Y suit la loi normale de moyenne 50 et d écart type,5. 1. Calculer la probabilité qu un tube prélevé au hasard dans la production d une journée soit conforme pour la longueur.. Le contrôle de conformité mis en place rejette les tubes dont la longueur est inférieure à 45 millimètres. Quelle est la probabilité pour qu un tube prélevé au hasard dans la production d une journée soit rejeté par le contrôle de conformité? PARTIE C Le cahier des charges établit que la proportion dans la production de % de tubes refusés par le contrôle de conformité est acceptable. On veut savoir si une machine de production est correctement réglée. Pour cela on prélève au hasard dans la production un échantillon de taille 50 dans lequel 6 tubes se révèlent être non conformes. 1. Donner l intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence des tubes non conformes dans un échantillon de taille 50.. La machine de production doit-elle être révisée? Justifier votre réponse. EXERCICE Après avoir effectué quelques parties au jeu «048» Léa a constaté que sur une journée : quand elle gagne une partie, la probabilité qu elle gagne la partie suivante est égale à 0,64. quand elle a perdue, la probabilité qu elle gagne la partie suivante est égale à 0,14. On note G l état : «Léa a gagné la partie» et P l état : «Léa a perdu la partie». Pour un jour donné, on note également pour tout entier naturel n : g n la probabilité que Léa gagne lors de la n-ième partie de la journée ; ( 7 points ) p n la probabilité que Léa perde lors du n-ième partie de la journée ; ) E n = (g n p n la matrice ligne donnant l état probabiliste du système lors du n-ième partie de la journée. ( ) On suppose que la veille du jour considéré, Léa avait gagné sa dernière partie, on a donc g 0 = 1 et E 0 = 1 0. A. YALLOUZ (MATH@ES) 16

Année 013-014 CONTRÔLE N O 8 T le ES 1. a) Traduire les données par un graphe probabiliste. b) Préciser la matrice M de transition associée à ce graphe. c) Calculer la probabilité que Léa gagne sa troisième partie. d) Déterminer l état stable du graphe probabiliste.. Montrer que pour tout entier naturel n, on a g n+1 = 0,5g n + 0,14. 3. On considère la suite (u n ) définie, pour tout entier n, par u n = g n 0,8. a) Montrer que (u n ) est une suite géométrique, préciser sa raison et son premier terme. b) En déduire que pour tout entier naturel n, g n = 0,7 0,5 n + 0,8. 4. À partir de combien de parties dans la journée la probabilité que Léa gagne sa partie sera-t-elle strictement inférieure à 0,3? EXERCICE 3 ( 6 points ) La courbe C f tracée ci-dessous dans le plan muni d un repère orthogonal est la courbe représentative d une fonction f définie et dérivable sur R. La droite T est tangente à la courbe C f au point d abscisse 0. y T 4 3 1 C f -1 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x -1 - -3-4 PARTIE A - Lecture graphique 1. On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f. Par lecture graphique, déterminer f (0).. Soit F une primitive de f. Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. PROPOSITION A : Sur l intervalle [5; + [, la fonction F est croissante. PROPOSITION B : F( 1) F(0). PROPOSITION C : 1 F(5) F(0) 18. PARTIE B - Calcul d aire La fonction f est définie pour tout réel x par f(x)=4xe 0,4x. A. YALLOUZ (MATH@ES) 163

Année 013-014 CONTRÔLE N O 8 T le ES 1. On cherche une primitive F de la fonction f de la forme F(x) = (ax+b)e 0,4x avec a et b deux nombres réels. { 0,4a = 4 a) Montrer que a et b sont solutions du système d équations suivant : a 0,4b = 0 b) Calculer a et b et donner l expression de F(x).. On note A l aire, exprimée en unité d aire, du domaine colorié sur le graphique. Déterminer la valeur exacte de A. A. YALLOUZ (MATH@ES) 164