Calcul littéral 3 ème 2 nde Projet 2 : Delphine Carlier et Michel Bachimont Motivations : Difficultés pour les élèves à réinvestir le calcul littéral dans les problèmes (développement, factorisation, identités remarquables). Concernant les identités remarquables, les élèves savent les réciter mais ne sont pas capables de les mettre en œuvre. On retrouve toujours les mêmes erreurs : En développement : En factorisation : Contribution des outils numériques Dans les différents exercices et problèmes proposés, des démarches utilisant les outils numériques pourront être proposées par les élèves, soit pour contrôler les résultats obtenus soit pour lever certaines difficultés d ordre technique. Ils sont signalés par les logos suivants : Calcul formel Logiciel de géométrie dynamique tableur Progression pour l acquisition des automatismes : L objectif de ce document est de présenter un travail sur deux ans (en 3 ème et Seconde) pour améliorer les savoirfaire des élèves dans le domaine du calcul littéral en particulier sur le second degré. Il ne s agit donc pas de traiter les activités en continu mais l idée est celle d un FIL ROUGE à exploiter à différents moments de l année avec des réinvestissements dans différentes parties du programme, que ce soit le calcul littéral, les équations, le second degré, les probabilités. 3 ème Calcul mental : En groupes ou en classe entière sous forme de petites interrogations diaporamas, sans utiliser les TICE au départ Le développement d expressions littérales a déjà été vu en quatrième, on peut donc dès le début de l année développer des calculs de la forme,, sans utiliser les identités remarquables au début, et montrer l importance du double produit, expliquer pourquoi et impliquer l ensemble des élèves dans un concours de rapidité de calcul mental. Objectif visé : sensibiliser les élèves à la présence du double produit, qui est régulièrement oublié dans les développements d identités remarquables. Les élèves sont conscients que 11² est différent de 101 mais pas que est différent de. Dans un deuxième temps, pour que les élèves s entrainent à la maison, ils peuvent utiliser les TICE sous la forme d exercices WIMS comme ceux-ci :
Interrogations orales tout au long de l année sur le calcul de carrés d entiers puis au fur et à mesure de la progression de l année, on pourra rajouter les racines de carrés parfaits et le développement de carrés remarquables. Temps forts : On prévoit suite au cours sur les identités remarquables une fiche d exercices de calcul mental et développements (la calculatrice est interdite!!!) à traiter en classe entière, pas forcément sur une seule séance mais à petites doses : A. Partie Calcul mental 23² = 49² = 17² = 32² = 49 = = B. Partie Développements C. Partie : les développements suivants sont-ils des carrés parfaits? D. Partie : les identités remarquables incomplètes Compléter les identités remarquables suivantes et écrire leur forme factorisée Pour les élèves ayant eu des difficultés sur la fiche «manuelle» : questions équivalentes à celles posées dans les parties A et B, les parties B, C et D peuvent permettre aussi une introduction au logiciel formel pour le contrôle des résultats sur Xcas. Exemples : Pour la partie D, on peut utiliser les fonctions «normal» et «factoriser» pour tester ses réponses.
Retour d expérimentation : La fiche a été expérimentée en classe de Seconde du Lycée des Flandres à HAZEBROUCK, module d exploration MPS, la classe a donc un profil plutôt scientifique. Les élèves n ont pas bénéficié de révisions systématiques sur les identités remarquables. La partie A semble très difficile pour les élèves même en ayant traité quelques exemples en classe. Beaucoup d entre eux ont compris que, par exemple, est différent de 409, mais ils ont des difficultés à mener le véritable calcul de tête en temps limité. Le travail a pu être poursuivi à la maison et là, on voit bien apparaître sur les fiches que : 23² = 400 + 120 + 9 = 529. Dans la partie B, les trois premiers développements ne posent pas de soucis, par contre, dès que l on passe à des expressions de la forme, tout devient plus compliqué pour les élèves. Erreurs répertoriées : Mêmes types d erreurs sur les suivantes. Dans la partie C, les élèves ne sont pas très attentifs aux signes. La 2 ème et dernière expression sont donc identifiées comme identités remarquables. Dans la partie D, peu d expressions ont été traitées. Pour la 2 ème expression, on trouve parfois trouvées dans la partie C., ce qui est cohérent avec les solutions En remédiation, on s oblige pour chaque identité remarquable à identifier a et b et à calculer, en détail, a², b² et 2ab. Une fois les racines carrées vues en classe, on peut proposer des exercices de recherche d extraction de racines carrées en réfléchissant en classe à la stratégie à adopter. Retour d expérimentation : Encore une fois, l expérimentation a été faite en classe de Seconde MPS au Lycée des Flandres, HAZEBROUCK. La démarche utilisée, suggérée par les élèves, consiste à trouver le carré d une dizaine proche du nombre sous la racine. Exemple pour : 20² = 400 ; 30² = 900 Donc 441 est le carré d un nombre strictement compris entre 20 et 30 donc de la forme (20 +a)². Le double produit sera de la forme. On regarde combien de fois on doit rajouter 40 pour s approcher de 441. Il suffit de rajouter une fois 40 donc a =1. On vérifie (20 + 1)² = 400 + 40 + 1 = 441 Dans ce sens, le raisonnement ne pose pas de problème. Pour : 50² = 2500 ; 60² = 3600 Donc 3249 est le carré d un nombre compris entre 50 et 60. Je leur suggère que 3600 est plus proche de 3249 que 2500, sauf qu il va falloir faire «une marche arrière»! donc 3249 est de la forme (60 a)² = 3600 120a +a². On regarde combien de fois, il faut enlever 120 pour s approcher de 3249. 3600 120 = 3480 ; 3480-120=3360 ; 3360 120 = 3240 Donc on retire 3 fois 120. On vérifie : Les élèves ont rarement utilisé cette possibilité, préférant raisonner avec une addition, même si les calculs sont un peu plus compliqués. ;
Exercices et problèmes avec prise d initiatives : On pourra faire travailler les élèves en groupe, éventuellement en salle informatique ou donner ces exercices en Devoir Maison en temps limité. Compétences visées : in Livret personnel de compétences palier 3 compétence 3 Programme de calcul On choisit un entier entre 1 et 20. On lui ajoute 5 On met le résultat au carré On lui enlève 225 Existe-t-il un entier répondant aux contraintes qui donne comme résultat 0? Et sans contrainte? Retour d expérimentation : Extraits de travaux d élèves de troisième du Collège Louise Michel Lille (collège éclair). Merci à leur professeur Anne Keller pour son aide Réponse sans démarche Essais et corrections successifs
Démarches inabouties mais utilisation pertinente du calcul littéral.
Réinvestissement également dans le chapitre sur les équations/inéquations/expressions algébriques : Déterminer l expression de l hypoténuse de ce triangle rectangle en fonction de x. Extraits de travaux d élèves de troisième du Collège Louise Michel Lille (collège éclair). Merci à leur professeur Anne Keller pour son aide Démarches erronées
Démarches inabouties Résultat correct ABCD est un carré de côté 8 cm. M est un point mobile sur le segment [AD]. On pose x = AM. Exprimer l aire des carrés coloriés en fonction de x. Pour quelle position de M l aire coloriée est-elle le quart de l aire du carré ABCD? Peut-on réaliser cette figure où les deux triangles sont rectangles? On peut donner d autres dimensions
Exercice à prise d initiatives : Deux tours, hautes de 30 m et de 40 m, sont distantes l une de l autre de 50 m. Un puits est situé entre les deux tours. Deux oiseaux s envolent en même temps du sommet de chaque tour et volent à la même vitesse. Pouvez-vous déterminer la position du puits sachant que les oiseaux se posent dessus au même instant? On pourrait introduire le calcul formel pour vérifier la solution de l équation Autres exercices : Existe-t-il un nombre x tel que l on puisse construire le triangle rectangle vérifiant les conditions posées par le dessin? Même question en remplaçant par (avec les côtés x,, x+ ) Problème avec prise d initiatives (in méthodes en pratiques 3 ème CRDP) Deux frères ont hérité de cinq terrains carrés dont les côtés ont pour longueur cinq nombres entiers consécutifs. Les terrains sont disposés le long d une route en deux groupes : les trois «plus petits» d un côté d un chemin et les deux «plus grands» de l autre côté du chemin comme sur la figure ci-dessous. On souhaite déterminer les dimensions des terrains telles que les aires de part et d autre du chemin soient égales.
Plus ouvert Le magicien Un magicien propose à un spectateur de choisir un nombre entier naturel, d ajouter 3 à ce nombre, de multiplier le résultat obtenu par le nombre choisi au départ, puis de retrancher au résultat obtenu le carré du nombre initial. Enfin il lui demande de donner le résultat obtenu. Comment le magicien peut-il deviner le nombre de départ? 2nde Calcul mental : Dans la progression en algorithmique, après l introduction de l instruction «Si alors sinon», on programme sur la calculatrice le jeu des carrés pour s entrainer. On poursuit alors durant l année les interrogations orales sur le calcul de carrés d entiers, des racines de carrés parfaits, puis des carrés remarquables et factorisations remarquables. QCMs de diagnostic En introduction au chapitre sur le second degré, on prévoit un QCM diagnostic pour lequel la calculatrice est interdite. Vous trouverez en retour d expérimentation les résultats d élèves de Seconde du Lycée des Flandres à HAZEBROUCK. C est comme précédemment une classe suivant le module d exploration MPS mais dont le niveau est beaucoup plus hétérogène. Ces élèves n ont pas été sensibilisés de façon particulière au calcul en classe de Troisième Après chaque question posée aux élèves (à l aide d un boitier de vote), un point est fait sur réponses : Voir les copies d écran du TNI. Le temps imparti à ce QCM est de 40 minutes. 1. Quel est le carré de 21? a) 401 b) 402 c) 441 d) 421
2. Quel est le carré de 39? a) 1599 b) 1521 c) 981 d) 1041 3. Calculer le nombre avec a) 101 b) 141 c) 130 d) 146 Les réponses n étant pas trop mauvaise, il n y a eu qu un commentaire oral. 4. Calculer le nombre avec a) 1/4 b) -5/4 c) 7/4 d) -7/4
5. Soit f définie par. Quel est l image de 2? a) 20 b) 8 c) 0 d) 5 Il est important d interroger les élèves sur ce genre de petit calcul, car on constate, qu à trop travailler sur identités remarquables, certains élèves font un développement pour calculer (2+3)². 6. Soit f définie par. L écriture développée de f est : a) b) c) d) 7. Soit g définie par. Quel est l image de 3? a) 1 b) 49 c) -7 d) 25 8. Soit g définie par. L écriture développée de g est : a) b) c) d)
Remédiation aux erreurs : Pour les erreurs sur les questions 1, 2, 5 et 7 : Exposé oral sur la démonstration géométrique des identités remarquables. Pour les erreurs des questions 3, 4 et 6 : Rappel sur les opérations prioritaires Au début du cours sur la fonction carrée, tracé de la courbe de la fonction carrée avec un tableau de valeurs calculé mentalement avec un pas de 0,5. Calcul mental à visée probas première Calculer 1. 2. 3. Reprise du problème du document ressource Seconde : Soit un nombre réel strictement positif. Affirmation :«L aire d un carré de côté est égale à la somme des aires de deux carrés de côtés respectifs et 3.» VRAI ou FAUX? Activités avec logiciel de calcul formel pour s auto-évaluer sur les développements et les factorisations.
Tâche complexe associée : Aménagement d un jardin Partie A : Plan du jardin Un paysagiste est chargé d aménager un jardin selon le cahier des charges d un propriétaire. Voici un plan en 3D et 2D du jardin souhaité. Le propriétaire souhaite aménager quatre zones dans son jardin : - Une terrasse. - Un potager de forme carrée ou rectangulaire. - Un jardin «zen» de forme trapézoïdale. - Le reste sera composé d une pelouse.
On donne les côtes du terrain : Les contraintes posées par le propriétaire sont les suivantes : - La terrasse est adjacente à la maison sur deux côtés de 10 mètres de long. - Les côtés [AB] et [CD] sont de même longueur et perpendiculaires à la maison. - Le jardin «Zen» a un côté [EF] parallèle à [BC] tel que EF = 2 BC. - Le jardin «Zen» a une aire double de celle de la terrasse. - Le potager doit avoir une aire maximale sachant qu il sera délimité par la haie, par une clôture de 19 m de longueur et il comporte une porte de 1 m de large. Faire un plan à l échelle avec les côtes au décimètre près d un jardin répondant aux contraintes du propriétaire. Préciser les aires respectives des 4 zones.
Retour d expérimentation : L activité a été testée en partie en A.P Seconde (1h 30) après le chapitre sur le second degré. Les élèves ont travaillé par groupes. Deux groupes de «bons» élèves se sont occupés de la partie Terrasse et Jardin Zen tandis que deux groupes d élèves en difficultés se sont occupés du potager. La terrasse et jardin zen :
Les élèves ont utilisé la fonction SOLVE Ci-dessous la narration de recherche qui a été mise au propre par une excellente élève de la classe. Je rappelle que le problème de la terrasse et du jardin a été confiée à de bons élèves.
Le potager Une solution plutôt expéditive : Une tentative de justification :
Les élèves essaient de retrouver l écriture canonique du polynôme grâce à la calculatrice. Ils utilisent la fenêtre suivante et la fonction maximum : La vérification de l égalité des deux expressions n est pas rédigée correctement.